2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章統(tǒng)計2.1.3分層抽樣課時作業(yè)含解析新人教A版必修3

PAGE課時分層作業(yè)(十一)分層抽樣(建議用時：60分鐘)一、選擇題1．某校共有160名教職工，其中一般老師120名，行政人員16名，后勤人員24名．為了了解教職工對學(xué)校在校務(wù)公開方面的看法，用分層抽樣抽取一個容量為20的樣本，則應(yīng)抽取的后勤人員人數(shù)是()A．3 B．2C．15 D．4A[因為160人抽取20人，所以抽取的比例為eq\f(20,160)＝eq\f(1,8)，因為后勤人數(shù)為24，所以應(yīng)抽取24×eq\f(1,8)＝3.故選A.]2．某中學(xué)高二年級共有學(xué)生2400人，為了解他們的身體狀況，用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本，若樣本中共有男生42人，則該校高二年級共有女生()A．1260 B．1230C．1200 D．1140D[設(shè)女生總?cè)藬?shù)為x人，由分層抽樣的方法，可得抽取女生人數(shù)為80－42＝38(人)，所以eq\f(80,2400)＝eq\f(38,x)，解得x＝1140.故選D.]3．一批燈泡400只，其中20W、40W、60W的數(shù)目之比是4∶3∶1，現(xiàn)用分層抽樣的方法產(chǎn)生一個容量為40的樣本，三種燈泡依次抽取的個數(shù)為()A．20,15,5 B．4,3,1C．16,12,4 D．8,6,2A[40×eq\f(4,8)＝20.40×eq\f(3,8)＝15,40×eq\f(1,8)＝5.]4．對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當(dāng)選取簡潔隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3D[不管是簡潔隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣還是分層抽樣，它們都是等可能抽樣，每個個體被抽中的概率均為eq\f(n,N).]5．某校做了一次關(guān)于“感恩父母”的問卷調(diào)查，從8～10歲，11～12歲，13～14歲，15～16歲四個年齡段回收的問卷依次為：120份，180份，240份，x份．因調(diào)查須要，從回收的問卷中按年齡段分層抽取容量為300的樣本，其中在11～12歲學(xué)生問卷中抽取60份，則在15～16歲學(xué)生中抽取的問卷份數(shù)為()A．60 B．80C．120 D．180C[11～12歲回收180份，其中在11～12歲學(xué)生問卷中抽取60份，抽樣比為eq\f(1,3)，因為分層抽取樣本的容量為300，故回收問卷總數(shù)為eq\f(300,\f(1,3))＝900份，故x＝900－120－180－240＝360份，360×eq\f(1,3)＝120份．]二、填空題6．在120個零件中，一級品24個，二級品36個，三級品60個，用分層抽樣的方法從中抽取容量為20的樣本，則每個個體被抽取的可能性是________．eq\f(1,6)[在分層抽樣中，每個個體被抽取的可能性相等，且為eq\f(樣本容量,總體容量).所以每個個體被抽取的可能性是eq\f(20,120)＝eq\f(1,6).]7．我國古代數(shù)學(xué)算經(jīng)十書之一的《九章算術(shù)》中有一“衰分”問題：“今有北鄉(xiāng)八千七百五十人，西鄉(xiāng)七千二百五十人，南鄉(xiāng)八千三百五十人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役四百八十七人，則西鄉(xiāng)遣________人”．145[今有北鄉(xiāng)八千七百五十人，西鄉(xiāng)七千二百五十人，南鄉(xiāng)八千三百五十人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役四百八十七人，則西鄉(xiāng)遣487×eq\f(7250,8750＋7250＋8350)＝145(人)．]8．下列問題中，采納怎樣的抽樣方法較為合理？(1)從10臺電冰箱中抽取3臺進行質(zhì)量檢查；(2)某學(xué)校有160名教職工，其中老師120名，行政人員16名，后勤人員24名，為了了解教職工對學(xué)校在校務(wù)公開方面的看法，擬抽取一個容量為20的樣本；(3)體育彩票000001～100000編號中，凡彩票號碼最終三位數(shù)為345的中一等獎．(1)________(2)________(3)________．(1)抽簽法(2)分層抽樣(3)系統(tǒng)抽樣題號推斷緣由分析(1)抽簽法總體容量較小，宜用抽簽法(2)分層抽樣由于學(xué)校各類人員對這一問題的看法可能差異較大，用分層抽樣(3)系統(tǒng)抽樣總體容量大，樣本容量較大，等距抽取，用系統(tǒng)抽樣三、解答題9．某單位有2000名職工，老年、中年、青年分布在管理、技術(shù)開發(fā)、營銷、生產(chǎn)各部門中，如下表所示：人數(shù)管理技術(shù)開發(fā)營銷生產(chǎn)合計老年40404080200中年80120160240600青年401602807201200合計16032048010402000(1)若要抽取40人調(diào)查身體狀況，則應(yīng)怎樣抽樣？(2)若要開一個25人的探討單位發(fā)展與薪金調(diào)整方面的座談會，則應(yīng)怎樣抽選出席人？[解](1)按老年、中年、青年分層抽樣，抽取比例為eq\f(40,2000)＝eq\f(1,50).故老年人，中年人，青年人各抽取4人，12人，24人，(2)按管理、技術(shù)開發(fā)、營銷、生產(chǎn)進行分層，用分層抽樣，抽取比例為eq\f(25,2000)＝eq\f(1,80)，故管理，技術(shù)開發(fā)，營銷，生產(chǎn)各抽取2人，4人，6人，13人．10．為了考察某校的教學(xué)水平，抽查了該學(xué)校高三年級部分學(xué)生的本年度考試成果．為了全面地反映實際狀況，實行以下三種考察方式(已知該校高三年級共有14個教學(xué)班，并且每個班內(nèi)的學(xué)生都已經(jīng)按隨機方式編好了學(xué)號，假定該校每班人數(shù)都相同)．①從全年級14個班中隨意抽取一個班，再從該班中隨意抽取14人，考察他們的學(xué)習(xí)成果；②每個班都抽取1人，共計14人，考察這14個學(xué)生的成果；③把該校高三年級的學(xué)生按成果分成優(yōu)秀，良好，一般三個級別，從中抽取100名學(xué)生進行考查(已知若按成果分，該校高三學(xué)生中優(yōu)秀學(xué)生有105名，良好學(xué)生有420名，一般學(xué)生有175名)．依據(jù)上面的敘述，試回答下列問題：(1)上面三種抽取方式中，其總體、個體、樣本分別指什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，其樣本容量分別是多少？(2)上面三種抽取方式各自采納何種抽取樣本的方法？(3)試分別寫出上面三種抽取方法各自抽取樣本的步驟．[解](1)這三種抽取方式中，其總體都是指該校高三全體學(xué)生本年度的考試成果，個體都是指高三年級每個學(xué)生本年度的考試成果．其中第一種抽取方式中樣本為所抽取的14名學(xué)生本年度的考試成果，樣本容量為14；其次種抽取方式中樣本為所抽取的14名學(xué)生本年度的考試成果，樣本容量為14；第三種抽取方式中樣本為所抽取的100名學(xué)生本年度的考試成果，樣本容量為100.(2)第一種方式采納的方法是簡潔隨機抽樣法；其次種方式采納的方法是系統(tǒng)抽樣法和簡潔隨機抽樣法；第三種方式采納的方法是分層抽樣法和簡潔隨機抽樣法．(3)第一種方式抽樣的步驟如下：第一步：在這14個班中用抽簽法隨意抽取一個班；其次步：從這個班中按學(xué)號用隨機數(shù)表法或抽簽法抽取14名學(xué)生，考察其考試成果．其次種方式抽樣的步驟如下：第一步：在第一個班中，用簡潔隨機抽樣法隨意抽取某一學(xué)生，記其學(xué)號為x；其次步：在其余的13個班中，選取學(xué)號為x＋50k(1≤k≤12，k∈Z)的學(xué)生，共計14人．第三種方式抽樣的步驟如下：第一步：分層，因為若按成果分，其中優(yōu)秀生共105人，良好生共420人，一般生共175人，所以在抽取樣本中，應(yīng)當(dāng)把全體學(xué)生分成三個層次；其次步：確定各個層次抽取的人數(shù)，因為樣本容量與總體數(shù)的比為100∶700＝1∶7，所以在每個層抽取的個體數(shù)依次為eq\f(105,7)，eq\f(420,7)，eq\f(175,7)，即15,60,25；第三步：按層分別抽取，在優(yōu)秀生中用簡潔隨機抽樣法抽取15人，在良好生中用簡潔隨機抽樣法抽取60人，在一般生中用簡潔隨機抽樣法抽取25人．第四步：將所抽取的個體組合在一起構(gòu)成樣本．1．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視狀況分別如圖①和圖②所示．為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成緣由，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的中學(xué)生近視人數(shù)分別為()A．200,20 B．100,20C．200,10 D．100,10A[該地區(qū)中小學(xué)生總?cè)藬?shù)為3500＋2000＋4500＝10000人，則樣本容量為10000×2%＝200人，其中抽取的中學(xué)生近視人數(shù)為2000×2%×50%＝20.]2．某初級中學(xué)共有學(xué)生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人進行某項調(diào)查，考慮選用簡潔隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案．運用簡潔隨機抽樣和分層抽樣時，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為001,002,003，…，270；運用系統(tǒng)抽樣時，將學(xué)生統(tǒng)一隨機編號為001,002,003，…，270，并將整個編號平均分為10段．假如抽得的號碼有下列四種狀況：①007,034,061,088,115,142,169,196,223,250；②005,009,100,107,111,121,180,195,200,265；③011,038,065,092,119,146,173,200,227,254；④036,062,088,114,140,166,192,218,244,270.關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是()A．②③都不能為系統(tǒng)抽樣B．②④都不能為分層抽樣C．①④都可能為系統(tǒng)抽樣D．①③都可能為分層抽樣D[系統(tǒng)抽樣又稱為“等距抽樣”，做到等距的有①③④，但只做到等距還不肯定是系統(tǒng)抽樣，還應(yīng)做到10段中每段要抽1個，檢查這一點只需看第一個元素是否在001～027范圍內(nèi)，結(jié)果發(fā)覺④不符合，同時，若為系統(tǒng)抽樣，則分段間隔k＝eq\f(270,10)＝27，④也不符合這一要求，所以可能是系統(tǒng)抽樣的為①③，因此解除A，C；若采納分層抽樣，一、二、三年級的人數(shù)比例為4∶3∶3，由于共抽取10人，所以三個年級應(yīng)分別抽取4人、3人、3人，即在001～108范圍內(nèi)要有4個編號，在109～189和190～270范圍內(nèi)要分別有3個編號，符合此要求的有①②③，即它們都可能為分層抽樣(其中①③在每一層內(nèi)采納了系統(tǒng)抽樣，②在每一層內(nèi)采納了簡潔隨機抽樣)，所以解除B.]3．某中學(xué)針對學(xué)生發(fā)展要求，開設(shè)了富有地方特色的“泥塑”與“剪紙”兩個社團，已知報名參與這兩個社團的學(xué)生共有800人，依據(jù)要求每人只能參與一個社團，各年級參與社團的人數(shù)狀況如下表：高一年級高二年級高三年級泥塑abc剪紙xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社團的人數(shù)占兩個社團總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，為了了解學(xué)生對兩個社團活動的滿足程度，從中抽取一個50人的樣本進行調(diào)查，則從高二年級“剪紙”社團的學(xué)生中應(yīng)抽取________人．6[因為“泥塑”社團的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，故“剪紙”社團的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(2,5)，所以“剪紙”社團的人數(shù)為800×eq\f(2,5)＝320.因為“剪紙”社團中高二年級人數(shù)比例為eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，所以“剪紙”社團中高二年級人數(shù)為320×eq\f(3,10)＝96.由題意知，抽樣比為eq\f(50,800)＝eq\f(1,16)，所以從高二年級“剪紙”社團中抽取的人數(shù)為96×eq\f(1,16)＝6.]4．某機關(guān)老年、中年、青年的人數(shù)分別為18,12,6，現(xiàn)從中抽取一個容量為n的樣本，若采納系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，則不用剔除個體．當(dāng)樣本容量增加1時，若采納系統(tǒng)抽樣，需在總體中剔除1個個體，則樣本容量n＝________.6[當(dāng)樣本容量為n時，因為采納系統(tǒng)抽樣時不用剔除個體，所以n是18＋12＋6＝36的約數(shù)，n可能為1,2,3,4,6,9,12,18,36.因為采納分層抽樣時不用剔除個體，所以eq\f(n,36)×18＝eq\f(n,2)，eq\f(n,36)×12＝eq\f(n,3)，eq\f(n,36)×6＝eq\f(n,6)均是整數(shù)，所以n可能為6,12,18,36.又因為當(dāng)樣本容量增加1時，須要剔除1個個體，才能用系統(tǒng)抽樣，所以n＋1是35的約數(shù)，而n＋1可能為7,13,19,37，所以n＋1＝7，所以n＝6.]5．某中學(xué)實行了為期3天的新世紀體育運動會，同時進行全校精神文明擂臺賽．為了解這次活動在全校師生中產(chǎn)生的影響，分別在全校500名教職員工、3000名初中生、4000名中學(xué)生中作問卷調(diào)查，假如要在全部答卷中抽出120份用于評估．(1)應(yīng)如何抽取才能得到比較客觀的評價結(jié)論？(2)要從3000份初中生的答卷中抽取一個容量為48的樣本，假如采納簡潔隨機抽樣，應(yīng)如何操作？(3)為了從4000份中學(xué)生的答卷中抽取一個容量為64的樣本，如何運用系統(tǒng)抽樣抽取到所需的樣本？[解](1)由于這次活動對教職員工、初中生和中學(xué)生產(chǎn)生的影響不會相同，所以應(yīng)當(dāng)實行分層抽樣的方法進行抽樣．因為樣本容量為120，總體個數(shù)為500＋3000＋4000＝7500，則抽樣比：eq\f(120,7500)＝eq\f(2,125)，所以有500×eq\f(2,125)＝8,3000×eq\f(2,125)＝48，4000×eq\