斜拉橋拉索參數(shù)振動的理論與數(shù)值分析

研究生學位論文斜拉橋拉索參數(shù)振動的理論與數(shù)值分析TheoreticalandNumericalAnalysisontheParametricVibrationofCablesinCable-stayedbridges申請學位級別工學碩士專業(yè)橋梁與隧道工程指導教師李永樂教授二○○九年五月摘要斜拉橋是廣泛采用的大跨度橋梁形式之一。作為斜拉橋的主要受力構(gòu)件之一，斜拉索具有大柔度、小質(zhì)量、小阻尼的特點。拉索易在風荷載或者交通荷載的作用下發(fā)生大幅度的參數(shù)振動，影響全橋的安全性與耐久性。因此，對斜拉索參數(shù)振動進行理論研究與數(shù)值分析是非常必要的。本文首先研究了無垂度張緊弦、小垂度拉索、大垂度拉索動力特性的差別，以及造成差別的原因。然后，分別考慮理想激勵和非理想激勵建立了拉索的參數(shù)振動模型。通過Galerkin方法得出了拉索非線性參數(shù)振動微分方程表達式，采用多尺度方法研究了方程中參數(shù)激勵項、外激勵項、非線性項和阻尼對拉索振動特性的影響。采用數(shù)值積分方法得出了拉索在外激勵作用下發(fā)生強迫共振和參數(shù)激勵下發(fā)生參數(shù)共振時拉索的響應曲線；建立了拉索面內(nèi)－面外耦合振動模型，得出了面內(nèi)－面外耦合振動方程組；采用多尺度方法分析了拉索面內(nèi)與面外耦合振動的特性，并用數(shù)值計算方法得出了3維空間拉索面內(nèi)－面外發(fā)生耦合振動的響應曲線。采用有限元方法，基于ANSYS建立了實際拉索的三維空間的參數(shù)振動模型，考慮拉索的應力剛化和幾何非線性，對拉索進行了瞬態(tài)動力分析。計算結(jié)果表明，有限元方法和數(shù)值方法計算差別不大。最后，從實際工程出發(fā)，建立了實際斜拉橋全橋有限元模型，評估了實際橋梁拉索發(fā)生大幅振動的可能性。對實際結(jié)構(gòu)設計中如何考慮減少或避免拉索發(fā)生大幅振動的可能性提出了建議。關鍵詞:斜拉橋；拉索；參數(shù)振動；非線性振動；有限元

AbstractThelongspancable-stayedbridgesarewidlyusedforlarge-spanbridges.Asthemainmemberstosupporttheweightofthebridge,thestayedcablesarepronetovoilencevihibitparametricoscillationwithlargeamplitudeunderthewindortrafficloadsduetoit’shighflexibility,lowdampingandsmallmass.Thisoscillationcangreatlyaffecttheperformanceofthebridge.Inordertoimprovethedesignofcable-stayedbridgeitisimportanttostudythemechanismofthevibrationandperformnumericalanalysis.Firstofall,thedynamiccharacteristicsofthecableswithdifferentsagsareinvestigatedandthereasonwhichcausethevaritionarediscussedinthisdissertation.Andthen,takingtheidealizedexcitationandnonidealizedexcitationintoconsideration,themodelsofparametricoscillationforcablesarebuiltup.ThenonlinearoscillationdifferentialequationisgotbyGalerkinmethod.Accordingtotheequation,theinfluenceofparametricexcitation,externalexcitation,nonlineartermsanddampingareinvestigated

bymultiple-scalemethod.ResponsecurveisobtainedformainresonanceandparametricresonancebynumericalanalysiswithRunge-Kuttamethod.Inordertoobtainthecouplingnonlinearvibrationequations,acouplingvibrationmodelofin-plantandout-of-plantoscillationisbuiltup.Multiple-scalsmethodisusedforcalculatingtheequationset.Theresponsecurveofcableswhichinthree-dimensionalspaceisdeteminedforin-plantandout-of-plantcouplingvibrationbynumericalmethod.BasedonANSYS,accordingtothecharacteristic

ofparametricoscillation,three-dimensionalmodelsforcableswhichtakestressintensificationandgeometricnonlinearityintoconsiderationarebuiltupfortransientanalysis.Theresultsshowthatthereisalittledistinctionbetweenfiniteelementanalysisandnumericalanalysis.Atlast,athree-demensinalfiniteelementmodelisbuiltupforarealbridge.Accordingtotheprincipleofparametricoscillation,wecanfindoutwhichcablemayoccurmainresonanceorparametricresonance.Theresultscanprovidereferencesfordesigningofcable-stayedbridges.Keywords:cable-stayedbridge;cable;parametricoscillation;nonlinearoscillation;finiteelementmethod;目錄第一章緒論 第二章帶垂度拉索的自振特性2.1引言斜拉索是斜拉橋的主要受力構(gòu)件，它具有大柔度、小質(zhì)量和小阻尼的特點。在風或者交通荷載的作用下，當橋面或橋塔的振動頻率接近拉索固有頻率的倍數(shù)時，拉索有可能產(chǎn)生大幅度參數(shù)振動。這種現(xiàn)象已經(jīng)在實際橋梁中多次觀察到。因為斜拉橋是多索系統(tǒng)，全橋的振動頻率很容易與索的振動頻率接近，拉索的參數(shù)振動容易被激起[24]。一般情況下，斜拉橋的拉索由于索力很大而導致拉索在自重作用下的垂度有限。因此，對于拉索的動力特性的計算通常是按照標準弦來處理的。但經(jīng)Irvine的研究表明[25]，拉索的動力特性與反映索的拉伸及重力垂度的無量剛參數(shù)密切相關。隨著的增大會出現(xiàn)面內(nèi)一階（對稱）振動頻率與二階（反對稱）振動頻率相互跨越的現(xiàn)象。拉索的振動是一種綜合性的現(xiàn)象，但不論是何種導致拉索振動的形式都是在了解拉索自身的動力特性的基礎上來研究的。因此，在研究拉索產(chǎn)生大幅度參數(shù)振動的機理之前有必要對拉索本身的動力特性作深入的了解。以往的拉索動力特性研究通常都是采用解析方法，但解析方法一般只適用于自由度較少的問題，且在推導過程中因人而異地采用了各種各樣的簡化和假設。本章利用有限元方法對拉索的動力特性進行了數(shù)值分析，驗證了一般斜拉索動力特性解析方法的正確性，并對拉索在不同垂度下的動力特性進行了分析，得出了一些有意義的結(jié)論。2.2索的振動方程本節(jié)首先討論標準弦和具有較小垂度的拉索微幅振動時的動力學方程，根據(jù)理論公式計算實橋拉索頻率，然后采用通用有限元軟件ANSYS對拉索進行模態(tài)分析，并與理論計算結(jié)果進行了對比。2.2.1標準弦的振動方程圖2.1弦的橫向振動本節(jié)討論兩端固定、無垂度、以張力H拉緊的弦的振動。設弦的單位長度質(zhì)量為m，以變形前弦的方向為x軸，橫向撓度v(x,t)設為小量對于圖2-1中所示長度為dx微元體有：圖2.1弦的橫向振動（2.1）圖2-1標準弦振動模型微振動時展開得：圖2-1標準弦振動模型（2.2）將式(2.2)和代入式(2.1)得：，0<x<l（2.3）索的兩端固定，由索的邊界條件，根據(jù)Galerkin方法，可選擇振型函數(shù)（2.4）其中n為所求模態(tài)階次，取一階模態(tài)n=1代入（2.3）式,可得到弦上每一點的動力平衡方程，乘以振型函數(shù)并在x軸上對l積分，并考慮粘性阻尼得如下以時間為變量的動力學方程：（2.5）方程（2.5）描述了兩端固定的無垂度弦存在微小振動時一階模態(tài)的動力平衡關系。其中弦振動的線性頻率為（2.6）為粘性阻尼系數(shù)，工程頻率（Hz）f=由以上結(jié)論可知，對于無限自由度的連續(xù)系統(tǒng)通?？梢圆捎肎alerkin方法，選擇一組符合邊界條件的函數(shù)作為振型函數(shù)，將連續(xù)系統(tǒng)化簡為單自由度系統(tǒng)求解，對于式，v(x,t)代表在弦上任意一點處對應的位移響應。2.2.2小垂度索的振動方程圖2-2小垂度拉索模型在推導有較小垂度拉索面內(nèi)振動方程時由于幾何非線性的作用，不能忽略動拉力的軸向的一階分量，假定微小振動時由于拉索變形產(chǎn)生的力的增量在軸向的分量為h圖2-2小垂度拉索模型（2.7）其中，H為拉索靜拉力軸向分量，h為動拉力軸向分量，v為面內(nèi)橫向振動模態(tài)函數(shù)，y為有垂度拉索曲線線型函數(shù)。由文獻[27]可知垂度曲線y的表達式為（2.8）計拉索變形前（靜態(tài)）弧長微段為，變形后（動態(tài)）為，若不計軸向變形的影響有：（2.9a）（2.9b）則動應變?yōu)閇25]：（2.10）切向拉力與軸向分量有如下關系：（2.11）對于微幅振動有：（2.12）由于，所以由（2.10）～（2.12）可得：（2.13）對于微幅振動來說，的高階項是可以忽略的，因此得到的表達式為[25]：（2.14）（2.15）其中，為拉索長度。由于斜拉橋拉索垂度很小，這里取索的振動模態(tài)為標準弦的振動模態(tài)[19]即：（2.16）根據(jù)Tagata[20]的實驗指出，張緊弦的自由振動，基本模態(tài)占主要地位，固取式（2.16）的一階振動模態(tài)，考慮線性阻尼，采用Galerkin方法將（2.8）、（2.14）和（2.16）式代入（2.7）式中，方程兩邊乘以振型函數(shù)，沿x軸方程對l求積分并化簡得到如下以時間為變量的動力學方程：（2.17）方程（2.17）描述了小垂度索微小振動時一階模態(tài)的動力平衡關系，其中：（2.18）（2.19）（2.20）（2.21）即為有垂度拉索一階振動的固有頻率，的表達式（2.6）中的標準弦頻率表達式相同，為阻尼系數(shù)。工程頻率f1=。式（2.18）中的即為反映拉索重力垂度對拉索自振頻率影響的Irvine參數(shù)。由以上推導過程可知由于一般斜拉索索力很大，垂度很小，因此，對于小垂度拉索可以近似的認為le=l即（2.22）但在索存在較大的重力垂度時，更真實的反映了拉伸及重力垂度對拉索頻率的影響。通常，拉索的垂度特征可以用垂跨比或者Irvine參數(shù)來描述[22]。在下文的大垂度拉索自振特性分析中，本文采用更直觀的垂跨比來描述。2.3有限元自振特性分析本節(jié)采用通用有限元軟件ANSYS對以上推導的方程進行驗證，并通過軟件中的模態(tài)分析程序求解大垂度拉索的振動模態(tài)。2.3.1實橋拉索自振特性分析本節(jié)采用某斜拉橋拉索的相關數(shù)據(jù)在ANSYS中進行有限元模態(tài)分析驗證計算。使用Link8單元選取編號為m1～m9的拉索進行模擬，采用（2.6）弦的一階頻率的計算公式與ANSYS計算的面內(nèi)一階頻率結(jié)果對比如表2-1所示，采用（2.22）面內(nèi)一階頻率計算公式與ANSYS面內(nèi)一階頻率計算結(jié)果如表2-2所示。表2-1不考慮垂度時拉索頻率拉索編號拉索傾角(°)索力(KN)長度(m)彈性模量E每延米質(zhì)量(Kg/m)理論計算面內(nèi)一階頻率(Hz)ANSYS計算一階頻率(Hz)m135326846.8111.96e1160.12.490722.4928m230329959.7571.96e1160.11.960351.9618m328332172.931.96e1160.11.611611.6121m426343686.1651.96e1160.11.387481.3884m525352499.4741.96e1160.11.217141.2181m6243665112.7751.96e1160.11.094851.0959m7233833126.4281.96e11680.938940.9388m8233924139.841.96e11680.858910.8590m9224024153.2521.96e11680.793660.7938表2-2考慮重力垂度時拉索頻率拉索編號拉索傾角(°)索力(KN)長度(m)彈性模量E每延米質(zhì)量(Kg/m)理論計算面內(nèi)一階頻率(Hz)ANSYS計算面內(nèi)一階頻率(Hz)m135326846.8111.96e1160.12.49432.4982m230329959.7571.96e1160.11.96531.9695m328332172.931.96e1160.11.61781.6223m426343686.1651.96e1160.11.39441.3991m525352499.4741.96e1160.11.22481.2297m6243665112.7751.96e1160.11.10291.1078m7233833126.4281.96e11680.95000.9560m8233924139.841.96e11680.87050.8768m9224024153.2521.96e11680.80570.8120從表2-1中可以看出，不考慮重力垂度時理論公式計算與有限元軟件計算面內(nèi)一階頻率是非常接近的，相差數(shù)量級為10-4。從表2-2中可以看出當考慮重力垂度時ANSYS中計算的拉索一階面內(nèi)頻率是偏大的，且當拉索的長度增加時偏大的值增加。這主要是因為理論公式中沒有考慮拉索在重力作用下的軸向變形和拉索在重力作用下變形對軸向靜拉力H的影響。而在ANSYS中直接采用了傾斜拉索計算，其在重力作用下的變形包括了豎向和軸向，因此結(jié)論更加精確。值得注意的是，ANSYS拉索模態(tài)計算結(jié)果中存在面外一階模態(tài)，且面外一階模態(tài)的頻率和振型與面內(nèi)一階模態(tài)是很接近的。單獨的討論面外振動是沒有實際意義的，因為事實上有垂度拉索的受激勵（參數(shù)激勵或外激勵）產(chǎn)生的面外振動必然會激起面內(nèi)振動而導致面內(nèi)－面外耦合振動的發(fā)生。面內(nèi)、外耦合振動的特性將在第三章中討論。2.3.2大垂度拉索自振特性分析對于較大垂度的拉索，由于幾何非線性的影響，拉索的線性振動模態(tài)將會有很大的變化，這時通過Galerkin方法選擇符合邊界條件的振型函數(shù)會變得相當復雜。本節(jié)將采用有限元軟件分析大垂度拉索的線性振動模態(tài)。應該注意的是，由于在ANSYS中拉索的模態(tài)解為小振動的線性解，且拉索長度較大，因此本節(jié)振型曲線圖均作了比例放大處理。同樣采用上節(jié)中編號為m6的拉索通過在ANSYS中的迭代找型方法，得到每延米質(zhì)量相同的拉索在不同垂度下的形態(tài)，通過模態(tài)分析求解，可得到不同垂度下的頻率與振型。m6拉索參數(shù)：索長l=112.775(m)，傾角=，索力T=3665(Kn)每延米質(zhì)量m=60.1(kg/m)，彈性模量E=1.96e11(Pa)，截面積A=0.012272(m2)。由ANSYS計算可知拉索的面內(nèi)外一、二階振動頻率值如下表2-3所示。表2-3中第一行數(shù)據(jù)是根據(jù)M6號拉索的真實參數(shù)求得的。索的不同垂跨比的情況通過懸索的迭代找型方法[28]得到，迭代過程中除了索力有較大變化，索長有較小變化外，索的其他參數(shù)均不變。表2-3m6拉索不同垂跨比面內(nèi)、面外的一、二階頻率垂度(m)跨度(m)垂跨比(%)面內(nèi)一階頻率(Hz)面內(nèi)二階頻率(Hz)面外一階頻率(Hz)面外二階頻率(Hz)0.231361112.7750.2051.10782.20081.09992.20080.308279112.7750.2730.98991.95230.97571.95230.399969112.7750.3540.87981.7040.85191.7050.559167112.7750.4950.78111.4340.71681.43421.087376112.7750.9640.79061.0220.51081.0221.140371112.7751.0110.80470.99740.49860.99771.31009112.7751.1620.84510.94360.47180.94381.476312112.7751.3090.88430.89980.44850.89721.5406112.7751.3660.88780.88780.43980.8901圖2-4拉索隨垂度頻率變化圖面內(nèi)2階面內(nèi)1階面內(nèi)2階面內(nèi)1階面內(nèi)2階面內(nèi)1階面內(nèi)2階面內(nèi)1階面外2階面外1階面外2階面外1階面外2階面外1階面外2階面外1階圖2-5m6拉索振型圖（垂跨比0.21%）圖2-6垂跨比1.01%拉索振型圖面內(nèi)2階面內(nèi)1階面內(nèi)1階面內(nèi)2階面內(nèi)2階面內(nèi)1階面內(nèi)1階面內(nèi)2階面外2階面外1階面外2階面外1階面外2階面外1階面外2階面外1階圖2-7垂跨比1.31%拉索振型圖圖2-8垂跨比1.37%拉索振型圖圖2-4是根據(jù)表2-3的數(shù)據(jù)繪出的在不同垂跨比下索的面內(nèi)一、二階頻率和面外一、二階頻率的變化趨勢圖。從圖中可以看出，隨著垂跨比的增加，索的面內(nèi)一階頻率與面內(nèi)二階頻率在一定垂跨比時將會達到頻率跨越點（即：垂跨比達到1.37%時面內(nèi)一階頻率與二階頻率相等）。而面內(nèi)二階振型與面外二階頻率一直沒有太大差別，這和實際情況是相同的。圖2-5～圖2-8是ANSYS計算中給出的索在各個有代表性不同垂度下的振型圖。圖2-5中是實橋m6號拉索的振型，從圖中可以看出拉索的面內(nèi)一階振型和二階振型差別很大，但和面外一階振型差別很小。圖2-6中可以看出隨著垂度的增加拉索的一階振型已經(jīng)發(fā)生了一些變化，且面內(nèi)一階頻率和面內(nèi)二階頻率差別變小了。圖2-7反映了拉索面內(nèi)一階振型在較大垂度下發(fā)生了明顯的變化，出現(xiàn)了二階振型的特征，面內(nèi)一階頻率與二階頻率更加接近。在圖2-8中，在具有1.37%垂跨比的情況下，拉索的面內(nèi)一階模態(tài)與面內(nèi)二階模態(tài)已經(jīng)基本上相同了。同時在圖2-5～圖2-8中也可以看出面內(nèi)二階模態(tài)與面外二階模態(tài)的差別一直是很小的。文獻[26]的研究也表明，由于實際斜拉索的垂度很小，因此面內(nèi)和面外的振動頻率很接近，面內(nèi)與面外容易發(fā)生1：1耦合共振。但實際斜拉橋在施工狀態(tài)有可能存在較大垂度。因此，在動荷載的作用下振動模式與成橋狀態(tài)有所不同。根據(jù)文獻[29]的描述，在實驗中也觀察到，隨著拉索垂度的增加，索的面內(nèi)一階振動逐漸被面內(nèi)二階振動所替代。由于面內(nèi)二階振動與面外二階振動頻率的接近，索的面外二階振動會激起面內(nèi)二階振動。索將從面內(nèi)－面外一階耦合振動過渡到面內(nèi)－面外二階耦合振動。這也與本文通過有限元分析得出的結(jié)論一致。2.4本章小結(jié)本章對斜拉橋拉索的振動特性采用Galerkin方法選取了簡單的正弦模態(tài)函數(shù)進行理論分析，導出了有垂度拉索微幅振動時的振動方程，得出了有垂度拉索振動的自振頻率表達式。采用通用有限元軟件ANSYS進行了驗證，并對比了同一拉索在不同垂度下動力特性的計算結(jié)果，討論了垂度對拉索自振特性的影響。第三章拉索參數(shù)振動的理論分析3.1引言斜拉索的振動從本質(zhì)上來說是非線性的。非線性指的是兩個量之間的依賴關系不能用一條直線來表示。在運動方程中，恢復力與位移不成正比或阻尼力不與速度一次方成正比的系統(tǒng)的振動，稱為非線性振動。目前，關于線性振動理論已達到了完善的地步，在工程上也已取得廣泛和卓有成效的應用。例如固有頻率或振型、共振現(xiàn)象等，線性振動理論都能給出滿意的結(jié)果。在結(jié)構(gòu)工程的分析計算中，通常都把系統(tǒng)盡可能地線性化，舍棄一些非線性項，使系統(tǒng)便于計算并能滿足一定的精度要求。但在實際問題中，總有一些用線性理論無法解釋的現(xiàn)象。一般說來，線性模型只適用于小運動范圍。對于斜拉橋結(jié)構(gòu)，這種柔性的、具有大位移的、超靜定次數(shù)多的非線性系統(tǒng)，按線性問題處理不僅在量上引起較大誤差，而且有時還會出現(xiàn)質(zhì)上的差異，這就促使人們研究這類結(jié)構(gòu)的非線性振動。研究非線性振動問題，有定性幾何方法和定量方法兩種途徑。斜拉橋中的參數(shù)共振問題作為一個從工程問題中抽象出的非線性振動問題，不同于小自由度問題，難以從數(shù)學上進行定性的研究，只能對其進行定量的研究。引起斜拉索振動的激勵類型通常有兩種（1）激勵作為系統(tǒng)運動方程的非齊次項出現(xiàn)（2）激勵作為運動方程的變系數(shù)出現(xiàn)。第一種激勵稱為外激勵，第二種激勵稱為參數(shù)激勵。對于斜拉索，這兩類振動的特點是：在風荷載或車輛荷載作用下，橋面或橋塔產(chǎn)生振動。當拉索端點振動的橫向分量產(chǎn)生的外激勵頻率接近于索的固有頻率一倍時，拉索會發(fā)生在外激勵作用下的主共振。斜拉索端點振動的軸向分量產(chǎn)生的軸向激勵作為參數(shù)激勵出現(xiàn)在拉索的振動方程中。當參數(shù)激勵頻率接近于索的固有頻率的兩倍時，拉索將發(fā)生在參數(shù)激勵作用下的主參數(shù)共振?？紤]形式為：的方程，式中為任意的一個小參數(shù)，是的非線性函數(shù)，E代表激勵源。這里我們可以把兩種激勵源區(qū)分一下。第一種，激勵利用了這樣的能源，這個能源被假定為無窮大，或者大到被激系統(tǒng)對它的影響可以忽略，在這種情況下，即E并不是系統(tǒng)狀態(tài)、的函數(shù)。這種能源稱為理想激勵。第二種，激勵利用了有限的能源，因而被激系統(tǒng)才對它有明顯的影響。這種情況下，，即E是系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)，這種能源稱為非理想能源。根據(jù)能源的情況系統(tǒng)也分為理想系統(tǒng)或非理想系統(tǒng)。A.PintodaCosta(1996),J.L.Lilen(1994),MichelVirlogeux(1998)等對斜拉索參數(shù)振動做過研究，MichelVirlogeux也建立了索橋相互作用的兩質(zhì)量模型，重點研究了強迫振動，認為當索橋的固有頻率很接近時，索端小的橫向振動可以使索產(chǎn)生極大的振幅。Kovacs曾指出，當激勵的頻率是索的固有振動頻率的2倍時，索的振動特性將是不穩(wěn)定的，同時還給出了簡單的最大振幅公式。Tagata研究了索的一階參數(shù)振動，把索認為是無重量的弦(不計垂度的影響，導出了無量綱的Mathieu方程。Takahashi用特征值方法計算了不穩(wěn)定區(qū)域的邊界。國內(nèi)學者，汪至剛[23]、亢戰(zhàn)[24]（2000）分別建立了各自的索一橋耦合參數(shù)振動模型，文獻將拉索簡化為一小的集中質(zhì)量，首先提出了一個簡化的索—橋耦合振動模型，并用精細時程積分進行了數(shù)值分析，得出了拉索在橋面振動下產(chǎn)生參數(shù)振動的可能性。浙江大學陳水生（2003）[22]考慮索的垂度、由于大位移而引起的幾何非線性及橋面質(zhì)量（或索端激勵）運動而導致的索內(nèi)力的變化等因素的情況下，推導了斜拉索的非線性參數(shù)振動振動方程，使用Galerkin方法將索的方程轉(zhuǎn)化為對時間的常微分方程，分別建立了索－橋耦合參數(shù)振動模型及受軸向端部激勵的參數(shù)振動模型。采用多尺度法和數(shù)值分析結(jié)合更加精確的描述了斜拉索的參數(shù)振動。從國內(nèi)外的研究資料來看，對拉索振動的研究通常有兩種方式（1）把斜拉橋主體結(jié)構(gòu)對斜拉索的參數(shù)激勵和外激勵當做理想激勵源，建立拉索振動微分方程，如文獻[30]。（2）把激勵源作為非理想激勵，即考慮拉索和橋面或者橋塔的耦合振動，建立振動微分方程組，如文獻[22]。通過兩種研究方式，對于斜拉索最后都可以建立一個包含參數(shù)激勵的和外激勵的非線性振動微分方程。第一種方式中拉索的振動對激勵源無影響。第二種方式一般就是建立索－橋耦合非線性振動方程組，拉索的振動方程中橋面的位移作為參數(shù)激勵項，而拉索對激勵源（即橋面的振動）的影響通過拉索變形的動張力（在橋面振動方向的分量）來體現(xiàn)。本文認為，考慮實際情況時，上述兩種研究方式并無本質(zhì)區(qū)別。實際斜拉橋中橋面以及橋塔的質(zhì)量遠遠大于拉索的質(zhì)量，且當斜拉橋在風荷載或者大量的車輛荷載的作用下時，橋面產(chǎn)生振動往往是持續(xù)且不可避免的?？紤]理想激勵的參數(shù)振動模型與非理想激勵的索－橋耦合參數(shù)振動方程組模型相比是一種較極端的情況，但兩者都體現(xiàn)了參數(shù)振動的本質(zhì)。理想激勵模型中方程形式更加簡單，有利于研究各個非線性項與拉索振動的關系，確定參數(shù)振動發(fā)生的條件和原理。研究拉索參數(shù)振動的目的最終是為了避免或者減小參數(shù)振動的發(fā)生，在這一點上，兩種研究方式的目的是一致的。本文中主要討論了理想激勵作用下拉索的振動，同時也建立了非理想激勵模型并采用數(shù)值積分方法對方程進行了求解。本章中考慮了索的垂度、大位移而引起的幾何非線性，推導了由于橋面運動產(chǎn)生的軸向激勵和橫向激勵，以及斜拉索在外激勵和參數(shù)激勵下的振動方程，使用Galerkin方法將偏微分方程轉(zhuǎn)化為對時間的常微分方程。采用經(jīng)典的定量分析方法多尺度法對振動微分方程進行了分析。分別討論了方程中非線性項、阻尼、外激勵項、參數(shù)激勵項對索的振動特性的影響。分析了拉索發(fā)生外激勵下主共振、參數(shù)激勵下的參數(shù)共振的特性，并以圖形的方式說明了拉索發(fā)生參數(shù)振動的不穩(wěn)定區(qū)域。采用數(shù)值積分方法求解拉索參數(shù)振動微分方程，繪制了拉索發(fā)生主共振和參數(shù)共振的最大響應圖。3.1.1多尺度方法介紹本文對拉索參數(shù)振動的非線性微分方程采用多尺度方法來定量分析，多尺度方法屬于求解非線性微分方程攝動方法中的一種，其基本思想是將一個振動過程用不同時間尺度、、、…來表達，時間尺度的階次越高，振動過程的變化越迅速。這里是假定為攝動項的小參數(shù)，可以通過方程自身的變換引入方程，也可以自己設定。引入時間變量，（3.1）把上面的時間變量看作是獨立的自變量，則非線性方程的解就是這個自變量的函數(shù)。引入新的時間變量以后，系統(tǒng)微分方程中的時間導數(shù)成為對的偏導數(shù)展開式：（3.2）（3.3）其中，為微分算子符號。設方程的解為：+…（3.4）將（3.2）～（3.4）代入需要求解的微分方程，歸并方程中的同次冪系數(shù)得到關于、、、…的微分方程組，通過求解方程組，得到系統(tǒng)的近似解析解。多尺度方法方程的設解階數(shù)越高，求解結(jié)果就越接近真實解，但求解過程中代數(shù)上的復雜性會隨著設解階數(shù)大幅度增加。對于非線性動力方程，一般為了討論方程解反映的振動特性，假設二階解已經(jīng)足夠。關于多尺度方法的具體思想和詳細求解過程，以及近似解的精確性的討論，可以參看A.H.奈弗關于非線性振動求解方法的著作[19][31][32]。3.2斜拉索非線性參數(shù)振動方程本節(jié)考慮有垂度索由于大位移而引起的幾何非線性以及索端部運動而導致的索的內(nèi)力變化等因素。推導索的非線性參數(shù)方程。為了使問題簡化又體現(xiàn)問題的本質(zhì)，本文在推導拉索非線性參數(shù)振動微分方程時，作了以下假定：不計索的抗彎剛度、抗扭剛度；認為索的重力垂度曲線為拋物線；認為拉索的質(zhì)量是沿索弦向（即X軸上）均勻分布的；索的變形本構(gòu)關系滿足虎克定理且各點受力均勻；不記重力對索軸向拉力的影響；在實際情況中，如圖3.1所示，拉索端部豎向運動的位移激勵可以分解為沿軸向（X方向）與沿橫向（Y方向）的位移激勵。在端點有沿軸向位移激勵時，由于考慮了拉索垂度的影響，方程中存在參數(shù)激勵和外激勵項。在端點有沿橫向的位移激勵時，由于橫向加速度的作用，本節(jié)建立方程時將橫向位移激勵通過變動的邊界等效為橫向簡諧外激勵。在拉索端部存在位移激勵時，由于端部位移相對斜拉索的長度是很小的，所以為了簡化模型同時反映問題的本質(zhì)，方程中沒有考慮端部位移對拉索本身長度、垂度、的影響。圖3-1斜拉橋參數(shù)振動模型圖3-2拉索微段力學模型圖不考慮傾斜索的軸向變形，考慮垂度時，在圖3-1的坐標系下，根據(jù)圖3-2同時考慮重力的作用時，拉索的面內(nèi)振動微分方程可表示為如下形式：（3.5）其中T為在重力作用下的切向靜拉力，為索的振動拉伸而產(chǎn)生的附加切向動拉力，s為索的動力變形弧長坐標，m為索單位長度質(zhì)量，為索在X－Y面內(nèi)的傾斜角度，y為索的自重在Y方向產(chǎn)生的垂度曲線，為拉索的振動模態(tài)函數(shù)。計變形前（靜態(tài)）弧長微段為，變形后（動態(tài)）為，若不計軸向變形的影響有：（3.6a（3.6b）則動應變?yōu)閇25]：（3.7）切向拉力與軸向分量有如下關系，h為軸向動拉力，H為軸向靜拉力：（3.8）將（3.8）代入（3.5）中可得：（3.9）垂度曲線y的表達式為（3.10）為拉索兩端點的距離，考慮靜力平衡，，原方程為：（3.11）其中：考慮到由（3.7）、（3.8）可得h的表達式為：（3.12）若拉索振幅不大則 （3.13）對將（3.13）式代入（3.12）求積分得到（3.14）（3.15）這里值得注意的是，式（3.15）中的是Irvin參數(shù)的表達式中的一項[25]，Irvin參數(shù)是反映索的拉伸與垂度對線性振動的影響參數(shù)，對于拉索微幅的線性振動式（3.15）是成立的。而當研究拉索大幅度非線性振動時為動態(tài)變形弧長微段，表達式由式（3.6b）所示，因此有：（3.16）那么對于有（3.17）為靜力變形弧長坐標，對于拉索的大幅度振動（3.15）式顯然是偏小的，而得到的動拉力值h是偏大的。但若將（3.17）式代入（3.12）式，則最后得到的動力學方程中將包含隨時間變化的變系數(shù)而使方程形式過于復雜，不利于進行定性和定量分析。這里為了簡化研究對象同時反映問題本質(zhì)。由于斜拉橋拉索的垂度很小，由（3.15）可以認為，得到考慮端部軸向激勵時軸向動拉力h的表達式為：（3.16）面內(nèi)振動模態(tài)還是可以采用Galerkin方法[22]近似取索的振動模態(tài)為標準弦模態(tài)同時考慮邊界條件，即：（3.17）由于張緊弦的端激勵振動，基本模態(tài)占主要地位[20]，故取（3.17）中的一階振動模態(tài)，將（3.10）、（3.16）和（3.17）代入（3.11）式，同樣由Galerkin方法可以求得拉索上每一點的動力平衡方程，如下：（3.18）其中、為積分系數(shù)，方程兩邊乘以型函數(shù)，沿軸對積分，整理系數(shù)并考慮粘性阻尼的作用得：（3.19）其中：（3.20）為拉索粘性阻尼系數(shù)，是考慮垂度影響時索的線性自振頻率，是端點位移產(chǎn)生的等效外激勵幅值。式（3.19）即為小垂度拉索在端部有豎向位移激勵時面內(nèi)非線性振動方程。方程中同時存在參數(shù)激勵與外激勵，彈性恢復力項中存在平方項與立方項，其中參數(shù)激勵與外激勵的頻率是相同的。觀察外激勵項可以發(fā)現(xiàn)，外激勵項中存在項，這是由在拉索垂度的影響下軸向激勵力在Y方向的分量產(chǎn)生的。外激勵項主要是由拉索端點沿Y方向的強迫激勵產(chǎn)生的。系數(shù)、a2、a4中也存在項，即與索的傾角和垂度曲線y有關。當傾角為0度時，即方程中不存在參數(shù)激勵而只有外激勵項。當拉索傾角為90度時拉索沒有垂度。拉索振動方程中只存在參數(shù)激勵項。3.3斜拉索非線性自由振動特性當不考慮端部激勵時，方程（3.19）即為張緊拉索發(fā)生一階模態(tài)大幅度振動時的非線性振動方程。由非線性振動理論可知，非線性振動的頻率與振幅有關。同時由于非線性項階次的影響，在外激勵作用下，非線性振動中除了主共振外還存在超諧波共振、與次諧波共振等現(xiàn)象。當Ux=0、Uy=0時，即不考慮參數(shù)激勵和外激勵時，方程（3.19）為：（3.21）其中系數(shù)、a2、a3意義與（3.20）中相同。這是一個包含2次項與3次項非線性恢復力的振動方程。文獻[19]中指出，非線性項對振動系統(tǒng)的影響與非線性項的階次和系數(shù)有關。微小振幅時，高階項的值較小振動接近線性振動。在振幅的增加時，為了精確表示方程解所需要的項數(shù)也隨之增長，且振動的頻率是依賴于振幅的。在系統(tǒng)具有較大振幅時，方程中的立方項有一種強化恢復力的作用，此外還有顯著改變相位的作用。而方程中的平方項會使振動會出現(xiàn)漂移，即運動的中心不在平衡位置。3.3.1多尺度法求解采用多尺度法對方程（3.21）進行分析可以得到關于方程中的非線性項對振動特性的影響。這里不記阻尼的影響，具體過程如下：設則在（3.21）式中：，（3.22）將（3.22）代入（3.21）得：（3.23）不記阻尼的影響：（3.24）為了簡便，且符合習慣，以下還是記：=，=，方程的自變量為t，則得到方程（3.21）不記阻尼的無量綱變換式[31]如下：（3.25）設，為小參數(shù)，得到的攝動方程形式為：（3.26）采用多尺度法，這里討論二次近似的情況，將解用不同時間尺度表示出來，設方程的解的形式為：（3.27）其中T0=t，T1=t，T2=2t將上式代入攝動方程（3.26）并改寫為微分算子形式，展開令兩端的的同次冪系數(shù)相等，得到方程（3.26）的二次近似微分方程組：（3.28a）（3.28b）（3.28c）設零次方程的解為復數(shù)形式：（3.29）這里A為復數(shù)形式的自由振動振幅，為A的共軛復數(shù)，將（3.29）式代入（3.28b）式中整理得：（3.30）其中cc代表方程右端復數(shù)項的共軛復數(shù)項，根據(jù)文獻[31]，為了避免長期項出現(xiàn)，如果方程（3.30）存在周期解，則滿足：（3.31）因此，得到一次近似方程為：（3.32）解出V1的表達式：（3.33）將式（3.29）、（3.33）代入二次近似方程（3.28c），得到：（3.34）其中cc按照慣例，代表前面各項的共軛項。同樣根據(jù)消除長期項的條件，若方程（3.34）存在周期解，則滿足：（3.35）所以二次近似方程為：（3.36）的表達式為：（3.37）為了求解二次近似解的表達式，將復數(shù)的導數(shù)寫為（3.38）其中，和分別由式（3.31）和（3.35）確定，將和的表達式代入（3.38）得到A應滿足的微分方程：（3.39）將復函數(shù)A寫為指數(shù)形式：（3.40）其中和皆為t的實函數(shù)，代入方程（3.39）分離實部與虛部，積分得到：（3.41a）（3.41b）其中和分別為振幅和初始相位，取決于初始條件。將上式代入（3.40）再代入（3.29）、（3.33）、（3.37），最后將、、的表達式代入（3.27）得到拉索不記阻尼的非線性自由振動二階近似解如下：+（3.42）其中：（3.43）將代入（3.43），再代入（3.42）則得到方程（3.21）不記阻尼的自由振動二階近似解。3.3.2非線性項的影響通常對于非線性振動我們關心的主要不是解的具體形式，而是非線性項和各個系數(shù)對振動特性的影響。所以，觀察二階近似解（3.42）等式右邊包含了和這兩項，這說明了二階非線性項會引起所謂的振動漂移現(xiàn)象，即：使振動曲線向負坐標位置移動。偏移值和振幅有關。將代入（3.43）可知。拉索發(fā)生大幅度一階自由振動時頻率的二階近似解為：（3.44）其中為線性自振頻率，，對于給定的拉索是一個固定值，拉索自由振動的頻率由變量確定。因此，根據(jù)攝動方法的思想，式（3.44）可以看做是關于振幅的級數(shù)展開，若越大，則需要滿足精度要求的解的階數(shù)就越多。當振幅較小時，上式是接近精確解的。當一定時，和這兩項分別代表了3次非線性項和2次非線性項對拉索振動頻率的影響，可以看出3次非線性項使拉索振動頻率增加，起硬彈簧的作用，而二次非線性項使拉索振動頻率減小，起軟彈簧的作用。為了討論拉索垂度引起的二階非線性項對頻率的影響程度，設：（3.45）這里R代表了二次非線性項與三次非線性對頻率影響貢獻的比值，在表3.1中列出了某實橋m4～m15號拉索的R的值?？梢钥闯?，對于長度小、傾角大的拉索（如：m4）由于垂度很小，2次非線性項的影響是相對很小的，所以R值是很小的。對于長度大、傾角小的拉索（如：m15）由于垂度較大，R值相對較大，長索的非線性振動方程中2次項的影響相對短索較大。表3-1各拉索非線性自由振動方程系數(shù)對比拉索編號索力H(kN)傾角(°)長度l(m)每延米質(zhì)量m(kg/m)截面積A(㎡)彈性模量E(Pa)頻率(幅度/s)非線性系數(shù)非線性系數(shù)m43436.026.086.16560.10.01231.96e118.71787.8217.670.0506m63665.024.0112.77560.10.01231.96e116.87924.356.020.0738m83924.023.0139.84068.00.01391.96e115.39673.022.550.1361m104101.022.0166.69068.00.01391.96e114.62842.051.260.1719m124355.021.0193.46068.00.01391.96e114.10961.440.700.1960m144537.021.0220.29968.00.01391.96e113.68361.070.410.2248m154630.021.0233.71068.00.01391.96e113.50760.930.330.2381通過以上分析，可以知道，斜拉索發(fā)生大幅度振動時，頻率與振幅有關。在非線性振動方程中，3次非線性項起硬彈簧的作用，使振動頻率隨著振幅的增加而增大，而2次非線性項導致振動漂移且起軟彈簧的作用，使振動頻率隨著振幅的增加而減小，但總的來說，斜拉索呈現(xiàn)非線性硬彈簧的性質(zhì)。同樣由表3-1可知，對于短的拉索，由于非線性項系數(shù)很大，拉索的振動體現(xiàn)了較強的非線性性質(zhì)，且R值很小，3次非線性項起主導作用；對于長的拉索，雖然R值相對較大，二次項的作用相對較大一些，但非線性項的系數(shù)都較小，振動的非線性性質(zhì)較弱，其中3次非線性項還是起主導作用。因此，本文認為：定量分析外激勵或者參數(shù)激勵作用下索的非線性振動特性，對于一般的索可以只考慮方程中起主導作用的3次非線性項。對于很長或者超長的斜拉索。相同振幅下，由于非線性項系數(shù)很小，拉索的非線性性質(zhì)較弱。振動接近線性振動，考慮非線性時同樣可以只考慮3次非線性。3.3.3數(shù)值計算結(jié)果選取表3-1中實橋m6號拉索，和m15號拉索，分別設拉索中點的初始位移為4米，初速度為0，設索的阻尼系數(shù)為0，根據(jù)方程（3.21）采用用四階龍格庫塔法做數(shù)值計算，位移時間歷程圖如下：圖3-3m6索線性振動與非線性振動曲線圖3-4m15索線性振動與非線性振動曲線圖3-5m6拉索振動曲線圖3-6m15拉索振動曲線圖3-3、3-4分別為m6、m15索在方程（3.21）中不考慮非線性項與考慮非線性項時，振幅為4m拉索中點的自由振動曲線。從圖中可以看出相同振幅下考慮非線性項時拉索的振動頻率明顯增加了。這說明對于拉索的大幅度振動必須要考慮索的非線性性質(zhì)，否則可能造成不可靠地結(jié)果。同樣可以從圖中看出，相同振幅下長索的非線性性質(zhì)比短索弱，頻率增加較小。圖3-5、3-6分別為m6、m15索，方程（3.21）中不考慮二次非線性項與考慮二次非線性項振幅時，振幅為4m拉索中點的自由振動曲線。從圖中可以看出二次非線性項造成了振動漂移現(xiàn)象。和理論描述一致，二次非線性項的作用是使振動頻率變小。相同振幅下，由于短索的非線性較強、頻率較大，二次項對頻率的影響相對長索較為明顯。但總的來說二次項對拉索的頻率影響是較小的。根據(jù)振動理論，拉索是否發(fā)生共振的條件為激勵頻率與拉索振動頻率（或頻率倍數(shù)）的接近程度。因此，本文認為對于實際斜拉橋，分析拉索的非線性振動性質(zhì)時可以不考慮二次非線性項的影響（即垂度對斜拉索大幅度振動頻率的影響）。3.4斜拉索非線性強迫振動特性根據(jù)前面的分析可知，在斜拉索端點發(fā)生豎向振動時，拉索振動方程（3.19）中存在外激勵項和參數(shù)激勵項。本節(jié)將對外激勵下拉索的發(fā)生共振的振動特性進行理論分析。將方程（3.19）改寫為如下形式：（3.46）由3.3節(jié)中的分析且從實際工程情況考慮可知：對于實際斜拉索，由于索力很大，垂度效應產(chǎn)生的2次非線性項對拉索振動頻率的影響很小。因此在討論強迫振動時忽略2階項，可以把方程（3.46）改寫為：（3.46）上式即為標準張緊弦的在外激勵作用下的非線性強迫振動方程。同樣采用多尺度法分析方程（3.46），可以從理論上說明在外激勵下斜拉索可能存在的振動特性，將方程（3.46）改寫為如下形式：（3.47）其中=，，為小參數(shù)，設采用多尺度法，這里只討論一次近似的情況，將方程的解用不同時間尺度表示出來，設方程的解的形式為：（3.48）其中T0=t，T1=t，與3.3節(jié)相同，將（3.48）式代入（3.47）式并把微分方程改寫為微分算子的形式，外激勵用T0來描述，方程如下：（3.49）展開后令兩端的和的系數(shù)相等，得到一階近似方程：（3.50a）（3.50b）設零次近似方程的解為：（3.51）其中A為復數(shù)形式的自由振動振幅，而受迫振動振幅為實數(shù)，（3.52）將零次近似解代入一次近似方程（3.50b），整理后得到： （3.53）在此方程的右邊各項中，不僅含的項是可以引起共振的長期項，而且含和的項當或時也能產(chǎn)生長期項。拉索在頻率為的外激勵，作用下在時產(chǎn)生的共振稱為主共振，在或時可能出現(xiàn)次共振現(xiàn)象，分別稱為3次超諧波共振和1/3次亞諧波共振?？紤]在實際情況下，拉索的強迫振動，次共振與這一項有關，通常外激勵頻率和幅值不會過大，因此亞諧波共振不太容易發(fā)生。同時由于阻尼的作用，即使發(fā)生超諧波共振，拉索也不會有太大的位移響應。因此，根據(jù)拉索的實際情況，這里只對最容易發(fā)生的主共振情況做理論上的說明。3.4.1非線性項的作用根據(jù)文獻[33]，系統(tǒng)在外激勵的作用下產(chǎn)生主共振時，小的激勵也可以激起大的振幅。為了體現(xiàn)外激勵項與非線性項的關系，攝動方程中外激勵項也用的一階尺度來描述，這里將方程（3.46）寫為如下形式（3.54）其中=,，,為小參數(shù)，設,采用多尺度法，這里只討論一次近似解，設方程解的形式為：（3.55）其中T0=t，T1=t，根據(jù)文獻[19]，引進一個解諧參數(shù)以代替原來的激勵頻率，這個是和接近程度的定量描述。因此：（3.56）激勵可表示為：（3.57）將（3.55）代入（3.54）中，按照多尺度法將（3.54）寫成微分算子的形式，令兩端的和的系數(shù)相等，可以得到一階近似微分方程組：（3.58a）（3.58b）方程（3.58a）的解可以寫為：（3.59）這里A為復數(shù)形式的自由振動振幅，為A的共軛復數(shù)，將代入（3.58b）中，并把用復數(shù)形式表示，可得：（3.60）式中cc代表前面各項的共軛復數(shù)，根據(jù)消除長期項的條件有：（3.61）將復數(shù)A寫成指數(shù)形式，這里A的物理意義同3.3節(jié)的描述：（3.62）由于，=0。將（3.62）代入（3.61）式，將結(jié)果分離實部和虛部得到：（3.63a）（3.63b）積分上式，并將結(jié)果代入（3.62）、代入（3.59）得到的表達式，最后代入（3.55）可以得到主共振一次近似解：（3.64）式中a、和由式（3.63）給出。在這里我們主要關心并不是主共振解的具體形式，而是在外激勵作用下，非線性系統(tǒng)具有穩(wěn)態(tài)運動時，頻率、振幅、非線性項系數(shù)的關系。方程（3.63）可以變換為一個自治系統(tǒng)，即不顯含t的系統(tǒng)，所以假設（3.65）代入（3.63）其結(jié)果是：（3.66a）（3.66b）在系統(tǒng)具有穩(wěn)態(tài)運動的時候，振幅和相位都是周期變化的，因此振幅和相位是有限的，所以對于穩(wěn)態(tài)運動，必然存在，。對應著方程組：（3.67a）（3.67b）的解。這兩個方程取平方后相加，得到：（3.68）上式中消除了小參數(shù)的影響，方程（3.68）是穩(wěn)態(tài)響應振幅a作為依賴解諧參數(shù)（亦即依賴于激勵頻率）和的隱函數(shù)方程，稱（3.68）為方程（3.54）的頻率響應方程。將=,，，代入方程（3.68）變換為如下形式：（3.69）圖3-7線性強迫振動頻率響應曲線圖3-8非線性強迫振動頻率響應曲線由方程（3.69）可知，拉索非線性振動具有穩(wěn)態(tài)響應時主共振振幅的峰值由確定。若方程（3.46）中無非線性項，則根據(jù)線性振動理論，線性共振穩(wěn)態(tài)響應振幅峰值同樣由確定，線性振動和非線性振動的頻率響應曲線形式分別如圖3-7和3-8所示。與線性振動不同，對于非線性振動，頻率響應曲線是以為骨架曲線的一條非對稱曲線。根據(jù)文獻[19]，這說明了非線性項對拉索的振動有限制作用，外激勵作用下振動具有跳躍性、多值性?？梢钥闯?，不考慮垂度影響的索的非線性振動方程（3.46），骨架曲線的彎曲程度與3次非線性項的系數(shù)有關，實際斜拉索非線性振動方程中>0骨架曲線向正方向彎曲，拉索的振動具有硬彈簧性質(zhì)。因此，短索骨架曲線的彎曲程度較大，而長索由于非線性系數(shù)較小，且二次非線性項起了軟彈簧的作用，骨架曲線的彎曲程度較小。根據(jù)方程（3.69）和圖3-8可知：對于同一根拉索，若激勵幅值Fy增加，則頻率響應曲線會相對骨架曲線升高，對應的穩(wěn)態(tài)響應振幅會變大。3.4.2拍振現(xiàn)象以及阻尼的作用從方程（3.63）中可以看出，對于在理想激勵作用下的主共振，由于3次非線性項的作用，振幅是時間的函數(shù)。由于隨著振幅的增大非線性項使拉索變硬且改變了系統(tǒng)頻率且對振幅的增長具有限制作用。拉索在達到穩(wěn)態(tài)振動之前振幅是不斷變化的，這是拉索發(fā)生主共振的瞬態(tài)過程，通常稱這個過程為“拍振”現(xiàn)象，而阻尼的存在可以使這個過程的時間縮短[41]。外激勵頻率保持不變，隨著時間的增長，非線性項的“調(diào)諧”作用使相位差增加同時由于阻尼的作用使“拍振”現(xiàn)象減弱，當外激勵輸入能量的功率與阻尼耗散能量的速率和非線性恢復力做負功的功率精確的地平衡時，振動將最終達到理論描述的穩(wěn)態(tài)響應[19]，即共振響應下的振幅不再變化。由如圖3-8所示，相同激勵幅值作用下，當時主共振響應不是最大值。激起最大主共振振幅的外激勵頻率應該是略大于拉索固有頻率的。3.5斜拉索非線性參數(shù)振動特性本節(jié)將單獨討論拉索在端部軸向激勵下的參數(shù)振動的特性，對發(fā)生參數(shù)振動時的振動特性進行理論分析。拉索的在端點位移作用下的參數(shù)激勵主要是由在拉索局部坐標系下X方向的位移分量引起的。由3.3節(jié)可知，二次項對斜拉索非線性振動的影響主要是造成較小的位移漂移現(xiàn)象，且對頻率影響不大。對頻率影響主要是3次非線性項，外激勵的影響在3.4節(jié)中已經(jīng)做了理論分析。因此，本節(jié)方程中只考慮參數(shù)激勵項，和3次非線性項，將方程（3.19）改寫為如下：（3.70）這里還是采用多尺度法，考慮讓參數(shù)激勵項進入攝動項，將方程（3.70）改寫為攝動方程如下：（3.71）其中=，，，為小參數(shù)，設，采用多尺度法，這里只討論一次近似的情況，將解用不同時間尺度表示出來，設方程的解的形式為：（3.72）按照多尺度法將方程（3.71）寫成微分算子形式，令兩端的和的系數(shù)相等，可以得到一階近似微分方程組：（3.73a）（3.73b）設方程（3.5.3a（3.74）同時將也寫為復數(shù)形式，即：（3.75）將（3.74）、（3.75）代入（3.73b）式可得：（3.76）由式（3.76）可以看出，當時這一項會引起長期項。這說明，對于參數(shù)振動，當拉索參數(shù)激勵的頻率為固有頻率的2倍時將會引起拉索大幅度振動，通常稱這為主參數(shù)共振（以下稱為參數(shù)共振）。但是由于非線性項的作用，在參數(shù)激勵作用下，拉索的振幅不會無限制增大[19]。3.5.1參數(shù)振動的不穩(wěn)定區(qū)域以下對拉索參數(shù)振動的不穩(wěn)定區(qū)域進行分析。對于方程（3.70）可以假設代入方程得到：（3.77）為了方便且符合表達習慣，以下還是分別將和記為和，將記為t，設=則原式為：（3.78）上式即為一個帶有阻尼項和非線性項的無量綱Mathieu方程和文獻[20]中的描述一樣，其中，，，。因此，我們可以按照標準Mathieu方程的處理方式來討論各個系數(shù)和方程穩(wěn)定性的關系。對于標準的Mathieu方程，文獻[33]采用林滋泰德－龐加萊法和多尺度方法求出了方程的穩(wěn)定過渡曲線和不穩(wěn)定區(qū)域，形式如：（3.79）的方程二次近似解求出的穩(wěn)定過渡曲線形式如下：（3.80a）（3.80b）方程的穩(wěn)定圖如下（陰影區(qū)域為不穩(wěn)定區(qū)域）：圖3-9Mathieu方程在簡諧參數(shù)激勵下的穩(wěn)定圖從反映簡諧參數(shù)激勵的Mathieu方程穩(wěn)定圖3-9中可以看出，當激勵幅值和的值落入不穩(wěn)定區(qū)域時，方程不存在周期解，參數(shù)激勵將引起無限振幅。同樣，由圖可知，在曲線族與橫坐標軸交點（n=1、2、3…）處，只要稍稍偏離零值，就可能出現(xiàn)不穩(wěn)定而導致參數(shù)共振，由，可以推論出：在實際斜拉索中，當參數(shù)激勵的頻率與自由振動的線性頻率滿足（n=1、2、3…）時，就可能發(fā)生參數(shù)共振。當n=1時（即時）參數(shù)激勵引起的共振為主參數(shù)共振，以下稱之為參數(shù)共振。3.5.2阻尼的作用這里先不考慮三次非線性項的作用，對于帶粘性阻尼的Mathieu方程：（3.81）Gunderson,Rigus和VanVleck(1974)[31]提出了確定有阻尼Mathieu方程穩(wěn)定區(qū)域的方法，引入變換，可以將（3.81）改寫為如下：（3.82）上式具有和（3.79）相同的形式，因此阻尼的作用是通過使振幅的增長速率減小并使系統(tǒng)固有頻率從改變?yōu)?)1/2從而促進了穩(wěn)定性[31]。文獻[33]給出了有阻尼的Mathieu方程的穩(wěn)定性過渡曲線和穩(wěn)定圖。穩(wěn)定性過渡曲線：（3.83a）（3.83b）圖3-圖3-10考慮粘性阻尼Mathieu方程穩(wěn)定圖出，在不包含非線性項的Mathieu方程中，阻尼只在一定范圍內(nèi)對不穩(wěn)定區(qū)域的大小有影響，不穩(wěn)定區(qū)域隨著阻尼系數(shù)的增大而升高縮減，當阻尼足夠大時，在一定范圍內(nèi)，（即）附近的不穩(wěn)定區(qū)域變得很小。而（即）附近的不穩(wěn)定區(qū)域還是較大。這說明阻尼對高階的參數(shù)共振有較強的抑制作用，而對主參數(shù)共振的影響相對較小。值得注意的是：當激勵幅值和的值落入不穩(wěn)定區(qū)域時（無非線性項作用）阻尼并不能抑制振幅的無限增長，這一點完全不同于阻尼對強迫振動的作用。3.5.3非線性項的作用如前所述，受參數(shù)激勵的線性系統(tǒng)，在一定條件下，不論是有阻尼還是無阻尼，都具有隨時間無限增長的解。然而，在非線性系統(tǒng)中，一旦運動振幅過大時，非線性就起到了改變系統(tǒng)頻率的作用，從而導致反映外激勵頻率和自振頻率比值的發(fā)生變化，使系統(tǒng)最終進入穩(wěn)態(tài)響應[31]。采用多尺度法分析方程（3.70），將其改寫為如下形式：（3.84）其中，，其他系數(shù)與方程（3.78）相同，設，即這里只討論主參數(shù)共振的一階近似解。設方程的解為：（3.85）其中，將（3.85）代入（3.84）并將方程寫為微分算子形式：（3.86）令兩端的和的系數(shù)相等，可以得到一階近似微分方程組：（3.87a）（3.87b）設方程（3.87a）復數(shù)形式的解為：（3.88）將（3.88）代入（3.87b）并將寫為復數(shù)形式得：（3.89）如前面所述，當時，方程中這一項將引發(fā)主參數(shù)共振，所以，為了表示1接近的程度，可?。海?.90）這樣可以將表示為：（3.91）將（3.91）代入（3.89）得：（3.92）若方程（3.92）存在周期解，則根據(jù)消除長期項的條件：（3.93）將復數(shù)A寫成指數(shù)形式，這里A的物理意義同3.3節(jié)：（3.94）由于，=0。將（3.94）代入（3.93）式。將結(jié)果分離實部和虛部，得到：（3.95a）（3.95b）所以首次近似有如下形式的解：（3.96）這里的值由（3.95）式對時間積分后代入（3.94）再代入（3.88）求出，是初始相位。我們主要關心不是解的具體形式，而是對于斜拉索非線性參數(shù)振動方程，各項系數(shù)和解的穩(wěn)定性的關系。所以設代入（3.95）得到：（3.97a）（3.97b）根據(jù)穩(wěn)態(tài)解存在的條件，必然有由（3.97）式，考慮到，且是小量，消去得到穩(wěn)態(tài)振幅的首次近似由（3.98）給出。這里設對于1的偏移量為，將，，代入（3.98）式，可以得到，穩(wěn)態(tài)振幅的一次近似表達式為：（3.99）由（3.99）可知，非線性參數(shù)共振穩(wěn)態(tài)解存在的條件是，。實際上，對于拉索非線性參數(shù)振動方程（3.70）拉索參數(shù)激勵幅值為，將，，，代入穩(wěn)定解存在條件，得到發(fā)生參數(shù)共振引起大幅振動時，拉索端點豎向位移激勵幅值近似滿足的條件為：（3.100）由（3.100）可知，和強迫振動不同。由于阻尼對參數(shù)共振的發(fā)生有一定限制作用。因此，頻率比滿足條件不一定發(fā)生參數(shù)共振。只有當參數(shù)激勵頻率與拉索固有頻率滿足且拉索端點軸向位移幅值滿足式（3.100）時，參數(shù)激勵才會導致參數(shù)共振而激起拉索的大幅度振動。當=0時，方程（3.99）為：（3.101）值得注意的是，將代入方程（3.101）即為主參數(shù)共振穩(wěn)定曲線方程（3.83a）。根據(jù)（3.101）可以作出由頻率比()相對于變化量、換算激勵幅值（），振幅表示的平面上的近似穩(wěn)定區(qū)域圖和頻率響應曲線。圖3-11受參數(shù)激勵的非線性振動方程圖3-12受參數(shù)激勵的非線性振動方程穩(wěn)定區(qū)域圖頻率響應曲線圖圖3-13受參數(shù)激勵的非線性振動方程穩(wěn)定曲線和頻率響應三維圖圖3-11可以做如下解釋，即：對于所有的初始擾動，不論其振幅是多大，只要在區(qū)域1中，對應的響應都要衰減。在區(qū)域2中，線性系統(tǒng)對任何初始擾動的響應都無限制增長，而非線性系統(tǒng)的響應則有界且可以達到穩(wěn)態(tài)響應。在區(qū)域3中，非線性系統(tǒng)對初始擾動的響應可以是衰減的也可以是達到穩(wěn)態(tài)周期運動的。當激勵幅值一定時，若沿A1、A2變化，則可根據(jù)方程（3.99）得到在一定激勵幅值下受參數(shù)激勵的拉索非線性振動方程的頻率響應曲線的形式如圖3-12。由圖3-12受參數(shù)激勵的非線性振動方程頻率響應曲線圖可知，激勵頻率變化值和換算激勵幅值落在區(qū)域2中時，拉索將產(chǎn)生大幅度的振動，但由于非線性項的作用，斜拉索具有硬彈簧性質(zhì)，頻率響應曲線是彎曲的，拉索振幅不會無限增加，由于阻尼的作用拉索將最終達到穩(wěn)態(tài)響應，拉索的最大響應值為點對應的值。。由于。所以在圖3-12中，可以看出，當時，。因此，我們可以預期拉索參數(shù)共振的特點為：發(fā)生參數(shù)共振時，參數(shù)頻率與拉索自振頻率的關系為，拉索在經(jīng)歷“拍頻”階段后，進入穩(wěn)態(tài)響應。當即時相同激勵幅值下穩(wěn)態(tài)響應振幅不是最大。穩(wěn)態(tài)響應最大振幅對應的參數(shù)激勵頻率略大于。在圖3-13中，、平面的陰影區(qū)為不穩(wěn)定區(qū)域（這里計算的不穩(wěn)定區(qū)域同樣適用于線性振動的情況）。從圖中我們可以更直觀的看出，大的激勵幅值，對應的不穩(wěn)定區(qū)域就越寬，但是由于起主導作用的3次非線性項的影響，振動總是有界的，而且是能達到穩(wěn)態(tài)響應的，大的激勵幅值對應的最大穩(wěn)態(tài)響應振幅也越大。3.6斜拉索參數(shù)振動數(shù)值算例選取實橋3組拉索的數(shù)據(jù)，根據(jù)方程（3.19）采用四階龍格庫塔法作數(shù)值計算，分別計算拉索在一定的頻率比（）、豎向位移激勵（）、粘性阻尼系數(shù)（）的作用下的位移響應圖。拉索數(shù)據(jù)如表3-2所示：表3-2拉索參數(shù)拉索編號長度l(m)傾角(°)截面積A(㎡)彈性模量E(Pa)索力H(kN)每延米質(zhì)量m(kg/m)固有頻率(rad/