幾何壓軸題-2023年江蘇鹽城中考數(shù)學復習分類匯編（解析版）

專題05幾何壓軸題

1.(2022?鹽城)【經(jīng)典回顧】

梅文鼎是我國清初著名的數(shù)學家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法.圖1是其中一種方

法的示意圖及部分輔助線.

在AABC中，ZACB=90°,四邊形ACH7和班8c分別是以RtAABC的三邊為一邊的正方形.延

長田和R7,交于點3連接LC并延長交ZJE于點J,交AB于點、K,延長ZM交〃于點

(1)證明：AD=LC；

(2)證明：正方形ACH7的面積等于四邊形4CLM的面積；

(3)請利用(2)中的結(jié)論證明勾股定理.

【遷移拓展】

(4)如圖2,四邊形ACm和瓦，GC分別是以AABC的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在鉆下方是否存

在平行四邊形ADEB，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形ACW、哥GC的面積之和.若存在，作

出滿足條件的平行四邊形(保留適當?shù)淖鲌D痕跡)；若不存在，請說明理由.

【詳解】(1)證明：如圖1,連接HG,

???四邊形ACW,ABED和5a汨是正方形，

:.AC=CH,BC=CG,ZACH=ZBCG=90°,AB^AD,

?.?NACB=90。，

/.ZGCH=360°-90°-90°-90°=90°,

/.Z.GCH=ZACB，

:2CB=NHCG(SAS),

.\GH=AB=AD,

???NGCH=NCHI=NCGL=90。,

二.四邊形CGLH是矩形，

/.CL=GH,

AD=LC；

(2)證明一：\-ZCAI=ZBAM=90°,

:.ZBAC=ZMAI,

\-AC=AI,ZACB=ZI=90°,

:.\ABC=\AMI{ASA)i

由(1)知：AACB^AHCG,

,\AAMI=AHGC,

???四邊形CGLH是矩形，

-S^CHG=S^cHL'

,,S2VIM/=S^cHL'

：.正方形ACHI的面積等于四邊形ACLM的面積；

證明二：?.?四邊形CGLH是矩形，

DE

PH=PC,

:.ZCHG=ZLCH,

ZCAB=Z.CHG=ZLCH,

ZACH=90°,

ZACK+ZLCH=90°,

ZACK+ZCAK=90°,

.-.ZAKC=90°,

:.ZAKC=ZBAD=90°,

:.DM//LK,

-.-AC//LI,

.?.四邊形ACLM是平行四邊形，

,正方形ACW的面積=EJACLH的面積=ACC”,

正方形ACHI的面積等于四邊形ACLM的面積；

（3）證明：由正方形"）座可得AB//DE,

又AD//LC,

四邊形ADJK是平行四邊形，

由（2）知，四邊形ACLM是平行四邊形，

由（1）知：AD=LC,

.-.rjADJK的面積FACLM的面積=正方形ACHI,

延長￡?交〃?于Q,

同理有nKJEB的面積FCBQL的面積=正方形BFGC,

???正方形ACHI的面積+正方形BFGC的面積=EJADJK的面積+aKJEB的面積=正方形ADEB,

:.AC2+BC2^AB2；

（4）解：作圖不唯一，如圖2即為所求作的QADEB.

說明：如圖2,延長陽和FG交于點L,以A為圓心CL為半徑畫弧交由于點加，在的延長線上取

AD=AM,作oADEB,作射線LC交AB于K,交DE于J,由圖可知：射線LC把oADEB分成QADJK

和口BK/E,根據(jù)同底等高可得：CJADJK,DAMLC,DACHZ的面積相等，同理QBKKE,口CBQL,nBCGF

的面積相等（。是直線EB與FG的交點），所以平行四邊形ADEB的面積等于平行四邊形ACHZ、加GC的

面積之和.

2.（2020?鹽城）木門常常需要雕刻美麗的圖案.

（1）圖①為某矩形木門示意圖，其中長為200厘米，AD長為100厘米，陰影部分是邊長為30厘米的

正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心點P處，在雕刻時始終保持模具的一邊緊貼木門的一邊，所刻

圖案如虛線所示，求圖案的周長；

（2）如圖②，對于（1）中的木門，當模具換成邊長為306厘米的等邊三角形時，刻刀的位置仍在模具的

中心點尸處，雕刻時也始終保持模具的一邊緊貼木門的一邊，使模具進行滑動雕刻.但當模具的一個頂點

與木門的一個頂點重合時，需將模具繞著重合點進行旋轉(zhuǎn)雕刻，直到模具的另一邊與木門的另一邊重合.再

滑動模具進行雕刻，如此雕刻一周，請在圖②中畫出雕刻所得圖案的草圖，并求其周長.

【答案】見解析

【詳解】(1)如圖①，過點P作PELCD于點E,

B'-------------------'C

?.?點P是邊長為30厘米的正方形雕刻模具的中心,

/.PE=\5cm,

同理：與AB之間的距離為15cm,

AD與4)之間的距離為15cm,

B'C與之間的距離為15cm，

A!B'=C'D=200-15-15=170(cm),

FC=A!D=100-15-15=70(cm),

=

‘C四邊形A'B'CO(170+70)x2=480cm,

答：圖案的周長為480cm；

(2)連接PE、PF、PG,過點尸作PQ_LCD于點Q,如圖②

??,尸點是邊長為3。島形的等邊三角形模具的中心，

：.PE=PG=PF,N尸GF=30。，

???PQLGF,

GQ=FQ=15y/3cm,

PQ=G2*tan30°=15cm,

PG_---------_3QC/TI,

cos30°

當AEFG向上平移至點G與點。重合時，

由題意可得，尸G繞點。順時針旋轉(zhuǎn)30。，使得EG與AD邊重合,

DP繞點。順時針旋轉(zhuǎn)30°到DP",

同理可得其余三個角均為弧長為5兀cm的圓弧，

C=(200-300+100-30百)義2+5萬x4=600—120若+20萬(c〃z),

答：雕刻所得圖案的周長為(600-120有+20萬)c".

3.(2019?鹽城)如圖①是一張矩形紙片，按以下步驟進行操作：

(I)將矩形紙片沿上折疊，使點A落在。邊上點E處，如圖②；

(II)在第一次折疊的基礎(chǔ)上，過點C再次折疊，使得點3落在邊CD上點處，如圖③，兩次折痕交于

點O;

(III)展開紙片，分別連接。8、OE、OC、FD,如圖④.

【探究】

(1)證明：AOBC=AOED；

(2)若AB=8,設(shè)為x,OB?為y,求y關(guān)于％的關(guān)系式.

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：由折疊可知，AD=ED,ZBCO=ZDCO=ZADO=ZCDO=45°

:.BC=DE,ZCOD=90%OC=OD,

在△05。二AOED中,

OC=OD

<NOCB=/ODE,

BC=DE

,\AOBC=AOED(SAS)；

(2)過點O作OH_LCD于點

OE=OB,

,;BC=x,貝!j9=小=尤，

.,.CE=8—x,

?.?OC=OD,NCOD=90。

1.CH=—CD=—AB=—x8=4,

222

OH=-CD=4,

2

,\EH=CH-CE=4-(8-x)=x-4

在RtAOHE中，由勾股定理得

OE2=OH2+EH2,

SPOB2=42+(X-4)2,

r.y關(guān)于尤的關(guān)系式：y=x2-8x+32.

4.（2018?鹽城）【發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知等邊AABC,將直角三角板的60。角頂點。任意放在3C邊上（點。

不與點3、。重合），使兩邊分別交線段回、AC于點E、F.

（1）若AB=6,AE=4,BD=2,貝i]CF=4；

（2）求證：AEBZX^ADCF.

【思考】若將圖①中的三角板的頂點。在3c邊上移動，保持三角板與邊AB、AC的兩個交點E、尸都存

在，連接EF,如圖②所示，問：點。是否存在某一位置，使ED平分NfiEF且ED平分NCFE?若存在，

求出處的值；若不存在，請說明理由.

BC

【探索】如圖③，在等腰AABC中，M=AC,點。為3c邊的中點，將三角形透明紙板的一個頂點放在

點。處（其中/MON=N3）,使兩條邊分別交邊鉆、AC于點E、F（點E、F均不與AABC的頂點重

合），連接設(shè)ZB=（z,則AAER與AA5c的周長之比為（用含a的表達式表示）.

圖①圖②圖③

【答案】見解析

【詳解】（1）解：:AABC是等邊三角形，

:.AB=BC^AC=6,NB=NC=60°.

■.■AE=4,

BE=2,

則

.?.ABDE1是等邊三角形,

.\ZBED=60°,

又???/瓦)產(chǎn)=60。，

二ZEDB=ZB=60。.

ZCDF=180°-ZEDF—ZB=60。，

則ZCDF=ZC=6O°,

.?.ACD尸是等邊三角形，

,\CF=CD=BC-BD=6-2=4.

故答案是：4；

(2)證明：如圖①，?.?N￡D尸=60。，4=60。，

:.NCDF+BDE=120。,ZBED+ZBDE=124。,

.\ZBED=ZCDF.

又ZB=NC=60。，

:.AEB4ADCF；

【思考】存在，如圖②，過。作DGLEF,DNLCF,垂足分別是M、G、N,

?.?ED平分ZBEF且陽平分ZCFE.

:.DM=DG=DN.

又ZB=NC=60。，ZBMD=ZCND=90°,

,\ABDM=ACDN,

，BD=CD,即點。是的中點，

?BD1

??=?

BC2

【探索】如圖③，連接49,作OG_L跖，ODLEF,OH工CF,垂足分別是G、D、H.

則ZBGO=ZCHO=90°,

\-AB=AC,O是的中點，

/.ZB=ZC,OB=OC,

.\AOBG=AOCH,

:.OG=OH,GB=CH,ZBOG=ZCOH=90°-a,

則ZGOH=180°-(ZBOG+ZCOH)=2a,

/.AEOF=ZB=a

由(2)題可猜想應(yīng)用￡F=￡D+r>b=GE+?/(可通過半角旋轉(zhuǎn)證明),

則C^AEF=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG,

設(shè)AB=/n,則03=相cost/,GB=mcos2a.

CAABC2(AB+OB)AB+OBm+mcosa

故答案是：l-cosa.

5.（2022?鹽城一模）【問題背景】

在一次數(shù)學興趣小組活動中，小軍對蘇科版數(shù)學九年級教材第42頁的第4題很感興趣.

教材原題：如圖1,BD、CE是AABC的高，M是3C的中點.點、B、C、D、E是否在以點M為圓心

的同一個圓上？為什么？

小軍在完成此題解答后提出：如圖2,若BD、CE的交點為點O,則點A、D、O、E四點也在同一個圓

上.

（1）請對教材原題或小軍提出的問題進行解答.（選擇一個解答即可）

【直接應(yīng)用】

當大家將上述兩題都解決后，組員小明想起了在七年級通過畫圖歸納出的一個結(jié)論：三角形的三條高所在

直線交于同一點，可通過上面的結(jié)論加以解決.

（2）如圖3,AABC的兩條高BD、CE相交于點O,連接40并延長交3c于點尸.

求證：針為AABC的邊3c上的高.

【拓展延伸】

在大家完成討論后，曾老師根據(jù)大家的研究提出一個問題：

（3）在（2）的條件下連接DE、EF、FD（如圖4）,設(shè)NDEF=a,則NAO3的度數(shù)為_90°+|?_.（ffl

含a的式子表示）

【答案】見解析

【詳解】（1）選擇教材原題，

點、B、C、D、E是否在以點“為圓心的同一個圓上.

如圖，連接ME、MD,

:BD、CE是AABC的高，M是3c的中點，

；.ME=MB=MC=MD,

:.點B、C、D、E是否在以點〃為圓心的同一個圓上.

（2）如圖，連接DE,由點8、C、D、E四點共圓得=

由點A、D、。、E四點共圓得

:.ZECB=ZBAF,

-.■ZBEC=90°,

ZECB+ZABF=90°,

:.ZBAF+ZABF=90°,

:.ZBFA=90°,

:.AF為AABC的邊BC上的高.

(3)如圖，■.■ZBEO=ZBFO=90°,

.?.點3、F、O、E在以點N為圓心的同一個圓上,

:.ZFBO=ZFEO,

?.?由（1）證得點3、C、D、E在同一個圓上，

:"FBO=NCED,

:.ZFEO=ZCED,

同理可證：NEFO=ZAFD,NEDO=NFDO,

.,.點。是AOEF的內(nèi)心.

ZAOB=90°+-a.

2

6.（2022?建湖縣一模）【問題再現(xiàn)】蘇科版《數(shù)學》八年級下冊第94頁有這樣一題：

如圖1,在正方形ABCD中，E,F,G分別是BC,CD,AD上的點，GEYBF,垂足為那么GE

=_BF.（填或“>”）

【遷移嘗試】如圖2,在5x6的正方形網(wǎng)格中，點A,B,C,。為格點，互交CD于點〃.求N4MC

的度數(shù)；

【拓展應(yīng)用】如圖3,點尸是線段至上的動點，分別以Q,為邊在AB的同側(cè)作正方形APCD與正

方形PBEF,連接上分別交線段BC,PC于點N.

①求NLVWC的度數(shù)；

②連接AC交DE于點"，直接寫出上的值為

BC

圖1圖2圖3備用圖

【答案】見解析

【詳解】【問題再現(xiàn)】"GELBF,

:.ZBMG=90。,

將線段G￡向左平移至AL處，交BF于I,

:.AL=GE,ZAIB=ZBMG=90°,

.\ZBAL^ZABI=9Q°,

???四邊形ABCD為正方形，

:.AB=BC,ZABC=ZC=90°,

.-.ZCBF+ZAB/=90°,

:.ZBAL=ZCBF,

:.AABL=ABCF(ASA),

.\AL=BF,

:.GE=BF,

故答案為：=；

【遷移嘗試】將線段AB向右平移至而處，使得點6與點。重合，連接PN,如圖2所示:

:.ZAMC=ZNDC,

設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為單位1,

則由勾股定理可得：DN=<*+U=2若,PD=A/12+32,PN=^+32=A/10,

/.PN2+PD2=DN2,

.?.AZ?W是直角三角形，/DPN=90。,且PN=PD,

.\ZAMC=ZNDC=45°；

【拓展應(yīng)用】①平移線段BC至DK處，連接KE,如圖3所示：

則NDA/C=NXDE,四邊形是平行四邊形,

:.DC=KB,

???四邊形ADCP與四邊形PB跖都是正方形,

.\DC=AD^AP,BP=BE,ZDAK=ZKBE=90°

：.DC=AD=AP=KB,

.?.AG=BP=BE,

在AAKD和AB砍中，

AK=BE

</DAK=ZKBE,

AD=KB

:.\AKD=NBEK{SAS),

:.DK=EK,ZADK=ZEKB,

.?.ZEKB+ZAKD=ZADK+ZAKD=90。,

.\ZEKD=90°f

/.ZKDE=ZKED=45°,

/.ZDMC=Z.KDE=45°；

②如備用圖所示：

-.AC為正方形ADCP的對角線，

:.ZDAC=ZPAC=ZDMC=45°,

AC=yp2AD,

?：ZHCM=ZBCA,

:.ZAHD=ZCHM=ZABC，

/.AADH^AACB,

.PHADAD_yf2

BC~AC~叵AD~2

故答案為它.

2

圖1圖2備用圖

7.（2022?亭湖區(qū)校級一模）小明學習了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，積極思考，利用兩個大小不同的直角三角形與同

學做起了數(shù)學探究活動.如圖1,在AABC與ADEF中，AC=BC=a,ZC=90°,DF=EF=b,(a>b),

ZF=90°.

【探索發(fā)現(xiàn)】將兩個三角形頂點C與頂點廠重合，如圖2,將ADEF繞點C旋轉(zhuǎn),他發(fā)現(xiàn)班與4)的數(shù)量

關(guān)系一直不變，則線段3E與45具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；

【深入思考】將兩個三角形的頂點C與頂點O重合，如圖3所示將繞點C旋轉(zhuǎn).

①當6、F、E三點共線時，連接所、AE,線段班\CF、/此之間的數(shù)量關(guān)系為_BF=AE+CF_；

②如圖4所示，連接AT、AE,若線段AC、EF交于點(9,試探究四邊形AECF能否為平行四邊形？如

果能，求出。、6之間的數(shù)量關(guān)系，如果不能，試說明理由.

【拓展延伸】如圖5,將ADEF繞點C旋轉(zhuǎn),連接AF,取AF的中點連接則的取值范圍

為—(用含。、6的不等式表示).

A

BC(D)

圖5

］A」44

AA

BCEFBC(F)BC(D)BC(D)

圖1圖2圖3圖4

【答案】見解析

【詳解】【探究發(fā)現(xiàn)】BE=AD,BE±AD,理由如下：

如圖1,

圖1

???ZACB=ZAFD=90°,

ZACB-ZACE=ZAFD-ZACE,

:.ZBCE=ZAFD,

在ABCE和AATO中，

BC=AC

</BCE=ZAFD,

CE=FD

:.ABCE=AAFD(SAS),

BE—AD；

【深入思考】@BF^AE+CF,理由如下:

在用上截取FG=EF,可得ACGE是等腰直角三角形,

；.CF=FG=EF,

由【探究發(fā)現(xiàn)】得：BG=AE,

:.BF=BG+GF=AE+CF；

故答案為：BF=AE+CF；

②四邊形AECF可以為平行四邊形，

止匕時OF=OE=1b,OC^OA^-a,

22

?.,NCR)=90°,

OC2=CF2+OF2=b2+(-bf=-b2,

【拓展延伸】如圖3,

延長莊至O,是EO=EF,連接。4,

：.EM=-AO,

2

在RtACOF中，OF=2EF=2b,CF=b,

OC=\[5b,

.?.點。在以C為圓心，J豆的圓上運動，

當點。在AC的延長線上時，AO最大，最大值為：a+J豆，

當點O在射線C4上時，AO最小，最小值為|。-而|,

_a+j5b」”同1

??以以最大一2，""最小一2，

故答案為：1￡二幽強區(qū)wa+45b

22

8.(2022?鹽城二模)以下為一個合作學習小組在一次數(shù)學研討中的過程記錄，請閱讀后完成下方的問題

1-4.

試題分析

(I)如圖1,在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,。是AABC外一點，S.AD=AC.求/加C的度

數(shù).

小明：我發(fā)現(xiàn)試題中有三個等腰三角形，設(shè)NADB=戊,易知/6。=90。-2￡,又因為A0=AC,得

ZADC=450+a,即可算出N3DC的度數(shù).

小麗：我發(fā)現(xiàn)AB=AC=AD.則點3、C、。到點A的距離相等，所以點3、C、D在以點A為圓心、

線段至長為半徑的圓上……

猜想證明

(II)如圖1,在RtAABC中，N54c=90。，AB=AC,點、D、A在3c同側(cè).

猜想：若NBDC=45°,則點O在以點A為圓心、線段鉆長為半徑的圓上.

對于這個猜想的證明，小華有自己的想法：

以點A為圓心，AB長為半徑畫圓.根據(jù)點與圓的位置關(guān)系，知道點?？赡茉凇Ｈ雰?nèi)，或點。在。A上，或

點。在QA外.故只要證明點。不在R4內(nèi)，也不在QA外，就可以確定點。一定在04上.

（III）進一步猜想：

如圖2,在AABC中，NBAC=。,AB=AC,點。、A在3c同側(cè).若ZBDC=°,則點。在以點A

為圓心、線段至長為半徑的圓上.

（IV）對（III）中的猜想進行證明.

問題1.完成（I）中的求解過程；

問題2.補全猜想證明中的兩個猜想：（II）—；（IID—；

問題3.證明上面（III）中的猜想；

問題4.如圖3為某大型舞臺實景投影側(cè)面示意圖，NBOC=90。，點A處為投影機，投影角44C=45。,

折線B-O-C為影像接收區(qū).若影像接收區(qū)最大時（即OB+OC最大），投射效果最好，請直接寫出影像

接收區(qū)最大時03的長

投影為統(tǒng)//

/t

//春

投影光線，

/

I

連三,

-18米”

S3

【答案】見解析

【詳解】問題1：解：小明：如圖1,

圖1

設(shè)NAD3=(z,

■：AB^AD,

AABD—^ADB—a,

/./BAD=180°-(ZABD+ZADB)=180。一2a,

.-.ZG4D=Z&4D-Za4C=180°-2a-90o=90°-2a,

\-AD=AC,

1800ZCAD1800(90

ZADC=ZACn=-=-°-45°+.,

22

:.Z.BDC=ZADC-ZADB^45°+a-a=45°,

.?.點3、C、。在以A為圓心，至長為半徑的圓上，

/.ZBDC=-ZBAC,

2

■.■ABAC=90°,

.-.ZBDC=45°；

問題2：由問題1可知：在RtAABC中，ZfiAC=90°,AB=AC,點、D、A在3c同側(cè),

若N3￡)C=45。，則點。在以點A為圓心、線段長為半徑的圓上，

同理，由問題1可知：在RtAABC中，Nfi4c=90。，AB^AC,點、D、A在3C同側(cè)，

若NBDC=；0°,則點。在以點A為圓心、線段長為半徑的圓上，

故答案為：(II)45°,(III)工0；

2

問題3:

證明：若點。在QA外，如圖3,

圖3

???點石在G)A上，

-.■ZBEC>ZBDC,NBDC=；0,

.,.點。在OA外不成立，

若點。在OA內(nèi)，如圖4,

,點E在0A上

:.ABEC=-AA=-B

22

5L-.-ABEC<ABDC,ZBDC=^/3

.,.點。在O4內(nèi)不成立

綜上所述：點。在0A上；

問題4:

■.■OB+OC..2yJOBxOC,當03=OC時成立，

.?.設(shè)O3=OC=a,

如圖5,過點3作3尸，03交AE于點歹，過點C作CDLOC交班'于點D,連接ZM,以。為圓心，以a

圖5

,BFYOB,CDYOC,ZBOC=90°,

：.四邊形30co是矩形，

■OB=OC,

二.四邊形30co是正方形，

OB=OC=CD—BD=a,

?.?N54C=45。，NBDC=90。，由問題3可知，點A在上，

/.DA.—a,

?.?0石=18,AE=16,

DF=18—a,AF=16—a,

在RtAADF中，AD2^DF2+F^,

a2=(18-a)2+(16-a)2,

解得：a=10或58(不符合題意，舍去)，

影像接收區(qū)最大時OB的長為10,

故答案為：10.

9.(2022?濱?？h一模)在四邊形ABCD中，ZB+ZD=180%對角線AC平分NS4D.

(1)推理證明：如圖1,若NDAB=120。，且ND=90。，求證：AD+AB^AC；

(2)問題探究：如圖2,若㈤4B=120。，試探究AD、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系，

(3)遷移應(yīng)用：如圖3,若NZMB=90。，AD=2,AB=4,求線段AC的長度.

圖1圖2圖3

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：?.?ACf平分NS4D,

/.ZDAC=ZBAC=-/BAD.

2

ZDAB=120°f

,\ZDAC=ZBAC=6O°,

又???N3+ND=180。，ZD=90°,

/.ZB=180°-ZD=180°-90°=90°,

,\ZACD=ZACB=30°,

:.AD=-AC,AB=-AC,

22

:.AD+AB=-AC+-AC=AC.

22

(2)解：AD+AB=AC,理由如下：

在圖2中，過點C作CE_LA。于點石，過點。作CF_LAB的延長線于點尸.

??A。平分NB4￡>,

:.CE=CF,ZDEC=ZCFB=90°.

???ZD+ZABC=180。，ZABC+ZraC=180°,

.\ZD=ZFBC.

ZD=ZFBC

在ABFC與AD石。中，\ZDEC=ZBFC,

CE=CF

.\ABFC=ZDEC(AAS)f

:.DF=BF,

:.AD+AB=AE+DE+AF-BF=AE+AF.

由(1)可知：AE+AF=AC,

:.AD+AB=AC.

(3)解：在圖3中，過點C作。/JLAB于點M,過點C作CNLAO的延長線于點N.

由(2)知：ACDN=ACBM,

:.DN=BM,

:.AD+AB^AN-DN+AM+BM^AN+AM.

-.■ZDAB=9Q°,AC平分ZB4D,

ZNAC=ZMAC=ZACN=45°,

:.AACN,AACN均為等腰直角三角形，

：.AN=AM=CN=—AC,

2

AD+AB^AN+AM=—AC+—AC^yf2AC.

22

又?.,AD=2,AB=4,

ADAB

.-.AC=t=^=3^.

A/2A/2

一D匚D"、、

BA

圖1圖2圖3

10.（2022?鹽城一模）如圖，已知矩形ABCD中，E是邊AD上一點,將AfiDE沿屏;折疊得到AfiFE,連

接DF.

（1）初步探究

如圖1,當絲=1,跖落在直線54上時.

AB

①求證：ZEBA=ZFDA；

②填空：署=二；

（2）深入思考

4D

如圖2,當——砥與邊AO相交時，在班上取一點G,使NS4G=NO4F,AG與所交于點

AB

H.求竺的值（用含〃的式子表示），并說明理由；

AG

（3）拓展延伸

在（2）的條件下，當〃=后，E是4）的中點時，若FDFH=12,求AG的長.

DCD________C

一工

FABAB

圖］圖2

【答案】見解析

【詳解】（1）①證明：如圖1,

N1,

AB

AD=AB,

?.?四邊形ABCD是矩形,

四邊形ABCD是正方形，

,\ZABD=ZADB=45°fDALAB

.\ZDAB=90°，

由折疊可知石=NDB石，BF=BD,ZBFE=ZBDE=45。,

???折疊時BF落在直線BA上，

,\ZFAE=ZDAB=90°,

:.ZAEF=45°=ZBFE，

.\AE=AF,

在AE4B和AE4O中，

AB=AD

<ZEAB=/FAD,

AE=AF

:.AEAB=AFAD(SAS),

.\ZEBA=ZFDA；

②解：由①知：AE=AF,

AE

故答案為：1；

AT7

(2)解：——=幾,理由如下：如圖2,延長BE交。尸于點T,

AG

由折疊可知班垂直平分DF,

:.DT=FT,BTLDF,

ZFDA+ZDET=90°,

???四邊形是矩形，

:.DALAB,

:.ZABE+ZAEB=9(T,

?；ZAEB=ZDET,

:.ZFDA=ZABE,

A.r)

又???ZZMF=Z^4G,——=n(n1),

..ADAF^ABAG,

AFAD

-----=-----=n；

AGAB

(3)解：如圖3,延長BE交DF于點T,連接FG,

?.?E是AD的中點，

:.DE=AE,

由折疊可知跖=七見，BF=BD,

:.EF=DE=AE,

:.ZEDF=ZDFE,ZEAF=ZEFA,

又???S)尸+NDFE+NE4F+NEE4=180。，

/.2(ZDFE+ZEFA)=180°,

.,.ZDFE+ZEFA=9。。,即ZD必=90。，

由(2)知AZMFSA^AG,

:.ZAFD=ZAGB=90°,

FDAFADr-

----=-----=------Yl—y2,

GBAGAB

:.AGLBE,GB=—FD,

2

AF=叵AG=yfixAD=叵AB,

?：BTLFD,

ZDTE=ZAGE=90°,

在AD7E和AAGE中，

/DTE=/AGE

<ZDET=/AEG,

DE=AE

:.ADTE=AAGE(AAS),

:.DT=AG,

設(shè)AG=x(x>0),貝l]OT=x,

由折疊得：BE垂直平分也，

FT=DT=x，F(xiàn)D=2DT=2x，

,\GB^—FD=—x2x=y[2x,

22

/.AF=GB=y[2xf

在RtAAGB中，AB=dAG+BG2=商+(足)2=瓜,

?.?AD=y[2AB,

/.AD=^2xy/3x=y/6x,

???四邊形ABCD是矩形，

:.ZBAD=90°,

BF=BD—VAB2+AD2=+(V6x)2=3x,

\ZBAG=ZDAF,

ZBAG+ZDAG=ZDAF+ZDAG,

ZBAD=ZGAF=90°,

又?.?NAG6=90。，

ZAGB=ZGAF=90°,

:.AF//GB,

又YAF=GB=H,

四邊形ABGF是平行四邊形，

113

FH=BH=-BF=-x3x=-x

2229

又??FDFH=12,

3

/.2x--x=12,

2

即爐=4,

,.,x>0,

:.x=2,

即AG=2.

11.(2022?建湖縣二模)［問題情境］小春在數(shù)學活動課上借助幾何畫板按照下面的畫法畫出了一個圖形：

如圖1,點C是線段4?上一點，分別以AC、4?為底邊在線段鉆的同側(cè)作等腰三角形ACP、等腰三角

形AB。，PC、相交于點￡).當P、。、3在同一直線上時，他發(fā)現(xiàn)：ZR4Q=NCPB.請幫他解釋

其中的道理；

【問題探究］

如圖2,在上述情境下中的條件下，過點C作CE//AP交PB于點、E,若PD=2CD,上4=9,求CE的長.

［類比應(yīng)用］

如圖3,AABC是某村的一個三角形魚塘，點、D、E分別在邊AB、上，AE、CD的交點P為魚塘的

22

釣魚臺，測量知道NC4D=NCZM=67.5。，NCEA=2NB,AD=(40000-20000^)//I,S.DB=2AD.直

接寫出CF的長為—迎也m.

圖1圖2圖3

【答案】見解析

【詳解】（1）\-AP=PC,AQ^BQ,

:.ZPAC=APCA,ZB=ZQAB,

???ZPCA=ZB+NCPB,ZPAC^ZPAQ+ZQAB,

:.ZPAQ=ZCPB；

（2）由（1）可知，ZPAQ=ZCPB,

.\ZPAD=ZCPE,

?.?PD=2CD,PC=9,

,\PA=PC=9,PD=-PC=6,

3

\-CE//PA,

:.ZAPD=ZPCE，

在AR4O和ACPE中，

ZPAD=ZCPE

<AP=PC,

ZAPD=ZPCE

:.APAD=ACPE(ASA),

,\CE=PD=6；

(3)過點。作D"_LAC于點H,

???ZCAD=ZCDA=67.5°,

:.AC=CD,ZACD=1SO°-ZCAD=ZCDA=45°,

在RtACDH中，smZACD=—=—=-^=,

CD272

CD=&DH,

設(shè)DH=k,貝1」人。=8=岳，CH=k,AH=AC-CH=(應(yīng)-l)k,

在RtAADH中，AD1=AH2^DH2,

,40000-20000后=(拒-1)?+k2,

解得，左二100,

AC=100^(m),

過點。作。G//AC交于G,

..ADGB^AACB,

.DGDB_2

AC-AB-3'

DG2

一］00夜一1，

.”_200&/、

..DG----------(/77),

3

由［問題探究］可知A7%D=ACPE,

：.CF^DG^^-/2(tn),

200忘

故答案為:

—-

12.（2022?亭湖區(qū)校級二模）【問題背景】為了保持室內(nèi)空氣的清新，某倉庫的門動換氣窗采用了以下設(shè)計:

如圖1,窗子的形狀是一個五邊形，它可看作是由一個矩形ABCD和一個ACDE組成，該窗子關(guān)閉時可以

完全密封，根據(jù)室內(nèi)的溫度和濕度也可以自動打開窗子上的通風口換氣.通風口為A/MV（陰影部分均不

通風），點廠為AB的中點，MN是可以沿窗戶邊框上下滑動且始終保持和4?平行的伸縮橫桿.

設(shè)窗子的邊框9、AD分別為。機，bm,窗子的高度（窗子的最高點到邊框AB的距離）為c

【初步探究】

（1）若a=3,6=2,c=4（即點E到回的距離為2）.

①與AB之間的距離為1加，求此時A/MV的面積；

②血W與AB之間的距離為xm，試將通風口的面積y療表示成關(guān)于x的函數(shù)；

③伸縮桿移動到什么位置時，通風口面積最大，最大面積是多少？

【拓展提升】

（2）若金屬桿移動到高于8所在位置的某一處時通風口面積達到最大值.

①c需要滿足的條件是通風口的最大面積是—"/（用含。、院c的代數(shù)式表示）

②用直尺和圓規(guī)在圖3中作出通風口面積最大金屬桿所在的位置，（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析

【詳解】(1)①當噴晾2時，y=1.5x,

當x=l時，j=1.5x1=1.5；

:.MN與AB之間的距離為1加時&FMN的面積為1.5加；

②如圖1,過E作垂足為歹，EF分別與CD、A/N相交于點G、H,

當2談k4時，

,四邊形A8CD是矩形，

:.AB=CD='2m,ZA=ZADC=90°,

■.■EF1.AB,

:.ZAFG^90°,

四邊形ADGF是矩形，

:.AD^GF=lm,NDGF=90°,

?.,四邊形PQNM是矩形，

:.MN//PQ,

ZEFA^ZEHM=90°,

由題意可知，EF=2m,HF=xm,

:.EG=lm,EH=(4-x)m,

?-MN//PQ//CD,

:.AEMN^AEDC,

又EH、EG分別是\EMN、AEDC的對應(yīng)高，

EHMN何4-尤MN

——=——，即----=——，

EGCD23

化簡，得：MN=(6-L5x)m.

13

y=5x(6—1.5JV)=——x~+3x;

綜上可知，當礴2時，y=1.5x；當2融4時，丫=-尸+3彳；

③當噂/2時，y=\.5x,

因此，當x=2時，y最大，最大值是3.

當2效卜4時，y=f+3x=--(X-2)2+3,

44

因此，當x=2時，y最大，最大值是3.

綜上所述，當x=2時，y最大，最大值是3.

因此，金屬桿"N移動到CD所在的位置時，通風口面積最大，最大面積是3加2.

(2)①如圖2,已知在AABC中有內(nèi)接矩形，其中A/、N在鉆、AC邊上，尸、Q在3c邊上,

易證當MN為中位線時，矩形PQNM的面積最大，且最大面積為AA5c面積的一半，

即：L底.高，

4

在圖3中，延長￡D、EC交直線至于尸、G,

則肱V為AEFG的中位線時，矩形尸QMW的面積最大，

所以要想金屬桿移動到高于CD所在位置的某一處時通風口面積達到最大值，

只需NEFG與FG邊平行的中位線在CZ)上方即可，

即c>2b,此時的最大，面積為AEFG的面積的一半.

作員_LbG于S交CD于J,

■.■CD//FG,

:.AEDC^AEFG,

DCEJac-b

一,即nn一=

FGESFGc

「ac

..FG=----(m)，

c-b

：.通風口的面積=工矩形PQNM面積的最大值=工AEFG面積的一半=-FGES=*(療).

2288c-Sb

故答案為:

②如圖4,過點E作AB的垂線交至于點尸，作的垂直平分線交DE、CE于點Af、N,線段MN即

為所求.

13.（2022?射陽縣一模）如圖1,已知AABC為等邊三角形，點￡）,E分別在邊他、AC上，AD=AE,

連接DC,點M,P,N分別為DE,DC,3c的中點.

（1）觀察猜想

在圖1中，線段與7W的數(shù)量關(guān)系是_PM=PN_,NMPN的度數(shù)是；

（2）探究證明

若AABC為直角三角形，N54c=90。，AB=AC,點上分另I］在邊回，AC上，AD=AE,把AADE繞

點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖2,連接DC,點P,N分別為DE,DC,3c的中點.判斷A/%W的

形狀，并說明理由；

（3）拓展延伸

若AABC中NBAC=120。，AB=AC=13,點。，E分別在邊鉆，AC上，AD=AE=5,連接DC,點M,

P,N分別為DE,DC,3C的中點，把AADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3.

①APMN是三角形.

②若APAW面積為S,直接利用①中的結(jié)論，求S的取值范圍.

【詳解】（1）PM=PN,ZMPN=120°,理由如下:

.?AABC是等邊三角形，

AB=AC,

\-AD=AE,

BD=EC,

?.?點M,P,N分別為DE,DC,5C的中點，

:.PM=-EC,PN=-BD,PMIIAC,PN//AB,

22

:.PM=PN,ZMPD=ZACD,N7WC=ZB=60。，

?.?ZMPN=ZMPD+ZDPN=NACO+ZDCB+ZPNC=120°,

故答案為：PM=PN；120°；

(2)APMV是等腰直角三角形，

理由如下：連接BD,CE,

?/ZBAC=ZDAE,

:,ZBAD=Z.CAE,

\AB=AC,AD=AE,

:.ABAD=ACAE(SAS)f

BD=CE，

?jPN是ABCD的中位線，

:.PN=-BD,PN//BD,

2

同理尸A///CE,PM=-CE,

2

:.PM=PN,

ZDPN=ZPNC+ZBCD=ZDBC+ZDCB,ZMPD=ZDCE,

ZMPN=ZABD+ZACB=90°,

」.AP攸V是等腰直角三角形；

(3)①連接3D,CE,

由(2)同理可得，APNN是等邊三角形，

故答案為：等邊三角形；

②?；PN==BD,

2

.,.當最大時，S最大；當最小時，S最小,

■.■AB=13,AD=5,

:.BD最大為18,最小為8,

.,."V最大值為9,最小值為4,

.?.S最大值為丑乂夕二辿，S的最小值為苴x4°=4百，

444

,-.473>織L

4

14.（2022?東臺市模擬）小明在學習矩形知識后，進一步開展探究活動