《平面》教案和課堂實錄

PAGE《平面》教案（一）教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能（1）利用生活中的實物對平面進行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直觀圖（3）掌握平面的基本性質(zhì)及作用；（4）培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.2．過程與方法（1）通過師生的共同討論，使學(xué)生對平面有了感性認識；（2）讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)知識.3．情感、態(tài)度與價值觀使用學(xué)生認識到我們所處的世界是一個三維空間，進而增強了學(xué)習(xí)的興趣.（二）教學(xué)重點、難點重點：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性質(zhì)，注意他們的條件、結(jié)論、作用、圖形語言及符號語言.難點：平面基本性質(zhì)的掌握與運用.（三）教學(xué)方法師生共同討論法教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖新課導(dǎo)入日常生活中有哪些東西給我們以平面的形象？師：生活中常見的如黑板、平整的操場、桌面，平靜的湖面等，都給我們以平面的印象，你們能舉出更多的例子嗎？引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、舉例和相交交流，教師對學(xué)生活動給予評價，點出主題.培養(yǎng)學(xué)生感性認識探索新知1．平面的概念隨堂練習(xí)判定下列命題是否正確：①書桌面是平面；②8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚；③有一個平面的長是50m，寬是20m；④平面是絕對的平，無厚度，可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念.師：剛才大家所講的一些物體都給我們以平面的印象，幾何里所說的平面就是從這樣的一些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是向四周無限伸展的，現(xiàn)在請大家判定下列命題是否正確？生：平面是沒有厚度，無限延展的；所以①②③錯誤；④正確.加深學(xué)生對平面概念的理解.探索新知2．平面的畫法及表示（1）平面的畫法通常我們把水平的平面畫成平行四邊形，用平行四邊形表示平面，其中平行四邊形的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍.如果一個平面被另一個平面遮擋住.我們常把被遮擋的部分用垂線畫出來.（2）平面的表示法1：平面，平面.法2：平面ABCD，平面AC或平面BD.（3）點與平面的關(guān)系平面內(nèi)有無數(shù)個點，平面可看成點的集合.點A在平面內(nèi)，記作：A.點B在平面外，記作：B.師：在平面幾何中，怎樣畫直線？(一學(xué)生上黑板畫)師：這位同學(xué)畫的實質(zhì)上是直線的部分，通過想象兩端無限延伸而認為是一條直線，仿照直線的畫法，我們可以怎樣畫一個平面？生：畫出平面的一部分，加以想象，四周無限延展，來表示平面.師：大家畫一下.學(xué)生動手畫平面，將有代表性的畫在黑板上，教師給予點評，并指出一般畫法及注意事項(作圖)加深學(xué)生對平面概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生知識遷移能力，空間想象能力和發(fā)散思想能力.探索新知3．平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)（1）公理1的圖形如圖（2）符號表示為：（3）公理1的作用：判斷直線是否在平面內(nèi).公理2：過不在一條直線上的三點有且只有一個平面.（1）公理2的圖形如圖（2）符號表示為：C直線AB存在惟一的平面，使得注意：（1）公理中“有且只有一個”的含義是：“有”，是說圖形存在，“只有一個”，是說圖形惟一，“有且只有一個平面”的意思是說“經(jīng)過不在同一直線上的三個點的平面是有的，而且只有一個”，也即不共線的三點確定一個平面.“有且只有一個平面”也可以說成“確定一個平面.”（2）過A、B、C三點的平面可記作“平面ABC”公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.（1）公理3的圖形如圖（2）符號表示為：（3）公理3作用：判斷兩個平面是否相交.師：我們下面學(xué)習(xí)平面的基本性質(zhì)的三個公理.所謂公理，就是不必證明而直接被承認的真命題，它們是進一步推理的出發(fā)點和根據(jù).先研究下列問題：將直線上的一點固定在平面上，調(diào)整直線上另一點的位置，觀察其變化，指出直線在何時落在平面內(nèi).生：當(dāng)直線上兩點在一個平面內(nèi)時，這條直線落在平面內(nèi).師：這處結(jié)論就是我們要討論的公理1（板書）師：從集合的角度看，公理1就是說，如果一條直線（點集）中有兩個元素（點）屬于一個平面（點集），那么這條直線就是這個平面的真子集.直線是由無數(shù)個點組成的集合，點P在直線l上，記作P∈l；點P在直線l外，記作Pl；如果直線l上所有的點都在平面內(nèi)，就說直線l在平面內(nèi)，或者說平面經(jīng)過直線l，記作l，否則就說直線l在平面外，記作.下面請同學(xué)們用符號表示公理1.學(xué)生板書，教師點評并完善.大家回憶一下幾點可以確定一條直線生：兩點可確定一條直線.師：那么幾點可以確定上個平面呢？學(xué)生思考，討論然后回答.生1：三點可確定一個平面師：不需要附加條件嗎？生2：還需要三點不共線師：這個結(jié)論就是我們要討論的公理2師投影公理2圖示與符號表示，分析注意事項.師：下面請同學(xué)們觀察教室的天花板與前面的墻壁，思考這兩個平面的公共點有多少個？它們有什么特點.生：這兩個平面的無窮多個公共點，且所有這些公共點都在一條直線上.師：我們把這條直線稱為這兩個平面的公共直線.事實上，如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.（板書）這就是我們要學(xué)的公理3.通過實驗，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納能力.加深學(xué)生對公理的理解與記憶.加強學(xué)生對知識的理解，培養(yǎng)學(xué)生語言（符號圖形）的表達能力.學(xué)生在觀察、實驗討論中得出正確結(jié)論，加深了對知識的理解，還培養(yǎng)了他們思維的嚴謹性.典例分析例1如圖，用符號表示下圖圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系.分析：根據(jù)圖形，先判斷點、直線、平面之間的位置關(guān)系，然后用符號表示出來.解：在（1）中，，，.在（2）中，，，，，.學(xué)生先獨立完成，讓兩個學(xué)生上黑板，師生給予點評鞏固所學(xué)知識隨堂練習(xí)1．下列命題正確的是（）A．經(jīng)過三點確定一個平面B．經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面C．四邊形確定一個平面D．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面2．（1）不共面的四點可以確定幾個平面？（2）共點的三條直線可以確定幾個平面？3．判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫“×”.（1）平面與平面相交，它們只有有限個公共點.（）（2）經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面.（）（3）經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.（）（4）如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合.（）4．用符號表示下列語句，并畫出相應(yīng)的圖形：（1）點A在平面內(nèi)，但點B在平面外；（2）直線a經(jīng)過平面外的一點M；（3）直線a既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi).學(xué)生獨立完成答案：1．D2．（1）不共面的四點可確定4個平面.（2）共點的三條直線可確定一個或3個平面.3．（1）×（2）√（3）√（4）√4．（1）A，B.（2）M，M.（3）a，a.鞏固所學(xué)知識歸納總結(jié)1．平面的概念，畫法及表示方法.2．平面的性質(zhì)及其作用3．符號表示4．注意事項學(xué)生歸納、總結(jié)教學(xué)、補充完善.回顧、反思、歸納知識，提升自我整合知識的能力，培養(yǎng)思維嚴謹性固化知識，提升能力.課后作業(yè)2.1第一課時習(xí)案學(xué)生獨立完成備選例題例1已知：a，b，c，d是不共點且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面．證明1o若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點，不妨設(shè)a，b，c相交于一點A，αbadcGFEAabcdααbadcGFEAabcdαHK圖1圖2又設(shè)直線d與a，b，c分別相交于E，F(xiàn)，G，則A，E，F(xiàn)，G∈α．∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．同理可證bα，cα．∴a，b，c，d在同一平面α內(nèi)．2o當(dāng)四條直線中任何三條都不共點時，如圖2．∵這四條直線兩兩相交，則設(shè)相交直線a，b確定一個平面α．設(shè)直線c與a，b分別交于點H，K，則H，K∈α．又H，K∈c，∴cα．同理可證dα．∴a，b，c，d四條直線在同一平面α內(nèi)．說明：證明若干條線(或若干個點)共面的一般步驟是：首先根據(jù)公理3或推論，由題給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再根據(jù)公理1證明其余的線(或點)均在這個平面內(nèi)．本題最容易忽視“三線共點”這一種情況．因此，在分析題意時，應(yīng)仔細推敲問題中每一句話的含義．例2正方體ABCD—A1B1C1D1中，對角線A1C與平面BDC1交于點O，AC、BD交于點M，求證：點C1、O、MOMOB1C1D1A1DCBA解答：如圖所示A1A∥C1C確定平面A1O∈平面A1CA1C平面AO∈平面A1C又O∈A1平面BC1D∩直線A1C=O∈平面BC1DO在平面A1C與平面BC1D的交線上.AC∩BD=MM∈平面BC1D且M∈平面A1C平面BC1D∩平面A1C=C1O∈C1M，即O、C1、M三點共線.評析：證明點共線的問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點同是某兩個平面的公共點.這樣，可根據(jù)公理2證明這些點都在這兩個平面的公共直線上.《平面》課堂教學(xué)實錄立體幾何課程是初等幾何教育的內(nèi)容之一，是在初中平面幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上開設(shè)的，以空間圖形的性質(zhì)、畫法、計算以及它們的應(yīng)用為研究對象，以演繹法為研究方法．通過立體幾何的教學(xué)，使學(xué)生的認識水平從平面圖形延拓至空間圖形，完成由二維空間向三維空間的轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，邏輯推理能力和分析問題、解決問題的能力．平面的概念和平面的性質(zhì)是立體幾何全部理論的基礎(chǔ)．平面，是現(xiàn)實世界存在著的客觀事物形態(tài)的數(shù)學(xué)抽象，在立體幾何中是只描述而不定義的原始概念，但平面是把三維空間圖形轉(zhuǎn)化為二維平面圖形的主要媒介，在立體幾何問題平面化的過程中具有重要的橋梁作用．一、素質(zhì)教育目標(biāo)（一）知識教學(xué)點1．“平面”是空間圖形的基本元素，很多空間圖形的面都是平面圖形，平面圖形及其性質(zhì)是初中平面幾何的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，因此，要建立起“空間問題平面化”的觀點．2．雖然日常生活中的平面物體有一定的局限，但作為立體幾何中的“平面”無大小之分，是無限延展的．3．平面可用圖形表示，也可用符號表示，應(yīng)理清與其它圖形表示法的聯(lián)系與區(qū)別．（二）能力訓(xùn)練點1．通過“平面”概念的教學(xué)，初步培養(yǎng)空間想象能力，如平面的無限延展性．2．由敘述語言、圖形語言和符號語言的互譯，培養(yǎng)語言轉(zhuǎn)換能力．（三）德育滲透點通過通俗意義上的平面到數(shù)學(xué)意義上的平面的學(xué)習(xí)，了解具體與抽象，特殊與一般的辯證關(guān)系，由點、直線、平面間內(nèi)在的聯(lián)系逐漸形成“事物總是運動變化”的辯證觀點．二、教學(xué)重點、難點及解決辦法1．教學(xué)重點（1）從客觀存在的平面物體抽象出“平面”概念．（2）掌握點、直線、平面間的相互關(guān)系，并會用文字、圖形、符號語言正確表示．（3）理解平面的無限延展性．2．教學(xué)難點（1）理解平面的無限延展性．（2）集合概念的符號語言的正確使用．3．解決辦法（1）借助實物操作，抽象出“平面”概念．（2）運用正遷移規(guī)律，將直線的無限延伸性類比于平面的無限延展性．三、課時安排1課時．四、學(xué)生活動設(shè)計準(zhǔn)備好紙板三塊，紙盒一個，小竹簽四根．紙板作為平面的模型，紙盒用于觀察平面的位置，以便同畫出的圖形比較，小竹簽用于表示直線．五、教學(xué)步驟（一）明確目標(biāo)1．能夠從日常生活實例中抽象出數(shù)學(xué)中所說的“平面”．2．理解平面的無限延展性．3．正確地用圖形和符號表示點、直線、平面以及它們之間的關(guān)系．（二）整體感知“立體幾何”作為一門學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)的學(xué)科，其內(nèi)容對學(xué)生來說基本上是完全陌生的，應(yīng)以“講授法’的主，引導(dǎo)學(xué)生觀察和想象，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，初步培養(yǎng)空間想象力．本課是“立體幾何”的起始課，應(yīng)先把這一學(xué)科的內(nèi)容作一大概介紹，包括課本的知識結(jié)構(gòu)，“立體幾何”的研究對象，研究方法，學(xué)習(xí)立體幾何的方法和作用等．而后引入“平面”概念，以類比的方式，聯(lián)系直線的無限延伸性去理解平面的無限延展性，突破教學(xué)難點．在進行“平面的畫法”教學(xué)時，不僅要會畫水平放置的平面，還應(yīng)會畫直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）．在用字母表示點、直線、平面三者間的關(guān)系時，應(yīng)指明是借用了集合語句，并用列表法將這些關(guān)系歸類，以便作為初學(xué)者的學(xué)生便于比較、記憶和運用．（三）重點、難點的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成過程A．引言師：以往我們所學(xué)的幾何是平面幾何，研究的是平面圖形的性質(zhì)、畫法、計算、應(yīng)用．今天我們開始學(xué)習(xí)一門新的學(xué)科——立體幾何．立體幾何的研究對象是空間圖形的性質(zhì)、畫法、計算及應(yīng)用．它使得我們的學(xué)習(xí)內(nèi)容從二維平面上升到三維空間，因此，需要我們在學(xué)習(xí)過程中通過嚴密的邏輯推理把三維空間圖形問題轉(zhuǎn)化為二維平面圖形問題，這也是學(xué)好立體幾何的一個重要方法．《立體幾何》一書共分兩章：第一章“直線和平面”是立體幾何的基礎(chǔ)知識和理論基礎(chǔ)；第二章“多面體和旋轉(zhuǎn)體”是理論知識的運用，并被廣泛地應(yīng)用于日常生產(chǎn)生活之中．B．平面1．平面的特點師：現(xiàn)在我們來看手中的紙盒，它是由幾個面構(gòu)成的？生：6個面．師：對，這六個面給我們以平面的形象，還有哪些面留給我們平面的形象呢？生：桌面、黑板、地面、海平面等．師：對，這些物體是生活中所說的平面，但還不能算是數(shù)學(xué)意義上的平面，因為它們是有限的面．再如海平面上有波濤，當(dāng)我們想象它是一平如鏡時，它有什么特點呢？生：很大、很平．師：對，平面是一個不加定義的概念，具有“平”、“無限延展”、“無厚薄”的特點．一個平面可以把空間分成兩部分，這正如直線是無限延伸的，一條直線可以把平面分成兩部分，我們所畫的只是一條直線的一部分．因此，剛才所說的物體如果是平的，也只是它所在平面的一部分．2．平面的畫法師：同學(xué)們從小就會畫平面，是否記得用什么圖形來表示？生：平行四邊形．師：對，通常畫平行四邊形來表示平面，但有時不，如四面體（圖1-1），又如三個平面相交且交于一點（圖1—2）．注意，在畫平行四邊形表示平面時，所表示的平面如果是水平平面，通常把銳角畫成45°，橫邊畫成鄰邊的兩倍（圖1-3）；如果是非水平平面，只要畫成平行四邊形，如直立平面（圖1－4）；如果幾個平面畫在一起，當(dāng)一個平面有一部分被另一個平面遮住時，應(yīng)把被遮部分的線段畫成虛線或不畫（圖1-5）．請看課本中有關(guān)內(nèi)容．3．平面的表示法師：平面的表示法有如下幾種：（1）在一個希臘字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常寫在平行四邊形的一個銳角內(nèi)（圖1－3、圖1－5）；（2）用平行四邊形的四個字母表示，如平面ABCD（圖1－4）；（3）用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母來表示，如平面AC（圖1-4）．4．點、直線、平面之間的基本關(guān)系師：空間圖形的基本元素是點、直線、平面．從運動的觀點看，點動成線，線動成面，從而可以把直線、平面看成是點的集合，因此它們之間的關(guān)系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號語言來表示．規(guī)定直線用兩個大寫的英文字母或一個小寫的英文字母表示，點用一