福州某中學2024-2025學年上學期九年級10月月考數(shù)學試題（解析版）

2024-2025學年九年級10月適應性練習

數(shù)學學科

一、單選題

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】c

【解析】

【分析】本題考查了中心對稱圖形（在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與

原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心）和軸對稱圖形（在平面

內(nèi)，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條

直線叫做對稱軸）的概念，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.根據(jù)軸對稱圖形和軸對稱圖形的概念判斷

即可.

【詳解】解：A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A錯誤；

B.是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故B錯誤；

C.是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故C正確；

D.是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故D錯誤.

故選：C.

2.下列方程中，屬于一元二次方程的是（）

2

A.x-2y=lB.x2+3=-C.x2-2y+4=0D.x2-2x+l=0

x

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵.

根據(jù)一元二次方程的定義，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方

程，即可求解.

【詳解】解：A、x-2y=l,含有2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項不符合題意；

2

B、X2+3=-,不是整式方程，不是一元二次方程，故該選項不符合題意；

x

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C、x2-2y+4=0,含有2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項不符合題意;

D、2%+1=0,是一元二次方程，故該選項符合題意；

故選：D

3.如圖，在口。中，ZABC=60%則/AOC等于（）

R

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查了圓周角定理.同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，據(jù)此進行解答即可.

【詳解】解：???/ABC=60。，

ZAOC=2ZABC=120°

故選：C

4.已知點A（2,M）和點3（〃,一1）關于原點對稱，貝1］冽+〃=（）

A.1B.-1C.3D.-4

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了關于原點對稱的點的坐標以及代數(shù)式求值，根據(jù)關于原點對稱的點的橫坐標與縱坐標

都互為相反數(shù)求出機與n的值，然后代入式子計算即可.

【詳解】解：點4（2,加）和點8（",-1）關于原點對稱，

n=—2,m=l,

加+〃=1+（-2）=-1,

故選：B.

5.拋物線y=-爐+2的對稱軸是（）

A.直線x=2B.直線x=—2C.直線x=0D.丁軸

【答案】D

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【解析】

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關鍵.

根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可直接得出答案.

【詳解】解：根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知：

拋物線y=-x2+2的對稱軸是直線x=0,即丁軸，

故選：D.

6.將拋物線丁=-2必先向左平移4個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到的函數(shù)表達式為()

A.y=-2(x+4)2-5B.y=-2(%+4)2+5

C.y=—2(x—4)——5D.y=—2(x—4)+5

【答案】B

【解析】

【分析】此題考查了二次函數(shù)的平移.根據(jù)左加右減，上加下減的規(guī)律進行解答即可.

【詳解】解：將拋物線y=-先向左平移4個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到的函數(shù)表達式

為y=-2(x+4y+5,

故選：B

7.某工廠2022年全年某產(chǎn)品的產(chǎn)量為234萬噸，預計2024年全年該產(chǎn)品的產(chǎn)量為345萬噸，設2022年

至2024年該產(chǎn)品的年平均增長率為無，根據(jù)題意列出方程為()

A.234(1+%)2=345B.345(1-%)2=234

C.345(l+x)2=234D.234(1-%)2=345

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關系是解題的關鍵.

根據(jù)工廠2022年全年某產(chǎn)品的產(chǎn)量為234萬噸，預計2024年全年該產(chǎn)品的產(chǎn)量為345萬噸，列方程即

可.

【詳解】解：根據(jù)題意，得234(1+療=345,

故選A.

8.如圖，在△ABC中，DE//BC,DE=1,BC=2,則%的后：S四邊形DECB的值是()

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【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相似三角形的判斷方法.先根據(jù)

S1

?！辍?。證明44。￡62^43。，可得1*=]，即可解答.

ABC4

【詳解】解：vDE//BC,

：.NADE=NB,ZAED=ZC,

：.^ADE^AABC,

DE=1,BC=2,

.S口ADE_[DE]_J_,

S口ABCvBCJ4

,,S^ADE-S四邊形DBCE=^AADE?(*^AABC—^^ADE)==J>

故選：D.

9.如圖，在△ABC中，點。是邊3c上任意一點，點￡、P分別是△A3。和口48的重心，如果

5C=6,那么線段ER的長為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了三角形重心、相似三角形的判定與性質(zhì)，連接AE并延長交5。于M,連接AF并延

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長交CD于N,由三角形重心的性質(zhì)得出。DN=-CD,AE=2EM,AF=2FN,從而得

22

EF2

出MN=3,證明△AEEs^AMN,由相似三角形的性質(zhì)可得——=—,計算即可得解.

MN3

【詳解】解：如圖，連接AE并延長交8。于M,連接AF并延長交CD于N,

.?點E、F分別是△A3。和匚ACD的重心,

?.DM』D,DN=-CD,AE=2EM,AF=2FN,

22

;BC=6,

\MN=DM+DN=-BD+-CD=-(BD+CD}=-BC=3,

222、'2

=—=—=ZEAF=AMAN,

AMAN2+13

?,AAEF^AAW，

空二，即空二

MN333

,.EF=2,

故選：A.

DE2

10.如圖，在正方形A5CD中，A5=5,點E是CD邊上一點，且---二一,點尸是5。上一點，若

CE3

3V69

D.

F2

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【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，由正方形的性質(zhì)得到

CD=AB^AD^5,ZBAC=ZACD=ZABD=45°,ZABC=ZADE=90°,則由勾股定理得到

ABAF

AC=5逐，求出DE=2，則AEnJS+DE?=后,再證明△ABP，得到=

ACAE

5AFJ58

即=行=F，即可得到

5j2J292

【詳解】解：如圖所示，連接AC

?四邊形A3CD是正方形，

CD=AB=AD=5,ZBAC=ZACD=ZABD=45°,ZABC=NADE=90°,

AC=YJAB2+BC-=5V2，

DE2

,~CE=3'

3

CE=-CD=3,

5

DE=2,

?**AE=VAC2+D￡2=V29

AFAE=ABAC=45°,

：.NBAF=ZCAE,

又：乙?、NACE=45°,

/\ABFs/\ACE,

ABAFan5AF

-------=--------，即—1=-I——，

ACAE5V2V29

2

故選：B.

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二、填空題

11.如圖，ZVIBC與ODEE是位似圖形，相似比為1:3,OA=2,則。。的長為

【答案】6

【解析】

【分析】本題考查了位似圖形、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關鍵.先根據(jù)位

AC1

似圖形的性質(zhì)可得一=—,AC//DF,再證出△OACs4。。/，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可得.

DF3

【詳解】解：:△ABC與口。EE是位似圖形，相似比為1:3,

AT1

—=—,AC//DF,

DF3

△OACsXODF,

.ODDF

"04-AC

1.,OA=2,

.i=3,

2

解得OD=6,

故答案為：6.

12.若方程（a-2）--2一3%=0是關于％的一元二次方程，則。的值為

【答案】-2

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，方程的兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且整理后未知數(shù)的

最高次數(shù)都是2,象這樣的方程叫做一元二次方程.根據(jù)未知數(shù)的最高次數(shù)是2,且二次項的系數(shù)不等于0

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列式求解即可.

【詳解】解：?.?方程（a-2）x"、2—3x=0是關于X的一元二次方程，

***42-2=2且a-2w0,

a——2.

故答案為：-2.

13.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象,其中與無軸的一個交點坐標是（5,0）,對稱軸是直線x=2,

【答案】（TO）

【解析】

【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，掌握二次函數(shù)對稱性是解題的關鍵.

利用二次函數(shù)對稱性求解即可.

【詳解】解：?.?二次函數(shù)丁=。必+）工+。的部分圖象，其中與X軸的一個交點坐標是（5,0）,對稱軸是直

線％=2,,

它與X軸的另一個交點的橫坐標為：2-（5-2）=-1.

它與尤軸的另一個交點的橫坐標為：（-1,0）.

故答案為：（T,O）.

14.如圖，四邊形A3CD內(nèi)接于口。，過點8作交CD于點E.若NBEC=50°,則NA3C

等于_____________度.

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【解析】

【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，先由兩直線平行，同位角相等得到

ND=ZBEC=50°,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補進行求解即可.

【詳解】解：AD,

ZD=NBEC=50。，

?..四邊形A5CD內(nèi)接于口。，

；?ZABC+ZD=180°,

ZABC=130°,

故答案為：130.

15.方程必+4%一5=0的解是再=1，馬=—5,現(xiàn)在給出另一個方程（2x—l『+4（2x—1）-5=0,它的

解是.

【答案】％=1或%=一2

【解析】

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，設2x—1=/,則方程（2%-1）2+4（2%-1）—5=0可以化為

產(chǎn)+々—5=0,根據(jù)題意可得方程〃+勿—5=0的解是6=1，L=-5,則2%-1=1或2x—1=—5,

據(jù)此求解即可.

【詳解】解：設2x—l=f,則方程（2x—iy+4（2x—1）-5=0可以化為r+4-5=0，

?.?方程f+4x—5=0的解是％=1，々=-5,

方程產(chǎn)+期一5=0的解是％=1，t2=-5,

***2x—1=1或2x—1=—5,

解得I=1或%=-2,

故答案為：x=l或％=—2,

16.如圖，已知拋物線y=2%—3,拋物線與入軸從左到右分別交于A、點以在拋物線的對稱軸

上，點N為拋物線上位于第四象限一點，滿足ON=6。”.點P在拋物線上，且滿足NC4P=NCMO,

則點尸的坐標為.

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【解析】

【分析】在AP上取一點Q，使得NACQ=45°,過點Q作延長線于X,分別過點Q、C作V

軸的垂線，分別與過點X平行于丁軸的直線交于點E、F,交工軸于點。，根據(jù)點M在拋物線的對

稱軸上，0N=60M，求出點N的坐標，求出直線ON的解析式，進而求出點M的坐標，根據(jù)相似三角

形的判定與性質(zhì)，證明口ACQS^MCO,得出四=A2=史，結(jié)合圖形與坐標，求出AQ、QC,

MCMOOC

利用AAS證明口后。"4口"fC,證明口人。”應AOC,得出包=42=2乜，求出A。、DH,根

ACOAOC

據(jù)圖形與坐標，求出點。的坐標，結(jié)合點A的坐標，求出直線AQ的解析式，結(jié)合拋物線的解析式，求出

點P的坐標即可.

【詳解】解：如圖，在AP上取一點Q,使得NACQ=45。，過點。作QHLCA延長線于X,分別過點

Q、C作丁軸的垂線，分別與過點H平行于丁軸的直線交于點E、F,EE交工軸于點

AQEH=乙HFC=90°,

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?.?拋物線y=f—2x-3,拋物線與x軸從左到右分別交于A、B,

.?.當＞=。時，尤2一2%—3=0，

(x+l)(x-3)=0,

解得：%=-1,々=3,

當x=0時，y=-3,

AA(-l,0),3(3,0),C(0,-3),

**?OA=1,OB-OC=3＞AC=VOA2+OC2-V10,

ZBCO=NACQ=45°,

3k+b=0

設直線BC解析式為，=&，貝時,。,

b=-3

k=\

解得：11嗔,

b=-3

?,?直線3c解析式為y=x—3,

點M在拋物線的對稱軸上，ON=瓜)M，

h-2

點M的橫坐標=——=-----=1,點N的橫坐標：點M的橫坐標

2a2

=ON；OM=COM：OM=也,

.??點N的橫坐標=百，

,當x=百時，y=(6)—2xV3—3=—2-73?

:.N出-2月,

設直線ON解析式為＞=依，奧'也k=—26，

解得：k=-2,

直線ON解析式為y=-2x,當x=l時，y=-2,

AM(1,-2),

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MO='(l-Oj+C2-0)2=后,MC=^(1-0)2+[-2-(-3)]2=收，

:直線3c解析式為y=x—3,當x=l時，y=-2,

???點M也在線段3c上，

ZACQ=AMCO=45°,

ZCAP=ZCMO,

：.UACQ^UMCO,

.ACAQQC

''MC~MO~OC'

.yflO_AQ_QC

..正=方=亍'

解得：AQ=5,QC=345,

?ZZACQ=45°,QHLCA,

.?.NQ〃C=90。，"。=。"=隼=①，AH=HC-AC=?

V222

AEHQ+AFHC=9Q°,

又?；AEHQ+AEQH=90°,

NEQH=ACHF,

在△EQH和口尸“。中,

ZQEH=ZHFC=90°

<ZEQH=ZFHC,

HQ=CH

，口EQZMFHC(AAS),

ZADH=ZAOC=90°,ADAH=AOAC,

：.HADH^OAOC,

AHADDH

~AC~~OA~"oc

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13

解得：AD=~,DH=-,

22

13339

EH=RC=AD+04=—+1=—,EQ=FH=DH+DF=—+0C=—+3=—,

22222

33

:.DE=EH+DH=—+—=3,

22

19

??.點。的縱坐標=3,橫坐標=—1----1—=3,

22

2（3,3）,

,,/、—k,+Z?.=0

設直線AQ的解析式為y+把A（-l,0）,Q（3,3）代入得：J

5kx+4=3

f,3

解得：\

偽=二

I14

33

直線AQ的解析式為y=+

-44

..?點P是直線AQ與拋物線的交點，

33

-2x-3=-x+-,整理得4/-llx-15=0.

44

因式分解得：（4x-15）（x+l）=0,

解得：%=?，%=-1（為點A的橫坐標），

15315357

點P的橫坐標=上，縱坐標=9xa+2=上，

444416

點P的坐標為（二,.

1416；

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圖形與坐標、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、

相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，綜合性強，難度較大，熟練掌握知

識點、作輔助線推理、數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵.

三、解答題

17.解下列方程：

⑴/一2%—3=0；

(2)2(l-x)2=x-l.

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【答案】（1）為=—1,%=3

【解析】

【分析】本題主要考查了解一元二次方程：

（1）把方程左邊利用十字相乘法分解因式，然后解方程即可；

（2）先移項，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可.

【小問1詳解】

解：-X2-2X-3=0,

：.（x-3）（x+l）=0,

/.x—3=0或x+l=0,

解得X]=-1，尤2=3;

【小問2詳解】

解：2（l-x）~=x-1,

A2（X-1）2-（X-1）=0,

A[2（x-l）-l]（x-l）=0,

2.x—2—1=0或x—1=0,

3

解得%]=Lx2.

18.如圖，在等邊中，。為3c邊上一點，若NADE=60°,求證：口。?！?0人8。.

【答案】見解析

【解析】

【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，能夠找到兩角相等是證得

口DCE血48。的關鍵.

由NADE=60。，證明ZBAD=NEZ）C,可證得口。?！昊厝?￡）.

【詳解】證明：:□ABC是等邊三角形，

第14頁/共26頁

NB=NC=60°,

?/ZADE=60°,

ZADB+ZEDC=180°-60°=120°,

?/ZB=60°,

ZADB+ZBAD=120°,

ABAD=NEDC,

:.UDCETABD.

19.關于x的一元二次方程x2-(3+m)x+3m=0.

(1)試判斷該方程根的情況；

(2)若為，尤2是該方程的兩個實數(shù)根，且2%-玉4+2%=12,求加的值.

【答案】(1)當根=3時，A=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；當相力3時，口＞0,方程有兩個不相等的實

數(shù)根；

(2)m=-6

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系及根的判別式：

(1)根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷即可；

(2)1艮據(jù)2占一石X2+2々=12求出加即可.

【小問1詳解】

解：A=+-4x3mxl=m2+6m+9-12m=(m-3)2,

???當加=3時，A=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；

當根w3時，口＞(),方程有兩個不相等的實數(shù)根.

【小問2詳解】

%1+x=3+m

解:由題意得《2

玉龍2=3m

2再-石無2+2%=12,

2(3+m)-3m=12,

解得：m=-6.

20.如圖，A3是口。的弦，點。是A3的中點，連接。。并反向延長交口。于點C.若

AB=CD=16,求□。的半徑.

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c

【解析】

【分析】本題主要考查垂徑定理與勾股定理的運用，掌握垂徑定理是解題的關鍵.

設□。的半徑為廣，根據(jù)點。是A3的中點，CD是過圓心。的直線，可得CDLAB,在Rt口40。中，由

勾股定理得。42=A。？+OD2，即可求解.

【詳解】解：如圖，連接。1,

C

;點。是A3的中點，CD是過圓心。的直線，

ACD1AB,AD=-AB=-xl6=8,

22

在RtnAon中，由勾股定理得。&=AD2+OD2,

即戶=82+(16-r)2,解得廠=10,

...□。的半徑為10.

21.如圖，已知□。的直徑為A5,點C在圓周上(異于A,B),AD±CD.

,4F----------斗

(1)若BC=6,。4=5,求AC的長;

第16頁/共26頁

(2)若AC是ND43的平分線，求證：直線CD是口。的切線.

【答案】(1)8(2)見解析

【解析】

【分析】(1)由直徑所對的圓周角是直角得到AABC是直角三角形后，直接利用勾股定理即可求解;

(2)連結(jié)。C,證明AD〃OC,再得到NDCO=90°,利用切線的判定即可證明.

【小問1詳解】

-：0A=5,

：.AB=10.

■：AB為直徑，

ZACB=90°,

VBC=6,AB=10,

根據(jù)勾股定理可得：AC=-JAB2-BC2=8，

；?AC的長為8.

【小問2詳解】

連結(jié)OC,

???OA=OC,

:.ZCAO=ZOCA

???AC是NZM5的角平分線，

ZDAC=ZCAO

ZDAC=ZOCA,

GO//AD

：.ZD+ZDCO=18Q°,

-.?ADLCD,

：.ND=90。,

ZDCO=90°,

OC1CD

直線CD是口。的切線.

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【點睛】本題考查了圓周角定理的推論、勾股定理、角平分線的定義、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定

定理等內(nèi)容，熟練掌握相關性質(zhì)及判定定理是解題關鍵.

22.某地今年種植12萬千克的蓮藕，計劃在甲、乙兩店銷售，其中在乙店的銷售量為x(萬千克)，銷售情

況如下表:

甲店乙店

利潤(萬元/萬千克)2-0.2%+4.2

(1)若在甲店銷售蓮藕2萬千克，求銷售完這批蓮藕的獲利總數(shù)；

(2)若該地銷售完所有蓮藕后，共獲利28.8萬元，求x的值.

【答案】(1)66萬元

(2)x的值為3或8

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，正確列式計算是解題的關鍵.

(1)因為今年種植12萬千克的蓮藕，在甲店銷售蓮藕2萬千克，則在乙店銷售蓮藕10萬千克，再結(jié)合銷

量與單價利潤乘積即為總利潤，進行列式計算，即可作答.

(2)結(jié)合銷量與單價利潤乘積即為總利潤，進行列式2x(12-x)+(-0.2x+4.2)x=28.8,然后計算，則

占=3,々=8,即可作答.

【小問1詳解】

解：依題意，2x2+[―0.2x(12—2)+4.2]x(12—2)=66(萬兀)，

???在甲店銷售蓮藕2萬千克，銷售完這批蓮藕的獲利為66萬元；

【小問2詳解】

解：依題意,2義(12—x)+(-0.2%+4.2)x=28.8,

則爐-11+24=0,

解得玉=3,&=8,

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該地銷售完所有蓮藕后，共獲利28.8萬元，%的值為3或8.

23.閱讀與思考

請閱讀以下材料并完成相應的任務.

偉大的古希臘數(shù)學家、哲學家、物理學家阿基米德提出了有關圓的一個引理.這個引理的

作圖步驟如下：

①如圖，已知反§,C是弦A5上一點，作線段AC的垂直平分線DE,分別交于點

D,AC于點E,連接AD,CD.

②以點D為圓心，Z14的長為半徑作弧，交于點F（F,A兩點不重合），連接

DF,BD,BF.

引理的結(jié)論：BC=BF.

（1）任務一：用尺規(guī)完成材料中的作圖，保留作圖痕跡，并標明字母.

（2）任務二：請你完成引理結(jié)論的證明過程.

【答案】（1）圖見解析；

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線段和線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法結(jié)合題意作圖即可；

（2）先由線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=CD,則由等邊對等角得到ND4C=NAC。，再由圓內(nèi)接四

邊形對角互補和平角的定義得到NBCD=ZBFD,再根據(jù)弦與圓周角的關系推出NABD=NDBF,則可

證明口BCD^JBFD(AAS),得到BC=BF.

【小問1詳解】

【小問2詳解】

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證明：垂直且平分AC,

:.AD=CD,

ZDAC=ZACD.

ZDAB+NBFD=180°,ZACD+NBCD=180°,

ZBCD=ZBFD.

AD=DF,

：.CD=DF,NABD=ZDBF,

.HBCZ)^OBFD(AAS),

BC=BF.

【點睛】本題主要考查了線段和線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弦與圓周角之間的關

系，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知相關知識是解題的關鍵.

24.如圖1,A3為□。的直徑，A3=12,C是□。上異于的任一點，連接AC,3C,過點A作射線

4。，4。,。為射線從。上一點，連接CD.

(1)若點C,O在直線A3同側(cè)，且求證：四邊形A3CD是平行四邊形；

(2)若在點C運動過程中，始終有NADC=60°,連接。D.

①如圖2,DADCs口C4B時，求。。的長度；

②求長度的取值范圍.

【答案】(1)見解析(2)①。。=2亞；②2百百

【解析】

【分析】(1)根據(jù)A3為□。的直徑，得出NAC3=90°,證明DC//AB,即可得出四邊形

A5CD為平行四邊形；

(2)①根據(jù)口4。。60。13,ZADC=60°,得出ZCAB=ZADC=60°,求出

1CD==二=4百

AC=ABxcos60°=12x-=6,sin60°J3,根據(jù)NOCD=30。+60。=90°,得出

2—

2

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OD=VCD2+OC2=，（4可+62=2V2T；

②過點A作射線AAB,使NAOE=60°,連接OC,CF.得到NOE4=30。，OF=12,根據(jù)

ACAp

AF=6OA.AC=43AD，可得一=——，根據(jù)ND4O=NCAR,得到口。1/8004。，得

ADOA

絲=4￡=G,得到0。=且CT.根據(jù)。歹―OCWCTWOb+OC,得到6WCTW18,即得

DOAD3

2V3<<9D<6V3.

【小問1詳解】

證明：為口。的直徑，

ZACB^90°,

?：AD1AC,

：.ZDAC=90°,

ZDAC=NACB,

AD//BC,

：.ZB+ZDAB=180°,

???ZADC=ZB,

：.ZADC+ZDAB=180°,

：.DC//AB,

.??四邊形A3CD為平行四邊形；

【小問2詳解】

解：①如圖，連接。C.

■：DADC^nCAB,ZADC=60°,

ZCAB=ZADC=60°,

VZACB^90°,AB=12,

AC=ABxcos60°=12x—=6,

2

ZCAD=90°,

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3篇ZDCA=90°-60°=30°,

2

'/OC=OA=—AB=6，XCAO=60°,

2

△AC。為等邊三角形，

ZACO=60°,

二NOCD=30°+60°=90°,

在RtDCOD中，OD=^CD-+OC2=+6?=2萬；

②如圖，過點A作Ab_LAB,使NAOb=60。，連接OC,CF.

則NOAE=90。，

NOEA=30。，

OF=2OA=12,

；?AF=60A=673，

tanZADC=tan60°=V3，

/?AC=6AD，

.??芷=竺=6

ADOA

?；ADAC=ZOAF=90°,

ZDAC+ZCAO=ZOAF+ZCAO,

即ZDAO=ZCAF,

：.UCAF^UDAO,

.?產(chǎn)=生=百，

DOAD

：.OD=—CF.

3

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■：OF-OC<CF<OF+OC,

：.6<CF<18,

273<OD<673.

【點睛】本題主要考查了圓與三角形綜合.熟練掌握圓周角定理推論，平行四邊形的判定，勾股定理解直角

三角形，銳角三角函數(shù)解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，是解決問題的關鍵.

25.如圖，拋物線丁=。/+法+3與1軸交于4(一3,0),8兩點，與丁軸交于C點，對稱軸直線x=-1.

(2)如圖1,直線x=-1與拋物線，x軸分別交于點M,N,ND，AC于點。，點E在坐標平面內(nèi)，若

S&DNC=S^ABE,求點E的縱坐標；

(3)如圖2,若過(2)中點。的直線與拋物線交于尸、。兩點(點尸在點。左側(cè))，過P點的直線

丁=2%+。與拋物線交于點尺，探究直線QR是否經(jīng)過某個定點？若經(jīng)過某定點，求該定點的坐標；若不

經(jīng)過定點，請說明理由.

【答案】(1)y=-f-2x+3

(2)±1

(3)經(jīng)過定點(一2,5)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)拋物線丁=。必+句;+3與x軸交于4-3,0),對稱軸為直線x=—1,得

9〃—3b+3=0

<b,，即可解得拋物線解析式為》=-/一2/+3；

、2a

(2)易得N(TO),過。作。軸于X,求出C(0,3),OC=3,可得NCAO=NACO=45°,

故△AON,HAHD,都是等腰直角三角形，又AN=OA—ON=2,即得。(一2,1),分割法求

出S^DNC，再根據(jù)5口.￡=343?|先|=生》陽，進行求解即可；

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(3)設過點。(一2,1)的直線為y=^+d,則1=-2左+1,即得直線P。解析式為丁=依+2左+1,由

—%2—2尤+3=kx+2k+1得x~+(Ji+2)尤+2k—2=0,設P(jn,—m~—2m+3),Q(ji,—n~—2w+3),則

m+n=-k-2