專練09新高考數(shù)學(xué)大題小做-2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高頻考點必刷1200題

專練9新高考數(shù)學(xué)大題小做一、解答題1．（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（新課標1卷精編版））△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.【答案】(1)(2).【詳解】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長為.點睛:在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值”，這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.2．（北京市2019屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)典型題專項訓(xùn)練：概率與統(tǒng)計）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標y的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機選出兩人，記為選出的兩人中指標x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E（）；（Ⅲ）試判斷這100名患者中服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫出結(jié)論）【答案】（1）0.3（2）見解析（3）服藥者指標數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標數(shù)據(jù)的方差.【詳解】（Ⅰ）由圖知，在服藥的50名患者中，指標的值小于60的有15人，所以從服藥的50名患者中隨機選出一人，此人指標的值小于60的概率為.（Ⅱ）由圖知，A,B,C,D四人中，指標的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值為0,1,2..所以的分布列為012故的期望.（Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標數(shù)據(jù)的方差.【名師點睛】求分布列的三種方法：（1）由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到離散型隨機變量的分布列；（2）由古典概型求出離散型隨機變量的分布列；（3）由互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率及n次獨立重復(fù)試驗有k次發(fā)生的概率求離散型隨機變量的分布列．3．（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（天津卷精編版））如圖，在三棱錐中，底面，．點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）或．【詳解】試題分析：本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.首先要建立空間直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐標，證明線面平行只需求出平面的法向量，計算直線對應(yīng)的向量與法向量的數(shù)量積為0，求二面角只需求出兩個半平面對應(yīng)的法向量，借助法向量的夾角求二面角，利用向量的夾角公式，求出異面直線所成角的余弦值，利用已知條件，求出的值.試題解析：如圖，以A為原點，分別以，，方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.依題意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（1）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設(shè)，為平面BDE的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2，），可得.因為平面BDE，所以MN//平面BDE.（2）解：易知為平面CEM的一個法向量.設(shè)為平面EMN的法向量，則，因為，，所以.不妨設(shè)，可得.因此有，于是.所以，二面角C—EM—N的正弦值為.（3）解：依題意，設(shè)AH=h（），則H（0，0，h），進而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，線段AH的長為或.【考點】直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角【名師點睛】空間向量是解決空間幾何問題的銳利武器，不論是求空間角、空間距離還是證明線面關(guān)系利用空間向量都很方便，利用向量夾角公式求異面直線所成的角又快又準，特別是借助平面的法向量求線面角，二面角或點到平面的距離都很容易.4．（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（新課標3卷精編版））已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點，求直線l與圓M的方程.【答案】(1)證明見解析；(2)，或，.【詳解】（1）設(shè)，.由可得，則.又，故.因此的斜率與的斜率之積為，所以.故坐標原點在圓上.（2）由（1）可得.故圓心的坐標為，圓的半徑.由于圓過點，因此，故，即，由（1）可得.所以，解得或.當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓的方程為.當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓的方程為.【名師點睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況.中點弦問題，可以利用“點差法”，但不要忘記驗證或說明中點在曲線內(nèi)部.5．（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（新課標2卷精編版））已知函數(shù)且.（1）求a；（2）證明：存在唯一的極大值點，且.【答案】（1）a=1；（2）見解析.【分析】（1）通過分析可知f（x）≥0等價于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，進而利用h′（x）＝a可得h（x）min＝h（），從而可得結(jié)論；（2）通過（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，記t（x）＝f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，從而可知f′（x）＝0存在兩根x0，x2，利用f（x）必存在唯一極大值點x0及x0可知f（x0），另一方面可知f（x0）＞f（）．【詳解】（1）解：因為f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），則f（x）≥0等價于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，求導(dǎo)可知h′（x）＝a．則當a≤0時h′（x）＜0，即y＝h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以當x0＞1時，h（x0）＜h（1）＝0，矛盾，故a＞0．因為當0＜x時h′（x）＜0、當x時h′（x）＞0，所以h（x）min＝h（），又因為h（1）＝a﹣a﹣ln1＝0，所以1，解得a＝1；另解：因為f（1）＝0，所以f（x）≥0等價于f（x）在x＞0時的最小值為f（1），所以等價于f（x）在x＝1處是極小值，所以解得a＝1；（2）證明：由（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，令f′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，記t（x）＝2x﹣2﹣lnx，則t′（x）＝2，令t′（x）＝0，解得：x，所以t（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，所以t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，從而t（x）＝0有解，即f′（x）＝0存在兩根x0，x2，且不妨設(shè)f′（x）在（0，x0）上為正、在（x0，x2）上為負、在（x2，+∞）上為正，所以f（x）必存在唯一極大值點x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，所以f（x0）x0﹣x0lnx0x0+2x0﹣2x0，由x0可知f（x0）＜（x0）max；由f′（）＜0可知x0，所以f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，）上單調(diào)遞減，所以f（x0）＞f（）；綜上所述，f（x）存在唯一的極大值點x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想，注意解題方法的積累，屬于難題．6．（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（浙江卷精編版））已知數(shù)列滿足：，證明：當時，（I）；（II）；（III）.【答案】（I）見解析；（II）見解析；（Ⅲ）見解析.【分析】（I）用數(shù)學(xué)歸納法可證明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可證；（