2024-2025學(xué)年人教版高二數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓錐曲線的方程（知識(shí)歸納+題型突破）（原卷版）

第三章圓錐曲線的方程（知識(shí)歸納+題型突破）

課標(biāo)要求

1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用;

2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì);

3.了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì)；

4.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；

5.了解橢圓、拋物線的簡單應(yīng)用.

基礎(chǔ)知識(shí)歸納

一、橢圓的定義、方程、圖形及性質(zhì)

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)耳，居的距離之和等于常數(shù)2a（2“>|耳居|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓

的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語言表示為:

{P\\PFl\+\PF2\=2a（2a>\耳心|=2c>0）}

注意：當(dāng)2a=2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；

當(dāng)2a<2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示.

X=〃cos6、rAW,/、x=acos0、r,/、

參數(shù)方程一八招為參數(shù)（?！闧0,2加）.八，。為參數(shù)（?！闧0,2加）

y=bsmOy=b7sm。

第一定義到兩定點(diǎn)耳、弱的距離之和等于常數(shù)2a,^\MFt\+\MF2\=2a（2°>|久工|）

范圍-a<x<aS.-b<y<b-b<x<b^-a<y<a

入(一〃,0)、A2(?,0)Aj(0,-(2)>A2(0,tz)

頂點(diǎn)

B/O,詢、B2(O,Z?)B](-仇0)、B2(/7,0)

軸長長軸長=2Q,短軸長=2Z?長軸長=2〃，短軸長=2b

對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

焦點(diǎn)耳（一°,0）、.（c,0）片（0,-。）、鳥（O,c）

焦距但g=2c(c2=a2-b2)

1一](0<e<l)

離心率

準(zhǔn)線方程x=±—

c

'外2J>1'外

點(diǎn)和橢圓2

t+普=1=點(diǎn)(無0，%)在橢圓:上與+吉=1o點(diǎn)(%,%)在橢圓W上

abab

的關(guān)系<1內(nèi)<1內(nèi)

+=l((%,%)為切點(diǎn))-^-+-7^=1((%,%)為切點(diǎn))

abab

切線方程

對(duì)于過橢圓上一點(diǎn)（x。,%）的切線方程，只需將橢圓方程中/換為尤°x,y2換為%y可得

切點(diǎn)弦所在

學(xué)+萼=1（點(diǎn)（％,%）在橢圓外）理+誓=1（點(diǎn)（％,%）在橢圓外）

abab

的直線方程

2b2

①cos8=-----1,盤縱=/F'BF?,（3為短軸的端點(diǎn)）

焦點(diǎn)三角形和

面積10‘。|%|,焦點(diǎn)在塔由上

②5.心=5々”皿。=尸tan-=<,,生上人,,L（6=/耳尸居）

,c|七焦點(diǎn)在y軸上

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)FX,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于山丹|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（這

兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）.用集合表示為｛MW閨-附用|=24（0<2°<陽用）｝

注意：（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線僅為雙曲線中的一支.

（2）當(dāng)2a=|月用時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以的和尸2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)2a=0時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段耳月的

垂直平分線.

（3）2a>寓閶時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：

①條件"比月|>2a”是否成立；②要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定6的值），注意

a2+b2=/的應(yīng)用.

知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)

雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)

22

標(biāo)準(zhǔn)方程-7-yr=1(^>0,Z?>0)斗一占=1(。>0,10)

abab

W'4'

圖形

a

焦點(diǎn)坐標(biāo)耳(-c,0)，E(GO)耳(0,-c),居(0,c)

對(duì)稱性關(guān)于龍，y軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

頂點(diǎn)坐標(biāo)A(-。,0),4(〃,0)4(0,a),4(0,-。)

范圍|x|>a3"

實(shí)軸、虛軸實(shí)軸長為2a,虛軸長為2b

可(e>l)

離心率

令鼻一斗=0ny=±?x,人丁fa

令一7——7=0ny=±—%,

漸近線方程abaa2b2b

焦點(diǎn)到漸近線的距離為。焦點(diǎn)到漸近線的距離為人

點(diǎn)（%,%）在雙曲線內(nèi)>1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線內(nèi)

點(diǎn)和雙曲線（含焦點(diǎn)部分）._工（含焦點(diǎn)部分）

/一5=1,點(diǎn)（七,外）在雙曲線上/一屏=1,點(diǎn)（無。,%）在雙曲線上

的位置關(guān)系

點(diǎn)（%,%）在雙曲線外<1,點(diǎn)（%0,%）在雙曲線外

共焦點(diǎn)的雙曲2222

--------—^l(-a2<k<b2)<-----上一=1(-/<k<b2)

線方程a2+kb2-ka2+kb2-k

22

共漸近線的雙彳-卷=2(2x0)

abab

曲線方程

）畔—=1,（%0,%）為切點(diǎn)

切線方程—碧=1,（毛,%）為切點(diǎn)

abab

對(duì)于雙曲線上一點(diǎn)所在的切線方程，只需將雙曲線方程中f換為V換成為y

切線方程

便得.

誓-咨=1,（%,%）為雙曲線外一點(diǎn)浮一等=1,（%,%）為雙曲線外一點(diǎn)

切點(diǎn)弦所在直abab

線方程

點(diǎn)（%,%）為雙曲線與兩漸近線之間的點(diǎn)

設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為A（冷多）,8（尤2,%），2k.

則弦長|A同=+公.國—司=J1+—%|（%W。），

弦長公式

屬-司=4玉+々）2-=吾，其中““”是消“y”后關(guān)于“尤”的一元二次方程

\a\

的“一，，系數(shù).

2b2

通徑通徑（過焦點(diǎn)且垂直于耳色的弦）是同支中的最短弦，其長為

a

雙曲線上一點(diǎn)P（x0,y0）與兩焦點(diǎn)F1,F/肉成的AP￡E成為焦點(diǎn)三角形，

2b2

設(shè)/耳P8=8,盧用=心/月|二石，貝!Jcos0=1-----,

焦點(diǎn)三角形

FJOT《彳

1

01.sind2bf（：為，焦點(diǎn)在無軸上

，%,焦點(diǎn)在y軸上'

an2

焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是

」尸耳H尸圖=2a(2o>2c)

SA噂=；1尸居卜歸目sin〃PK

內(nèi)用2=①「+席『一2|p/*8s4尸工

等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線oa=bo離心率e=&o

等軸雙曲線

兩漸近線互相垂直。漸近線方程為y=±xo方程可設(shè)為爐-丁=2(2w0).

三、拋物線的定義、方程、圖形及性質(zhì)

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線KF^l)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn),

定直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

注：若在定義中有/c/,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為/的垂線，垂足為點(diǎn)尸.

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0),其中一次項(xiàng)與對(duì)

稱軸一致，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開口方向

/yI

圖形z

00X千

標(biāo)準(zhǔn)

y2=2px(p>0)y2=一2Px(p>0)x2=2py(p>0)x2=—2py(p>0)

方程

頂點(diǎn)0(0,0)

范圍x>0,y^Rx<0,ywRy>0,xeRy?0,x^R

對(duì)稱軸X軸y軸

焦點(diǎn)咚。)Fjg,0)尸(o,g尸(。,_9

離心率e=l

p

準(zhǔn)線方程r-px--TT

22

焦半徑

ATm+—AF=-%]+—AF=y'+2AF=-y,+4

A?,%)121212

四、直線與曲線的聯(lián)立

22

(1)橢圓0+多=1(。>力>0)與直線/:y=Ax+m相交于AB兩點(diǎn)，設(shè)人(%，％),B(x2,y2)

ab

匕匚1

2122222222

<ab,(b+ka)x+2akmx+^m-ab=0

y=kx+m

22

橢圓=+與=1(?！?方〉0)與過定點(diǎn)0,0)的直線/相交于？16兩點(diǎn)，設(shè)為x=a+m，如此消去不，

ab

［22

Z+工=1

保留y,構(gòu)造的方程如下：\a2b1，(^2+t2b2)y2+2b2tmy+Z?2m2-a2b2=0

x=ty+m

注意：

①如果直線沒有過橢圓內(nèi)部一定點(diǎn)，是不能直接說明直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)的，一般都需要擺出△>(),

滿足此條件，才可以得到韋達(dá)定理的關(guān)系.

②焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線的關(guān)系，雙曲線與直線的關(guān)系和上述形式類似，不在贅述.

(2)拋物線丁=2p尤(°>0)與直線x=Zy+相相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A(x,,%),B(x2,y2)

聯(lián)立可得=2p(^+zn),△>()時(shí)，］%+乃2Pt

〔%%=-2p〃z

特殊地，當(dāng)直線至過焦點(diǎn)的時(shí)候，即根=3,yj,=_2p"，=_p2,豈.五=^p2,因?yàn)樗麨橥?/p>

22p2p4

徑的時(shí)候也滿足該式，根據(jù)此時(shí)A、5坐標(biāo)來記憶.

拋物線爐=2py(p>0)與直線丁=區(qū)+相相交于。、。兩點(diǎn)，設(shè)C(X1,y)，D(/，%)

聯(lián)立可得尤2=2°(丘+加)，A>。時(shí)，1%+x：2p左

［玉％2=_2P根

注意：在直線與拋物線的問題中，設(shè)直線的時(shí)候選擇形式多思考分析，往往可以降低計(jì)算量.開口向

上選擇正設(shè)；開口向右，選擇反設(shè)；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分析.

總結(jié)：韋達(dá)定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們?cè)谔幚砝缦蛄繂栴}，面積問題，三點(diǎn)共

線問題，角度問題等?？純?nèi)容的時(shí)候，要把題目中的核心信息，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)，轉(zhuǎn)化為可以使用韋達(dá)定

理的形式，這也是目前考試最?？嫉姆绞?

根的判別式和韋達(dá)定理

22

0+斗=1(。>6>0)與y=kx+m聯(lián)立，兩邊同時(shí)乘上a2b2即可得到

ab

(a2k2+b1)x2+2krm2x+tz2(m2-Z?2)=0,為了方便敘述，將上式簡記為+&+。=0.該式可以看成一

個(gè)關(guān)于元的一元二次方程，判別式為A=4//(a2左2+。2—機(jī)2)可簡單記4//(A—加2).

同理、"+[=1(〃>b>0)和x=Z>+相聯(lián)立(a2+t2b2)y2+2b2tmy+b2m2-c^b1=0,為了方便敘述，將

ab

上式簡記為Ay?+為+。=0,A=4〃2/(Q2+//_〃)，可簡記4a2/5一病).

/與。相離oAvO;/與。相切oA=0；/與。相交oA>0.

注意：(1)由韋達(dá)定理寫出玉+%2=-0，XX2=C，注意隱含條件A>0.

AA

(2)求解時(shí)要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意.

(3)如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把力,/互換位置即可.

(4)直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，只要把〃換成一82即可；

焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，把/換成一〃即可，加換成層即可.

(5)注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用公判斷根的關(guān)系，因?yàn)榇饲闆r下

往往會(huì)有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根(一般為交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的范圍限制)，所以在遇到兩條二

次曲線交點(diǎn)問題的時(shí)候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標(biāo).

五、弦長問題

設(shè)〃(無1,%),N(X2,%)根據(jù)兩點(diǎn)距離公式\MN\=5(--%)2+(乂-%)2.

(1)若Af、N在直線y=+上，代入化簡，得|ACV|=+-引.

(2)若A/、N所在直線方程為x="+代入化簡，得|M2V|=Jl+產(chǎn)|乂一%|

(3)構(gòu)造直角三角形求解弦長，|MN|=EF.其中左為直線MN斜率，a為直線傾斜

|cosaIIsinaI

角.

注意:(1)上述表達(dá)式中，當(dāng)為左w0,/wwO時(shí)，mk=1.

(2)直線上任何兩點(diǎn)距離都可如上計(jì)算，不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用.

(3)直線和曲線聯(lián)立后化簡得到的式子記為Ax?+&+c=0(A*0),判別式為△=3?-4AC,A>0時(shí)，

~~~CyjB--4ACS

?-------------------------------------__------------.利用求根公式推導(dǎo)也很方便，使用此方法

A|A|⑷

在解題化簡的時(shí)候可以大大提高效率.

(4)直線和圓相交的時(shí)候，過圓心做直線的垂線，利用直角三角形的關(guān)系求解弦長會(huì)更加簡單.

(5)直線如果過焦點(diǎn)可以考慮焦點(diǎn)弦公式以及焦長公式.

中點(diǎn)弦問題

(1)M是橢圓二+馬=1(。>6>0)的一條弦，中點(diǎn)加伍,％),則鉆的斜率為-",

abayQ

運(yùn)用點(diǎn)差法求>16的斜率；設(shè)A（XQJ,8（%，%）（龍產(chǎn)％），A，8都在橢圓上,

2_22_2

,兩式相減得入+%二%=0

ab

所以&+%)(=-%)+5+%)5-%)=0

2

〃2Z?

故心B=

22

（2）運(yùn)用類似的方法可以推出；若AB是雙曲線當(dāng)=1Q>6>0）的弦，中點(diǎn)M（x。,%）,則

ab

鼬=輅；若曲線是拋物線y2=2px（"0）,貝帆§=￡

a%%

重要題型

題型一圓錐曲線的定義及方程

22

【例1】已知圓錐曲線CA的方程：=。+上=1.當(dāng)加、"為正整數(shù)，且相<〃時(shí)，存在兩條曲線￡“、C,、,

9-k4—左

其交點(diǎn)P與點(diǎn)4-6,。）、區(qū)（石⑼滿足則滿足題意的有序?qū)崝?shù)對(duì)（根,〃）共有對(duì).

22

【例2】已知橢圓C:±+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為居，區(qū),M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：

32一

（無-5>+（y-3）2=1上任意一點(diǎn)，則|加|—|町|的最小值為.

反思總結(jié)

求橢圓的方程問題，一般有如下兩種解決途徑：

（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定區(qū)"的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程.

（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在x軸還是y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出。力,c

的方程組，解出從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.

求雙曲線的方程問題，一般有如下兩種解決途徑：

（1）在已知方程類型的前提下，根據(jù)題目中的條件求出方程中的參數(shù)a,b,c,即利用待定系數(shù)法求方程.

（2）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足的條件，來確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，然后求解方程中的參數(shù)，即利用定義法求方

程.

求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為：

（1）先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點(diǎn)位置：

（2）根據(jù)題目條件列出p的方程

（3）解方程求出0,即得標(biāo)準(zhǔn)方程

鞏固訓(xùn)練：

22

1.已知4,8是橢圓上+匕=1的左，右焦點(diǎn)，尸是橢圓上任意一點(diǎn)，過用引/耳尸居的外角平分線的垂線，

3625-

垂足為。，則。與短軸端點(diǎn)的最近距離為.

2.已知橢圓獲+丁=1,點(diǎn)尸是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0）,貝力尸川的最小值為

22

3.已知橢圓方程十+4=1,尸是其左焦點(diǎn)，點(diǎn)A（L1）是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，若|引|+盧刊的

最大值為％ax，最小值為。min，那么以x+Anin=（）

A.4A/3B.4C.8D.

4.平面內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M及兩定點(diǎn)A,B.設(shè)2+4為定值，q：點(diǎn)”的軌跡是以A,2為焦點(diǎn)的橢

圓.那么（）

A.p是q的充分不必要條件

B.p是q的必要不充分條件

C.p是q的充要條件

D.p既不是q的充分條件，又不是q的必要條件

5.分別求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴兩個(gè)焦點(diǎn)分別是耳（-3,0）,月（3,0）,橢圓上的點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)的距離之和等于8；

（2）兩個(gè)焦點(diǎn)分別是用（0,-4）,與（0,4）,并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)（若，-君）.

題型二圓錐曲線中的焦點(diǎn)三角形

22

【例3】（多選）已知橢圓C:1r+}=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為kF2,點(diǎn)尸在C上，且歸耳|的最

大值為3,最小值為1,則（）

A.橢圓C的圓心率為g

B.白尸工片的周長為4

C.若NB尸1=60。，貝亞尸弱片的面積為百

D.若怛劇股|=4,則4y竭=60。

2

【例4】已知點(diǎn)匕，尸2是雙曲線C:/一匕=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸是雙曲線C右支上一點(diǎn)，過點(diǎn)F?向/耳尸工

一3一一

的角平分線作垂線，垂足為點(diǎn)。，則點(diǎn)A（-6,1）和點(diǎn)。距離的最大值為（）

A.2B.77C.3D.4

反思總結(jié)

焦點(diǎn)三角形的問題常用定義與解三角形的知識(shí)來解決，對(duì)于涉及橢圓上點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)將距離問題常用定

義，即|PFi|+|PF2|=2a.

對(duì)于題中涉及雙曲線上點(diǎn)到雙曲線兩焦點(diǎn)距離問題常用定義，即||PFI|—|PF2||=2"，在焦點(diǎn)三角形面積問題中

11

若已知角，則用SAPF[F2=5|PFI|，PF2、in仇IIPF1I—|PF2||=2a及余弦定理等知識(shí)；若未知角，則用SAPFF2=5?2Ciyo|.

鞏固訓(xùn)練

1.（多選）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，月，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從尸2發(fā)出的光線加射在雙曲

線右支上一點(diǎn)尸，經(jīng)點(diǎn)尸反射后，反射光線的反向延長線過用；當(dāng)尸異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)P處的

切線平分/耳P&.若雙曲線C的方程為[-1=1,則下列結(jié)論正確的是（）

169

B.當(dāng)機(jī)_L〃時(shí)，附卜|叫=36

C.當(dāng)〃過點(diǎn)。（7,5）時(shí)，光線由F?到戶再到。所經(jīng)過的路程為5

D.若點(diǎn)T坐標(biāo)為（1,0）,直線尸7與C相切,則|尸閭=16

22

2.已知尸是橢圓C:'+《=l的左焦點(diǎn)，過尸作直線/交橢圓于A8兩點(diǎn)，貝1Ml+4忸刊的最小值

為.

3.已知雙曲線CJ-/=l(a>0步>0)的離心率為2,左、右焦點(diǎn)分別為片、F2,且可到漸近線的距離為3,

過F?的直線與雙曲線C的右支交于A、B兩點(diǎn)，△&/=；&和△班瑞的內(nèi)心分別為M、N,則|MV|的最小值

為.

22

4.已知橢圓C：3+4=1的左、右焦點(diǎn)分別為九工，〃為橢圓C上任意一點(diǎn),N為圓E：(x-3)2+(y-2)2=l

上任意一點(diǎn)，則|肱V|Tf|的最小值為-

5.已知入，B分別為橢圓W：工+;/=1的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓W上的一點(diǎn).

4'

⑴若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,m)(zn>0),求△BME?的面積；

(2)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xo,刃)，且是鈍角，求橫坐標(biāo)雙的范圍.

22

6.如圖，雙曲線c：j一2=1的左、右焦點(diǎn)分別為％尸2,P為C的右支上一點(diǎn)，且|尸口=閨耳|,求笆

916

的面積.

題型三圓錐曲線的性質(zhì)

22

［例5］如圖，把橢圓三+匕=1的長軸AB分成10等份，過每個(gè)分點(diǎn)作無軸的垂線分別交橢圓的上半部分于

43

點(diǎn)6,P29P99工是左焦點(diǎn),則由尸|+囚尸|+…+內(nèi)尸|()

反思總結(jié)

圓錐曲線的性質(zhì)是其自身固有的本質(zhì)屬性，涉及元素多，包括點(diǎn)（中心、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)）、直線（對(duì)稱軸、漸近線、

準(zhǔn)線等）取值范圍、離心率等，公式多,關(guān)系雜，其中離心率問題是高考考查的熱點(diǎn)之一

使用橢圓的性質(zhì)解決問題是注意是用橢圓的對(duì)稱性解決問題，發(fā)現(xiàn)隱藏條件.

處理雙曲線的問題的時(shí)候，如果需要畫圖，注意作圖規(guī)范，結(jié)合圖象分析，另外因?yàn)殡p曲線有兩條漸近線，

所以要分清楚，到底是點(diǎn)在雙曲線上還是漸近線上，切勿搞混.

在處理拋物線的考題的時(shí)候，要更加注意定義優(yōu)先原則，考察頻率更高，很多問題用上拋物線定義可以簡

化計(jì)算.

鞏固訓(xùn)練

22

1.橢圓上+乙=1與直線y=2x+l相交于A,2兩點(diǎn)，C,D兩點(diǎn)在橢圓上，如果四邊形ABCD為平行四邊

49

形，則直線8的方程為（）

A.y=2x+lB.y=2x-l

C.y=-—x+lD.y=--x-l

22

2.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線。：丁=8無2為了軸正半軸上一點(diǎn)，線段OP的垂直平分線/交。于A5

兩點(diǎn)，若NQ4P=120。，則四邊形。4總的周長為（）

A.64折B.64C.80A/3D.80

3.如圖，橢圓的中心在原點(diǎn)，長軸44,在x軸上.以A、A為焦點(diǎn)的雙曲線交橢圓于C、D、口、G四點(diǎn)，

且|cr>|=344j.橢圓的一條弦AC交雙曲線于E,設(shè)翌=2,當(dāng)時(shí)，雙曲線的離心率的取值范圍

2EC34

為.

4.如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分，過

對(duì)稱軸的截口8AC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)打上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)為上.由橢圓一個(gè)

焦點(diǎn)均發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)外.已知BClFtF2,|/-B|=V2cm,

閨閭=4cm.

（1）如圖建立平面直角坐標(biāo)系，求截口區(qū)4＜7所在的橢圓的方程；

（2）寫出與（1）中所求形狀相同，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓G的方程（直接寫出，不需要寫過程）；

（3）設(shè)過點(diǎn)（0,3）的直線/與橢圓G交于不同的兩點(diǎn)M,N,且N與坐標(biāo)原點(diǎn)。構(gòu)成三角形，求△MON面

積的最大值.

題型四離心率問題

22

［例6］已知橢圓C：齊=1（。＞6＞。）的上頂點(diǎn)為8,兩個(gè)焦點(diǎn)為片，F(xiàn)”線段的垂直平分線過點(diǎn)匕,

則橢圓的離心率為.

反思總結(jié)

求離心率的本質(zhì)就是探究a,c之間的數(shù)量關(guān)系，知道a,b,c中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出e

的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標(biāo)法.

鞏固訓(xùn)練

22

1.已知圓a：/+v與橢圓c?：A+2_=1^>&>0）,若在橢圓c?上存在一點(diǎn)尸，使得由點(diǎn)P所作的

圓C1的兩條切線的夾角為60。，則橢圓c2的離心率的取值范圍是（）

手3D.卓）

2.設(shè)點(diǎn)廠為雙曲線。:。-￡=1伍>0,6>0）的右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與雙曲線C的漸近

線交于兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)。）.若［A耳耳，則雙曲線C的離心率為（）

A.72B.73C.2D.75

3.已知斜率為2的直線/經(jīng)過雙曲線￡-￡=1的上焦點(diǎn)/，且與雙曲線的上、下兩支都相交，則雙曲線的

3ab

離心率e的取值范圍是.

4.橢圓5+g=l（a>6>0）和圓/+（c為橢圓的半焦距），對(duì)任意的閆I?恒有四個(gè)交點(diǎn),

題型五直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

22

［例7］已知橢圓W:￡+}=1（°>6>0）的離心率為左、右焦點(diǎn)分別為片,耳，過乙且垂直于x軸的直線

被橢圓W所截得的線段長為3.

（D求橢圓W的方程；

24

（2）直線y=kx（k豐0）與橢圓W交于AB兩點(diǎn),射線AFX交橢圓W于點(diǎn)。，若SAABC=-,求直線AC的方程.

【例8】（多選）已知拋物線。：/=2/（0>0）的準(zhǔn)線為/：>-!,焦點(diǎn)為凡過點(diǎn)廠的直線與拋物線交于

網(wǎng)占,%）,。仇,力）兩點(diǎn)，3，/于4，則下列說法正確的是（）

A.若占+%=5,貝“P@=7

B.以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線/相切

C.設(shè)加（0,1）,則1PM+|尸制

D.過點(diǎn)加（0,1）與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條

反思總結(jié)

方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（xi,yi）,（X2,》2）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算△；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為尤I+M、xix2（或力+”、yiy2）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

鞏固訓(xùn)練

22

1.已知橢圓二+2=1（〃>6>0）,直線/依次交X軸、橢圓「、y軸于點(diǎn)A、尸、。、3四點(diǎn).若|AP|=|QB|,

ab

且直線/斜率"=1.則橢圓「的離心率為（）

A.1B.昱C.3D.在

2322

22

2.設(shè)A,8為雙曲線2-匕=1右支上的兩點(diǎn)，若線段A8的中點(diǎn)為“（1,2）,則直線的方程是（）

816

A.%+y-3=0B.2x+y-3=0C.x-y+l=0D.x-2y+3=0

3.已知直線/與拋物線C:y=2/相交于A2兩點(diǎn)，若線段A3的中點(diǎn)坐標(biāo)為。,4）,則直線/的方程為（）

A.4%—y=0B,2x-y=0

C.8x—y—6=0D.x-2y+3=0

4.設(shè)拋物線C9=2加（夕>0）的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線/與無軸的交點(diǎn)為0,A,8兩點(diǎn)在。上，直線4x-5y+l=0

依次經(jīng)過點(diǎn)A,B,D,直線A尸與。的另一個(gè)交點(diǎn)為。則下列結(jié)論正確的是（）

A.p=—B.IAFI=—

2114

D.|A￡|=—

c.I3f|1116

r0

5.已知橢圓C:'+匕=1,左右焦點(diǎn)分別為匕，F(xiàn)2,直線/與橢圓交于A,8兩點(diǎn)，弦AB被點(diǎn)瓶,當(dāng)平

1647

分.

(1)求直線/的方程;

(2)求弦的長.

22

6.已知雙曲線=1(。>0,6>0)的焦距為6,且虛軸長是實(shí)軸長的&倍.

⑴求雙曲線的方程；

(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)尸且傾斜角為:的直線/與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),求|AB|.

22

7.如圖，橢圓宏+方=1(。>6>0)與過A(2,0),3(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)尸，且橢圓的離心率

22

8.已知雙曲線C:，-4=1(。>0,6>0)的離心率為2,右焦點(diǎn)b到一條漸近線的距離為

(1)求雙曲線C的方程；

(2)已知點(diǎn)*0,b),過點(diǎn)尸，g，。］作直線/與雙曲線C相交于M,N兩點(diǎn)，若忸閘=忸叫，求直線/的方程.

題型六圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題

【例9】已知橢圓C的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在，軸上，離心率e=g,且過點(diǎn)口3,2).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，且直線叢,尸8的傾斜角互補(bǔ)，判斷直線AB的斜率是否為定值？若是，求

出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

反思總結(jié)

(1)瞄準(zhǔn)圖象“對(duì)稱”的特征，讓視角從客觀走進(jìn)微觀

(2)抓住“點(diǎn)在直線上”的特點(diǎn)，讓問題從發(fā)現(xiàn)走向解決

(3)善于“溯本求源”，讓問題從解決走向貫通

解決直線和圓錐曲線位置關(guān)系中的定值、定點(diǎn)問題，解答時(shí)困難在于計(jì)算的復(fù)雜性，且都是關(guān)于字母參數(shù)

的計(jì)算，計(jì)算量較大，要十分細(xì)心才可以.

鞏固訓(xùn)練

22

1.已知橢圓C：土+方=1(0>6>0)過點(diǎn)(2,3),且C的右焦點(diǎn)為尸(2,0).

(1)求C的離心率；

(2)過點(diǎn)f且斜率為1的直線與C交于M,N兩點(diǎn)，P直線x=8上的動(dòng)點(diǎn)，記直線PM,PN,P尸的斜率分別

為kpM,kpN,kPF,證明：kpM+kpN=2kpF.

2.如圖，已知點(diǎn)工(3,一句和點(diǎn)(卜5,何在雙曲線C:0珠=l(a>0力>0)上，雙曲線C的左頂點(diǎn)為A,

過點(diǎn)"a?,。)且不與x軸重合的直線/與雙曲線C交于尸，。兩點(diǎn)，直線AP,AQ與圓分別交

于M,N兩點(diǎn).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線AP,A。的斜率分別為勺，k2,求左他的值;

(3)證明：直線MN過定點(diǎn).

3.已知拋物線y2=2px(p>0)上有兩點(diǎn)且直線A2過點(diǎn)(8,0),-403=90。.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若拋物線上有一點(diǎn)。，縱坐標(biāo)為4,拋物線上另有兩點(diǎn)且直線與QN的斜率滿足

kQM+kQN=0,AQMN重心的橫坐標(biāo)為4,求直線MN的方程.

4.已知E是拋物線C：y2=2/(p>0)的焦點(diǎn)，M(3,t)是拋物線上一點(diǎn)，且性困=4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)直線/與拋物線C交于A,8兩點(diǎn)，若西.麗=T(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，則直線/否會(huì)過某個(gè)定點(diǎn)？若是,

求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

題型七圓錐曲線的定直線問題

【例10］己知橢圓C：￡+￡=l的離心率為變.

2b22

⑴求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，直線/：>=履-1與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為尸(點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上)，點(diǎn)尸關(guān)于無軸

的對(duì)