三角函數(shù)中的最值模型之胡不歸模型（解析版）

專題15三角函數(shù)中的最值模型之胡不歸模型

胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬

考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，

方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點到線的距離垂線段最短。

【模型背景】從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩點之

間線段最短”，雖然從他此刻位置/到家方之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人

剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”

看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的

一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.

知識儲備：在直角三角形中銳角A的對邊與斜邊的比叫做/A的正弦，記作即sinA=—

斜邊

【模型解讀】一動點尸在直線外的運動速度為％,在直線MN上運動的速度為V2,且V!<V2,4、

B為定點,點C在直線MN上，確定點C的位置使生+些的值最小.（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）

%K

B

1）—BC+^AC\,記上=匕，即求BC+fc4c的最小值.

2）構(gòu)造射線使得sin/DAN9,先=卜,將問題轉(zhuǎn)化為求5C+CH最小值.

3）過3點作BH1AD交MN于點C,交AD于H點,此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小.

【解題關(guān)鍵】在求形如“如+在中的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與任牛相等的線段，將“勿+枕中型問題

轉(zhuǎn)化為“以+PC型.（若%>1,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。

【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短。

例1.（2023上?江蘇淮安?八年級校聯(lián)考期中）已知等邊AABC中，AD1BC,AD=12,若點尸在線段AO

上運動時，JAP+BP的最小值為.

【答案】12

【分析】根據(jù)題意易得AB=AC=3C，ZBAC=ZABC=ZC=6Q°,則有/"4D=NZMC=30。，過點尸作

PELAC于點E,進而可得PE=3AP,當(dāng)gAP+8P取最小時，即PE+成為最小，則有當(dāng)點8、P、E三

點共線且BE，AC時最短，進而可求解.

【詳解】解：回44BC是等邊三角形，0AB=AC=BC,N3AC=NABC=NC=60。，

SADJ.BC,ABAD=ADAC=3Q°,過點尸作尸石，4。于點￡,如圖所示：

S\PE=-AP,^\-AP+BP=PE+BP,團當(dāng)工4尸+8尸取最小時，即PE+3P為最小，

222

團當(dāng)點8、P、E三點共線時且BE,AC時最小，如圖所示：

團AABC為等邊三角形，0BE=AD=12,回《AP+3尸最小值為12；故答案為：12.

【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及含30。角的直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，兩點之間線段最短，

熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)及含30。角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023秋,山東日照,九年級校聯(lián)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AS=2,BC=2y/3,點P是對角線

AC上的動點，連接尸￡>,則F4+2PD的最小值為（）

D

A.B.6C.6乖）D.4

【答案】B

【分析】直接利用已知得出NC4B=60。，再將原式變形，進而得出尸A+P。］最小值，進而得出答案.

【詳解】解：過點A作NGW=30。，過點。作DM,4V于點交AC于點尸，

團在矩形ABC。中，AB=2,BC=2^,0tanZCAB=^=>/3,

0ZC4B=6O°,則NZMC=30°,S\PM=-PA,

2

^PA+2.PD=2^PA+PD^=2（PM+PD）,=2DM=2AD?sin60°=2x2出乂與=6.

即上4+2尸￡）的最小值為6.故選B.

【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

例3.（2023?重慶?九年級期中）如圖所示，菱形ABCO的邊長為5,對角線03的長為4岔，P為OB上一

動點，貝UAP+弓。尸的最小值為（）

A.4B.5C.2A/5D.3A/5

解：如圖，過點A作AHLOC于點H,過點P作PFLOC于點尸，連接4c交OF于點J.

?.?四邊形。1BC是菱形，..AC1,OB,

OJ=JB=2y/5,CJ=JoC。-"=6-（2后=卡,:.AC=2CJ=2下,

l

-.-AHLOC,:.OCAH=OBAC,:.AH=1X4^X275=4）

225

..sinZPOF=—=—=—,:.PF=—OP,AP+—OPAP+PF,

OPOC555

AP+PF..AH,:.AP+—OP.A,.?.">+gOP的最小值為4,故選：A.

55

例4.（2023?云南昆明?統(tǒng)考二模）如圖，正方形A3CD邊長為4,點E是8邊上一點，且NABE=75。.P

是對角線上一動點，則+的最小值為（）

A.4B.4A/2C.D.五+遙

【答案】D

【分析】連接AC,作PGLBE,證明當(dāng)+取最小值時，A,P,G三點共線，且AGL8E,此時最

小值為AG,再利用勾股定理，30。所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出結(jié)果.

【詳解】解：連接AC,作PG工BE

團ABC。是正方形且邊長為4,回NABO=45。，AC1BD,AO=2也，

EIZ/WE=75°,0ZPBG=3O°,S\PG=-BP,

2

團當(dāng)AP+18P取最小值時，A,P,G三點共線，且AG，BE,此時最小值為AG,

2

0ZABE=75°,AG±BE,0ZBAG=15°,0ZBAC>=45°,0ZB4（9=3O°,

設(shè)OP=6,貝i]AP=?,回〃+（2何=（2域,解得：b=當(dāng),

設(shè)尸G=a,貝!|3P=2a,ElBO=2y/2<m2a+6=2應(yīng)，解得：a=-j2--^~

EIAG=AP+PG=26+a=0+?,故選：D

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，動點問題，勾股定理，30。所對的直角邊等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是

證明當(dāng)AP+^BP取最小值時，A,P,G三點共線，且AGLBE,此時最小值為AG.

例5.（2023糊北武漢?一模）如圖，在“。石中，CA=CE,NC4E=30。，半徑為5的0。經(jīng)過點C,CE是

圓。的切線，且圓的直徑A3在線段AE上，設(shè)點。是線段AC上任意一點（不含端點），則如+的最

小值為.

【分析】過點C作關(guān)于AE的平行線，過點。作加垂直于該平行線于H,可將#。轉(zhuǎn)化為DH,此時

OO+gcD就等于OD+D”,當(dāng)共線時，即為所要求的最小值.

【詳解】解：如圖所示，過點C作關(guān)于AE的平行線，過點。作。以垂直于該平行線于”,

-,-CH//AB,NC4E=30。，OC=OA,.\ZHCA=ZOCA=30°,

sinZHCZ)=—=-,ZHCO=60°,:.-CD=HD,:.OD+-CD=OD+DH,

CD222

,??當(dāng)。，D,H三點共線，即在圖中H在位置，。在。位置的時候有OD+D”最小，

,當(dāng)。，D,"三點共線時，。。+工。有最小值，此時O/r=OCxsin///CO=OCxsin6()o=5xY^=±?,

222

.?.OD+gc。的最小值為羋，故答案為攣.

222

【點睛】本題主要考查了最值問題中的胡不歸問題，解題的關(guān)鍵是在于將進行轉(zhuǎn)換.

例6.(2023?山東?九年級月考)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=N-2x+c的圖象與x軸交于A、

C兩點，與y軸交于點8(0,-3),若P是x軸上一動點，點。(0,1)在y軸上，連接PD,則應(yīng)+

32nr

C.272D.-+-V2

23

【答案】A

［分析］過點P作PJ^BC于J,過點。作DH^BC于H.根據(jù)近PD+PC=0PD+^-Pc\=^2（PD+PJ）,

求出DP+PJ的最小值即可解決問題.

【詳解】解：過點P作PJ08c于J,過點。作O/70BC于H.

團二次函數(shù)y=/-2x+c的圖象與y軸交于點8(0,-3),配=-3,

回二次函數(shù)的解析式為y=f-2x-3,令y=0,x2-2x-3=0,

解得x=-l或3,EL4(-1,0),B(0,-3),EIOB=OC=3,

EBBOC=90°,aaOBC=囪0cB=45°,

0D(0,1),回?！?=1,BD=4,BDHBiBC,^S\DHB=90°,

222

設(shè)?！?x,則3"=x,El￡)7/2+3/2=3￡)2,0x+x=4,回犬=2夜，0DH=20

BPJ^CB,0ZPJC=9O°,國PJ=*PC,S\y/2PD+PC=y/2PD+^PC^=y/2(PD+PJ),

5iDP+PJ>DH,^DP+PJ>2^/2，回。尸+PJ的最小值為2及，回夜加+PC的最小值為4.故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

例7.(2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考二模)已知AABC中，5C=6cm,NA=60。，則A3+且二1AC的最大值為.

2

【答案】65/2

【分析】過點。作。。，48,垂足為。,取?！?40，即可說明丫陋石是等腰直角三角形，求出248=30。，

進一步求出CE=3匚AC,繼而將AB+叵1AC轉(zhuǎn)化為BD+CD,推出點。在以3C為直徑的圓上，從而

22

可知當(dāng)△BCD為等腰直角三角形時，BD+CD最大,再求解即可.

【詳解】解：如圖，過點C作CDLAB,垂足為。，取DE=AD,

回VADE是等腰直角三角形，B!ZDAE=ZDEA=45°,

團ZA=60。，^ZCAE=15°,BZACD=ZAED-ZCAE=30°,^\AD=-AC=DE

2f

^CD=y/AC2-AD2=—AC,^CE=CD-DE=—AC--AC=^:^-AC,

2222

J3-1

0AB+——AC=AB+CE=AD+BD+CE=DE+BD+CE=BD+CD,

2

2222

0（BD+CO）=BD+CD+2BDxCD=BC+4SABCD=36+4SASCD,而BC一定,

回當(dāng)△BCD的面積最大時，30+8最大，回/BDC=90。，回點。在以BC為直徑的圓上，

團當(dāng)￡）平分BC時，點。到8C的距離最大，即高最大，則面積最大，

此時50=CD,則△BCD為等腰直角三角形，B1BD+CD=2BD=2^^=60,故答案為：6起.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，

解題的關(guān)鍵是添加輔助線，將最值轉(zhuǎn)化為3D+CD的長.

例8.（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?統(tǒng)考中考真題）如圖，在0ABe中，A8=AC=4,團CAB=30。，ADI3BC,垂足

為。，尸為線段上的一動點，連接尸8、PC.則以+2PB的最小值為.

【答案】40

［分析M0BAC的外部作EIC4E=15。,作BF^AE于凡交A￡）于P,此時B4+2PB=2尸4+呵=g（尸尸+PB）

=2BF,通過解直角三角形ABF,進一步求得結(jié)果.

【詳解】解：如圖，

Ez,

c

在I3比1C的外部作EIC4E=15。，作BfBAE于尸，交A。于尸，此時B4+2P2最小，EIEAFB=90o

0AB=AC,AD3\BC,回回。。=回』/R4C=』x30°=15°,

22

0EEAD=ECAE+0CAD=30°,0PF=|PA,回以+2PB=21；PA+=:（尸尸+尸2）=28尸，

在RtEABF中，AB=4,0BAF=EIBAC+0CAE=45",

0BF=AB.sin45°=4x^=272,團（PA+2PB）最大=2BF=4n，故答案為：4A歷.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線.

例9.（2023.重慶九年級一診）如圖①，拋物線y=-1■尤2r+4與無軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點

。為線段AC的中點，直線與拋物線交于另一點E,與y軸交于點?

（1）求直線8。的解析式；（2）如圖②，點P是直線BE上方拋物線上一動點，連接PD,PF,當(dāng)“DF

的面積最大時，在線段8E上找一點G,使得PG-qGE的值最小，求出點G的坐標及PG-qGE的最

【分析】（1）令-gx2+x+4=0,可求出點A和點B的坐標，令x=0,可求出點C的坐標，再根據(jù)點D時AC的

中點，可求出點D的坐標，利用待定系數(shù)法求直線解析式即可.（2）求三角形的面積最值可以轉(zhuǎn)化為求線

段長度的最大值，利用點坐標表示線段長度，配方求最值，求PG-^GE的最小值，可將不共線的線段轉(zhuǎn)換

為共線的線段長度.

【詳解】解：(1)令-；/+彳+4=0,解得R=-2,尤2=4,(-2,0),A(4,0),

令x=0,y=4,0C(0,4),團。為AC的中點，0￡>(2,2),

設(shè)直線的解析式為(辰0),代入點2和點。，

0=-2k+b

，解得2,回直線BD的解析式為y=gx+l.

2=2k+b

b=1一

(2)如圖所示，過點尸作y軸的平行線，交BE交于點H,

團產(chǎn)〃=-々產(chǎn)+卅4-(:a1)=-!C-：)2+——，

2222g

當(dāng)時，PH最大,此時點尸為(；，￡)，當(dāng)尸”最大時，AP。尸的面積也最大.

團直線8。的解析式為y=3x+l,令x=0,y=l,四點/(0,1),

在RtABP。中，根據(jù)勾股定理，BF=也,0sinEFB(9=

過點E作x軸的平行線與過點G作y軸的平行線交于點M,

^3\MEG=^FBO,0A/G=EG?sin0A/EG=—EG,0PG--GE=PG-MG,

55

當(dāng)尸、M、G三點共線時，PG-MG=PM,否則都大于PM,

團當(dāng)尸、M、G三點共線時，PG-MG最小，此時點G與點H重合，

令-x2+x+4=；x+l,解得xi=3,無2=-2,0點E(3,—)?0PM=---=一)0點G(g,—),

22282824

回點G(J,-y),PG-且GE的最小值為

2458

【點睛】本題考查二次函數(shù)求最值問題，線段的和差求最值問題，找等腰三角形的分類討論，綜合性較強.

課后專項訓(xùn)練

1.（2023?山東濟南?統(tǒng)考二模）如圖，在菱形A8CD中，AB=AC=6,對角線AC、8。相交于點。，點M

在線段AC上，且AM=2,點尸是線段3。上的一個動點，則MP+gpB的最小值是（）

A.2B.2退C.4D.4A/3

【答案】B

【分析】過M點作垂直于"點，與08的交點為尸點，此時+的長度最小為MX,再算出

MC的長度，在及△MPC中利用三角函數(shù)即可解得

【詳解】解：過M點作垂直BC于X點，與。2的交點為尸點，

團菱形A8CD中，AB=AC=6,SAB=AC=BC=6,AABC為等邊三角形，

0ZPBC=30°,ZACB=60°,團在中，/PBH=30°,S\PH=-PB,

2

團此時得到最小值，MP+-PB=MP+PHMH,

22

0AC=6,AM=2,0MC=4,又回NMCH=60°,S\MH=MCsin60°=B.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與三角函數(shù)，能夠找到最小值時的P點是解題關(guān)鍵.

2.（2023?廣東中山,統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABCD的對角線AC=3,NADC=120。，點E為對角線AC上的一

動點，則EA+EB+ED的最小值為.

D

【答案】3

【分析】過點E作AD的垂線斯，垂足為尸，過點。作"AC,根據(jù)已知條件求得AD的長，根據(jù)含30

度角的直角三角形的性質(zhì)，^^EA+EB+ED=EA+2EB=^EA+EB^=2（EF+EB）＞2FB,當(dāng)

時，即最小，股定理求得8尸的長即可求解.

【詳解】如圖，過點E作AD的垂線防，垂足為尸，過點。作DO^AC,

AC=3,ZADC=120°-.-RtAADO中，ZADO=-ADC=60°

—2

ZZMO=30°AD=2DOAO=^3DO,AO=-:.AD=2DO==6

232

?.?ZDAC=30°EA+EB+ED=EA+2EB=2\^EA+EB^=2（EF+EB）＞2FB

如圖，當(dāng)BFLAD時，BF最小,最小值為FB=ABX@=3

22

E4+EB+ED的最小值為2FB=3.故答案為：3

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，軸對稱求線段和的最小值，垂線段最短,

轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?浙江寧波?九年級開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=分別交x軸、y

軸于A、B兩點，若C為無軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為

y

【答案】6

【分析】先求出點A，點2坐標，由勾股定理可求A3的長，作點2關(guān)于的對稱點3',可證AAS9是等

邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得CH=^AC,貝IJ23C+AC=2（?C+CH）,即當(dāng)點"，點C,點H三

點共線時，3'C+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：回一次函數(shù)y=冬-有分別交x軸、y軸于A、8兩點，

0點A（3,0）,點、B（O-6）,她。=3,BO=y/3,E）AB=Joi+OB。=.+（商=2陋,

作點8關(guān)于04的對稱點玄，連接AB',B'C,過點C作C/fflAB于X,如圖所示：

^OB=OB'=43,回33'=2百，AB=AB=2y/3SAB=AB'=BB',回MB?是等邊三角形，

11

回AO_LBB',[?]ZBAO=-ZBABr=30°,^\CH^AB^CH=-AC,

22f

S2BC+AC=2^BC+^AC^=2（B'C+CH）,

團當(dāng)點9，點C,點X三點共線時，3'C+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，

此時，B'HIAB,AAB?是等邊三角形，0BH=AH=6,ZBB'H=30°,

0B，H=y/BW-AH。=?2國_（國=3,回28C+AC的最小值為6.故答案為：6.

【點睛】本題是胡不歸問題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，確

定點C的位置是解題的關(guān)鍵.

4.（2023.成都市九年級期中）如圖，QABCD中，〃4B=60。，AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動點,

則PB+且PO的最小值等于

解：如圖，過點P作交相＞的延長線于點E,

???AB//CD:.ZEDP=ZDAB=60°,sinZEDP=——=—

DP2

；.EP=BpD:.PB+—PD^PB+PE

22

當(dāng)點3,點尸，點E三點共線且BELAD時，PB+PE有最小值，即最小值為BE,

「sinNA=^=且.?.8￡r=3g故答案為：

AB2

5.（2023?陜西西安??？级＃┤鐖D，在R/AABC中，EIACB=90o,回B=30。，AB=8,D、尸分別是邊A3、

8C上的動點,連接CD,過點A作AE3CD交BC于點E,垂足為G,連接GF,則GF+^FB的最小值為.

A

【答案】3屈2

【分析】"胡不歸模型"，以3尸為斜邊構(gòu)造含30。角的直角三角形,結(jié)合&8=30。，即把RMABC補成等邊

過F作8P的垂線下〃，根據(jù)垂線段最短得，當(dāng)G、F、H成一直線時，GE+；時最短，又根據(jù)直角所對的

弦是直徑，可得點G在以AC為直徑的圓上，取AC的中點O,連接0G,過點。作OQSBP于點。，據(jù)此

解題.

【詳解】解：如圖，延長AC到點尸，使CP=AC,連接8尸，

過點尸作尸加2尸于點打，取AC的中點O,連接0G,過點。作。。&8尸于點。，

o

00ACB=9O°,[?L4BC=30,AB=8,[3AC=CP=4,AP=8,BP=AB=8f

EBABP是等邊三角形，回回尸8"=30。，在RtEIFHB中，F(xiàn)H^-FB,

2

團當(dāng)G、F、H在同一直線上時，GF+工FB=GF+FH取得最小值,

2

BAESCD,03AGC=9O°,團0為AC的中點，S\OA=OC=OG=-AC,

2

0A、C、G三點共圓，圓心為O,即點G在團。上運動，

團當(dāng)點G運動到。。上時，G尸+尸X取得最小值，

團在RtflOPQ中，回尸=60°,OP=6,sinP=^-=—,

OP2

@00=與OP=343,SGF+FH的最小值為30-2,

即的最小值為3如-2,故答案為：3^-2.

【點睛】本題考查了含30。直角三角形性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，垂直平分線性質(zhì)，點到直線距離，圓周

角定理，最短路徑，解題關(guān)鍵是找到點G運動到什么位置時，GH最小，進而聯(lián)想到找出點G運動路徑再

計算.

6.（2023上?四川成都?八年級?？计谥校┘褐诘妊麬ABC中，AB=AC=n,BC=m,NBAC=30。，點、D

是直線BC上一點，連接A。，在AD的右側(cè)做等腰VADE,其中=ZEAD=30°,連接CE,貝U

AE+*CE]的最小值為（用含利”的代數(shù)式表示）.

【答案】一九2—m2

33

【分析】如圖所示，過點A作AHL5C,過點后作￡尸，?！?延長3C交所于點尸，可證

AABD^AACE(SAS),BD=CE,Z2=ZB,根據(jù)三角形內(nèi)角和關(guān)系可得N3=30。，ZF=60°,

AE+—CE=AE+EF,當(dāng)點A,E,F三點共線時，AE+EF的值最小，在RtaAHF中，可得4尸=34"2,

33

可證AABC是等腰三角形，H為3c的中點，可得=在中，根據(jù)勾股定理即可求

解.

【詳解】解：如圖所示，過點A作過點E作EFLCE,延長8C交E尸于點尸，

SZBAC=ZDAE,EIZ5+ZZMC=Z6+ZZMC,0Z5=Z6,

^\AB=AC,AD=AE,EAABD^AACE(SAS),^BD=CE,/2=/R,

0ZB+Z1+ZBAC=18O°,EIZl+Z2+ZBAC=180o,ZBAC=30°,

0Z1+Z2+Z3=18O°,0Z3=ZB/1C=3OO,在Rt^CEF中，Z3=3O°,ZF=60°,

0CF=2EF,CE=-J3EF,^EF=—CE,SAE+—CE=AE+EF,

33

當(dāng)點A,三點共線時，AE+跖的值最小，回當(dāng)點A及尸三點共線時，

SZDAF=ZDAE,回點。于點H重合，如圖所示，

在Rt^AHF中，ZF=60°,則4Z4F=30°,0ZZMF=30°,0HF=-AF,

2

i24

在RtaAHF中，AH2=AF2-HF2-0AH2=AF2-I,HAF2=-AH2-,

QAB=AC,回AABC是等腰三角形，AH1.BC,

團H為8C的中點，S.AB=AC=n,BC—m,0BH=—BC=—m,

22

EAH2=n2-Qm^|

在RtZ\AB〃中，AH2=AB2-BH2，

回4/2m2]=g〃2_；機2,故答案為：??2_lm2

【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30。角直角三角形的性質(zhì)

等知識的綜合，掌握以上知識，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?四川成都?九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=2,E是AC上一個動點，連接,

過點C作AC的垂線/,過點。作以交/于點E過點。作OGL跖于點G,tanNEDG=①，點、H

是中點，連接貝IHE+當(dāng)EC的最小值為.

【答案】也以叵

33

【分析】證明△ADEs^CDR,得出AZ）:8=DE:7）尸，再證AADCSAEC中,求出的。=N￡DG,所以

tanZBAC=tanNEOG=0，即BC：AB=&,可得sin/BAC=手.作AC的垂直平分線7L,交AB的延長

線于點T,連接7r,過點E作EQ_LCT于點Q,求出sinZACT=sinZBAC=*^,所以EQ=9EC.求HE+與EC

的最小值，即為求成+EQ的最小值，過點”作用，CT于點J,即為所求最小值.設(shè)BT=x,根據(jù)勾股

定理可得出x=l,所以AT=CT=3,由，HTC~§矩形A5CD+S&BTC~^AHT-SRDH，可求得的長度.

【詳解】解：在矩形ABCD中，ZB=ZADC=90°,EADAC+ZACD=90°,

EIB_LEC于點C,SIZECF=90°,^AECD+ADCF=90°.

0NDAE=NDCF.同理可證NAT>E=NEDC,HAADE^ACDF,^AD:CD=DE:DF,

ZADC=ZEDF=9Q°,^^ADC^EDF,^\ZDAC=ZDEG,

回Z)G_LM于點G,國/EDG+NDEG=90°,

田/DAC+NBAC=90。,^\ZBAC=ZEDGf

團tanABAC=tan/EDG=A/2,即8C：AB=應(yīng)，

EIAB=2,EBC=2A/2，0AC=2A/3,EsinZBAC=—.

3

如圖，作AC的垂直平分線7L,交AB的延長線于點T,連接7T,過點E作EQLCT于點°,

^\AT=CT,回ZBAC=ZACT,BPsinZACT=sinABAC=—.

3

?EQ=t~EC.aHE+當(dāng)EC=HE+EQ,回求HE+^EC的最小值，即為求延+EQ的最小值,

過點〃作H/LCT于點J,即即為所求最小值.設(shè)57=x,貝ljAT=TC=2+x,

在RtOTC中，由勾股定理可知，/+(20f=。+2)2,解得彳=],^AT=CT=3.

如圖，連接HT,HC,回點X是AD的中點，0AH=HD=e，

0S"HTC=S矩形ABC。+S“B7C-SaAHT-S^CDH,^HJTC=AB-BC+^BT-BCAT-AH-DH-CD,

BP-HJ-3=2X2^+-X1X2A/2--X3XV2--XV2X2,解得用=迫.故答案為：業(yè).

222233

【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，勾股定理，垂線段最短，三角形的面積等相

關(guān)知識，根據(jù)題意作出輔助線，將所求目標轉(zhuǎn)化為求垂線段的長度是解題關(guān)鍵.

8.（2023春?浙江?八年級專題練習(xí)）如圖，E1ABCD中，0DAB=3O°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動點，

則2PB+PD的最小值等于.

D

【答案】6

【分析】過點P作PE回AD交AD的延長線于點E,根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到AB0CD,推出PE=

|PD,由此得到當(dāng)PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條直線上，利用回DAB=30°,

EIAEP=90o,AB=6求出PB+PE的最小值=3AB=3,得到2PB+PD的最小值等于6.

【詳解】過點P作PE回AD交AD的延長線于點E,

回四邊形ABCD是平行四邊形，0AB0CD,fflEDC=0DAB=3O°,回PE=：PD,

02PB+PD=2(PB+j-PD)=2(PB+PE),

El當(dāng)PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條直線上，

0EDAB=3O°,0AEP=9O°,AB=6,EPB+PE的最小值=：AB=3,

團2PB+PD的最小值等于6,故答案為：6.

【點睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形含30。角的問題，動點問題，將線段2PB+PD轉(zhuǎn)化為三點

共線的形式是解題的關(guān)鍵.

9.(2023?陜西西安?校考模擬預(yù)測)如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=2如,點尸是對角線AC上的動

點，連接P。，則B4+2PD的最小值_______.

【答案】6

【分析】直接利用已知得出團CA8=60。，再將原式變形，進而得出3以+「。最小值，進而得出答案.

【詳解】過點A作團CAN=30。，過點。作OWEAN于點交AC于點尸，

回在矩形A2C￡)中，AB=2,BC=2百,EltanEICA歷乎=6,

fflCAB=60°,貝靦￡>AC=30°,^\PA+2PD=2以+PD),

-PA+PD=PM+PD=DM=AD-sin60°=2s/3x—=3,

22

此時g以+PO最小，回以+2P。的最小值是2x3=6.故答案為：6.

【點睛】此題主要考查了胡不歸問題，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

10.(2023?四川眉山?一模)兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD如圖所示若a=30。，P是對角

【答案】3j5cm

【分析】先證明四邊形ABC。是菱形，過點。作。硒BC于點E,連接AC,交于點。，可得

BC=CD=2DE=6,CE=30然后根據(jù)勾股定理可得BD=3#+3應(yīng)，則

2O=36+30,tanNAB￡)=tanNC2￡>=2-石,進而求出4。=空二土也，要使的值最小，則

222

需要滿足;(P8+PM)為最小，即PB+PM為最小，

當(dāng)B、P、M在同一直線上時，PB+R0為最小，過點A作4M0AP,且使NAMP=30。，連接進而

求解即可.

【詳解】???兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABC。，

即AB//CD,AD//BC,四邊形ABCD是平行四邊形，

丁S四邊形Meo=A5?3=?3,A5=8C,?.?四邊形A5CZ）是菱形,

過點。作。比BC于點E,連接AC,交3。于點O,如圖,

BO=DO=-BD,AO=CO,AC1BD,?.?NDC石=30。,。石=3,

2

BC—CD—2DE=6，/,c_E=VCD1—DE2-3^/3，.=BE=6+3A/3,

BD=\lBE1+DE2=3A/6+3y/2，BO=——~~--,tanZ.ABD=tan/CBD=——=2—，

2BE

A。=BO?tanNABD=通一逑,過點A作AM0AP,且使NAMP=30。，連接BM,如圖,

2

:.MP=2AP,要使AP+：B尸的值最小，則需要滿足g（P3+PM）為最小，即PB+PM為最小,

，當(dāng)B、P、M在同一直線上時，PB+R0為最小，如圖，

OM=-J3OA=9^-3^,:.BM=BO+OM=6五,

2

的最小值為3拒，故答案為：30cm.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)、菱形的性質(zhì)與判定及含30。直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用"胡不歸"

原理找到最小值的情況，然后根據(jù)三角函數(shù)及菱形的性質(zhì)進行求解即可.

11.（2023廣東廣州?校考二模）如圖，菱形A8CD中，ZA=60°,AB=4,點E、尸分別為線段CD、BD

上的動點，點G為邊AB的中點，連接EF,尸G.⑴求3。的長；（2）連接BE,若NCEB=2NDEF,求證:

EB=CE+DF；⑶若CE<BF,試求EF+&FG的最小值.

【答案】⑴4⑵見解析⑶5我-卡

【分析】（1）證明△ABD是等邊三角形，即可求解；（2）延長BD至N,使得DN=EC,在CB上取CM=EC,

連接證明ADCW絲ABCE,可得NCDM=NEBC,DM=EB,證明四邊形EMZW是平行四邊形，

可得DM=NE,即可得出NE=EB,進而證明=即可得證；（3）將AEFG繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)90。得

到AQPG,連接尸尸，貝！］「產(chǎn)=應(yīng)打；，當(dāng)。，尸，尸三點共線時，EF+也FG=QP”P=QF,此時EF+&PG

取得最小值，G為A3的中點，當(dāng)尸為的中點時（或者設(shè)其他點為中點，再證明/為中點），過點歹作

切，8于點”，勾股定理解直角三角形，即可求解.

【詳解】（1）解：回菱形A3CD中，ZA=60°,^\AB=AD,

EINA=60°,回△ABD是等邊三角形，又回45=4,回應(yīng)）=筋=4；

（2）解：如圖所示，延長3。至N,使得DN=EC,在CB上取CW=EC,連接

DC=BC

在ADCM與ABCE中，|NC=NC0^DCM'BCE0ZCDM=ZEBC,DM=EB

CM=CE

EIAADBABC。是等邊三角形，REM=ND=EC,ZECM=ZCDB=60°,

QDN〃EM,回四邊形EMDN是平行四邊形，

SNE//DM,DM=NE,0EB=EN,

0NCEB=2ZDEF,設(shè)NCEB=2NDEF=2a,則"E產(chǎn)=a

在ACE3中，ZEBC=180°-2a-60°=120°-2a,

回NEBD=60°-NEBC=2?-60°,EZMDC=NEBC=120°-2a

BNE//DM0ZNEF=ZEDM=120°-2cr,

0NNEF=NNED+NDEF=120°-2(z+?=120°-?

在ANEF中，ZNFE=180-ZN-ZNEF=180°一（2tz-60。）一（120。-a）=120。-a

^ZNEF=ZNFE,SNE=NF,0ND+DF=EC+DF=EB；

（3）如圖所示，連接EG,FC,過點F作FHLDC于點H,

將AEFG繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AQPG,連接尸尸，則依=&/G，

當(dāng)。，尸，尸三點共線時，EF+y/2FG=QP+FP=QF,此時EF+0FG取得最小值,

回△PFG是等腰直角三角形，0ZGPF=45°,

回。,尸,尸三點共線ElNQPG=135°,回NEFG=135°,

EIG為AB的中點，當(dāng)/為的中點時，

^\GF//AD,FB=DB,則Cb_LD8,0FG=FB,CF=y/3FB,

0CE=V3BF0CF=CE,0Z￡>CF=30°

1QAO_30。

團ZDFE=ZCFD-ZCFE=90°---------------=15°

2

又GF〃5，ZADB=60°^\ZGFD=120°,回NGFE=135。，

團當(dāng)月是3。的中點時，Q,P,尸三點共線，過點尸作方”LCD于點X,

^HF=—DF=y/3,EC=FC=—BC=2y/3,HC=—FC=^EH=EC-HC=2-^3-3,

222

在RtAEFH中，EF=^EH2+HF2=?26-3了+使了=,24-12百=30-指，

B1FG=^AD=2,0Fe=￡F+V2FG=3V2-A/6+2^=572-76,

即EF+及FG的最小值為5^2-76.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?山東濟寧?校考模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD的對角線AC,相交于點O,ACC?關(guān)于CO的對

稱圖形為ACED.（1）求證：四邊形OCED是菱形；（2）連接AE,若AB=6cm,BCfcm.

①求sin/EW的值；②若點P為線段AE上一動點（不與點A重合），連接0尸，一動點。從點。出發(fā)，以

Icm/s的速度沿