三角形中的垂線段最短模型-2023年中考數學幾何模型重點突破訓練

專題09三角形中的垂線段最短模型

內容導航：模型分析T典例分析T

【模型1】垂線段最短

如圖，已知點P是直線/外一點，過點P作尸8，/,則PB是直線外一點P與直線/上各點的連線中最短的

線段。

【模型2】兩條線段的和最小值問題

如圖，已知點尸是NZ08內任意一點，點、E、F是OB,Q4上的動點，求PE+EE的最小值，通常作產

點關于08的對稱點P,過點P'作PRLCU于點/，交OB于點E。此時PE+EE的值最小。

【例1】如圖，是等邊△/3C的3c邊上的中線，尸是/D邊上的動點，E是/C邊上動點，當EF+CF

取得最小值時，則/EC尸的度數為（）

A

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

【答案】C

【分析】過點8作于點￡,交于點足連接C凡根據垂線段最短可知此時EF+C尸取得最小值,

再利用等邊三角形的性質求解即可.

過點8作于點￡,交4D于點F,連接CR

根據垂線段最短可知此時EF+CF取得最小值,

,：/\ABC是等邊三角形,

:.AE=EC,

AF=FC,

：.ZE4C=ZFCA,

'：AD是等邊△43C的8。邊上的中線,

NBAD=NCAD=30°,

：./ECF=30°.

故選：C.

【例2】如圖RtAABC,ZACB=90°,/B=5,5C=3,若動點P在邊上移動，則線段CP的最小值是.

12

【答案】y

【分析】過C作于乙，由垂線段最短可知，當點P運動到點尸|的位置時，CP最小，由勾股定理

可得出/C=4,再由S“BC=；5CX/C=T/BXCH即可得出答案.

【解析】解：過C作于尸「

由垂線段最短可知，當點尸運動到點？的位置時，CP最小，

在比“3。中，AC=<52-3?=4,

**?SABCueBCxABxCg,

.\-x3x4=-x5xCP,

221

???則線段C尸的最小值是:T12，

12

故答案為：—.

【例3】如圖，在中，ZACB=90°,/A4c=30。，3C=8cm,點。為線段ZB上的一個動點，從點

/出發(fā)沿線段N3向點2運動，速度為2cm/s.

(1)求/瓦/C的長度；

(2)如圖，連接CO,線段CO是否有最小值；若有最小值，請求出這個最小值及此時時間/的值；若沒有最

小值，請說明理由；

(3)若點￡為線段NC的中點，連接DE,當△/￡)￡為等腰三角形時，求時間/的值.

【答案】(1)/8,/C的長度分別是16cm、86cm

⑵最小值為4VJcm,Z=6s

(3)Z=2s或2J8s或6s.

【分析】(1)根據含30。直角三角形的性質及勾股定理即可得到答案；

(2)依題意得，當時，有最小值，可得4。、CD,根據可得答案；

(3)依題意得，AE=-AC=4y/3cm,AD=2t,分三種情況：①當4D=/E時，②當時，③當

2

時，結合方程求解即可.

【解析］(1)在RtAABC中，ABAC=3009BC=8cm,

AB=2BC=16cm,

由勾股定理得：AC=y/3BC=S^cm，

答：AB,/C的長度分別是16c〃z、8.

(2)依題意得，當CO,NB時，。有最小值，

此時，在RtAACD中，CD=1AC=4?m,

2

由勾股定理得：AD=?2D=12cm,

*.*AD=2t,由2,=12得，t=6,

最小值為Ayficm，t=6s.

AE=-AC=^cm

(3)依題意得，2,AD=2t,

①當4D=/￡■時，由4石=2/,

/.t=2A/3,

②當4D=Z)E時，

如圖所示，過。作。b_L/E于R

?，.點_D在4E的垂直平分線上，AF=—AE=2^3cm,

2

?：AD=2DF,

由勾股定理得DF=\/E=2cm,

AD-2AF—4cm,

由4=2/得，t—2,

③當AE=DE時，

如圖所示，過E作EG_L4D于G,

...點E在4D的垂直平分線上，且4>2/G,

，EG=g/E=2百cm,由勾股定理得/G=J/E?-ZG?=J48-12=6(cm)

/.AD=2AE=12cm,

由12=2%得，t=6,

綜上，，=2s或2氐或6s.

一、單選題

1.如圖，/P平分NC48,尸。于點Q,若包＞=6,點E是邊上一動點，關于線段可敘述正確的

是（）

A.PE=6B.PE>6D.PE>6

【答案】D

【分析】利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等以及點到直線的距離中，垂線段最短即可求解.

【解析】解：過尸點作尸7九L45于H,如圖,

平分NCAB,PDLAC,PHLAB,

：.PH=PD=6,

；點石是邊4B上一動點,

：.PE>6.

故選：D.

2.如圖，從位置O到直線公路/有四條小道，其中路程最短的是（）

A.OAB.OBC.OCD.OD

【答案】C

【分析】根據垂線的性質即可得到結論.

【解析】解：根據垂線段最短得，能最快到達公路/的小道是OC,

故選C.

3.如圖，在RtZ\/8C中，44cB=90。，AC=6,BC=8,AB=\Q,NO是NB/C的平分線,。分別

是4D何NC上的動點，則尸C+P0的最小值是（）

A.2.4B.4C.4.8D.5

【答案】C

【分析】由題意可以把0反射到的。點，如此尸C+PQ的最小值問題即變?yōu)镃與線段上某一點。

的最短距離問題，最后根據“垂線段最短”的原理得解.

【解析】解：如圖，作。關于AP的對稱點O,則PQ=PO,所以O、尸、C三點共線時，CO=PC+PO=PC+PQ,

此時PC+PQ有可能取得最小值，

當CO垂直于48即CO移到CM位置時，CO的長度最小，

J.PC+PQ的最小值即為CM的長度，

'：SNABC^^ABXCM=^ACXCB,

二。1/=等=4.8,即尸C+PQ的最小值為4.8,

故選C.

4.如圖，/是一條水平線，把一頭系著小球的線一端固定在點a小球從8到。從左向右擺動，在這一過

程中，系小球的線在水平線下方部分的線段長度的變化是（）

A.從大變小B.從小變大C.從小變大再變小D.從大變小再變大

【答案】C

【分析】根據題意可知：小球在以點4為圓心，以N8長為半徑的圓弧上運動，據此即可解答.

【解析】解：根據題意可知：小球在以點/為圓心，以長為半徑的圓弧上運動，

如圖：過點“作與點￡,交弧3C于點G,

AD=AF>AE,AB=AG=AC,

AB-AD=AC-AF<AG-AE,即BD=CF<EG,

故系小球的線在水平線下方部分的線段長度的變化是從小變大再變小，

故選：C.

5.如圖，RtZXZBC中，ZACB=90°,AC=6,5C=8,/3=10,BD平分N4BC,如果點N分別

為BD,5c上的動點，那么CM+MN的最小值是（）

C

AB

A.4B.4.8C.5D.6

【答案】B

【分析】先作CE垂直ZB交8。于點M,再作兒W垂直8C,根據角平分線的性質：角分線上的點到角的兩

邊距離相等，即可找到動點M和N,進而求得CM+MN的最小值.

【解析】解：如圖所示：

C

AEB

過點C作CEL4B于點E,交BD于點、M,

過點〃■作于點N,

QBD平分NABC,

:.ME=MN,

:.CM+MN=CM+ME=CE.

Q放V/3C中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=}0,CELAB,

.■.SAKC=-AB-CE=--AC-BC,

/.10CE=6x8,

...C￡=4.8.

即CM+MN的最小值是4.8,

故選：B

6.如圖，BDLCD,垂足為D,/4BD=30°,ZA=90°,且4D=4,OC=6,點尸是邊BC上的一動點,

則DP的最小值是（）

BP

A.7.1B.6.5C.4.8D.3.2

【答案】C

【分析】過。點作DXLBC于X,如圖，先根據含30度的直角三角形三邊的關系得到3。=8,再利用勾股

定理計算出2C=10,接著利用面積法計算出。X,然后根據垂線段最短求解.

【解析】解：過。點作。于"，如圖，

BPHC

VZA=90°,ZABD=30°,

：.BD=2AD=2^<4=8,

"：BD±CD,

：./BDC=90。,

?*-BC=y/cD2+BD2=V62+82=10>

,/三DH，BC=gBD?CD,

：.DH=^-=4.S,

10

.'.DP的最小值為4.8.

故選：C.

二、填空題

7.如圖，ZADB=ZABC=90°,ZDAB=ABAC,BD=4,P為/C上一動點，則BP的最小值為

D

B

----------------、C

【答案】4

【分析】根據垂線段最短得出BPL/C時，2尸的值最小，根據角平分線的性質得出2尸=3。，再求出答案即

可.

【解析】解：當8尸，NC時，8尸有最小值，

VZDAB=ZBAC,ZADB=9Q°,57)=6,BP工AC,

:.BP=BD=4,

即3P的最小值是4,

故答案為：4.

8.在△48C中，44=50。，/B=40。,E是48邊上的中點，且CE=,點。是上一個動點，當

CD取最小值時，ZDCE=.

【答案】10。

【分析】先根據等腰三角形的性質可得4CE=4=40。，再根據三角形的外角性質可得/CED=80。，然

后根據垂線段最短可得當CD時，取最小值，則此時/CDE=90。，最后根據直角三角形的兩個銳

角互余即可得.

【解析】解：?.?E是N2邊上的中點，

BE=-AB,

2

■：CE=-AB,

2

BE=CE,

/.NBCE=NB=4B,

ZCED=/BCE+NB=80°,

由垂線段最短可知，當時，S取最小值，則此時/CZ)E=90。,

NDCE=90°-ZCED=10°,

故答案為：10°.

9.如圖，己知是A48c的中線，點尸是/C邊上一動點，若A4BC的面積為10,AC=4,則MP的最

小值為_______

【答案】2.5

【分析】先利用中線求三角形/C"的面積，再求NC邊上的高，根據垂線段最短得到答案.

【解析】解：是△NBC的中線，

,?S&ACM=yABC=5，

二點M到/C的距離為：2S3-4=2.5,

根據垂線段最短，

則MP的最小值2.5.

故答案為：25

10.如圖，菱形48CD中，AB=2,ND=120。，￡是對角線/C上的任意一點，則的最小值為

2

【答案】V3

【分析】過點E作斯，CD于點凡連接8?由菱形的性質可知NFCE=30。，即得出斯=gcE,從而可

得出+1C￡=8E+28/，即當BF最小時BE+-CE最小.由垂線段最短可知當B尸1CD時BF最小,

22

求出8尸的值即可.

【解析】如圖，過點E作斯，CD于點尸，連接8足

VZD=120°,四邊形ABCD為菱形，

AZFC￡=30°,/DCS=60°,

：.EF=-CE,

2

：.BE+-CE=BE+EF.

2

"BE+EF>BF,

.,.當BF最小時BE+E77最小，即+最小.

2

由垂線段最短可知當AF_LCD時2/最小，如圖8尸.

BC=AB=2,ZF'CB=60°,

Z.F'C^-BC=\,

2

BF'=^BC2-CF'2=V3，

.?.BE+^CE的最小值為行.

故答案為：V3.

11.如圖，在菱形4BCD中，ZABC^60°,BD平分/4BC,BC=3,點M為BC上一定點且3M=1,在

BC上有一動點Q,在BD上有一動點P,則PM+PQ的最小值為.

［答案］

2

【分析】在初上取一點0,使得80=3。'，連接P。'，過點M作于點N.根據銳角三角函數可

得MN=昱,再根據VP8。到尸38,可得PQ=P0‘，從而得到=+即可求解.

2

【解析】解：如圖，在R4上取一點。'，使得8。=8。，連接尸。，過點“作于點N.

在RtZkBAW中，/MNB=90°,2Af=l,/MBN=60°,

'.MN=BM^sm€>Q°=——

2

?；BD平分/ABC,

：.ZABD=ZCBD,

?:BP=BP,BQ=BQ',

：.VPBQPBQ^(SAS),

PQ=PQ',

?；PM+PQ=PM+PQ^>MN=—,

~、2

.?.PM+PQ的最小值為日，

故答案為：如.

2

12.如圖，4408=45。，點M、N分別在射線04。8上，MN=6,WOAW的面積為12,P是直線上

的動點，點P關于。/對稱的點為6,點尸關于。8對稱的點為6,當點P在直線7W上運動時，△外￡的

面積最小值為.

【答案】8

【分析】連接。尸，過點。作仍，研交NM的延長線于“，先利用三角形的面積公式求出。石，再根據軸

對稱的性質可得ZACP=ZAOPVZBOP=ZBOP,,OPX=OP=OP2,從而可得zppp2=90°,然后利用三角

形的面積公式可得4。4鳥的面積為4，根據垂線段最短可得當點產與點以重合時，。尸取得最小值,

△。片鳥的面積最小，由此即可得.

【解析】解:如圖，連接OP,過點。作組1就交2W的延長線于

???S?；MN.OH=\2,QMN=6,

：.OH=4,

:點P關于OA對稱的點為月，點尸關于08對稱的點為6,

ZAOP=ZACPVZBOP=ZBOR,,OPX=OP=OP2,

'：NAOB=45°,

ZPtOP2=2(NAOP+NBOP)=2ZAOB=90°,

:.&OP\P1的面積為goq?。鳥=go尸2，

由垂線段最短可知，當點P與點”重合時，。尸取得最小值，最小值為。8=4,

:.qpR的面積的最小值為白不=8,

故答案為：8.

三、解答題

13.如圖，點A在直線/外，點B在直線/上，連接A8.選擇適當的工具作圖.

(1)在直線/上作點C,使//C5=90。，連接/C；

(2)在BC的延長線上任取一點D,連接AD；

(3)在AC,ND中，最短的線段是,依據是

【答案】(1)圖見解析

(2)圖見解析

(3)AC,垂線段最短

【分析】(1)利用直角三角板作UCB=90。，再利用直尺連接/C即可得；

(2)利用直尺連接4。即可得；

(3)根據垂線段最短即可得.

【解析】(1)解：利用直角三角板和直尺作圖如下：

(2)解：利用直尺連接作圖如下:

(3)解：在N8,4C,中，最短的線段是/C,依據是垂線段最短,

故答案為：AC,垂線段最短.

14.如圖，已知點尸在//0C的邊CM上，

(1)過點尸畫。/的垂線交OC于點B；

(2)畫點P到0B的垂線段PM-,

(3)測量尸點到。5邊的距離：cm；

(4)線段。尸、9和P8中，長度最短的線段是；理由是

【答案】(1)圖形見解析；

(2)圖形見解析；

(3)1.5；

(4)PM,垂線段最短

【分析】(1)根據垂線的定義畫出圖形即可.

(2)根據垂線段的定義畫出圖形即可.

(3)利用測量法解決問題即可.

(4)根據垂線段最短判斷即可.

【解析】(1)如圖，直線尸3即為所求作.

(4)線段。尸、和四中，長度最短的線段是尸理由是垂線段最短.故答案為：PM,垂線段最短.

15.如圖，在△43C中，/2=10,/C=8,BC=6,4D平分NBAC,點P、。分別是NC上的動點(點

P不與/、。重合，點0不與/、C重合)，求PC+P。的最小值

【答案】y

【分析】過點C作CHLAB于H,交AD于點P,過點P作PQLAC于點Q,則PC+PQ的最小值就是線段

CH的長，根據g-AC-BC即可求出CH的長.

【解析】解：如解圖，過點C作。于〃，交/。于點尸，

過點P作尸。，/。于點。，

；4D平分NB4C,CHLAB,PQLAC,

：.PQ=PH,

：.PC+PQ=PC+PH=CH,

：.PC+PQ的最小值就是線段CH的長，

"：AB=]O,AC=8,BC=6,

：.AB2=AC2+BC2,

：.ZACB=90°,

：.y?AB?CH=g-AC-BC,

即PC+PQ的最小值為彳.

16.在一條東西走向河的一側有一村莊C,河邊原有兩個取水點/、2,其中4B=BC,由于某種原因，由C

到B的路現在已經不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點。(4D、3在同一條直線上)，

并新修一條路CD，測得C4=750米，CD=600米，40=450米.

(1)問CD是否為從村莊。到河邊最近的路？請通過計算加以說明;

(2)求原來的路線8C的長.

【答案】(1)CD是從村莊C到河邊最近的路，理由見解析

(2)625米

【分析】(1)結合已知條件根據勾股定理的逆定理、垂直的定義、垂線段最短即可得解；

(2)設8C=x米，則==x米、AD=(x-450)米，根據勾股定理列出關于x的方程求解即可.

【解析】(1)解：結論：°是從村莊°到河邊最近的路.

理由：：在△NCZ)中，CZ=750米，CD=600米，40=450米，

4502+6002=7502，即AD2+CD2=AC2,

.?.△/CD是直角三角形，

ZADC=90°.

CDLAB.

...CD是從村莊C到河邊最近的路.

(2)設BC=x米，則==x米,皿=(150)米,

:在瓦ABCD中，由勾股定理得：BC2-BD2=CD2.

：./_(無-450)2=6002.

x—625.

答：原來的路線8C的長為625米.

17.如圖所示，/4ED=80。，EF平分NAED交AD于點、F,Zl=40°

⑴寫出判定E尸〃的推理過程.

(2)當N4DE=50。時，線段區(qū)4、EF、中最短的是哪段？并說出理由.

【答案】(1)見解析

(2)斯最短，理由見解析

【分析】(1)由斯平分//即交4D于點R有“ED=40。,/1=40。則內錯角相等，兩直線平行.

(2)由N4DE=50°,Zl=40°,EF11BD,可判斷出/4D3=90°,EF_L4D即可得出答案.

【解析】(1),:EF平分NAED,

：.ZAEF=ZFED,

N4ED=80°,

ZFED=40°>

???Zl=40°,

EF//BD；

(2)EF最短.

理由：VZ1=4O°,

.,.當//。￡=50。時，ZADB=90°,則3￡>_LAD,

又,：EF//BD,

C.EFLAD,

二郎為垂線段，

:.EF最短.

CD

18.在必A/C8中，AC=BC=3,ZC=90°,。是NC邊上一點，一=2,直線?！杲?c于點E.

AD

圖1圖2圖3

⑴如圖1,若/CDE=45。，貝lJCD=,EB=；

(2)如圖2,在(1)的條件下，點W在直線DE上運動，且滿足/MCN=90。，MC=NC,連接ND,請判

斷與ME的數量關系和位置關系，并說明理由.

(3)如圖3,若/CDE=30。，點”在直線上運動，且滿足/MCN=90。，MC=NC,連接/N,請求出NN

的最小值.

【答案】(1)2,1

(2)ND=ME,NDLME,見解析

⑶4

【分析】(1)證明△CQE是等腰直角三角形，可得結論；

(2)如圖2中，結論：ND=ME,NDJJVffi.證明NDCN2("S),可得結論；

(3)如圖3中，連接BM,證明△ZCN絲△5CN(WS),推出AN=BM,過點B作BH1.DE于H,則當BMLDE

時，3河最小即為8”,在RtdBEH中,求得5"=/N的最小值為九5-1.

2

【解析】(1)解：如圖1中，

?：CA=CB,ZC=90°,

???ZA=ZB=45°f

*C=3,"

；?CD=2,AD=1,

?：DE〃AB,

：.ZCDE=ZA=45°,NCED=NB=45。,

：?NCDE=/CED,

：?CD=CE=2,

：.BE=BC-CE=3-2=1,

故答案為：2,1；

(2)結論：ND=ME,NDLME,

理由：VZDCE=ZMCN=90°,

：.ZDCEZDCM=ZMCNZDCMf

即NOC2NMCE,

又?：CD=CE,CM=CN,

:?△DCN/AECM(SAS)f

:?ND=ME,ZCDN=ZCEM=45°f

ZCDE=45°,

ZNDE=ZNDC+ZCDE=90°,

：.ND.LME；

⑶連接BM,

N

A匕------------4B

'：/NCM=NACB=90。,

：.ZACN=ZBCM,

又,：NC=MC,AC=BC,

：.AACN咨XBCM(SAS),

:.AN=BM,

當BATLDE時，8M最小，

過點B作BHLDE于H,

在及△DCE中，NCDE=30°,CD=2,

在必中，BH=BEsin60°

.??/N的最小值為述-1.

19.（1）如圖1,在中，AB=AC,。是BC邊的中點，￡、廠分別是/C邊上的點.若2、E、F

在一條直線上，且NNBE=NR4C=45°,探究2D與ZE的數量之間有何等量關系，并證明你的結論.

（2）為了豐富學生的業(yè)余生活，增強學生的身體素質，某體育課上老師組織學生進行傳球訓練.如圖2所示，

體育老師在地面畫了一塊A/8C場地，已知N3=/C=17米，BC=16米，。為8c的中點，測得的長為

15米，受訓練的兩名同學E和尸分別在/D和/C邊上移動，老師站在C點位置給同學傳球，先把球傳給E

同學，￡同學再傳給尸同學，請求出所傳球的運動路徑最小值（即EC+EF的最小值）.

【答案】（1）4E=23。，證明見解析；（2）有-米.

【分析】(1)根據等角對等邊，可知△45C是等腰三角形，易證=證明/絲△BCR(4S⑷，

進而結論得證；

(2)根據垂線段最短可知當3,E,b三點共線，且8尸垂直4C時，5￡+好有最小值為5尸，根據等體積

法求解即可.

【解析】(1)解：AE=2BD.

理由如下：?：NABE=NBAC=45。,

：.AF=BF,ZAFE=ZBF