2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2.2向量的減法課時素養(yǎng)評價含解析北師大版必修4

PAGE課時素養(yǎng)評價十六向量的減法(15分鐘30分)1.如圖,向量=a,=b,=c,則向量可以表示為 ()A.a+b-c B.a-b+cC.b-a+c D.b-a-c【解析】選C.依題意=-=+-,即=b-a+c.2.在四邊形ABCD中,若=,且|+|=|-|,則四邊形ABCD的形態(tài)是 ()A.平行四邊形 B.矩形C.菱形 D.正方形【解析】選B.由=知,四邊形ABCD是平行四邊形,又因為|+|=|-|,所以兩對角線長度相等,故四邊形ABCD是矩形.3.已知△OAB中,=a,=b,滿意|a|=|b|=|a-b|=2,則|a+b|與△OAB的面積為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.3【解析】選A.由已知得||=||,以,為鄰邊作平行四邊形OACB,則可知其為菱形,且=a+b,=a-b,由于|a|=|b|=|a-b|,則OA=OB=BA,所以△OAB為正三角形,所以|a+b|=||=2×QUOTE=2QUOTE,S△OAB=QUOTE×2×QUOTE=QUOTE.4.設(shè)點M是線段BC的中點,點A在直線BC外,且||=4,|+|=|-|,則||=.

【解析】以AB,AC為鄰邊作平行四邊形ACDB,由向量加減法的幾何意義可知,=+,=-.因為|+|=|-|,所以||=||.又因為||=4,M是線段BC的中點,所以||=QUOTE||=QUOTE||=2.答案:25.如圖所示,已知正方形ABCD的邊長等于1,=a,=b,=c,分別求出其長度:(1)a+b+c.(2)a-b+c.【解析】(1)由已知得a+b=+==c,所以延長AC到E,使||=||.則a+b+c=,且||=2QUOTE.所以|a+b+c|=2QUOTE.(2)作=,連接CF,則+=,而=-=a-b,所以a-b+c=+=且||=2,所以|a-b+c|=2.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.化簡:+-= ()A.0 B. C.2 D.-2【解析】選A.+-=+(-)=+=0.2.已知=a,=b,=c,=d,且四邊形ABCD為平行四邊形,則 ()A.a-b+c-d=0B.a+b+c+d=0C.a+b-c-d=0 D.a+b-c+d=0【解析】選A.因為四邊形ABCD為平行四邊形,所以=,-=-,即d-a=c-b,所以a-b+c-d=0.3.平面內(nèi)有四邊形ABCD和點O,若+=+,則四邊形ABCD的形態(tài)是 ()A.梯形 B.平行四邊形C.矩形 D.菱形【解題指南】等式中各向量起點相同,通過移項可把向量的加法轉(zhuǎn)化為向量的減法,從而得到=.【解析】選B.因為+=+,所以-=-,即=.又A,B,C,D四點不共線,所以||=||,且BA∥CD,故四邊形ABCD為平行四邊形.4.平面上有三點A,B,C,設(shè)m=+,n=-,若m,n的長度恰好相等,則有 ()A.A,B,C三點必在同始終線上B.△ABC必為等腰三角形且∠B為頂角C.△ABC必為直角三角形且∠B=90°D.△ABC必為等腰直角三角形【解析】選C.如圖,作平行四邊形ABCD,則+=,-=-=,因為|m|=|n|,所以||=||,所以平行四邊形ABCD為矩形,所以△ABC為直角三角形,∠B=90°.【誤區(qū)警示】本題的易錯點有①向量,和與差的化簡;②平行四邊形的性質(zhì):對角線長相等的平行四邊形為矩形.5.已知點P在正△ABC所確定的平面上,且滿意++=,則△ABP的面積與△ABC的面積之比為 ()A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 【解析】選C.因為++==-,所以=-2,即P點在邊AC上,且AP=QUOTEAC,所以P點到AB的距離等于C點到AB距離的QUOTE,故△ABP的面積與△ABC的面積之比為1∶3.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知a,b為非零向量,則下列命題中真命題的序號是.

①若|a|+|b|=|a+b|,則a與b方向相同;②若|a|+|b|=|a-b|,則a與b方向相反;③若|a|+|b|=|a-b|,則a與b有相等的模;④若||a|-|b||=|a-b|,則a與b方向相同.【解題指南】結(jié)合向量三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|等號成立條件,即可正確推斷.【解析】當(dāng)a,b方向相同時有|a|+|b|=|a+b|,||a|-|b||=|a-b|,當(dāng)a,b方向相反時有||a|-|b||=|a+b|,|a|+|b|=|a-b|,因此①②④為真命題.答案:①②④7.已知O是邊長為6的等邊△ABC的中心,則|--|=.

【解析】如圖,--=(-)-=+=.因為等邊△ABC的邊長為6,所以||=QUOTE×6=3QUOTE,所以||=QUOTE×3QUOTE=2QUOTE.答案:2QUOTE8.如圖所示,用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,則A和B處所受力的大小(繩子的重量忽視不計)分別是.

【解析】如圖,反向延長CW至點D,使CD=CW,作DE⊥AC,DF⊥BC,由∠ACW=150°,∠BCW=120°得∠ACD=30°,∠BCD=60°,因為||=10,所以||=5QUOTE,||=5.答案:5QUOTEN,5N三、解答題(每小題10分,共20分)9.若=a+b,=a-b.(1)當(dāng)a,b滿意什么條件時,a+b與a-b垂直?(2)a+b與a-b可能是相等向量嗎?【解析】如圖,用向量構(gòu)建平行四邊形,其中=a,=b,向量,恰為平行四邊形的對角線.由平行四邊形法則,得=a+b,=a-b.由此問題就可轉(zhuǎn)換為:(1)當(dāng)邊AB,AD滿意什么條件時,對角線相互垂直?明顯|a|=|b|時,a+b與a-b垂直.(2)因為對角線方向不同,所以a+b與a-b不行能是相等向量.10.已知向量a,b滿意|a|=1,|b|=2,求|a+b|+|a-b|的最小值和最大值是多少?【解析】如圖所示,|a+b|和|a-b|是以|a|,|b|為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線,則|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)=10,A是以O(shè)為圓心的單位圓上的一動點,構(gòu)造2個全等的平行四邊形AOBD,平行四邊形ECOA.所以|a+b|+|a-b|=|AB|+|AC|.易知當(dāng)A,B,C三點共線時,|AB|+|AC|最小,此時|AB|+|AC|=|BC|=4;當(dāng)AO⊥BC時,|AB|+|AC|最大,此時|AB|+|AC|=2|AB|=2QUOTE.1.若向量a,b滿意|a|=2,|b|=5,則|a-b|的最大值為.

【解析】|a-b|≤|a|+|b|=2+5=7,故|a-b|的最大值是7.答案:72.在△ABC內(nèi)有一點O,滿意++=0,E為BC邊的中點,=QUOTE,設(shè)=a,=b,以a、b為基底,試求下列向量表達式:(1).(2).【解析】(1)因為E為BC邊的中點,由