第16講指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算（原卷版）

第16講指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)梳理】1.指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算(1)根式的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數(shù)，稱為根底數(shù)．(2)根式的性質(zhì)：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運(yùn)算中的一個(gè)參數(shù)，為底數(shù)，為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，冪運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類①正整數(shù)指數(shù)冪；②零指數(shù)冪；③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①，，；②，，；③，，；④，，．(6)注意事項(xiàng)：對(duì)于根式記號(hào)，要注意以下幾點(diǎn)：①，且；②當(dāng)是奇數(shù)，則；當(dāng)是偶數(shù)，則；③負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；④零的任何次方根都是零．⑤指數(shù)的運(yùn)算和逆運(yùn)算，遇到多重根號(hào)問(wèn)題，需要先寫成指數(shù)形式：例：；．⑥指數(shù)的逆運(yùn)算過(guò)程：．2.指數(shù)運(yùn)算中的平方差、立方和差公式,【典型例題】題型一：根式指數(shù)式的運(yùn)算【例1】化簡(jiǎn)求值:（1）；（2）．【例2】.【例3】（多選題）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化正確的是（）A． B． C． D．【題型專練】1.（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，且，則______．2.（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：（1）______；（2）______．3.設(shè)，，求的值．4．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求值.5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：（1）______；（2）______．題型二：平方差、立方差（和）公式運(yùn)用【例1】已知求的值．【例2】若則.【例3】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且，求下列代數(shù)式的值：(1)；(2)；(3)．（注：立方和公式）【題型專練】1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若，則＝（

）A．12 B．14 C．16 D．202.（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）（1）已知，計(jì)算：；

題型三：指數(shù)式運(yùn)算應(yīng)用題【例1】（2022·河南開(kāi)封·高二階段練習(xí)（文））企業(yè)在生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要經(jīng)過(guò)凈化處理后才可排放，某企業(yè)在凈化處理廢氣的過(guò)程中污染物含量P（單位：）與時(shí)間t（單位：h）間的關(guān)系為（其中，k是正的常數(shù)）．如果在前10h消除了20%的污染物，則20h后廢氣中污染物的含量是未處理前的（

）A．40% B．50% C．64% D．81%【例2】（2021·安徽宣城·高一期中）某滅活疫苗的有效保存時(shí)間T（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏的溫度t（單位：℃）滿足的函數(shù)關(guān)系為（k，b為常數(shù)，其中，是一個(gè)和類似的無(wú)理數(shù)，叫自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），超過(guò)有效保存時(shí)間，疫苗將不能使用.若在0℃時(shí)的有效保存時(shí)間是1080，在10℃時(shí)的有效保存時(shí)間是120，則該疫苗在15℃時(shí)的有效保存時(shí)間為（

）A．15h B．30h C．40h D．60h【例3】（2022·北京房山·高一期末）某食品的保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）．若該食品在的保鮮時(shí)間是小時(shí)，在的保鮮時(shí)間是小時(shí)，則該食品在的保鮮時(shí)間是（

）A．小時(shí) B．小時(shí) C．小時(shí) D．小時(shí)【例4】（2021·四川省南充市白塔中學(xué)高一期中）Logistic模型是常用的數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，有學(xué)者根據(jù)公布的數(shù)據(jù)建立某地區(qū)流感累計(jì)確診病例數(shù)（的單位：天）的模型：，其中為最大確診病例數(shù)，為非零常數(shù)，當(dāng)時(shí)，的值為（

）A．60 B． C． D．【例5】（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）一種細(xì)胞在分裂時(shí)由一個(gè)分裂成兩個(gè)，兩個(gè)分裂成四個(gè)，四個(gè)分裂成八個(gè)……每天分裂一次．現(xiàn)在將一個(gè)該細(xì)胞放入一個(gè)容器中，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)10天就可充滿整個(gè)容器，則當(dāng)細(xì)胞分裂到充滿容器一半時(shí)需要的天數(shù)是（

）A．5 B．9 C．6 D．8【題型專練】1.（2022·浙江·杭十四中高二期末）在某個(gè)時(shí)期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以的增長(zhǎng)率呈指數(shù)增長(zhǎng)，已知經(jīng)過(guò)天以后，該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來(lái)的倍，那么經(jīng)過(guò)天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來(lái)的（

）A．18倍 B．倍 C．倍 D．倍2.（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）毛衣柜里的樟腦丸會(huì)隨著時(shí)間揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為，經(jīng)過(guò)天后體積與天數(shù)的關(guān)系式為．若新丸經(jīng)過(guò)50天后，體積變?yōu)?，則一個(gè)新丸體積變?yōu)樾杞?jīng)過(guò)的時(shí)間為（

）A．125天 B．100天 C．75天 D．50天3.（2022·湖南·邵陽(yáng)市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）國(guó)家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京年冬奧會(huì)的標(biāo)志性場(chǎng)館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計(jì)，但整個(gè)系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正的智慧場(chǎng)館、綠色場(chǎng)館.并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場(chǎng)館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過(guò)濾系統(tǒng).已知過(guò)濾過(guò)程中廢水的污染物數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系為（為最初污染物數(shù)量）.如果前小時(shí)消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（

）小時(shí).A． B． C． D．4．（2021·四川·成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期中）國(guó)防部新聞發(fā)言人在年月日舉行的例行記者會(huì)上指出：“臺(tái)灣是中國(guó)不可分割的一部分，解放軍在臺(tái)海地區(qū)組織實(shí)兵演練，展現(xiàn)的是捍衛(wèi)國(guó)家主權(quán)和領(lǐng)土完整的決心和能力”，我空軍戰(zhàn)機(jī)在海面上空進(jìn)行繞臺(tái)巡航，已知海面上的大氣壓強(qiáng)是，大氣壓強(qiáng)（單位：）和高度（單位：）之間的關(guān)系為（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是常數(shù)），根據(jù)實(shí)驗(yàn)知高空處的大氣壓強(qiáng)是，則我戰(zhàn)機(jī)在高空處的大氣壓強(qiáng)約是（結(jié)果保留整數(shù)）（

）A． B． C． D．5．（2021·遼寧·大連市第三十六中學(xué)高一期中）某食品的保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，為常數(shù)）．若該食品在的保鮮時(shí)間是144小時(shí)，在的保鮮時(shí)間是36小時(shí)，則該食品在的保鮮時(shí)間是（

）A．16小時(shí) B．18小時(shí) C．20小時(shí) D．24小時(shí)6．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高一期中）有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)（的單位：天）的Logistic模型：，其中為最大確診病例數(shù)，為非零常數(shù)，當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著疫情已初步得到控制，則此時(shí)約為（

）A．50 B．53 C．60 D．667．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一期中）核酸檢測(cè)在新冠疫情防控核中