2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：阿基米德三角形（學(xué)生版+教師版）

第80講阿基米德三角形

知識(shí)梳理

如圖所示，為拋物線爐=2。義0>0）的弦，A⑶,%）,B（x2,y2）,分別過(guò)A,2作的拋

物線的切線交于點(diǎn)尸，稱△PA8為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊.

1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸.

2、若阿基米德三角形的底邊即弦過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn)C（x0,%）,則另一頂點(diǎn)尸的軌跡

為一條直線.

3、若直線/與拋物線沒有公共點(diǎn)，以/上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn).

3

4、底邊長(zhǎng)為"的阿基米德三角形的面積的最大值為公.

8P

5、若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)。的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面

積的最小值為

6、點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（土產(chǎn)，分）

7、底邊A3所在的直線方程為（芯+x2）x-lpy-xxx1=0;

8、APAB的面積為S.PAB=「一”」.

8。

9、若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為,則底邊A8的直線方程為％0%-P（〉+%）=0.

10、如圖1,若E為拋物線弧A3上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E處的切線與P4,總分別交于點(diǎn)C,

D,貝曄=口山

\CP\\ED\\DB\'

11、若E為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)E處的切線與阿基米德三角形△PA5的

q

邊PA,分別交于點(diǎn)C,D,則3"=2.

q

°APCD

1

7

⑵拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的“

必考題型全歸納

題型一：定點(diǎn)問(wèn)題

例1.（2024?山西太原?高二山西大附中?？计谀┮阎c(diǎn)4（0,-1）,2（0,1）,動(dòng)點(diǎn)P滿足

|麗口荏卜麗?麗.記點(diǎn)尸的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)。為直線，=-2上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)。作C的兩條切線，切點(diǎn)分別是E,F.證明：直

線過(guò)定點(diǎn).

例2.（2024?陜西西安?西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄AM恒過(guò)定點(diǎn)尸

圓心〃到直線y=-；的距離為d,d=\MF\+1.

⑴求M點(diǎn)的軌跡C的方程;

（2）過(guò)直線y=x-l上的動(dòng)點(diǎn)Q作C的兩條切線4，，切點(diǎn)分別為證明：直線AB恒過(guò)

定點(diǎn).

2

例3.（2024?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知平面曲線C滿足：它上面任意一定到的距離

3

比到直線丫=-5的距離小1.

⑴求曲線c的方程；

（2）0為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A3,證明：直

線A3過(guò)定點(diǎn)；

⑶在（2）的條件下，以為圓心的圓與直線A8相切，且切點(diǎn)為線段48的中點(diǎn)，

求四邊形AD8E的面積.

變式1.（2024?陜西?校聯(lián)考三模）已知直線/與拋物線C:x2=2py（p>0）交于4B兩點(diǎn),

且04,08,OD1AB,。為垂足，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1』）.

⑴求C的方程；

（2）若點(diǎn)E是直線y=x-4上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作拋物線C的兩條切線EP,EQ,其中尸，。

為切點(diǎn)，試證明直線尸Q恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

變式2.（2024?安徽?高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）拋物線的弦與在弦兩端點(diǎn)處的

切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”.對(duì)于拋物線C：、=辦2給出如下三個(gè)條

件：①焦點(diǎn)為尸］。，；］；②準(zhǔn)線為>=-3；③與直線刀-1=。相交所得弦長(zhǎng)為2.

（1）從以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求拋物線C的方程；

（2）已知AABQ是（1）中拋物線的“阿基米德三角形”，點(diǎn)。是拋物線C在弦N8兩端點(diǎn)處的

兩條切線的交點(diǎn)，若點(diǎn)。恰在此拋物線的準(zhǔn)線上，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？如果是，

求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3

變式3.（2024?湖北武漢?高二武漢市第四十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C:y=ox2

（。是常數(shù)）過(guò)點(diǎn)尸（-2,2）,動(dòng)點(diǎn)過(guò)。作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為4B.

（1）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

⑵當(dāng)才=1時(shí)，求直線48的方程;

（3）證明：直線N8過(guò)定點(diǎn).

變式4.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸在x軸及其上方，且點(diǎn)尸到點(diǎn)歹（0,1）的距

離比到x軸的距離大1.

（1）求點(diǎn)尸的軌跡C的方程；

（2）若點(diǎn)0是直線y=x-4上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)0作點(diǎn)尸的軌跡C的兩切線。4、。瓦其中

4B為切點(diǎn)、,試證明直線A8恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo).

題型二：交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題

例4.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)尸（0,c）（c>0）到直

線/:尤7-2=0的距離為逆.

2

（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)尸（題，%）為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B

4

為切點(diǎn)，求直線AB的方程，并證明直線AB過(guò)定點(diǎn)Q；

（3）過(guò)（2）中的點(diǎn)Q的直線機(jī)交拋物線C于A,8兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A,8分別作拋物線C的切

線4，3求4，4交點(diǎn)M滿足的軌跡方程.

例5.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知拋物線C:d=4y的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸作直線/交拋

物線C于A、B兩點(diǎn)；橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在無(wú)軸上，點(diǎn)R是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且其

離心率e=.

2

⑴求橢圓E的方程；

⑵經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線4、3切線4與4相交于點(diǎn)用.證明：點(diǎn)M定

在直線y=-i上；

（3）橢圓E上是否存在一點(diǎn)ML經(jīng)過(guò)點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線MK、Mb（A、方為切

點(diǎn)），使得直線A9過(guò)點(diǎn)尸？若存在，求出切線MK、ME的方程；若不存在，試說(shuō)明理

由.

例6.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)Q在x軸上方，且到定點(diǎn)/（0,1）距離比到x軸

的距離大1.

（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)尸（1,1）的直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A,B分別異于原點(diǎn)。，在曲線C

的A,B兩點(diǎn)處的切線分別為4，4,且4與4交于點(diǎn)〃，求證：M在定直線上.

5

變式5.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸與定點(diǎn)尸（1,0）的距離和它到定直線/:x=4

的距離之比為記P的軌跡為曲線C

⑴求曲線C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)加（4,0）的直線與曲線C交于A,8兩點(diǎn)，尺。分別為曲線C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，直

線交于點(diǎn)N,求證:點(diǎn)N在定直線上.

變式6.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)歹為拋物線。:爐=2外（「＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)、M、

N在拋物線上，且M、N、尸三點(diǎn)共線.若圓2:（尤-2）2+（丫-3）2=16的直徑為收7.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)廠的直線/與拋物線交于點(diǎn)A,B,分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作拋物線C的切線小

4,證明直線4，4的交點(diǎn)在定直線上，并求出該直線.

變式7.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）下面是某同學(xué)在學(xué)段總結(jié)中對(duì)圓錐曲線切線問(wèn)題的總

結(jié)和探索，現(xiàn)邀請(qǐng)你一起合作學(xué)習(xí)，請(qǐng)你思考后，將答案補(bǔ)充完整.

⑴圓。:f+/=/上點(diǎn)〃（五,九）處的切線方程為.理由如下：.

22

（2）橢圓=1（。＞Z?＞0）上一*點(diǎn)（％,Jo）處的切線方程為_;

ab

⑶尸（私也是橢圓Z：］+y2=l外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為4,B,如

圖，則直線的方程是—.這是因?yàn)樵?（%，%）,8（移％）兩點(diǎn)處，橢圓L的切線方

6

程為誓+yj=i和學(xué)+%y=L兩切線都過(guò)戶點(diǎn)，所以得至仃罟+印=i和罟+%"=i,

JJDD

由這兩個(gè)“同構(gòu)方程”得到了直線A2的方程；

(4)問(wèn)題(3)中兩切線PA,P8斜率都存在時(shí)，設(shè)它們方程的統(tǒng)一表達(dá)式為

[y—n=k(x—ni)

y—n=k(x—m),由〈22，^(l+3Z:2)x2+6k(n-km)x+3(n-km)2-3=0,化簡(jiǎn)得

[x+3y=3

△=0,得(3->)/+2加/+1-*=o.若PA上PB,則由這個(gè)方程可知P點(diǎn)一定在一個(gè)圓

上，這個(gè)圓的方程為一.

(5)拋物線=2px(p>0)上一點(diǎn)(%,%)處的切線方程為%丁="(%+%)；

(6)拋物線C:/=4y,過(guò)焦點(diǎn)尸的直線/與拋物線相交于4B兩點(diǎn),分別過(guò)點(diǎn)/,8作

拋物線的兩條切線4和4,設(shè)物片，%)，8(無(wú)2，%)，則直線4的方程為玉工=2(%+y).直線

4的方程為％x=2(%+y),設(shè)4和相交于點(diǎn)M.則①點(diǎn)M在以線段48為直徑的圓上；②

點(diǎn)M在拋物線C的準(zhǔn)線上.

題型三：切線垂直問(wèn)題

例7.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知拋物線C的方程為V=4y,過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩

條切線，切點(diǎn)分別為A，及

(I)若點(diǎn)P坐標(biāo)為求切線尸4尸8的方程；

(2)若點(diǎn)P是拋物線C的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，求證：切線PA和P8互相垂直.

7

例8.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知拋物線C的方程為無(wú)2=4y,點(diǎn)P是拋物線C的準(zhǔn)線

上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A8,點(diǎn)M是A3的中點(diǎn).

(1)求證：切線PA和PB互相垂直；

(2)求證：直線與》軸平行；

(3)求APAB面積的最小值.

例9.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知中心在原點(diǎn)的橢圓口和拋物線心有相同的焦點(diǎn)

(1,0),橢圓口的離心率為杯，拋物線口的頂點(diǎn)為原點(diǎn).

⑴求橢圓口和拋物線匕的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P為拋物線口準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線匕的兩條切線尸4，PB,其中

A8為切點(diǎn).設(shè)直線P4,P8的斜率分別為左，k2,求證：上他為定值.

變式8.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知中心在原點(diǎn)的橢圓G和拋物線C2有相同的焦點(diǎn)

8

(1,0),橢圓G過(guò)點(diǎn)G[,|],拋物線。2的頂點(diǎn)為原點(diǎn).

⑴求橢圓C1和拋物線C2的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P為拋物線G準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作拋物線G的兩條切線為，PB,其中

A,B為切點(diǎn).

①設(shè)直線為，網(wǎng)的斜率分別為4,k2,求證：上他為定值；

②若直線43交橢圓G于C,。兩點(diǎn)，S.PAB，分別是APAB，APCD的面積，試問(wèn):

s

產(chǎn)是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

、4PCD

變式9.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))拋物級(jí)無(wú)2=2/(0>0)的焦點(diǎn)/到直線>的距離

為2.

(1)求拋物線的方程；

(2)設(shè)直線y=^+l交拋物線于4(%,%)，3(尤②，%)兩點(diǎn)，分別過(guò)A,B兩點(diǎn)作拋物

線的兩條切線，兩切線的交點(diǎn)為P,求證：PF1AB.

變式10.(2024?河南駐馬店??？寄M預(yù)測(cè))已知拋物線E：尤2=20,(2>0)的焦點(diǎn)為R,

9

點(diǎn)P在E上，直線/：x-y-2=0與E相離.若p到直線/的距離為d,且|PF|+d的最小值

為g1.過(guò)E上兩點(diǎn)分別作E的兩條切線，若這兩條切線的交點(diǎn)M恰好在直線/上.

2

（1）求E的方程；

（2）設(shè)線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為"，求證：當(dāng)"取得最小值時(shí)，MALMB.

題型四：面積問(wèn)題

例10.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知拋物線C的方程為尤2=2py（p>0）,點(diǎn)dxB］是

拋物線上的一點(diǎn)，且到拋物線焦點(diǎn)的距離為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）點(diǎn)Q為直線>上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為O,E,

求面積的最小值.

例11.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知拋物線Y=2py上一點(diǎn)加伉,1）到其焦點(diǎn)尸的距離

（1）求拋物線的方程；

（2）如圖，過(guò)直線/：>=-2上一點(diǎn)A作拋物線的兩條切線AP,AQ,切點(diǎn)分別為P,Q,

10

且直線PQ與>軸交于點(diǎn)N.設(shè)直線AP,AQ與X軸的交點(diǎn)分別為B,C,求四邊形

ABNC面積的最小值.

例12.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于

直線/“-分-4=0的斜率.

(1)求拋物線C的方程及準(zhǔn)線方程；

(2)點(diǎn)尸是直線/上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為4,B,求

△PAB面積的最小值.

變式11.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，已知拋物線。：/=2川(0>0)上的點(diǎn)尺的橫

坐標(biāo)為1,焦點(diǎn)為尸，S.\RF\=2,過(guò)點(diǎn)P(-4,0)作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為4

B,。為線段以上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)。作拋物線的切線，切點(diǎn)為E(異于點(diǎn)aB),且直線OE

交線段P8于點(diǎn)”

11

(1)求拋物線c的方程；

(2)(i)求證：|4。|+|班/|為定值；

(ii)設(shè)4￡4。，的面積分別為S1,S2,求S=3S［的最小值.

變式12.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知點(diǎn)A(-4,4)、B(4,4),直線AM與BM相

交于點(diǎn)M,且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為-2,點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的軌跡方程；

(2)Q為直線y=-1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q作曲線C的切線，切點(diǎn)分別為D、E,求的

面積S的最小值.

變式13.(2024?河南開封?河南省蘭考縣第一高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知點(diǎn)/卜6,0),

平面上的動(dòng)點(diǎn)S到尸的距離是S到直線&x+4=0的距離的3倍，記點(diǎn)S的軌跡為曲線

2

C.

(1)求曲線。的方程；

⑵過(guò)直線/：y=2上的動(dòng)點(diǎn)尸(s,2)(s>2)向曲線。作兩條切線4，4，4交X軸于M，交》

12

軸于N,4交X軸于T，交〉軸于。記APN。的面積為，，Z\PMT的面積為Sz，求5「邑

的最小值.

題型五：外接圓問(wèn)題

例13.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知P是拋物線C：y=的頂點(diǎn)，A,8是。上

4

的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且可.麗=-4.

（1）試判斷直線是否經(jīng)過(guò)某一個(gè)定點(diǎn)？若是，求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理

由；

（2）設(shè)點(diǎn)〃■是APAB的外接圓圓心，求點(diǎn)M的軌跡方程.

例14.（2024?高二單元測(cè)試）已知點(diǎn)尸是拋物線C：y=!尤2-3的頂點(diǎn)，A,B是C上的兩

4

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且麗?麗=-4.

（1）判斷點(diǎn)。（0,1）是否在直線上？說(shuō)明理由；

（2）設(shè)點(diǎn)M是△P4B的外接圓的圓心，點(diǎn)M到x軸的距離為d,點(diǎn)N（l,0）,求

的最大值.

例15.（2。24?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是拋物線C：y=32-3的頂點(diǎn)，A,B是C上

的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且西?麗=-4.

13

(1)判斷點(diǎn)0(0,-1)是否在直線A8上？說(shuō)明理由；

(2)設(shè)點(diǎn)M是△PA8的外接圓的圓心，求點(diǎn)M的軌跡方程.

題型六：最值問(wèn)題

例16.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖已知P(-2j)是直線％=_2上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋

物線丁=以的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,2,與》軸分別交于C,。.

(1)求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；

(2)設(shè)直線A3與x軸相交于點(diǎn)Q,記A8兩點(diǎn)到直線PQ的距離分別為4,4；求當(dāng)

\AB\

3~:取最大值時(shí)APCD的面積.

4+a2

例17.(2024?湖南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))在直角坐標(biāo)系龍④中，已知拋物線

C-.x2=2py(p>0),P為直線y=x-l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別

為A,8,當(dāng)p在y軸上時(shí)，OAA.OB.

(1)求拋物線c的方程；

(2)求點(diǎn)。到直線AB距離的最大值.

14

例18.(2024?遼寧沈陽(yáng)?校聯(lián)考二模)從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過(guò)拋物線反射后，光線都

平行于拋物線的軸，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射光線都會(huì)

匯聚到拋物線的焦點(diǎn)處，這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在生產(chǎn)生活中.如圖，已知拋物線

C:%2=2py(p>l),從點(diǎn)(4,9)發(fā)出的平行于了軸的光線照射到拋物線上的。點(diǎn)，經(jīng)過(guò)拋

物線兩次反射后，反射光線由G點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,5).

(1)求拋物線C的方程；

⑵已知圓M:/+(y-3)2=4,在拋物線C上任取一點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E向圓M作兩條切線E/和

EB,切點(diǎn)分別為N、B,求西.麗的取值范圍.

變式14.(2024?貴州?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知拋物線C:爐=2py(p>0)上的點(diǎn)(2,%)到

其焦點(diǎn)廠的距離為2.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知點(diǎn)。在直線/：>=-3上，過(guò)點(diǎn)。作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為AB,直線

A8與直線/交于點(diǎn)M,過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)/作直線A8的垂線交直線/于點(diǎn)N,當(dāng)最

小時(shí),的值.

15

變式15.（2024?黑龍江大慶?高二大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C:/=4x,點(diǎn)

P為直線元=-2上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為4B,則點(diǎn)

M（0,1）到直線43的距離的最大值為（）

A.1B.4C.5D.V5

題型七：角度相等問(wèn)題

例19.設(shè)拋物線C:y=f的焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)P在直線/：尤-丫-2=0上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作拋物線

C的兩條切線PA、PB,且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).

（1）求4APB的重心G的軌跡方程.

（2）證明/PFA=/PFB.

例20.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知尸,F分別是橢圓（；：17丁+16/=17的上、下焦

點(diǎn)，直線乙過(guò)點(diǎn)尸且垂直于橢圓長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直4于點(diǎn)G,線段GF的垂直平分線交4

于點(diǎn)H,點(diǎn)H的軌跡為C?.

⑴求軌跡C?的方程；

⑵若動(dòng)點(diǎn)P在直線/：%-丫-2=0上運(yùn)動(dòng)，且過(guò)點(diǎn)P作軌跡C2的兩條切線PA、PB,切點(diǎn)為

/、B,試猜想/PE4與NPEB的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論的正確性.

16

例21.(2024?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓

G:x2+(y_l)2=l與拋物線c：尤2=2外(p>0)交于點(diǎn)跖N(異于原點(diǎn)。)，兒W恰為該圓

的直徑，過(guò)點(diǎn)￡(0,2)作直線交拋物線于4B兩點(diǎn),過(guò)48兩點(diǎn)分別作拋物線C的切

線交于點(diǎn)尸.

(1)求證：點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為定值；

(2)若尸是拋物線C的焦點(diǎn)，證明：ZPFA=ZPFB.

變式16.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖所示，設(shè)拋物線C：了=爐的焦點(diǎn)為尸，動(dòng)點(diǎn)P

在直線/：x-y-2=0上運(yùn)動(dòng)，過(guò)尸作拋物線。的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別為4B,

求證：NAFB=NBFP.

變式17.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)E(0,2),以O(shè)E

17

為直徑的圓與拋物線c：苫2=2加防＞0)交于點(diǎn)私N(異于原點(diǎn)O),AW恰為該圓的直徑，過(guò)

點(diǎn)￡作直線交拋物線與42兩點(diǎn)，過(guò)43兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)尸.

(1)求證：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值；

(2)若尸是拋物線C的焦點(diǎn)，證明：NPE4=NPFB

18

第80講阿基米德三角形

知識(shí)梳理

如圖所示，為拋物線爐=2。義0>0）的弦，A⑶,%）,B（x2,y2）,分別過(guò)A,2作的拋

物線的切線交于點(diǎn)尸，稱△PA8為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊.

1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸.

2、若阿基米德三角形的底邊即弦過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn)C（x0,%）,則另一頂點(diǎn)尸的軌跡

為一條直線.

3、若直線/與拋物線沒有公共點(diǎn)，以/上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn).

3

4、底邊長(zhǎng)為"的阿基米德三角形的面積的最大值為公.

8P

5、若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)。的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面

積的最小值為

6、點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（土產(chǎn)，分）

7、底邊A3所在的直線方程為（芯+x2）x-lpy-xxx1=0;

8、APAB的面積為S.PAB=「一”」.

8。

9、若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為,則底邊A8的直線方程為％0%-P（〉+%）=0.

10、如圖1,若E為拋物線弧A3上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E處的切線與P4,總分別交于點(diǎn)C,

D,貝曄=口山

\CP\\ED\\DB\'

11、若E為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)E處的切線與阿基米德三角形△PA5的

q

邊PA,分別交于點(diǎn)C,D,則3"=2.

q

°APCD

1

7

⑵拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的“

必考題型全歸納

題型一：定點(diǎn)問(wèn)題

例1.（2024?山西太原?高二山西大附中校考期末）已知點(diǎn)4（0,-1）,2（0,1）,動(dòng)點(diǎn)P滿足

|麗口荏卜麗?麗.記點(diǎn)尸的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)。為直線，=-2上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)。作C的兩條切線，切點(diǎn)分別是E,F.證明：直

線過(guò)定點(diǎn).

【解析】（1）設(shè)P（x，y）,則西=（-左一1一y）,而=

通=（0,2）,麗=（0,-2）,

所以，|麗||麗卜麗.雨可以化為卜丫+0_"=1+y,

化簡(jiǎn)得f=4y.

所以，C的方程為f=4y.

（2）由題設(shè)可設(shè)。&-2）,E（”J,-（%，%）,

由題意知切線DE,￡＞尸的斜率都存在，

猿2Y

由爐=4）,得y=7，則;/=不，

所以&E=5，

直線3E的方程為了-月=+（》一再），即y_%=工尤_立，①

222

2

2

因?yàn)镋&,yJ在尤2=4》上，所以犬=4乂，即5=2?,②

將②代入①得V-2y,-2y=0,

所以直線DE的方程為9-2%-2y=0

同理可得直線DF的方程為x2x-2y2-2y=0.

因?yàn)椤?-2）在直線DE上，所以%-2%+4=0,

又力,-2）在直線力尸上,所以3-2%+4=0,

所以直線E尸的方程為江-2y+4=0,

故直線EF過(guò)定點(diǎn)（0,2）.

例2.（2024?陜西西安?西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄AM恒過(guò)定點(diǎn)尸

圓心"到直線y*的距離為",隆陽(yáng)+，

⑴求M點(diǎn)的軌跡C的方程;

（2）過(guò)直線y=x-l上的動(dòng)點(diǎn)。作C的兩條切線4，，切點(diǎn)分別為A，3,證明：直線A2恒過(guò)

定點(diǎn).

2

11

【解析】（1）設(shè)M（x,y）,則|MF|=,d=y+—，

84

1

整理得無(wú)2=y+J<0,不成立;

O

綜上所述：M點(diǎn)的軌跡C的方程

(2)由(1)可知：曲線C:即y=2%2,貝ljy'=4x,

設(shè)A（%p2引倒%2芯），Q（"T），

3

可知切線。A的斜率為4不，所以切線。A：y-2x；=4%（尤-西），

則f-l-2x；=4%（/-玉），整理得2x；-4%+f-l=0,

同理由切線Q3可得：2只一4出+f-l=O,

,t-1

可知：外,馬為方程2爐—4及+/-1=0的兩根，則無(wú)1+%=2r,占尤2=-^-，

可得直線AB的斜率kAB=2c=2（占+%）=4r,

%一乙一

設(shè)A8的中點(diǎn)為N（玉）,y°）,貝IJ%=土產(chǎn)=t,y0=2丁產(chǎn)=（再+工J?一2再％=4/一.+1,

即N?,4產(chǎn)T+1）,

所以直線AB：y-（4t2-t+l）=4t（x-t）,整理得＞-1=小卜-￡|,

所以直線A8恒過(guò)定點(diǎn)尸

例3.（2024?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知平面曲線C滿足：它上面任意一定到的距離

3

比到直線丫=-5的距離小1.

⑴求曲線c的方程；

（2）0為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A3,證明：直

線A3過(guò)定點(diǎn)；

⑶在（2）的條件下，以E，,|］為圓心的圓與直線A8相切，且切點(diǎn)為線段48的中點(diǎn)，

求四邊形AOBE的面積.

【解析】（1）思路一：由題意知，曲線c是一個(gè)以為焦點(diǎn)，以丫=-；的拋物線，

4

故C的方程為：r=2y.

思路二：設(shè)曲線C上的點(diǎn)為（X,y）,則

由題意易知，y>0,整理得，X2=2J.

（2）設(shè)￡>「,_、,則

又因?yàn)閥=；d,所以y=x.則切線的斜率為不，

故x+g=尤［（占-。，整理得20-2%+1=0.

設(shè)2（々，%），同理得2/-2%+1=。.

4（國(guó),%）,8（%2，%）都滿足直線方程2比-2>+1=0.

于是直線2比-2y+l=0過(guò)點(diǎn)而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，

所以直線A3方程為2比-2y+l=0,即2田+（-2>+1）=0,

當(dāng)2x=0,-2了+1=0時(shí)等式恒成立.

所以直線A8恒過(guò)定點(diǎn)［0,；］

（3）思路一：利用公共邊結(jié)合韋達(dá)定理求面積

設(shè)A3的中點(diǎn)為G.AGQJIH，%）,則G［五產(chǎn)，嗎&］,麗=［十三，"二

BA=（x1-x2,yl-y2）.

由西?麗=0，得卜—1七）+「+"5）必_%）=0,

將y=1代入上式并整理得（占-超）a+xj（尤;+X；_6）=0,

因?yàn)椋?-％2。0,所以尤+1%2=0或%;+W=6.

由（1）知《歪，一￡|,所以O(shè)G,無(wú)軸，

則

=；I跖卜(％-X])+；|GD|.(%-xJ=(尤2-xJ+(芭+：)+4(%-X])

S四邊形AD8E=^AABE+

ZZo

(設(shè)％2>%).

5

當(dāng)石+%2=。時(shí)，（％2一%1）=（%+%2）—4玉％=4,即％2—玉=2,S四邊形ADBE=3；

當(dāng)％:+君=6時(shí)，（%+%）2=4,（/_%1）2=（石+/）2-4玉%2=8，

即%—%=2行,S四邊形AD8E=40.

綜上，四邊形的面積為3或4vL

思路二：利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合面積公式求面積

設(shè)由（1）知拋物線的焦點(diǎn)P的坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為y=-;.

由拋物線的定義，得以8|=日+—+日+!=（*+%）-2龍逮2+i=^±2+i=2l+2.

11222222

線段A8的中點(diǎn)為G（J/+￡|.

當(dāng)占+%=0時(shí)，r=0,A3_Ly軸，|AB|=2,

S四邊形DA8E=；x2xg+m=3；;

AO

當(dāng)占+%30時(shí)，rwO,由EG1A8,得'22,.，即/=±1.

t-0

所以網(wǎng)=4,G[±L|）,直線AB的方程為y=±x+；.

根據(jù)對(duì)稱性考慮點(diǎn)和直線A8的方程y=x+g即可.

E到直線AB的距離為|EG|=J（0_l）2+||_|1=V2,

1+-+-

D到直線AB的距離為22.8.

#+（-D2

所以S四邊形=；x4x（夜+及）=4逝.

綜上，四邊形ADBE的面積為3或4vL

思路三：結(jié)合拋物線的光學(xué)性質(zhì)求面積

圖5中，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)易得Nl=/2,又N1=N3,所以/2=/3.

因?yàn)锳b=A4，AO=AO,所以，

所以/=/的。=90°,J_A3,

6

同理△BD尸0=￡)/，所以。4=。用，即點(diǎn)。為A4中點(diǎn).

圖6中已去掉坐標(biāo)系和拋物線，并延長(zhǎng)BA,4A于點(diǎn)H.

因?yàn)镚E，AB,DB_LAB,所以GE〃。P.

又因?yàn)镚。分別為AB,A耳的中點(diǎn)，所以G。〃朋〃跖，

故EFDG為平行四邊形，從而GO=EP=2,A3=A4,+BB,=2GO=4.

因?yàn)?7〃G￡)且雙=；GD,所以/為他的中點(diǎn)，

從而DF=GE=?.

S四邊形ADBE=S&ADB+SjBE=^,。/+^,GE=4后.

當(dāng)直線AB平行于準(zhǔn)線時(shí)，易得S四邊形ADBE=3.

綜上，四邊形ADBE的面積為3或4vL

思路四：結(jié)合弦長(zhǎng)公式和向量的運(yùn)算求面積

由(1)得直線A3的方程為丁=比+；.

一1

y=tx+—

2

由彳2,可得f-2比一1二0,

X

/=T

于是否+%2=2/,再/=—1，%+>2=，(玉+工2)+1=2〃+1

\AB\=J1+2-X2\=Jl+/J（%1+々）2—4%%2=212+1）

2

設(shè)4,4分別為點(diǎn)D,E到直線AB的距離則4=+1,4=

因此，四邊形AD8E的面積S=:|AB|(4+&)=(r+3)/石.

設(shè)M為線段A8的中點(diǎn)，則用1,產(chǎn)+￡|,

由于成,數(shù)，而麗=(b-2),亞與向量(1J)平行，所以-2'=0,解得r=0或

f=±l.

當(dāng)/=0時(shí)，S=3；當(dāng)，=±1時(shí)S=40

因此，四邊形ADBE的面積為3或4vL

7

變式1.（2024?陜西?校聯(lián)考三模）已知直線/與拋物線C:x2=2/（p>0）交于48兩點(diǎn)，

且0AL03,ODLAB,。為垂足，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1』）.

（1）求C的方程；

（2）若點(diǎn)￡是直線y=x-4上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K作拋物線C的兩條切線EP,EQ,其中尸，Q

為切點(diǎn)，試證明直線尸。恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

【解析】（1）設(shè)點(diǎn)4的坐標(biāo)為（為,兀），點(diǎn)3的坐標(biāo)為（入2,％），

因?yàn)樽浴?1，所以須B=T,則直線A8的方程為了=-X+2,

fy=_x+2

聯(lián)立方程組1.，消去乃整理得f+2px-4P=0,

［無(wú)=2py

所以有玉+々=-2。，x1x2=-4p,

又OA_LO3,得占X2+X%=%%2+（2-XJ）（2-X2）=0,

整理得Xi%_（%+%）+2=_4p+2p+2=0,解得p=l.

所以C的方程為尤2=2y.

（2）由x2=2y,得所以y'=x,

設(shè)過(guò)點(diǎn)E作拋物線C的切線的切點(diǎn)為“°,予］,

則相應(yīng)的切線方程為y-曰…0）,即片亨，

設(shè)點(diǎn)E?,"4）,由切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)應(yīng)得-4=卬-［,即年一2%+2/8=0,

8

設(shè)尸入3'；~J'Q，則％3，工4是冗2一2比+2,-8=0的兩實(shí)數(shù)根,

可得￡+%=，x3x4=2t-8.

設(shè)〃是P。的中點(diǎn)，則相應(yīng)“=馬滬=，，

2

則yM==M^-+^-l=^r(x3+x4)-2x3x4l,即加=/―/+4,

乙乙\乙乙J*1

直線PQ的方程為y_(/―/+4)=(*_。，即y=t(x_l)+4,

所以直線尸。恒過(guò)定點(diǎn)(1,4).

變式2.(2024?安徽?高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)拋物線的弦與在弦兩端點(diǎn)處的

切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”.對(duì)于拋物線C：y=^2給出如下三個(gè)條

件：①焦點(diǎn)為下］。，￡|；②準(zhǔn)線為y=-g；③與直線2y-1=0相交所得弦長(zhǎng)為2.

(1)從以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求拋物線C的方程；

(2)已知AABQ是(1)中拋物線的“阿基米德三角形”，點(diǎn)。是拋物線C在弦兩端點(diǎn)處的

兩條切線的交點(diǎn)，若點(diǎn)。恰在此拋物線的準(zhǔn)線上，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？如果是，

求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】(1)C：＞=亦2即C：x2=-y,

a

其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,；］,準(zhǔn)線方程為＞=-；,

14〃J4〃

若選①，焦點(diǎn)為HO,：),則;=:，得。=［，

24。22

所以拋物線的方程為爐=2〉；

若選②，準(zhǔn)線為y=-＜，貝卜;=二，得

24〃22

所以拋物線的方程為f=2y；

若選③，與直線2y-1=0相交所得的弦為2,

將'=:代入方程尤2=工、中，得乂=土叵,

2a2a

9

即拋物線與直線2y-l=0相交所得的弦長(zhǎng)為2、返=叵=2,

2aa

解得所以拋物線的方程為爐=2%

⑵設(shè)A(x2J,2(%，%)，O(Xo，-gj,切線乙°：y-y,=k(x-Xl),

將其與C：爐=2〉聯(lián)立得尤2-2辰一無(wú)；+22=0,

由A=(—2左J_4x(—X；+2fccJ=0得上=%,

故切線編：y-yi=k(x-Xl),即y+%=xw；

同理1：y+y2=x-x2

又點(diǎn)。卜°,-m滿足切線兒，位的方程，

.1

一5+%=%0.再，

即有:

一不+%=入0“2，

、乙

故弦AB所在直線方程為y=x0-x+^,其過(guò)定點(diǎn)F^O,1y

變式3.(2024?湖北武漢?高二武漢市第四十九中學(xué)校考階段練習(xí))已知拋物線C:y=ox2

(。是常數(shù))過(guò)點(diǎn)尸(-2,2),動(dòng)點(diǎn)過(guò)。作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為4B.

(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

⑵當(dāng)f=l時(shí)，求直線48的方程;

(3)證明：直線N8過(guò)定點(diǎn).

【解析】(1)由點(diǎn)尸代入得。=),所以C的焦點(diǎn)為準(zhǔn)線方程為y=-；；

(2)設(shè)此時(shí)則才=2%,后=2%,

1

因?yàn)閥=x,所以切線'的斜率的4=玉，即廿2_丫r2_r_v+1-

xx-\2

所以2%一2%+1=0(1)

同理可得2%-2%+1=0(2)

所以由(1)、(2)可得直線的方程為2x-2y+l=0；

10

法二：設(shè)其中一條切線的斜率為左（顯然存在），則切線方程為>+;=%（%-1）,

,y+-=k（x-l]

由J2得zf-2fcv+2左+1=0,

x2=2y

所以由A=0得左2—2左一1=0,左=1±^2,

不妨設(shè)OA:y+|=（l_a）（無(wú)一l）,D8:y+g=（l+Vi）a_l）,

可解得+5/2,—+A/2^

所以的斜率3=1,

得直線的方程為y-1|-行J=x-（1-及）即2x-2y+l=0