高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面向量及其應(yīng)用全章綜合測試卷（基礎(chǔ)篇）解析版

第六章平面向量及其應(yīng)用全章綜合測試卷（基礎(chǔ)篇）

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）（2023?全國?高一專題練習(xí)）下列說法正確的個數(shù)是（）

（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；

（2）零向量沒有方向；

（3）向量的模一定是正數(shù)；

（4）非零向量的單位向量是唯一的.

A.0B.1C.2D.3

【解題思路】根據(jù)零向量與單位向量，向量的定義對各個項(xiàng)逐個判斷即可求解.

【解答過程】對于（1）,溫度與功沒有方向，不是向量，故（1）錯誤，

對于（2）,零向量的方向是任意的，故（2）錯誤，

對于（3）,零向量的?？赡転?,不一點(diǎn)是正數(shù)，故（3）錯誤，

對于（4）,非零向量的單位向量的方向有兩個，故（4）錯誤，

故選：A.

2.（5分）（2023下?重慶?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）100+用-①-3）=（）

A.9a.+9bB.9a+lib

C.lld+9bD.lid+11b

【解題思路】根據(jù)數(shù)乘向量的運(yùn)算律化簡求解即可.

【解答過程】根據(jù)向量運(yùn)算公式可知，10（a+6）-（a-6）=10a+106-a+=9a+11b.

故選：B.

3.（5分）（2023下?廣東佛山?高一?？计谥校┤鐖D，在△力BC中，4。點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).設(shè)襦=窗

CB=b,則麗=（）

E

ADB

2T1T21T1T2T1T2T

Abbcb+b

-a-----a---a-

36B.3663D.63

【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求得答案.

【解答過程】由題意在AABC中，AD點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，

故麗=-AE=-1（4C+^4D）=|C4-|AD

1一1―.1—,1一一

^-CA--AB^-CA--{CB-CA）

2626

3636

故選：A.

4.（5分）（2023上?江蘇南通?高三校考階段練習(xí)）已知非零向量定3滿足同=2b同，且五1（34+3）,

則之與前勺夾角為（）

717127r

A.B.C.D.

633

【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及向量夾角的運(yùn)算公式求解.

【解答過程】解：因?yàn)槭?（32+3）,

所以江?（3a+b）=3\a\2+d-b=0,

設(shè)a與另的夾角為o,

所以8$8=晶=最需V3

2，

所以。=

6

故選：D.

5.（5分）（2023上?全國?高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,4=會a=,,

b=^2,則此三角形的解的情況是（）

A.有一解B.有兩解

C.無解D.有解但解的個數(shù)不確定

【解題思路】運(yùn)用正弦定理計算出sinB,結(jié)合a>b有sin4>sinB,計算出B即可得.

【解答過程】由號=段，得sinB=W=4=a

smAsmBaV32

又a>6,故B只能為銳角，即B=?

34

故該三角形只有一解.

故選：A.

6.(5分)(2023上?新疆烏魯木齊?高三?？茧A段練習(xí))設(shè)向量五=(1,2),3=(—3,5),3=(4,%),若五+B=

GR),貝奴+支的值為()

A.--B.—C.--D.—

2222

【解題思路】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于4、%的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可求得結(jié)果.

【解答過程】因?yàn)槲?3=/ia：aeR),即(―2,7)=4(4,x),所以，解得2=一5x=-14,

因止匕，A+%=-

故選：C.

7.(5分)(2023?陜西安康?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知向量五=(3,-4)花=(一2,根),'=(2,1),若0+3)1落

則TH=()

A.-2B.2C.-6D.6

【解題思路】利用向量加法和數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.

【解答過程】由題意可得a+b=a,m-4),

因?yàn)锧+司13所以0+司々=2+6-4=0,解得巾=2,

故選：B.

8.(5分)(2023上?北京?高二清華附中?？计谥?在△ABC中，sinB=&sin4,NC=105。)=百+1,

則△ABC的面積為()

A.—B.V3-1C.—D.V3+1

22

【解題思路】應(yīng)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，得b=V5a,再應(yīng)用余弦定理出COSNC,進(jìn)而得到a,b,利用同角

三角函數(shù)關(guān)系求出sin/C,應(yīng)用三角形面積公式S=[absinC即可求得.

【解答過程】由sinB=&sin4根據(jù)正弦定理得：b=<2a,

又NC=105°,c=V3+1,則

cosl05°=cos(60°+45°)=cos60°cos45°—sin60°sin45°

_1V2_V3V2_V2-V6

―2222-4

1--------------------V2+V6

sinl05°=—(cosl05°)2=-----------

ca2+b2-c2a2+2a2-4-2^372-^6

coszc=-------——=----------------=--------,

2ab2y/2a24

解得a=VL則6=2,

111V2+V6V3+1

SAABC=5absmNC=--V2-2------------=-―--

LL41L

故選：c.

多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）（2023下?四川遂寧?高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題中錯誤的有（）

A.起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同；

B.已知向量四II而，則四邊形ABC。為平行四邊形；

C.若孫/另花〃落貝妝〃演

D.若2=b,b—c,則N=

【解題思路】由單位向量的定義、向量共線和相等的條件，判斷各選項(xiàng)的結(jié)論.

【解答過程】單位向量的方向不確定，所以起點(diǎn)相同的，終點(diǎn)不一定相同，A選項(xiàng)錯誤；

四邊形4BCD中，AB||CD,則4B〃CD且AB=CD,四邊形ABCD為平行四邊形，B選項(xiàng)正確；

當(dāng)另=6時，滿足勿/另是〃己但不能得到處"，C選項(xiàng)錯誤；

由向量相等的條件可知，若a==泊則a=泊D選項(xiàng)正確.

故選：AC.

10.（5分）（2023上?湖南長沙?高三?？茧A段練習(xí)）已知向量出B滿足恒+2同=\a\,a-b+a2=0且同=2,

貝U（）

A.\b\—2B.a+b—0C.|a—2b|=6D.a.-b—4

【解題思路】由區(qū)+2同=@,b+b2=0,又1?3+浸=0且同=2,得同=2,d-b=-4,可得

cos（2,1）=諭j||=一1,（a,b）-Tt,有2+B=0,幅一2同=6,可判斷各選項(xiàng).

【解答過程】因?yàn)殁?2b\=\a\,所以怔+2司2=|m2,即必+4港方+4岸=浮，整理可得2-b+b2=0,

再由a不+之2=。，且同=2,可得小=岸=4,所以同=2,a-b=-4,A選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯誤；

cos（a,b）--^|||=-1,即向量出石的夾角值,同=n，故向量出3共線且方向相反，所以2+另=0,B選項(xiàng)

正確；

|a-2b\=J（a—2fa）=y/a2—4a-b+4b2=V4+16+16=6,C選項(xiàng)正確.

故選：ABC.

11.（5分）（2023上?黑龍江大慶?高三?？计谀┮阎猟=（t,-2）,3=（-4,t）,貝。（）

A.若“1，則t=±2V2

B.若21b,貝！|t=0

C.怔―司的最小值為2

D.若向量2與向量3的夾角為鈍角，貝亞的取值范圍為(0,+8)

【解題思路】利用向量平行垂直的坐標(biāo)表示，向量模和夾角的坐標(biāo)表示，通過計算驗(yàn)證各選項(xiàng)中的結(jié)論.

【解答過程】已知2=(t,-2),3=(-4/)，

若力/3，則/=—2x(―4)=8,解得t=±2四，A選項(xiàng)正確；

若江1區(qū),貝展j=-4t-2t=0,解得t=0,B選項(xiàng)正確；

2-6=(t+4,-2—t),|n-+44+(—2—t)2=，2(t+31+2,

當(dāng)t=-3時，忖一同有最小值VLc選項(xiàng)錯誤；

當(dāng)t=2&時，a=(2V2,-2),b=(-4,2V2),b=-V2a,

向量d與向量1的夾角為180。，D選項(xiàng)錯誤.

故選：AB.

12.(5分)(2023下?山東青島?高一統(tǒng)考期中)在AABC中，三個內(nèi)角4BC所對的邊分別為a,b,c,若asin§^=

fosinX,a+c=43b,則下列結(jié)論一定正確的為()

TT

A.B=-B.a:c=2:1

3

C.AaBC為直角三角形D.a-.b=1：V3

【解題思路】由asin等=6sin4利用正弦定理求得角B,再根據(jù)a+c=^b,利用余弦定理求得a,c

的關(guān)系逐項(xiàng)判斷.

【解答過程】解：因?yàn)閍sin^C=bsin4

由正弦定理得sin4cosm=sinBsinX,

因?yàn)?Be(0,Tt),

化簡得cos(=2sin^cosp

則sin0=3-=

2226

所以故A正確；

由余弦定理得力2=a2+c2—2accosB,

=（a+c）2—2ac—2accosB,

即（篝^=（a+c）2—3ac,即2a2—Sac+2c2=0,

解得a=2c或a—~c>

當(dāng)a=2c時，b=V3c,則b?+c2=a2,a:b=2:V3,

當(dāng)a=|c時，b=yc,則Z?2+a2=c2,a-.b=1:V3,故BD錯誤，C正確，

故選：AC.

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）（2023下?海南僧州?高一?？茧A段練習(xí)）下列各量中，向量有：③⑤⑥.（填寫序號）

①濃度；②年齡；③風(fēng)力；④面積；⑤位移；⑥加速度.

【解題思路】根據(jù)向量的概念判斷即可.

【解答過程】向量是有大小有方向的量，故符合的有：風(fēng)力，位移，加速度.

故答案為：③⑤⑥.

14.（5分）（2023上?江蘇揚(yáng)州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知在AABC中，AB=3,AC=2,zBXC=60°,P為

線段4C上任意一點(diǎn)，則麗?麗的取值范圍是[一四.3].

【解題思路】設(shè)麗前，0<m<1,得到麗?麗=4（m-丁一2，求出取值范圍.

【解答過程】設(shè)麗=小前，0<m<1,則而=萬+荏=（巾一1）前+京，

故而?PC=[（m-1）JC+AB]-mAC=m（m-1）ZC2+mAB-AC

-4m（jn-1）+m|XB|-\AC\cosz.BAC—4m2—4m+3m

-117

因?yàn)镺WmWl,所以一；—

888

故一卷”(m.)_、W3,PBPCE[-^,3].

故答案為：[-總3]

15.（5分）（2023上?上海長寧?高三校考階段練習(xí)）已知在A/WC中，E為4C的中點(diǎn)，。是線段BE上的動

點(diǎn)，若而=%荏+、前，則馬+工的最小值為8.

xy

【解題思路】根據(jù)三點(diǎn)共線可得x+2y=l,利用“1”的技巧及均值不等式求解.

【解答過程】如圖，

因?yàn)闅v=%荏+、而，E為4C的中點(diǎn)，

所以而=x荏+2y荏，

因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以x+2y=1（久>0,y>0）,

2+工=（%+2>）6+9=4+絲+'24+2隹?土=8,

xyxyy]xy

當(dāng)且僅當(dāng)"=二即％=;,丫=;時等號成立，

xy2,4

故2+工的最小值為8.

xy

故答案為：8.

16.（5分）（2023上?全國?高三專題練習(xí)）落霞與孤鷲齊飛，秋水共長天一色，滕王閣，江南三大名樓之

一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》而名傳千古，如圖所示，在滕王閣旁的水平地面上共線的三點(diǎn)A,B,

C處測得其頂點(diǎn)尸的仰角分別為30。，60°,45°,且AB=BC=75米，則滕王閣的高點(diǎn)。P=15回米.

C

【解題思路】設(shè)。P=h,h>0,表示出。4。昆。。，利用cos/OBC=-cosNOBA結(jié)合余弦定理列方程求解.

【解答過程】設(shè)。P=h,h>0,

則。力=靠『.,08=黑『曰兒℃=靛=%.

由NOBC+Z.OBA=IT得cos/OBC=-cosZ.OBA,

222

|+752-h2(fh)+75-(V3h)

由余弦定理得EQM

2X75X爭2X75X爭i

解得h=15V15,即0P為15后米.

故答案為：15V15.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）如圖，。是正六邊形2BCDEF的中心，且a=a,OB譏方=3.在

以4B,C,D,E,F,。這七個點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，問：

（1）與五相等的向量有哪些？

（2）3的相反向量有哪些？

（3）與^的模相等的向量有哪些？

【解題思路】根據(jù)相等向量、相反向量、向量模長的概念，結(jié)合圖形進(jìn)行分析求解即可.

【解答過程】（1）由相等向量定義知：與五相等的向量有麗，而，麗.

（2）由相反向量定義知：B的相反向量有反，無，萬，麗.

（3）由向量模長定義知：與5的模相等的向量有方，而，而，歷，麗，赤，麗，麗，麗，市，

AO,AB,兩AF,FA,FE,EF,ED,DE,DC,^D,CB,BC.

18.（12分）（2023上?山東德州?高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量優(yōu)3滿足同=|同=1,且恒

⑴求石與石的夾角；

⑵求口+3司的大小.

【解題思路】（1）平方忸-2b\=舊計算得到cos。=—|,得到答案.

（2）確定恒+33=J（a+3b）\計算得到答案.

【解答過程】（1）設(shè)1與3的夾角為。（0W8Wn）,

|a—2b\=I（a—2b）=Ja2—4a.-b+4b2=V7,貝！］|由2—4⑷.同cos。+4同=7,

將㈤=\b\=1代入得1-4cos0+4=7,cosd=故”詈；

(2)\d+3b\=J(五+31)2=Va2+6a-b+9h2=^|3|2+6\d\?|h|cos0+9|h|2

將同=也|=1代入得+3b|=Jl+6x(—1)+9=夕,故|2+3bl=夕.

TT

19.(12分)(2023下?吉林長春?高一?？茧A段練習(xí))已知平面向量a=(l,￡),b=(2x+3,—x)(xeR)

(1)若213,求尤的值：

(2)若五|防,求「一同

【解題思路】(1)直接利用向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求解；

(2)先通過向量平行的坐標(biāo)公式求出久，再通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算求模.

【解答過程】(1)-.-alb,

■?-a-b=2x+3—x2=0,

解得x=3或%=—1；

⑵a||b,

■■■—x=(2久+3)x,即2/+4x=0解得x=0或x=-2,

當(dāng)％=0時，a=(1,0),b-(3,0),a—b=(—2,0),|a-b|=2；

當(dāng)x=-2時，a=(1,-2),/)=(—1,2),a—b=(2,—4),|a—=V4+16=2>/5,

\a-b\=2或恒一同=2V5.

20.(12分)(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖所示，一條河兩岸平行，河的寬度AC=Bkm,一艘船從河

邊的A點(diǎn)出發(fā)到達(dá)對岸的B點(diǎn)，船只在河內(nèi)行駛的路程力B=2km,行駛時間為0.2h.已知船在靜水中的速

度正的大小為|蘇|,水流的速度它的大小為|記|=2km/h.求：

⑴同；

(2)船在靜水中速度區(qū)與水流速度正夾角的余弦值.

【解題思路】(1)由題意得曰=百+石，結(jié)合已知利用余弦定理可求解;

(2)由(1)結(jié)合余弦定理可求出cos〈宣,可).

【解答過程】(1)?.?河的寬度4C=Wkm,AB=2km,

...si山BC/=爭.ZBC=60。.

如圖，設(shè)合速F=云，v；=OF,船在靜水中的速度說=而，則曰=說+記,

由題意可得歷|=—=10(km/h),且NEOF=4ABe=60°,

又|司=2km/h,.,.在△EO尸中，由余弦定理可得

________________________________]

|說|=y/OE2+OF2-2xOExOFxcos60°=100+4-2x10X2x-=2VH(km/h)

N2

(2)由(1)知EF=2VH,OE=10,OF=2,

由余弦定理可得cos"'=翳瑞V21

141

二?cos〈說，五）=cos（180°—乙OFE）=—cosZ-OFE=—.

21.（12分）（2023下?廣西欽州?高一校考期中）如圖，在△ZBC中，BC=4BD,AC=3CE,BE與AD

（2）若/M=mAB+nAC,求zn+九的值.

【解題思路】（1）由BC=4BD得出前=工前-L輪,然后可得而=三廂+工前；根據(jù)AC=3CE得出前=

4444

|xc,然后根據(jù)族=標(biāo)-布即可用荏，前表示出麗;

（2）根據(jù)4M,。三點(diǎn)共線得出前=苧說+（而,然后根據(jù)平面向量基本定理得出爪=3小根據(jù)8,

M,E三點(diǎn)共線得出前=女同+生F尼，然后即可根據(jù)平面向量基本定理求出左的值，進(jìn)而得出m+n的

值.

【解答過程】(1)因?yàn)锽C=4BD,所以前=工就=工(前-荏)=工前一工荏,

44'744

所以詬=荏+而=存+工前一工四=2四前.

4444

因?yàn)?C=3CE,所以族=|前,

所以床=荏—荏=|萬_四.

(2)因?yàn)锳,M,。三點(diǎn)共線，所以祠=2而=如說+4