全國(guó)統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題十一不等式梳理糾錯(cuò)預(yù)測(cè)學(xué)案理含解析

2024年高考“2024年高考“最終三十天”專題透析好教化云平臺(tái)--教化因你我而變好教化云平臺(tái)--教化因你我而變不等式專題專題11××不等式命題趨勢(shì)命題趨勢(shì)不等式在高考當(dāng)中的考查主要是作為選考內(nèi)容，考查的重點(diǎn)為不等式的證明，肯定值不等式的解法，肯定值三角不等式的應(yīng)用，恒成立問(wèn)題，利用比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法證明不等式，柯西不等式的應(yīng)用等，有時(shí)也會(huì)作為工具應(yīng)用在解題當(dāng)中，總體而言難度不大．考點(diǎn)清單考點(diǎn)清單學(xué)問(wèn)點(diǎn)1．含肯定值不等式的解法1．肯定值三角不等式（1）定理1：假如a，b是實(shí)數(shù)，則|a+b|≤|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)（2）性質(zhì)：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|；（3）定理2：假如a，b，c是實(shí)數(shù)，則2．肯定值不等式的解法（1）含肯定值不等式|x|<a，不等式a>0a=0a<0|x|<a{x|-a<x<a}|x|>a{x|x>a或x<-a}{x|x∈RR（2）|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法①|(zhì)ax+b|≤c?②|ax+b|≥c?ax+b≥c或（3）|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法解法一：利用肯定值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；解法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)分類探討的思想；解法三：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想．學(xué)問(wèn)點(diǎn)2：不等式的證明方法1．基本不等式定理一：設(shè)a，b∈R，定理二：假如a，b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a=b定理三：假如a，b，c為正數(shù)，則2．不等式的證明方法（1）比較法①作差比較：a>b?②作商比較：，．（2）分析法：從待證的不等式動(dòng)身，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式；（3）綜合法：從已知條件動(dòng)身，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過(guò)推理證明，推導(dǎo)出所要證明的不等式成立；（4）反證法①作出與所證不等式相反的假設(shè)；②從條件動(dòng)身，應(yīng)用正確的推理方法，推出沖突的結(jié)論，否定假設(shè)，從而證明原不等式成立．（5）放縮法：要證a<b，可找尋合適的中間量c有a<c，c<b，從而證得

精題集訓(xùn)精題集訓(xùn)（70分鐘）經(jīng)典訓(xùn)練題經(jīng)典訓(xùn)練題一、選擇題．1．若a，b∈R，則“a+b>4”是“a，A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)a+b>4時(shí)，假設(shè)a，b都不大于2，即a≤2，b≤2，則a+b≤4，這與a+b>4沖突，所以“a+b>4”是“a，b至少有一個(gè)大于2”的充分條件；但是，當(dāng)a，b至少有一個(gè)大于2，如a=3，b=1，a+b=4，所以“a+b>4”不是“a，b至少有一個(gè)大于2”的必要條件，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分不必要條件的推斷，一般可依據(jù)如下規(guī)則推斷：（1）若是q的必要不充分條件，則q對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）若是q的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是q對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）若是q的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與q對(duì)應(yīng)集合相等；（4）若是q的既不充分又不必要條件，則對(duì)的集合與q對(duì)應(yīng)集合互不包含．2．（多選）若0<x<y<1，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．， D．【答案】ABC【解析】因?yàn)?<x<y<1，所以0<xy<1，，所以，所以，故A正確；因?yàn)?<x<y<1，所以x>0>x-y，所以ex>e因?yàn)?<x<y<1，所以0<xn<yn因?yàn)?<x<y<1，所以0<logxy所以logxy<1<log故選ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考了均值不等式的運(yùn)用條件，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題．3．若x，y滿意約束條件，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】14【解析】由線性約束條件作出可行域如圖，由可得，作直線，沿可行域的方向平移可知過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，由，可得，所以，所以，故答案為14．【點(diǎn)評(píng)】線性規(guī)劃求最值的常見(jiàn)類型．（1）線性目標(biāo)函數(shù)求最值：轉(zhuǎn)化為直線的截距問(wèn)題，結(jié)合圖形求解；（2）分式型目標(biāo)函數(shù)最值：轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率問(wèn)題，結(jié)合圖形求解；（3）平方型目標(biāo)函數(shù)求最值；轉(zhuǎn)為兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題，結(jié)合圖形求解．三、解答題．4．已知函數(shù)f(x)=|2x|+|x-1|，（1）求的解集；（2）若f(x)=kx有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）或；（2）2<k<3．【解析】（I），得或或，解得或，所以的解集是或．（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖易知：，，∴koA<k<k【點(diǎn)評(píng)】本題考查依據(jù)方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，一般可采納1．干脆法：干脆求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后視察求解，此時(shí)須要依據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)合理找尋“臨界”狀況，特殊留意邊界值的取舍．5．已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x-3|．（1）當(dāng)時(shí)，求f(x)的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）最小值為；（2）．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，由解析式可知，f(x)在-∞，-1和上單調(diào)遞減，且在x=-1在上單調(diào)遞增，故f(x)在處取得最小值，且，所以f(x)的最小值為．（2）∵x∈[a，2a-2]又x∈[a，2a-2]，，2x-3>0∴f(x)≤即a≤-2x+8在x∈令y=-2x+8在x∈[a，∴a≤-4a+12，解得，綜上，a的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類探討解肯定值不等式，含有肯定值的不等式的恒成立問(wèn)題，不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：①分別參數(shù)a≥fx恒成立(a≥fxmax即可)或a≤f②數(shù)形結(jié)合(圖象在y=gx上方即可)；③探討最值fxmin或6．已知函數(shù)，記f(x)最小值為k．（1）求k的值；（2）若a，b，c為正數(shù)，且．求證：．【答案】（1）2；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以f(x)最小值為．（2）由題得a2．【點(diǎn)評(píng)】不等式的證明常用的方法有：（1）比較法；（2）綜合法；（3）分析法；（4）反證法；（5）數(shù)學(xué)歸納法；（6）放縮法．要依據(jù)已知條件敏捷選擇合適的方法證明．7．設(shè)不等式∣|x+1|-|x-1|∣<2（1）求集合A；（2）若a，b，【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）由題意得，令，由|f(x)|<2，得，即．（2）要證，只需證1-abc>|ab-c∣只需，只需證1-a2只需證1-a由a，b，c∈A，得a綜上，．【點(diǎn)評(píng)】本題其次問(wèn)考查分析法證明不等式，關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化為1-abc>|ab-c分解因式，再利用（1）的結(jié)論證明．8．已知函數(shù)f(x)=2x+1+4x-5（1）求M；（2）若正實(shí)數(shù)a，b，c滿意a+b+c=2M，求：(a+1)【答案】（1）；（2）3．【解析】（1），如圖所示：，∴．（2）由（1）知a+b+c=7，∴(a+1)+(b-2)+(c-3)=(a+1)∴(a+b+c)-42∴7-42∴(a+1)2+(b-2)2+(c-3)2∴(a+1)2+(b-2【點(diǎn)評(píng)】本題考查肯定值函數(shù)及平方平均數(shù)與算數(shù)平均數(shù)的大小關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．9．已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若f(x)的最大值為m，且a+2b+c=m，其中a0，b0，c>3，求【答案】（1）；（2）4．【解析】（1），，故或或，，故不等式的解集為．（2）由題意知f(x)的最大值為6，故a+2b+c=6，，，，c>3，∴a+1>0，2b+2>0，c-3>0，，當(dāng)且僅當(dāng)a+1=2b+2=c-3，即，b=0，c=5時(shí)等號(hào)成立，的最大值為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了肯定值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分類探討思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．高頻易錯(cuò)題高頻易錯(cuò)題一、填空題．1．已知正項(xiàng)等比數(shù)列an（n∈N*）滿意a7=a6+2a5【答案】【解析】∵正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿意：a7=a又a1≠0，q0，解得q=2∵存在兩項(xiàng)am，an使得am∴a12qm+n-2=16∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，但此時(shí)，．又m+n=6，當(dāng)，即m=1，n=5時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，則的最小值為，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和基本不等式，事實(shí)上應(yīng)用基本不等式是本題的重點(diǎn)和難點(diǎn)，關(guān)鍵留意當(dāng)兩個(gè)數(shù)字的和是定值，要求兩個(gè)變量的倒數(shù)之和的最小值時(shí)，要乘以兩個(gè)數(shù)字之和，是中檔題．二、解答題．2．已知a+b=1，?a，b（1）若a>0，b>0，求的最小值；（2）求x的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因?yàn)?，取等?hào)時(shí)，即，所以的最小值為3．（2）因?yàn)?a，b所以恒成立，即2x-2+x+1當(dāng)x<-1時(shí)，2-2x-x-1≤3，此時(shí)無(wú)解；當(dāng)x>1時(shí)，2x-2+x+1≤3，解得；當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，2-2x+x+1≤3，解得0≤x≤1，綜上可知：x的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】利用基本不等式求最值時(shí)，要留意其必需滿意的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必需為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必需把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必需驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最簡(jiǎn)單發(fā)生錯(cuò)誤的地方．精準(zhǔn)精準(zhǔn)預(yù)料題一、選擇題．1．已知x，y滿意約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=A． B． C． D．【答案】B【解析】畫(huà)出所表示的可行域如下圖所示：目標(biāo)函數(shù)z=x由圖可知：原點(diǎn)到直線x+y-1=0的距離OP最短，又∵原點(diǎn)到x+y-1=0距離，，故選B．【點(diǎn)評(píng)】線性規(guī)劃求最值的常見(jiàn)類型．（1）線性目標(biāo)函數(shù)求最值：轉(zhuǎn)化為直線的截距問(wèn)題，結(jié)合圖形求解；（2）分式型目標(biāo)函數(shù)最值：轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率問(wèn)題，結(jié)合圖形求解；（3）平方型目標(biāo)函數(shù)求最值；轉(zhuǎn)為兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題，結(jié)合圖形求解．2．關(guān)于x的不等式的解為（）A．0<x<2 B．0<x<1 C．x<2 D．x>1【答案】B【解析】依據(jù)對(duì)數(shù)式有意義，可得x>0，不等式等價(jià)于x?log所以log2x<0，解得0<x<1【點(diǎn)評(píng)】該題考查的是有關(guān)求不等式的解集的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，留意到x?二、解答題．3．已知函數(shù)fx（1）解不等式f(x)<4-2x-1（2）已知，若，求證．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）f(x)<4-2x-1等價(jià)于x+1當(dāng)x<-1時(shí)，原不等式化為-(x+1)<4+(2x-1)，即，∴；當(dāng)時(shí)，原不等式化為x+1<4+2x-1，即x>-2，∴；當(dāng)時(shí)，原不等式化為x+1<4-2x+1，即，∴，綜上可得，原不等式的解集為．（2）證明：|x+a|-f(x)=x+a∵，∴-2≤a-1≤2，即a-1≤2，∴x+a-f∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了肯定值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．4．已知函數(shù)fx=x（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式fx（2）對(duì)隨意的，fx≥ax+1恒成立，求實(shí)數(shù)【答案】（1）；（2）．【解析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，fx=x2則不等式fx+f2當(dāng)x≥1時(shí)，x2-2x-1≥0為恒成立，當(dāng)x<1時(shí)，x2-2x-1解得x≤-1-3或x≥-1+∴x≤-1-3或-1+綜上，不等式fx+f2（2）不等式fx≥ax+1即對(duì)隨意的恒成立，即對(duì)隨意的恒成立，∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值為，∴，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】解肯定值不等式的常用方法：（1）基本性質(zhì)法：a為正實(shí)數(shù)，x<a?-a<x<a，（2）平方法：兩邊平方去掉肯定值，適用于x-a<x-b或（3）分類探討法(零點(diǎn)分區(qū)間法)：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上肯定值的不等式，可用分類探討法去掉肯定值，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含肯定值符號(hào)的不等式求解；（4）幾何法：利用肯定值不等式的幾何意義，畫(huà)出數(shù)軸，將肯定值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離問(wèn)題求解；（5）數(shù)形結(jié)合法：在直角坐標(biāo)系中，作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解．5．已知函數(shù)f(x)=x-2（1）求不等式f(x)≥2x+4的解集；（2）若f(x)的最小值為k，且實(shí)數(shù)a，b，c，滿意【答案】（1）(-∞，0]；（【解析】（1）①當(dāng)x<-2時(shí)，不等式即為-2x≥2x+4，解得x≤-1，②當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，不等式即為4≥2x+4，x≤0，③當(dāng)x>2時(shí)，不等式即為2x≥2x+4，，綜上，不等式f(x)≥2x+4的解集為(-∞，（2）由肯定值不等式的性質(zhì)可得：|x-2|+|x+2|≥|(x-2)-(x+2)|=4，∴當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，f(x)取最小值4，即k=4，∴a(b+c)=4，即∴2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=±2【點(diǎn)評(píng)】證明不等式常用的方法有：（1）比較法；（2）綜合法；（3）分析法；（4）放縮法；（5）數(shù)學(xué)歸納法；（6）反證法．要依據(jù)已知條件敏捷選擇方法證明．6．已知函數(shù)f(x)=|x-4|+|1-x|，．（1）解不等式：f(x)≤5；（2）記f(x)的最小值為M，若實(shí)數(shù)a，b滿意a2【答案】（1）x0≤x≤5，（2【解析】（1），因?yàn)閒(x)≤5，所以或1≤x≤4或，所以4<x≤5或1≤x≤4或0≤x<1，所以