黑龍江省大慶市2025屆高三年級上冊第一次質量檢測數(shù)學試題（含答案解析）

黑龍江省大慶市2025屆高三上學期第一次質量檢測數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若復數(shù)z滿足z+22=l+2i,則在復平面內Z所對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.己知R上的函數(shù)/⑺，貝"0）=0”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.記S,為等差數(shù)列｛風｝的前〃項和，若％=4,S3=6,則幾=（）

A.112B.122C.132D.142

4.法國當?shù)貢r間2024年7月26日晚，第三十三屆夏季奧林匹克運動會在巴黎舉行開幕式.“奧

林匹克之父”顧拜旦曾經說過，奧運會最重要的不是勝利，而是參與；對人生而言，重要的

不是凱旋，而是拼搏.為弘揚奧運精神，某學校組織高一年級學生進行奧運專題的答題活動.

為了調查男生和女生對奧運會的關注程度，在高一年級隨機抽取10名男生和10名女生的競

賽成績（滿分100分），按從低到高的順序排列，得到下表中的樣本數(shù)據(jù)：

男生82858687889090929496

女生82848587878788889092

則下列說法錯誤的是（）

A.男生樣本數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是86

B.男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)

C.女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變

D.女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的方差不變

5.已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和3,母線長為勺巨，則圓臺的體積為（）

3

.26A/§TI?26>/3n?23巫it「23公兀

A.-----------D.-------------C.------------D.-----------

9393

2a—3

/、x-\---------,x>l

6.已知函數(shù)/("=%在R上單調遞增，則實數(shù)〃的取值范圍為()

(tz-l)ex-1,x<\

A.0,2]B.(g,2C.^1,1D.1,-|

7.已知。<0</<無，且sin(?+/7)+cos(?+/7)=0,sinasin￡=6cos6zcos〃，貝!]tan(a-/7)=

()

_￡

A.-1B.—C.D.

267

8.已知函數(shù)/(%)=2111￥-改十匕—1,若對任意的XG(0,+O0),/(%)K。，則h-2〃的最大值

為()

A.21n2-lB.3-21n2C.l-21n2D.21n2-3

二、多選題

9.已知/(x)=sinx+cosx,則下列說法正確的是()

A./(x+7i)=/(x)B./(同=/仁一1

C.D.Hxe(0,|J,/(x)=0

10.某學校足球社團進行傳球訓練，甲、乙、丙三名成員為一組，訓練內容是從某人開始隨機

地將球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人.現(xiàn)假

定每次傳球都能被接到，開始傳球的人為第一次觸球者，記第〃次觸球者是甲的概率為匕.

已知甲為本次訓練的第一次觸球者，即6=1,則下列說法正確的是()

￡-O-:

A.3

B.

D.>

11.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為下，準線交x軸于點。，直線,經過/且與C交

于A8兩點，其中點A在第一象限，線段"的中點M在'軸上的射影為點N.若|W|=\NF\,

則()

A./的斜率為百

B.是銳角三角形

試卷第2頁，共4頁

C.四邊形MNM的面積是括"

D.\BF\-\FA\>\FD^

三、填空題

12.已知向量商=(2,3),B=(x,l),a1(a-b),則尤的值為.

22

13.已知尸是橢圓C:=+]=l(a>>>0)的左焦點，直線、=履0力。)交橢圓C于M,N兩

ab

27r

點.若門閭=3\FN\,ZMFN則橢圓C的離心率為.

14.已知。>0且存1,函數(shù)/(力=￡-，在(。,+⑹上有且僅有兩個零點，則。的取值范圍

是.

四、解答題

15.2024年7月12日，國家疾控局會同教育部、國家衛(wèi)生健康委和體育總局制定并發(fā)布了

《中小學生超重肥胖公共衛(wèi)生綜合防控技術導則》，其中一級預防干預技術的生活方式管理

中就提到了“少喝或不喝含糖飲料，足量飲水”，某中學準備發(fā)布健康飲食的倡議，提前收集

了學生的體重和飲食習慣等信息，其中學生飲用含糖飲料的統(tǒng)計結果如下：學校有J的學生

每天飲用含糖飲料不低于500毫升，這些學生的肥胖率為:；而每天飲用含糖飲料低于500

毫升的學生的肥胖率為

(1)若從該中學的學生中任意抽取一名學生，求該生肥胖的概率；

(2)現(xiàn)從該中學的學生中任意抽取三名學生，記X表示這三名學生中肥胖的人數(shù)，求X的分

布列和數(shù)學期望.

16.如圖，在平面四邊形ABCD中，AB//DC,△ABD是邊長為2的正三角形，DC=3,0為

A2的中點，將△AOD沿OD折到APOD的位置，PC=V13.

⑴求證：PO±BD；

⑵若E為PC的中點，求直線BE與平面PDC所成角的正弦值.

17.設VABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,6,c,已知2a—c=%cosC.

⑴求3；

(2)若VABC的面積為真,cosAcosC=——,求VABC的周長.

26

18.已知函數(shù)〃x)=eX—aln(x+l),g(x)=sinx-x,其中aeR.

⑴證明：當xe［O,a)時，g(x)VO；

⑵若尤＞0時，/(x)有極小值，求實數(shù)。的取值范圍；

⑶對任意的天目0,兀］,2〃制280)+2恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

19.已知雙曲線E的中心為坐標原點，左焦點為(-6,0),漸近線方程為'=±咚丈.

(1)求E的方程；

出若互相垂直的兩條直線4，/2均過點網2，0乂?！埃舅?，且”小*),直線乙交E于兩點,

直線4交E于兩點，M,N分別為弦A8和CD的中點，直線交x軸于點

。(如0)(”eN*),設％=2”.

①求乙;

2n

②記%=|PQ|,2=2"-l(〃eN*),求Z［如一(一1)力卜丁

k=\

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案DBCDAADCBCACD

題號11

答案ABD

1.D

【分析】設z=a+6i（a,beR）,根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的加減運算化簡z+2N,再根據(jù)復數(shù)相等的

充要條件得到方程組，即可求出。、b,最后根據(jù)復數(shù)的幾何意義判斷即可.

【詳解】設2=。+歷（a/eR）,則-歷，

所以z+25=。+歷+2（。-歷）=3。-歷，又z+2N=l+2i,

1

3（1=1

所以,解得”3,

-b=2

6=-2

所以z=g-2i,所以復數(shù)z在復平面內所對應的點為《,-2],位于第四象限.

故選：D

2.B

【分析】根據(jù)題意，結合函數(shù)的奇偶性分別驗證充分性以及必要性，即可得到結果.

【詳解】取/（x）=QT），xeR-則/（0）=0,但/⑴=0,/（T）=2,

即所以函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)，故充分性不滿足；

若函數(shù)”X）為奇函數(shù)，則/（0）=-〃-0），即"0）=0,故必要性滿足；

所以“〃。）=?！笔恰昂瘮?shù)〃x）為奇函數(shù)”的必要不充分條件

故選：B

3.C

【分析】設等差數(shù)列的公差為d,依題意得到％、d的方程組，即可求出4、d,再根據(jù)等

差數(shù)列求和公式計算可得.

[a-,=a.+2d=4fa.=0

【詳解】設等差數(shù)列的公差為d,則;1解得二

電=3q+3d=6[d=2

12x2-1

所以幾=12^+0）^=132.

故選：C

答案第1頁，共14頁

4.D

【分析】根據(jù)百分位數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差的定義一一判斷即可.

【詳解】對于A：10x25%=2.5,所以男生樣本數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是86,故A正確；

對于B：男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為二T=89,男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90,故B正確;

2

對于C：女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為*(82+84+85+87x3+88x2+90+92)=87,

女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

-(84+85+87x3+88x2+90)=87,故C正確；

8

對于D：女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，

但是極差變小，所以方差變小，故D錯誤.

故選：D

5.A

【分析】首先利用勾股定理求出圓臺的高，再由臺體的體積公式計算可得.

【詳解】因為圓臺的上、下底面半徑分別為1和3,母線長為逋，

3

所以圓臺的高〃=一(3-1)2=羋，

所以圓臺的體積V=兀xF+兀、32+兀、卜3卜空=生叵.

31739

故選：A

6.A

【分析】依題意函數(shù)在各段單調遞增且斷點左側函數(shù)值不大于右側函數(shù)值，首先得到〃>1,

再分<、3和兩種3情況討論，分別得到不等式組，即可求出參數(shù)的取值范圍.

2a—3

/、XH---------,X>1

【詳解】因為/(%)=X在R上單調遞增，所以a-1>0,則4>1；

(?-l)ex-1,x<\

當2a-3V0且即時，函數(shù)>=x+也江在口,—)上單調遞增，

2x

^-l)e°<l+26z-3

要使“X)在R上單調遞增，貝43，解得1<“4；

l<a<-2

12

當2a-3>0,即a，時，對勾函數(shù)丫=》+網/在(病方+可上單調遞增，(0,儂一3)上

單調遞減,

答案第2頁，共14頁

(a-l)e°<l+2iz-3

33

要使/(X)在R上單調遞增，則＜a>一，解得

2

J2。一341

綜上可得實數(shù)a的取值范圍為(1,2].

故選：A

7.D

【分析】根據(jù)題意可得tan(a+/7)=-l,tanatan￡=6,再利用正切兩角和公式求得

tan+tan=5,再結合1211戊一1@11'=一“1211二+1211,)2一41@1101211'=一1,從而結合正切

兩角差公式即可求解.

【詳解】由題意得sin(a+P)=-cos(o+/7),貝!|tan(a+/7)=-l,

又因為sinasin尸=6coscrcos/7,所以tanatan/=6,tan%tan/?同號,

tana+tan0tana+tan0

又因為tan(a+〃)=

1-tantanp1-6

貝Itana+tan/7=5,tana,tan[3同正,

7T

所以。＜。＜尸＜5,貝Utana<tan(3,

所以tana—tanJ3=-J(tana+tan夕)--4tanatan(3=-45。-4x6=-1,

tana—tan/tana-tan/7_tancr-tan(3

所以tan(a-Q)=故D正確.

1+tanatanp1+67

故選：D.

8.C

【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，當時推出矛盾,當。＞0時求出/(%).,即可得到

b43-21n2+21na，從而得到人-2〃W3-21n2+21na-2a,再利用導數(shù)求出In的最大

值，即可得解.

OO_z-r-y-

[詳解】因為〃x)=21nx_依+6—1,%e(0,+oo),所以尸(無)=：_。=三竺

當aW0時，尸(久)〉0恒成立，所以/(x)在(0,+8)上單調遞增，且當x-?+8時/⑺―+。,

不符合題意;

22

當a＞0時，則當0＜x＜一時尸(%)〉0,當x〉一時尸(%)＜0,

aa

答案第3頁，共14頁

所以/(X)在(。,￡|上單調遞增，在[，+“)上單調遞減，

(2、22

所以/(%)max=/—=21n—ax-+b-l<0,貝!JZ?(3—21n2+21na,

\dJd'ci

所以b-2aW3-21n2+21na—2〃，

ii_r

令g(x)=lnx-x,貝I]=,

所以當0<x<l時g'(x)>0,當x>l時g'(x)<0,

所以g（X）在（0,1）上單調遞增，在（1,+8）上單調遞減,

所以g(x)Vg⑴=-1,

以Ina—a<—1,

則b-2a<3-2ln2+21na—2a<l—21n2,

即b-2〃的最大值為l-21n2.

故選：C

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是分4<0、a>0兩種情況討論，從而求出/（X）1mx,即可

得至距W3—21n2+21na,從而將雙變量化為單變量問題.

9.BC

【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡，再由誘導公式判斷A、B；求出函數(shù)的導函數(shù)，即可

判斷C；根據(jù)正弦函數(shù)的性質判斷D.

【詳解】因為/("=511?：+8$4=&$111口+：1，

貝I1/(x+Ti)=0sin[x+7r+：)=-A/2sin[x+"w/(x),故A錯誤;

又廣”后c°s[x+J當x”,J則x+上皿

所以cos（x+；]e|0,巧,

I4八2）

所以尸（x）>0,即網?0,3，-口）>0,故C正確；

當貝+，所以sin[x+"e號,1

答案第4頁，共14頁

所以打龍戶(1,夜8,故不太使得/(x)=0,故D錯誤.

故選：BC

10.ACD

【分析】A與B能直接進行求解；C項分析出要想第〃次觸球者是甲，則第-1)次觸球的

不能是甲，且第伍-1)次觸球的人，有割勺概率將球傳給甲，從而求出遞推公式；D項在C項

的基礎上求出通項公式，計算出比較出力-《=-=4+彳=—-<0,從而判斷求解.

【詳解】A：甲傳球給乙或丙，故鳥=。，故A正確；

B：乙或丙傳球給其他兩個人，故A=)，故B錯誤；

C、D：由題意得：要想第"次觸球者是甲，則第(〃-1)次觸球的不能是甲，

且第5-1)次觸球的人，有,勺概率將球傳給甲，

故匕=；(1-41)=：一；匕-,貝1]/^=一；匕+：,故C正確；

因為匕匕T，設匕+2=-]匕J2)，

解得：」;，所以勺匕

因為q一所以[匕一:1是以弓為首項，公比是的等比數(shù)列，

JJ[3J§2

故只，所以尺=。-￡|+r

故-W)+4段則耳。-6=-齊+>-康<。，

故故D正確.

故選：ACD.

【點睛】概率與數(shù)列結合的題目，要能分析出遞推關系，通過遞推關系求出通項公式，這是

解題的關鍵.

11.ABD

【分析】根據(jù)題意分析可知AMVF為等邊三角形，即可得直線/的傾斜角和斜率，進而判斷

A；可知直線/的方程，聯(lián)立方程求點A,8的坐標，求相應長度，結合長度判斷BD；根據(jù)面

答案第5頁，共14頁

積關系判斷C.

【詳解】由題意可知：拋物線的焦點為尸!^刀準線為了=4,即。1一宗。

設4（%,%）,3（孫％），%>。,%<0,

則dt■+￡』中4,可得，

因為|肱V|=|NF|,gp|W|=|A^F|=|MF|,

可知△肱VF為等邊三角形，即NMWF=60。,

且MN〃冗軸，可知直線/的傾斜角為60。，斜率為左=tan60。=6，故A正確;

則直線/：y=

_P

X~^J,解得■X

y=X=1P6

聯(lián)立方程2或*

y2=2pxJ=5）y

、

P

7

|FB|=|A|AB|=|8

P，

3

在中，|叫,M|BD|2+|AD|2-|AB|2>0,

可知4D3為最大角，且為銳角，所以△AB。是銳角三角形，故B正確；

四邊形MNDR的面積為S”NDFMSANDF+S^NF=：xpx*p+；x*pxp=*p2,故C錯

乙乙乙乙乙

'口

厭；

因為第H*=g02,|m=",所以忸斗|網＞1陽匕故D正確；

故選：ABD.

【點睛】方法點睛：有關圓錐曲線弦長、面積問題的求解方法

答案第6頁，共14頁

（1）涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數(shù)的關系、設而不求計算弦長；涉及垂直關

系時也往往利用根與系數(shù)的關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用

圓錐曲線的定義求解；

（2）面積問題常采用S.=：x底x高，其中底往往是弦長，而高用點到直線距離求解即可，

選擇底很重要，選擇容易坐標化的弦長為底.有時根據(jù)所研究三角形的位置，靈活選擇其面

積表達形式，若求多邊形的面積問題，常轉化為三角形的面積后進行求解；

（3）在求解有關直線與圓錐曲線的問題時，應注意數(shù)形結合、分類與整合、轉化與化歸及

函數(shù)與方程思想的應用.

12.5

【分析】首先求出@-5的坐標,依題意可得必卜-石）=o,根據(jù)數(shù)量積的坐標運算得到方程，

解得即可.

【詳解】因為商=（2,3）,石=（尤,1）,

所以”石=（2,3）-（x,1）=（2-x,2）,

又萬一方），所以萬5）=2（2—x）+3x2=0,解得了=5.

故答案為：5

13.立

4

【分析】設工是橢圓C的右焦點，分析可知成明N為平行四邊形，根據(jù)橢圓定義可得

13

\MF2\=-a,\FM\=-a,利用余弦定理運算求解.

【詳解】設工是橢圓C的右焦點，連接MFANB，

由對稱性可知：\OM\=\ON\,\OF\=\OF2\,則用V為平行四邊形,

l\i\FM\=3\MF\,

^\\MF2\=\FN\,ZFMF2=1,2

答案第7頁，共14頁

因為|WW|+M閭=4|咋|=2a,貝||舷周=?,|尸叫=》,

在《引叫中，由余弦定理可得但閭2=|崢「+但閘2-2限閭.|府卜cos/FM",

1292cl3127

即4c29=：a~\—ci—2x—ax—cix一解咋r黑

4222

所以橢圓C的離心率為e=￡

a

故答案為：立.

4

14.且awe

【分析】函數(shù)/（x）=K-/在（0,+8）上有且僅有兩個零點，等價于疝=X"有兩個交點，即

手=平有兩個交點，令歹（對=一則尸（x）=F（a）有兩個交點，利用導數(shù)得出答案.

【詳解】解：因為函數(shù)/（x）=￡-優(yōu)在（0,+。）上有且僅有兩個零點，所以優(yōu)=/有兩個交

點，

即叱=處有兩個交點，

ax

令尸⑺=（,則尸（力=尸（々）有兩個交點，

?"’3=匕『，

所以在區(qū)間（0,e）上，F(xiàn)（x）＞0,y=F（x）單調遞增,

在區(qū)間（e,+8）上，廠'（龍）＜0,丁="力單調遞減且網力＞0,

"d=/化）=]

尸（%）=/㈤有兩個交點，

八Ina1

/.0＜---＜-,

ae

所以a＞l且awe.

故答案為：。＞1且。76.

15.（1）!

（2）分布列見詳解；川乂卜]

【分析】（1）設相應事件，根據(jù)題意利用全概率公式運算求解;

答案第8頁，共14頁

（2）分析可知X?利用二項分布求分布列和期望.

【詳解】（1）設“學生每天飲用含糖飲料不低于500毫升”為事件A,則P（A）=^,P（A）=|,

設“學生的肥胖，，為事件B,則尸（21A）=g,尸（例?）=|,

由全概率公式可得尸（0=尸伊|A）尸網+尸⑻不叩）=gx；+|x；=；,

所以從該中學的學生中任意抽取一名學生，該生肥胖的概率為3.

（2）由題意可知：X?且X的可能取值為0,1,2,3,則有：

「（x=o）=1*Q（x=i）心啜,

尸(X=2)=C；

所以X的分布列為

X0123

272791

p

64646464

13

X的期望萬國）=3丁工.

16.（1）證明見解析

【分析】（1）首先證明PDLCD,即可得到從而得到平面尸OD,即可證

明。SLOP,再證明OP_L平面28C,即可得證；

（2）建立空間直角坐標系，求出平面尸DC的法向量與直線旗的方向向量，再由空間向量

法計算可得.

【詳解】（1）依題意△姒）是邊長為2的正三角形，。為A8的中點，所以

所以C?_LPO,ODA.BO,PD=2,CD=3,PC=^/13,

貝i」pr）2+cr）2=pc2,所以PDLCD,又AB〃DC,即OB〃OC,所以OBLPD,

又ODcPD=D,0￡）,P￡>u平面POD,所以03_L平面POD,

因為OPu平面尸OD,所以OBLOP,

答案第9頁，共14頁

5LOB[}OD=O,。8,。。＜=平面38（7,所以。尸_L平面3ODC,

又BDu平面3ODC,所以尸O_L&）；

（2）如圖建立空間直角坐標系，則B（l,0,0）,P（0,0,1）,r＞（0,V3,0）,C（3,V3,0）,E

5萬2J

所以防=,DC=（3,0,0）,DP=（0,-V3,l）,

元.DC=3x=0

設平面PDC的法向量為萬=（x,y,z）,貝葉_,令為=

n-DP=->j3y+z=0

設直線班與平面尸DC所成角為6,貝廣m"=忸和|=^^=虧

所以直線BE與平面PDC所成角的正弦值為姮.

5

71

17.（1）B=J

⑵5+如

【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理結合三角恒等變換可得cosB=1,即可得結果；

2

（2）利用面積公式可得改=4,根據(jù)855=-8$（4+。）可得5由45詁。=為，利用正弦定

理可得2R=2叵，b=413,再利用余弦定理解得a+c=5,即可得結果.

3

【詳解】（1）因為2a—c=2Z?cosC,由正弦定理可得2sinA—sinC=2sin5cosC,

且sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC,

即2sinBcosC+2cosBsinC—sinC=2sinBcosC,整理可得2cosBsinC—sinC=0,

且C?0,7T）,貝UsinCwO,可得2cos3—1=0,即cosB=g,

且3e（O,7i）,所以B=4.

（2）因為VABC的面積為S人Aar=LacsinB=Lacx，^=6，則ac=4,

△ABC222

答案第10頁，共14頁

又因為cos5=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC=—+sinAsinC=—,可得

.3

sinAsinC=——,

13

ahc

由正弦定理一^=—^=二一=2H,可得a=2HsinA,b=2Hsin&c=2Hsin。，

sinAsinBsinC

其中R為VABC的外接圓半徑，

9?3

則ac=(2R)sinAsinC,即4=(2R)x—,

可得2R=^E,貝IJb=2Hsin5=A，

3

由余弦定理可得，2-a2+c2-2accosB-(a+c\-2ac-2accosB,

Bpi3=(fl+c)--8-2x4x-,解得a+c=5,

所以VA3C的周長為a+c+6=5+V^.

18.(1)證明見詳解

⑵(L+⑹

⑶(-00』

【分析】(1)求導，利用導數(shù)判斷g(x)的單調性，結合單調性分析證明；

(2)求導，令Mx)=(x+l)e，-a,尤>0,利用導數(shù)分析可知無⑺在(0,+8)內單調遞增，分

類討論〃(0)=1-。的符號，進而分析了(元)的極值，即可得結果；

(3)構建網元)=2/(尤)-gO)-2,分析可知原題意等價于網”20對任意x目0,可恒成立,

根據(jù)端點效應可得,并代入檢驗說明其充分性即可.

【詳解】(1)因為g(x)=sinx-x,則g<x)=cosx-1V0對任意xe[0,+oo)恒成立,

可知g(x)在[0,+8)內單調遞減,則g(x)<g(O)=O,

所以當xe[0,+<?)時，g(x)m0.

(2)因為/(x)=e*—dn(x+l),x>0,則尸⑺=e一旦="+3'-a,

x+1x+1

令/2(%)=(1+1)3一。,元〉0,則〃(%)=(%+2)3>0對任意%>0恒成立，

可知九(%)在(0,+oo)內單調遞增,則/z(x)>A(0)=l-a,

答案第11頁，共14頁

當1一?！?即aWl時,則h(%)>0對任意%>0恒成立，即尸(%)>0,

可知“X)在(0,+8)內單調遞增，無極值，不合題意；

當1一。<0,即4>1時，則八(x)在(0,+8)內存在唯一零點%>0,

當0cx<%o時,/i(x)<0,即尸(久)<0；當x>x()時，ft(x)>0,即尸(%)>0；

可知“X)在(0,天)內單調遞減，在(％,+8)內單調遞增，

可知/(x)存在極小值/(不)，符合題意；

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍為(1,+8).

(3)-$-F(x)=2/(x)-g,(x)-2=2ex-2aln(j;+l)-cosx-l,xe[0,TI],

則尸(x)=2ev--即-+sinx,

x+1

原題意等價于F(x)>0對任意xe[0,可恒成立，

且/(0)=0,貝|9(0)=2-2a20,解得aVl,

若因為<￡[0,兀],則2e*N2,-------N—2,sin%N0,

」x+1

則Fr(x)=2ex-^^-+sinx>0,

x+1

可知F(x)在[0,句內單調遞增，則-x)皿0)=0,即a<l符合題意；

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍為(F』.

【點睛】方法點睛：兩招破解不等式的恒成立問題

1.分離參數(shù)法

第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；

第二步：利用導數(shù)求該函數(shù)的最值；

第三步：根據(jù)要求得所求范圍.

2.函數(shù)思想法

第一步：將不等式轉化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；

第二步：利用導數(shù)求該函數(shù)的極值；

第三步：構建不等式求解.

19.(1)￡1_/=1

答案第12頁，共14頁

16+(3n-l)x4"+2

(2)@f?=2"+1；②

9

22

【分析】（1）設雙曲線方程為、-當=l（a,6>0）,表示漸近線方程，從而得到方程組，求

cib

出。、6,即可求出曲線方程；

（2）①首先判斷直線4,的斜率均存在且不為0,設4的方程為^=左（彳-2）（左彳。），

4（%,為），B（x2,y2）,N（xN,yN）,聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達

定理，即可求出“點坐標，同理可得N點坐標，根據(jù)M、N、。三點共線，表示出乙，即

可得解；②首先得到。“=2",再利用并項求和法及錯位相減法計算可得.

22

【詳解】（I）依題意設雙曲線方程為二-斗=l（a,b>0）,

ab

則漸近線方程為〉=±'b工,

a

b_^2_

a2a=^2

則=V3,解得b=l,所以E的方程為工_y2=]；

2