人教版六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第九講最大最小問(wèn)題（含答案）

第九講最大最小問(wèn)題第一部分：趣味數(shù)學(xué)短跑比賽加特林和格林都是短跑名將。有一天,他們倆進(jìn)行百米短跑比賽,結(jié)果當(dāng)格林跑到90米的地方時(shí),加特林剛好沖過(guò)了終點(diǎn)。格林不服氣,說(shuō):“其實(shí)我們也就差了10米。如果你比我多跑10米的話,我們肯定一起沖過(guò)終點(diǎn)?！奔犹亓滞饬烁窳值慕ㄗh。令格林吃驚的是,當(dāng)加特林沖過(guò)110米的終點(diǎn)的時(shí)候,自己還沒(méi)有跑到百米的終點(diǎn)呢!格林只好甘拜下風(fēng)。請(qǐng)你想一想,第二次格林為什么又輸了呢?原來(lái)如此：根據(jù)速度=路程÷時(shí)間,假設(shè)第一次比賽的時(shí)候,所用的中間是加特林的速度就是100÷101而格林的速度只有90÷100=0.9.第二次比賽,加特林跑110米用的時(shí)間是110÷100=EQ\F(11,10),而格林跑100米用的時(shí)間是100÷90=EQ\F(10,9)。比較EQ\F(11,10)和EQ\F(10,9)這兩個(gè)數(shù)的大小,仍然是加特林用的時(shí)間少,所以加特林贏。第二部分：習(xí)題精講專題簡(jiǎn)析：人們碰到的各種優(yōu)化問(wèn)題、高效低耗問(wèn)題，最終都表現(xiàn)為數(shù)學(xué)上的極值問(wèn)題，即小學(xué)階段的最大最小問(wèn)題。最大最小問(wèn)題設(shè)計(jì)到的知識(shí)多，靈活性強(qiáng)，解題時(shí)要善于綜合運(yùn)用所學(xué)的各種知識(shí)。例題1：人們碰到的各種優(yōu)化問(wèn)題、高效低耗問(wèn)題，最終都表現(xiàn)為數(shù)學(xué)上的極值問(wèn)題，即小學(xué)階段的最大最小問(wèn)題。最大最小問(wèn)題設(shè)計(jì)到的知識(shí)多，靈活性強(qiáng)，解題時(shí)要善于綜合運(yùn)用所學(xué)的各種知識(shí)。a和b是小于100的兩個(gè)不同的自然數(shù)，求EQ\F(a－b,a+b)的最大值。根據(jù)題意，應(yīng)使分子盡可能大，使分母盡可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是說(shuō)，所有的分?jǐn)?shù)再添兩個(gè)分?jǐn)?shù)單位就等于1，可見(jiàn)應(yīng)使所求分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位盡可能小，因此a=99EQ\F(a－b,a+b)的最大值是EQ\F(99－1,99+1)=EQ\F(49,50)答：EQ\F(a－b,a+b)的最大值是EQ\F(49,50)。練習(xí)1：1.設(shè)x和y是選自前100個(gè)自然數(shù)的兩個(gè)不同的數(shù)，求EQ\F(x－y,x+y)的最大值。2.a和b是小于50的兩個(gè)不同的自然數(shù)，且a＞b，求EQ\F(a－b,a+b)的最小值。3.設(shè)x和y是選自前200個(gè)自然數(shù)的兩個(gè)不同的數(shù)，且x＞y，①求EQ\F(x+y,x－y)的最大值；②求EQ\F(x+y,x－y)的最小值。例題2：有甲、乙兩個(gè)兩位數(shù)，甲數(shù)EQ\F(2,7)等于乙數(shù)的EQ\F(2,3)。這兩個(gè)兩位數(shù)的差最多是多少？甲數(shù)：乙數(shù)=EQ\F(2,3)：EQ\F(2,7)=7：3，甲數(shù)的7份，乙數(shù)的3份。由甲是兩位數(shù)可知，每份的數(shù)量最大是14，甲數(shù)與乙數(shù)相差4份，所以，甲、乙兩數(shù)的差是14×（7-3）=56答：這兩個(gè)兩位數(shù)的差最多是56。練習(xí)2：1.有甲、乙兩個(gè)兩位數(shù)，甲數(shù)的EQ\F(3,10)等于乙數(shù)的EQ\F(4,5)。這兩個(gè)兩位數(shù)的差最多是多少？2.甲、乙兩數(shù)都是三位數(shù)，如果甲數(shù)的EQ\F(5,6)恰好等于乙數(shù)的EQ\F(1,4)。這兩個(gè)兩位數(shù)的和最小是多少？3.加工某種機(jī)器零件要三道工序，專做第一、二、三道工序的工人每小時(shí)分別能做48個(gè)、32個(gè)、28個(gè)，要使每天三道工序完成的個(gè)數(shù)相同，至少要安排多少工人？例題3：如果兩個(gè)四位數(shù)的差等于8921，就是說(shuō)這兩個(gè)四位數(shù)組成一個(gè)數(shù)對(duì)。問(wèn)：這樣的數(shù)對(duì)共有多少個(gè)？在這些數(shù)對(duì)中，被減數(shù)最大是9999，此時(shí)減數(shù)是9999－8921＝1078，被減數(shù)和劍術(shù)同時(shí)減去1后，又得到一個(gè)滿足題意條件的四位數(shù)對(duì)。為了保證減數(shù)是四位數(shù)，最多可以減去78，因此，這樣的數(shù)對(duì)共有78+1＝79個(gè)。答：這樣的數(shù)對(duì)共有79個(gè)。練習(xí)3：1.兩個(gè)四位數(shù)的差是8921。這兩個(gè)四位數(shù)的和的最大值是多少？2.如果兩個(gè)三位數(shù)的和是525，就說(shuō)這兩個(gè)三位數(shù)組成一個(gè)數(shù)對(duì)。那么這樣的數(shù)對(duì)共有多少個(gè)？組成這樣的數(shù)對(duì)的兩個(gè)數(shù)的差最小是多少？最大是多少？3.如果兩個(gè)四位數(shù)的差是3456，就說(shuō)這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)對(duì)。那么，這樣的數(shù)對(duì)共有多少個(gè)？組成這樣的數(shù)對(duì)的兩個(gè)數(shù)的和最大是多少？最小是多少？例題4：三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，后面兩個(gè)數(shù)的積與前面兩個(gè)數(shù)的積之差是114。這三個(gè)數(shù)中最小的是多少？因?yàn)椋鹤畲髷?shù)×中間數(shù)－最小數(shù)×中間數(shù)＝114，即：（最大數(shù)－最小數(shù)）×中間數(shù)＝114而三個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，最大數(shù)－最小數(shù)＝2，因此，中間數(shù)是114÷2＝57，最小數(shù)是57－1＝56答：最小數(shù)是56。練習(xí)4：1.三個(gè)連續(xù)的奇數(shù)，后兩個(gè)數(shù)的積與前兩個(gè)數(shù)的積之差是252。三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)是______。2.a、b、c是從小到大排列的三個(gè)數(shù)，且a－b＝b－c，前兩個(gè)數(shù)的積與后兩個(gè)數(shù)的積之差是280。如果b＝35，那么c是_____。3.被分?jǐn)?shù)EQ\F(6,7)，EQ\F(5,14)，EQ\F(10,21)除得的結(jié)果都是整數(shù)的最小分?jǐn)?shù)是______。例題5：三個(gè)數(shù)字能組成6個(gè)不同的三位數(shù)。這6個(gè)三位數(shù)的和是2886。求所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中的最小的三位數(shù)。因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)字分別在百位、十位、個(gè)位各出現(xiàn)了2次。所以，2886÷222能得到三個(gè)數(shù)字的和。設(shè)三個(gè)數(shù)字為a、b、c，那么6個(gè)不同的三位數(shù)的和為abc+acb+bac+bca+cab+cba＝（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2＝（a+b+c）×222＝2886即a+b+c＝2886÷222＝13答：所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中，最小的三位數(shù)是139。練習(xí)5：1.有三個(gè)數(shù)字能組成6個(gè)不同的三位數(shù)。這6個(gè)不同的三位數(shù)的和是3108。所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中最大的一個(gè)是多少？2.有三個(gè)數(shù)字能組成6個(gè)不同的三位數(shù)。這6個(gè)不同的三位數(shù)的和是2220。所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中最小的一個(gè)是多少？3.用a、b、c能組成6個(gè)不同的三位數(shù)。這6個(gè)三位數(shù)相加的和是2886。已知a、b、c三個(gè)數(shù)字中，最大的數(shù)字是最小數(shù)字的2倍，這6個(gè)三位數(shù)中最小的數(shù)是多少？第三部分：數(shù)學(xué)史代數(shù)之父一韋達(dá)16世紀(jì)末,法國(guó)和西班牙正在打仗。西班牙軍隊(duì)使用復(fù)雜的密碼來(lái)傳遞消息,即使信件被敵人發(fā)現(xiàn),也不明白是什么意思。有一次,法國(guó)軍隊(duì)截獲了一些秘密的信件,據(jù)推測(cè)是西班牙軍隊(duì)的重要調(diào)動(dòng)情報(bào),可是就是沒(méi)有辦法破譯密碼。無(wú)奈之下,法軍將領(lǐng)請(qǐng)來(lái)了當(dāng)時(shí)著名的數(shù)學(xué)家韋達(dá)。韋達(dá)經(jīng)過(guò)番艱苦的研究,終于揭開(kāi)了密碼的奧秘。從此以后,法國(guó)軍隊(duì)對(duì)敵人的動(dòng)態(tài)了如指掌,總是能夠先敵一步作出正確的決定,因此逐漸掌握了戰(zhàn)爭(zhēng)的主動(dòng)權(quán),兩年后就戰(zhàn)勝了西班牙。西班牙人非常惱火,他們斷定法國(guó)人使用了某種魔法。韋達(dá)的努力,為自己祖國(guó)的勝利做出了重要的貢獻(xiàn)。在破譯密碼的時(shí)候,韋達(dá)很受啟發(fā)。他想,密碼是大家事先約定好的一套符號(hào),在數(shù)學(xué)中,為什么我們不可以借助這樣的做法呢?數(shù)學(xué)家們可以用約定好的符號(hào)來(lái)表示特定的意思,這樣書(shū)寫(xiě)、計(jì)算的時(shí)候就方便多了。在這樣的思想引導(dǎo)下,韋達(dá)進(jìn)行了深入的研究,他不但用字母來(lái)表示數(shù),還用字母來(lái)表示方程中的系數(shù),例如一次方程可以表示為ax+b=0,在那個(gè)時(shí)候,這是一種非常具有開(kāi)拓性的方法。韋達(dá)的貢獻(xiàn)使他贏得了“代數(shù)之父”的美譽(yù),后世的數(shù)學(xué)家們?cè)谒幕A(chǔ)上,不斷地完善代數(shù)的符號(hào)體系。直到今天,數(shù)學(xué)還在發(fā)展,它的語(yǔ)言還在不斷豐富之中。參考答案：練習(xí)1：1.EQ\F(99,101)2.EQ\F(1,97)3.（1）399（2）EQ\F(201,199)練習(xí)2：1.甲、乙兩數(shù)的比是8：3，甲數(shù)最大是96，差最大是60。2.甲、乙兩數(shù)的比是3：10，甲數(shù)最小是102，和最小是442。3.一、二、三道工序所需的工人數(shù)的比是EQ\F(1,48)：EQ\F(1,32)：EQ\F(1,28)＝14：21：24，所以至少安排14+21+24＝59個(gè)工人。練習(xí)3：1.9999+（9999－8921）＝110772.較小的數(shù)最大是（521－1）÷2＝262，100～262共有163個(gè)自然數(shù),所以共有163對(duì),兩個(gè)數(shù)的差最大是525－100－100＝3253.數(shù)對(duì)共有9999－3456－1000+1＝5544個(gè)，兩個(gè)數(shù)的和最大是9999－3456+9999＝16542，兩個(gè)數(shù)的和最小是1000+3456+1000＝5456練習(xí)4：1.最大數(shù)－最小數(shù)＝4中間數(shù)＝252÷4＝63最小數(shù)＝63－2＝612.根據(jù)題意可得（a－c）×b＝280，進(jìn)而可以推出a－c＝280÷b＝280÷35＝8，所以，c＝35－8