專題03平面向量的線性運(yùn)算（考點(diǎn)清單知識導(dǎo)圖+5個(gè)考點(diǎn)清單+3種題型解讀）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（滬教版）

PAGE1專題03平面向量的線性運(yùn)算（考點(diǎn)清單，知識導(dǎo)圖+5個(gè)考點(diǎn)清單+3種題型解讀）【清單01】實(shí)數(shù)與向量相乘設(shè)k是實(shí)數(shù)，是向量，那么k與相乘所得的積是一個(gè)向量，記作.若，則；若，則；【清單02】運(yùn)算律（1）實(shí)數(shù)與向量相乘對于實(shí)數(shù)加法的分配律：；（2）實(shí)數(shù)與向量相乘對于向量加法的分配律：；（3）實(shí)數(shù)與向量相乘的結(jié)合律：.【清單03】平行向量定理如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)m，使.【清單04】單位向量長度為1的向量；設(shè)與非零向量方向相同的單位向量為，則：，.【清單05】向量的線性運(yùn)算向量加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算.已知是兩個(gè)不平行的向量，向量可以用表示成（x，y是實(shí)數(shù)）的形式.那么：向量就是向量的合成（向量分解為兩個(gè)向量）；向量是向量分別在方向上的分向量，或者是向量關(guān)于的分解式.【考點(diǎn)題型一】實(shí)數(shù)與向量相乘【例1】（23-24九年級上·上海長寧·期中）下列命題中，錯(cuò)誤的是（

）A．如果或，那么B．如果、為實(shí)數(shù)，那么C．如果（為實(shí)數(shù)），那么D．如果或，那么【變式1-1】（23-24九年級上·上海崇明·期中）已知（其中k為實(shí)數(shù)）．下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．若，那么 B．若，那么一定是非零向量C．若，那么與的方向相反 D．若是單位向量，那么的模是【變式1-2】（23-24九年級上·上海閔行·期中）已知是非零向量，如果與同方向的單位向量記作，那么下列式子中正確的是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（22-23九年級上·上海徐匯·期中）計(jì)算：．【變式1-4】（2024·上海普陀·一模）化簡：．【變式1-5】（23-24九年級上·上海楊浦·期中）已知向量與單位向量方向相反，且，那么．（用向量的式子表示）【變式1-6】（23-24九年級上·上海黃浦·期末）已知向量與是互不平行的非零向量，如果，那么向量與是否平行？答：．【變式1-7】（23-24九年級上·上海普陀·期中）如果向量與單位向量的方向相反，且長度為4，那么，（用表示）【變式1-8】（2024·上海楊浦·三模）已知在梯形中，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，，設(shè)，那么．（用含的式子表示）【變式1-9】（22-23九年級上·上海青浦·期中）如圖，在矩形中，于點(diǎn)，，且．(1)求的長；(2)如果，，試用、表示向量．【考點(diǎn)題型二】向量相關(guān)概念【例2】已知非零向量、和，下列條件中，不能判定的是（

）A．，B．，C．D．【變式2-1】下列說法中不正確的是（

）A．B．對于非零向量、、，，，則C．若，那么或D．若、均為單位向量，那么【變式2-2】已知在四邊形中，記，，，．如果向量、、、都是單位向量，那么下列描述中，正確的是（

）A．向量與方向相同，且向量與方向相同B．向量與方向相同，且向量與方向相同C．向量與方向相反，且向量與方向相反D．向量與方向相反，且向量與方向相反【變式2-3】已知是一個(gè)單位向量，、是非零向量，那么下列等式正確的是（）A． B． C． D．【變式2-4】下列說法中正確的是（

）A．如果或，那么B．如果與均是單位向量，那么C．如果是單位向量，的長度為5，那么D．如果、為非零實(shí)數(shù)，為非零向量，那么．【變式2-5】已知、為非零向量，下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么或 D．如果為單位向量，且，那么【變式2-6】下列判斷不正確的是（

）A．；B．如果向量與均為單位向量，那么或；C．如果，那么；D．對于非零向量，如果，那么．【變式2-7】向量和單位向量的方向相反，且，那么．（用表示）．【變式2-8】如圖，在中，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在和上，，將沿直線翻折，點(diǎn)D落在邊上的點(diǎn)G處，若則=（用表示）【考點(diǎn)題型三】向量的線性運(yùn)算【例3】（23-24九年級上·上海嘉定·期末）如圖，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，那么等于（

）A． B．C． D．【變式3-1】（24-25九年級上·上?！て谥校┰谥?，點(diǎn)D、E分別為上的點(diǎn)，且，，用向量表示向?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【變式3-2】（23-24九年級上·上?！るA段練習(xí)）已知四邊形是菱形，給出下列各式：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式3-3】（20-21九年級上·上海虹口·階段練習(xí)）已知：向量、、滿足，試用、表示向量．【變式3-4】（2023·上海虹口·一模）如果向量、和滿足，那么【變式3-5】（2023·上海奉賢·二模）如圖，在平行四邊形中，為對角線，E是邊的中點(diǎn)，連接．如果設(shè)，，那么（含的式子表示）．【變式3-6】（2024九年級上·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且設(shè)，，那么可用、表示為．【變式3-7】（24-25九年級上·上?！て谥校┑妊菪沃?，，E、F分別是的中點(diǎn)，，設(shè)，則用向量表示可得=

【變式3-8】（23-24九年級上·上?！て谥校┤鐖D，在中，點(diǎn)D、E分別是邊上的點(diǎn)，，如果，那么．（用表示）【變式3-9】（23-24九年級下·上海黃浦·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，對角線、相交于點(diǎn)．為邊上一點(diǎn)，且，設(shè)=，．作中垂線交于F，則【變式3-10】（23-24九年級下·上海閔行·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E、F在對角線上，且，如果把圖中線段都畫成有向線段，那么在這些有向線段表示的向量中，與相等的向量是【變式3-11】（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，、分別是的兩條中線，設(shè)，那么向量用向量，表示為．

【變式3-12】（24-25九年級上·上?！て谥校┤鐖D，已知向量、，求作向量并求作向量在向量、向量方向上的分向量．【變式3-13】（23-24九年級上·上?！て谥校┤鐖D，是平行四邊形的邊延長線上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)．交于點(diǎn)，，設(shè)，．(1)用向量、分別表示下列向量：_____________，_____________，_____________．(2)在圖中求作向量分別在、方向上的分向量．（不寫作法，但要寫出結(jié)論）【變式3-14】（23-24九年級上·上?！るA段練習(xí)）如圖，在梯形中，，，對角線相交于點(diǎn)，設(shè)，．(1)試用，的式子表示向量；(2)在圖中作出向量在方向上的分向量，并寫出結(jié)論．【變式3-15】（23-24九年級上·上?！るA段練習(xí)）已知，如圖，點(diǎn)在平行四邊形的邊C