北京中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：一元二次方程 專項練習(xí)（含答案）

專題9一元二次方程2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練（北京專

用）

一'單選題

1.（2021九上?朝陽期末）參加一次活動的每個人都和其他人各握了一次手，所有人共

握手10次，有多少人參加活動？設(shè)有x人參加活動，可列方程為（）

1

A.之久（久一1）=1。B.-1）=10

1一

C.+1）=10D.2x（%—1）=10

2.（2021九上?大興期末）小亮、小明、小剛?cè)瑢W(xué)中，小亮的年齡比小明的年齡小

2歲，小剛的年齡比小明的年齡大1歲，并且小亮與小剛的年齡的乘積是130.你知道這

三名同學(xué)的年齡各是多少歲嗎？設(shè)小明的年齡為x歲，則可列方程為（）

A.（%+2）（%-1）=130B.（%-2）（%+1）=130

C.%（%-2）=130D.穴久+1）=130

3.（2021九上.北京市月考）下列敘述正確的是（）

A.形如a/+法+c=0的方程叫一元二次方程

B.方程4/+3%=4不含有常數(shù)項

C.一元二次方程中，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項均不能為0

D.（3—y）2=0是關(guān)于y的一元二次方程

4.（2021九上?燕山期末）在等式①/+久=1；03+2=5；③1+1=0；⑤%+

y-1；⑤久+3=2x中，符合一元二次方程概念的是（）

A.①⑤B.①C.④D.①④

5.（2021九上?朝陽期末）若關(guān)于x的一元二次方程（a-I）%2+a2x-a=0有一個根是

x=1,則a的值為（）

A.-1B.0C.1D.-1或1

6.（2021九上?東城期末）一元二次方程2/+無一5=0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、

常數(shù)項分別是（）

A.2,1,5B.2,1,-5C.2,0,-5D.2,0,

5

7.（2021九上?西城期末）將一元二次方程/一8%+10=0通過配方轉(zhuǎn)化為（久+a）2=b

的形式，下列結(jié)果中正確的是()

A.(%—4)2—6B.(久一8)2=6C.(%—4)2=—6D.(%—

8)2=54

8.(2021九上東城期末)用配方法解方程x2+4x=l,變形后結(jié)果正確的是()

A.(x+2)2=5B.(x+2)2=2C.(x-2)2=5D.(x-2)2

=2

9.(2021九上?海淀期末)把長為2m的繩子分成兩段，使較長一段的長的平方等于較

短一段的長與原繩長的積.設(shè)較長一段的長為xm,依題意，可列方程為()

A.%2=2(2—x)B.%2=2(2+x)C.(2—%)2=2xD.x2=

2-x

10.(2021九上?豐臺期末)若關(guān)于x的一元二次方程(m-l)x2+x+m2-1-0有一

個解為x=0，那么m的值是()

A.-1B.0C.1D.1或-1

二、填空題

11.(2021九上?燕山期末)下面是用配方法解關(guān)于x的一元二次方程3/+%—2=0的

具體過程，

3久2+2%—1=0

解：第一步：—^=0

第二步：%2+1%

第三步：x2+jx+(1)=|+(1)

第四步：(X+x+g￡2=—1

以下四條語句與上面四步對應(yīng)：“①移項：方程左邊為二次項和一次項，右邊為常

數(shù)項；②求解：用直接開方法解一元二次方程；③配方：根據(jù)完全平方公式，在方程

的兩邊各加上一次項系數(shù)一半的平方；④二次項系數(shù)化1,方程兩邊都除以二次項系

數(shù)”，則第一步，第二步，第三步，第四步應(yīng)對應(yīng)的語句分別是.

12.(2022九下?北京市開學(xué)考)關(guān)于x的一元二次方程(巾+1)/+(2m+l)x+m-

1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是.

13.(2022?通州模擬)如果關(guān)于x的方程/+6%+m=0有兩個相等的實數(shù)根，那么m

的值是，方程的根是

14.（2021九上?西城期末）關(guān)于x的一元二次方程為2+血支+4=0有一個根為1,則m

的值為.

15.（2022九上,海淀期中）若關(guān)于x的一元二次方程/+久+上=0有兩個相等的實數(shù)

根，則k的值為.

16.（2021九上凍城期末）若關(guān)于x的一元二次方程x2—2x+m=0有一個根為1,則

m的值為.

17.（2021九上?東城期末）2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘

揚紅色文化，重走長征路”主題教育活動.據(jù)了解，某展覽中心3月份的參觀人數(shù)為10

萬人，5月份的參觀人數(shù)增加到12.1萬人.設(shè)參觀人數(shù)的月平均增長率為x,則可列方

程為.

18.（2021九上?北京市月考）已知m是關(guān)于x的方程x2-3x-4=0的一個根，貝13m2

-9m-2=.

19.（2022九上?海淀期中）若1是關(guān)于x的方程/一。久=0的根，則a的值

為.

20.（2022九上,海淀期中）如圖是某停車場的平面示意圖，停車場外圍的長為30米，

寬為18米.停車場內(nèi)車道的寬都相等.停車位總占地面積為288平方米.設(shè)車道的寬

為x米，可列方程為.

三'計算題

21.（2021九上?海淀期末）解方程：X2-6%+8=0

22.（2021九上?西城期末）解方程：x2-2x-2=0.

23.（2021九上?朝陽期末）解方程：2/一9久+10=0.

24.（2022?海淀模擬）關(guān)于x的方程/一（26+1）%+m2-0有兩個不相等的實數(shù)根.

（1）求m的取值范圍；

（2）當(dāng)m取最小的整數(shù)時，求此時的方程的根.

四'綜合題

25.（2021九上?豐臺期末）已知關(guān)于x的一元二次方程3k久+2/=0.

（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若k>0,且該方程的兩個實數(shù)根的差為1,求k的值.

26.（2021九上?東城期末）已知關(guān)于x的一元二次方程/一（k+4）x+4k=0.

(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若該方程有一個根小于2,求k的取值范圍.

27.(2021九上?北京市月考)隨著國內(nèi)新能源汽車的普及，為了適應(yīng)社會的需求，全國

各地都在加快公共充電樁的建設(shè)，某省2018年公共充電樁的數(shù)量為2萬個，2020年公

共充電樁的數(shù)量為2.88萬個.

(1)求2018年至2020年該省公共充電樁數(shù)量的年平均增長率；

(2)按照這樣的增長速度，預(yù)計2021年該省將新增多少萬個公共充電樁？

28.(2021八上?燕山期末)閱讀下列材料：

利用完全平方公式，可以把多項式為2+bx+C變形為(x+巾)2+n的形式.例如，

%2-4%+3=%2-4%+4-4+3=(%-2)2-1.

觀察上式可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)久-2取任意一對互為相反數(shù)的值時，多項式%2一以+3的值

是相等的.例如，當(dāng)無一2=±1,即比=3或1時，/一4久+3的值均為0；當(dāng)為一2=

±2,即x=4或0時，/一4%+3的值均為3.

我們給出如下定義：

對于關(guān)于x的多項式，若當(dāng)％+加取任意一對互為相反數(shù)的值時，該多項式的值相

等，則稱該多項式關(guān)于％=-血對稱，稱為=-血是它的對稱軸.例如，久2一軌+3關(guān)于

x=2對稱，％=2是它的對稱軸.

請根據(jù)上述材料解決下列問題：

(1)將多項式爐一6%+5變形為(％+m)2+n的形式，并求出它的對稱軸；

(2)若關(guān)于久的多項式/+2a久一1關(guān)于x=-5對稱，貝!]a=；

(3)代數(shù)式(/+2%+1)(%2-8%+16)的對稱軸是％=.

29.(2022八下?門頭溝期末)已知關(guān)于x的一元二次方程久2一位+36=0有兩個不相等

的實數(shù)根.

(1)求m的取值范圍；

(2)當(dāng)m取正整數(shù)時，求此時方程的根.

30.用長為6米的鉛合金條制成如圖所示的矩形窗框，其中EF//4D//BC,設(shè)窗框的高

度為力D=久米.

（1）設(shè)窗框?qū)挾?B為y米，貝的=米（用含X的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)窗戶的透光面積為1.5平方米時，請你計算出窗框的高和寬分別是多少米

（鋁合金條的寬度忽略不計）

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：設(shè)有x人參加活動，每個人與其他人握手的次數(shù)均為(x-1)次，

并且每個人與其他人握手均重復(fù)一次，由此可得：

0^=10，

故答案為：A.

【分析】設(shè)有x人參加活動，每個人與其他人握手的次數(shù)均為。-1)次，可得共握手

當(dāng)也次，根據(jù)共握手的次數(shù)列出方程即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：設(shè)小明的年齡為x歲，則小亮的年齡為(久-2)歲，小剛的年齡為

(%+1)歲，

根據(jù)題意即可列方程：(%—2)(%+1)=130.

故答案為：B.

【分析】設(shè)小明的年齡為x歲，則小亮的年齡為(x-2)歲，小剛的年齡為(％+1)歲，

再根據(jù)“小亮與小剛的年齡的乘積是130”列出方程(久-2)(久+1)=130即可。

3.【答案】D

【解析】【解答】解：A.形如a/+b%+c=O(aHO)的方程叫一元二次方程，故A

不符合題意；

B.方程4/+3久=4的一般形式是4/+3x—4=0,常數(shù)項是—4,故B不符合題

思；

C.一元二次方程中，二次項系數(shù)不能為0,一次項系數(shù)及常數(shù)項可以為0,故C不符

合題意；

D.(3—y)2=0是關(guān)于y的一元二次方程，故D符合題意.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及相關(guān)的量對每個選項一一判斷即可。

4.【答案】B

【解析】【解答】解：@x2+x=l,是一元二次方程，符合題意；

03+2=5,不是方程，不符合題意；

③]+1=0,不是整式方程，不符合題意；

⑤%+y=l,是二元一次方程，不符合題意；

⑤%+3=2%,是一元一次方程，不符合題意

故符合一元二次方程概念的是①

故答案為：B

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及相關(guān)材料判斷即可。

5.【答案】A

【解析】【解答】解：,??關(guān)于x的一元二次方程(a-l)x2+a2x-a=0有一個根是、=

1

???CL—1+Cl2-d=0

解得a=±1

一元二次方程(a—l)x2+a2x-a=0

Gt—1H0

二aH1

a=—1

故答案為：A.

【分析】將x=1代入方程求出a值，再根據(jù)一元二次方程的定義可得a-1力0,從而

確定a值.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：?.?一元二次方程2x2+x-5=0,

???二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是2、1、-5,

故答案為：B.

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐項判斷即可。

7.【答案】A

【解析】【解答】解：—8久+10=0,

??/—Qx——10,

Ax2-8%+16=-10+16,即（X—4）2=6,

故答案為：A.

【分析】利用配方法減一元二次方程即可得出答案。

8.【答案】A

【解析】【解答】解：x2+4x=l

%2+4%+4=1+4

即（久+2）2=5

故答案為：A

【分析】利用配方法的計算方法和步驟求解即可。

9.【答案】A

【解析】【解答】解：設(shè)較長一段的長為xm,則較短一段的長為（2-x）m,

由題意得：X2=2（2-%）.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意，設(shè)較長一段的長為xm,則較短一段的長為（2-x）m,由此列出

方程。

10.【答案】A

【解析】【解答】解：???關(guān)于x的一元二次方程（m-l）x2+x+m2-l=。有一個解為

x=0,

?'?m2—1=0,m—10

m——1

故答案為：A

【分析】將x=0代入O-I）%2+x+m2-1=0可得m2一1=0,加一1。0,再求出

m的值即可。

1L【答案】④①③②

【解析】【解答】解：根據(jù)配方法的步驟可知：第一步為：④二次項系數(shù)化1,方程兩

邊都除以二次項系數(shù)；

第二步為：①移項：方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；

第三步為：③配方：根據(jù)完全平方公式，在方程的兩邊各加上一次項系數(shù)一半的平

方；

第四步為：②求解：用直接開方法解一元二次方程；

故答案為：④①③②.

【分析】利用配方法解一元二次方程即可。

12.【答案】加〉一%且m,-l

【解析】【解答】解：由題意知△=(2m+I)2-4x(m+1)x(m—1)>0,且TH+

1W0

解得：m>—,且租W-1

故答案為：租>—辛且mr-l.

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式列出不等式組求解即可。

13.【答案】9；-3

【解析】【解答】解：,??關(guān)于x的方程/+6%+租=0有兩個相等的實數(shù)根，

可得：A=b2-4ac=0,

即：36-4m=0,

解得：m=9,

則原方程為：%2+6%+9=0,

??.(%+3)2=0,

%]—%2=3，

故答案為：m=9,方程的根為-3.

【分析】利用一元二次方程根的判別式可得/=b2-4ac=0即36-4m=0,求出

m=9,所以方程為/+6久+9=0,再求出x的值即可。

14.【答案】-5

【解析】【解答】解：?.?關(guān)于x的一元二次方程/+血光+4=0的一個根是1,

l2+m+4=0,

解得：m=-5.

故答案是：-5.

【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程%2+租％+4=0的一個根是1,即可得出答案。

15.【答案】1

【解析】【解答】:?關(guān)于x的一元二次方程/+x+k=0有兩個相等的實數(shù)根，

二方程的判別式：/=M—4xlxk=0,

.,1

故答案為：

【分析】利用一元二次方程根的判別式求出A=l2-4xlx/c=0,再求解即可。

16.【答案】1

【解析】【解答】解：?.?關(guān)于x的方程x2-2x+m=0的一個根是1,

/.l-2+m=0,

解得m=l,

故答案為：1.

【分析】將x=l代入方程x2—2x+m=0求解即可。

17.【答案】10(1+%)2=12.1

【解析】【解答】解：根據(jù)題意設(shè)參觀人數(shù)的月平均增長率為x,則可列方程為10(1+

%)2=12.1

故答案為：10(1+%)2=12.1

【分析】根據(jù)“當(dāng)月參觀人數(shù)=前一個月參觀人數(shù)又(1+增長率)”列出方程10(1+

%)2=12.1即可。

18.【答案】10

【解析】【解答】解：是關(guān)于x的方程x2-3x-4=0的一個根，

/.m2-3m-4=0,

/.m2-3m=4,

/?3m2-9m-2=3(m2-3m)-2=3x4-2=10.

故答案是：10.

【分析】先求出m2-3m-4=0,再求出rtf-3m=4,最后代入計算求解即可。

19.【答案】1

【解析】【解答】解：把1代入方程得乎-a=0,

a=1

故答案為：1.

【分析】根據(jù)題意先求出12—Q=0,再求解即可。

20.【答案】(18-x)(30-x)=288

【解析】解:依題意得(18-x)(30-x)=288,

故答案為：(18-x)(30-x)=288

【分析】根據(jù)所給的圖形求出(18-x)(30-x)=288,即可作答。

21.【答案】解：x2-6%+8=0

(X—4)(X—2)=0

x—4=0或x—2=0

/.xi=4,X2=2

【解析】【分析】利用十字相乘法求解一元二次方程即可。

22.【答案】解：%2-2%-2=0

%2—2x+l—1-2=0

%2—2%+1=3

(%—I)2=3

x=1±V3

**?原方程的解為％1=1+V3,牝=1—V3

【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程即可。

23.【答案】解：2/一9%+10=0,

(2%—5)(%—2)=0,

2%—5=0或%—2=0,

解得：利=?或久2=2.

【解析】【分析】利用十字相乘法求解一元二次方程即可。

24.【答案】(1)解：,?關(guān)于x的方程久2一(26+1)%+62=。有兩個不相等的實數(shù)

根.

???其根的判別式4=（2m+I）2-4m2=4m+1>0.

??m>一五；

（2）解：???加>—5且m為最小的整數(shù)，

/.m=0.

此時方程為%2—%=0.

.??方程的根為%1=0,%2=1?

【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式列出不等式求解即可；

（2）將m=0代入方程，再求解即可。

25.【答案】（1）證明：%2—3kx+2k2=0

a=1,b=—3k,c=2k2

A=b2—4ac=9k2—8k2=k2

??,k2>0

4>0

??,該方程總有兩個實數(shù)根

（2）解：x2—3kx+2k2=0

bc7

%1%2=19%1+%2=~3k，.%2=—2k

2

又???（%i-x2y=（%i+%2）-4%I%2

???9k2-8k2=1

???k=±1

v/c>0

k=1

【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式求解即可；

（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得為1—%2=1，K1+%2=—\=3匕%1-

2

%2-=2k2,再列出方程-X2）=（%1+久2）2-4%1%2求解即可。

26.【答案】（1）證明：?.”2—（k+4）x+4k=0,

.*.A=[-（fc+4）]2—4x4k=卜2-8k+16=（k—4）220,

..?方程總有兩個實數(shù)根.

(2)解：Vx2-(fc+4)x+4/c=0,

(x—4)(%—fc)=0,

解得：久1=4,久2=k,

???該方程有一個根小于2,

：.k<2.

【解析】【分析】(1)利用一元二次方程根的判別式求解即可；

(2)先利用因式分解法求出一元二次方程，再根據(jù)“該方程有一個根小于2”，即可得

到k<2。

27.【答案】(1)解：設(shè)2018年至2020年該省公共充電樁數(shù)量的年平均增長率為x,

依題意得:2(1+x)2=2.88,

解得：xi=0.2=20%,X2=-2.2(不合題意,舍去).

答：2018年至2020年該省公共充電樁數(shù)量的年平均增長率為20%.

(2)解：2.88x20%=0.576(萬個).

答：預(yù)計2021年該省將新增0.576萬個公共充電樁.

【解析】【分析】(