2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)九年級上冊北師大版期中檢測卷

期中檢測卷-2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)九年級上冊北師大版

一、單選題

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.ax1+bx+c=QB.3x?—2元=3（無？一2）

32

C.X-2X-4=0D.（X-1）-1=0

2.矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（）

A.對角線相等B.對角線互相平分

C.對角線互相垂直D.對角線平分對角

3.關(guān)于X的一元二次方程爐-2》+772=0的一個根為-1,則”?的值為（）

A.-3B.-1C.1D.2

4.如圖，正方形ABCD的邊長為5,AG=CH=4,BG=DH=3,連結(jié)G”,則線段Ga的

A.72B.yC.2.72D.10-5A/2

5.某經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達50億元，且一月份、二月份、三月份的總產(chǎn)值

為175億元，若設(shè)平均每月的增長率為x,根據(jù)題意可列方程（）

A.50（1+x）2=175B.50+50（1+%）2=175

C.50（l+x）+50（l+x）2=175D.50+50（l+x）+50（l+x）2=175

6.小明在參觀故宮博物館時，被太和殿窗標(biāo)的三交六椀菱花圖案所吸引，他從中提取出一

個含60。角的菱形A5CD（如圖1所示）.若邊的長度為。，則對線線AC的長度為（）

A

太和殿窗根

A.2aB.aC.y/3aD.—a

7.如圖，VABC中，ZC=90°,AC=8,3c=6,線段DE的兩個端點￡>、E分別在邊AC,BC

上滑動，S.DE=6,若點M、N分別是DEAB的中點，則MN的最小值為（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

8.對于一元二次方程，我國古代數(shù)學(xué)家還研究過其幾何解法.以方程x（x+6）=72為例加

以說明.數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方注》中記載的方法是：如圖，將四個長為x+6,

寬為x的長方形紙片拼成一個大正方形，則大正方形的邊長是x+6+x,面積是四個矩形的

面積與中間小正方形的面積之和，即4x72+6、據(jù)此易得了==6.小明用此方法解

關(guān)于x的方程x（3x-〃）=24,其中3x-”>x構(gòu)造出同樣的圖形，已知小正方形的面積為4,

則〃的值為（）

B.4C.6D.8

二、填空題

9.已知優(yōu)、〃是一元二次方程f-2尤-3=0的兩根，則根+〃=

10.如圖，VABC是一個含45。角的三角板，ZA=90°,BC=5五,將三角板繞著點C順

時針旋轉(zhuǎn)。（0°＜。＜180。）后，點A與點。對應(yīng)，點B與點、E對應(yīng)，當(dāng)邊DE與原三角板的

一邊平行時，則點A與點E的距離為.

11.如圖是由7個全等的正六邊形組成的圖案，假設(shè)可以隨機在圖中取點，那么這個點取在

12.如圖，在矩形ABCD中，BC=6,CD=3,將△BCD沿對角線8。翻折，點C落在點C'

處，BC交AD于點E,則線段OE的長為.

13.如圖，菱形ABCD的周長為8,/54。=120。，點E是4B的中點，點尸是對角線BD上

的一個動點，則VAPE周長的最小值是—.

14.為了解該微信二維碼中間帶微信圖標(biāo)小正方形區(qū)域的面積，某小組同學(xué)做了拋擲點的實

驗，實驗數(shù)據(jù)如下：

在正方形內(nèi)投擲的點數(shù)W1002003004006008009001000

落入小正方形區(qū)域的頻數(shù)加915273450667685

落入小正方形區(qū)域的頻率

m0.0900.0750.0900.0850.0830.08250.0840.085

n

試估計“點落入圓形區(qū)域內(nèi)”的概率—（精確到0.01）.

15.如圖正方形ABCD邊長為2,E為CD邊中點，尸為射線5E上一點（P不與B重合），若

△PDC為直角三角形，則成=.

16.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，以第一個矩形OD4E的邊AE為邊向上作正方形①，以DF為

邊向右作正方形②，得到第二個矩形0G3H,以此類推，得到第3個矩形、第4個矩形…若

這些矩形右上角的頂點A、3、C...,與原點。在同一直線上，則這條直線的函數(shù)解析式

為

C

__\B

E當(dāng)Z②

ODGx

三、解答題

17.用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?

⑴3（1）2=15

(2)%*2=10x-15

(3)2爐+5尤-3=0

(4)尤2—6元=7

18.有4張背面完全相同的卡片，其正面分別標(biāo)有數(shù)字-1,0,1,2,將卡片的背面朝上,

洗勻后，從中任意抽出1張，將卡片上的數(shù)字記錄下來，放回洗勻后再從中任意抽出1張,

同樣將卡片上的數(shù)字記錄下來.

(1)求第一次抽出的卡片上數(shù)字是正數(shù)的概率；

(2)小明、小亮做游戲，規(guī)則如下：若兩次抽出的卡片上的數(shù)字的乘積為正數(shù)，則小明勝；

若兩次抽出的卡片上的數(shù)字的乘積為負(fù)數(shù)，則小亮勝.這個游戲規(guī)則對小明、小亮公平嗎？

請用畫樹狀圖或列表的方法說明理由.

19.關(guān)于x的一元二次方程d-2x-左=0有兩個不相等的實數(shù)根.

⑴求上的取值范圍；

⑵寫出一個滿足條件的k值，并求此時方程的根.

20.如圖，在菱形ABC。中，對角線AC,8。交于點0,過點A作AEL8C于點E,延長

到點/，使CF=BE,連接DT.

(1)求證：四邊形AEFD是矩形；

(2)連接OE,若AD=10,EC=4,求OE的長度.

21.如圖，在VABC中，點。、E分別是AB,AC的中點，BE=2DE,延長。E到點凡使

得EF=BE,連結(jié)CP.

⑴求證：四邊形3CFE是菱形；

(2)若CE=5,ZBEF=nO°,求四邊形BCFE的面積.

22.已知VABC中，AC^BC,ZACB=90°.

⑴如圖1,若。為斜邊AB上任意一點，求證：AD2+BD-=2CD2；

(2)在圖1中，若AO=0,CD=j5,則8。的長是；

(3)若點。為直線AB上任意一點，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請

說明理由.

23.如圖1,在正方形A8CD中，E是OC邊上一動點(與C,。不重合)，連接AE,將AADE

沿AE所在的直線折疊得到△>1/右,延長班1交于點G,連接AG,作GHLAG,交AE

的延長線于點X,連接C”.

⑴求證：CH平分NDCM；

(2)如圖2,過點X作印^〃臺。交EG于點P；在點E運動過程中，四邊形C”PG能否為菱形?

若能，請求出/ZME的度數(shù)；若不能，無需證明.

(3)連接CF,若45=1,請直接寫出CF長度的最小值.

24.在等腰RtZXASC中，/8AC=90。,AB=AC=60,D是射線CB上的動點，過點A作

AF^AD(AF始終在AD上方),且AF=AD,連接M.

(1)如圖1,當(dāng)點。在線段BC上時，說明與DC的關(guān)系.

(2)如圖2,若E為線段8。上的動點，且ZDAE=45。，^EF,DC=2.5,求即的長.

(3)若在點。的運動過程中，AF=4^3,直接寫出的長度.

參考答案:

題號12345678

答案DBAADBAC

1.D

【分析】本題考查的是一元二次方程的定義，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是

2的整式方程叫一元二次方程.根據(jù)一元二次方程的定義對各選項進行逐一分析即可.

【詳解】解：A、當(dāng)a=0時，方程辦2+法+0=()不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

B、方程3尤2-2尤=3(尤2—2)整理后得到％=3,是一元一次方程，故本選項不符合題意；

C、方程尤3一2尤-4=0是一元三次方程，故本選項不符合題意；

D、(XT)?-1=0符合一元二次方程的定義，故本選項符合題意.

故選：D.

2.B

【分析】本題主要考查了矩形、菱形、正方形關(guān)于對角線的性質(zhì)，理解矩形的對角線互相平

分且相等；菱形的對角線互相垂直平分，且每一條對角線都平分一組內(nèi)角；正方形的對角線

互相垂直平分且相等，每一條對角線都平分一組內(nèi)角.

利用矩形、菱形、正方形關(guān)于對角線的性質(zhì)逐項判斷即可.

【詳解】解：A,矩形、正方形具有對角線相等的性質(zhì)，而菱形不具有，不符合題意；

B,矩形、菱形、正方形都具有對角線互相平分，符合題意；

C,菱形、正方形具有對角線互相垂直，而矩形不具有，不符合題意；

D,菱形、正方形具有對角線平分對角，而矩形不具有，不符合題意.

故選：B.

3.A

【分析】此題考查了一元二次方程的根，把一元二次方程的根代入方程，解關(guān)于根的一元

一次方程即可.

【詳解】解：；關(guān)于x的一元二次方程一一2工+相=0的一個根為-1,

(-1)2-2x(-1)+〃?=0,

則1+2+根=0,

解得，m=—3.

故選：A.

4.A

【分析】延長5G交CH于點E,根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ABG四△CDHg/CE,可得

GE=BE—BG=2、HE=CH—CE=2、ZHEG=90。,由勾股定理可得G"的長.

【詳解】解：如圖，延長5G交C”于點

??,正方形ABCD的邊長為5,AG=4,3G=3,

AG2+BG2=AB2.

：.ZAGB=90。,

在和△CDH中,

AB=CD

<AG=CH

BG=DH

：.△ABG^ACDH(SSS),

???N1=Z5,Z2=Z6,ZAGB=ZCHD=90°,

Nl+N2=90°,Z5+Z6=90°,

又N2+N3=90°,N4+N5=90°,

ZX=N3=N5,N2=N4=N6,

在A4BG和中，

Z1=Z3

<AB=BC

Z2=Z4

△ABG%BCE(ASA),

：.BE=AG=4,CE=BG=3,/BEC=ZAGB=90°,

GE=BE—BG=4—3=1,

同理可得〃E=1,

在Rt^G"E中,GH=yjGE2+EH2=A/12+12=72-

故選A.

【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理的綜

合運用，通過證三角形全等得出4GHE為等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

5.D

【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方

程是解題的關(guān)鍵.

增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量x(1+增長率)，本題可先用尤表示出二月份的

產(chǎn)值，再根據(jù)題意表示出三月份的產(chǎn)值，然后將三個月的產(chǎn)值相加，即可列出方程.

【詳解】解：二月份的產(chǎn)值為：50(1+%),

三月份的產(chǎn)值為：50(1+%)(1+%)=50(1+x)2,

故第一季度總產(chǎn)值為：50+50(l+x)+50(l+x)2=175.

故選：D.

6.B

【分析】此題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=3C=a,

由/3=60。推出是VABC等邊三角形，即可得出答案，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：\?四邊形ABC。是菱形，AB=a,

AB=BC=a,

又：4=60。，

是等邊三角形，

AC=AB-a,

故選：B.

7.A

【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，兩點之間線段最短，根據(jù)勾股定理得到

AB=10,根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得CN=；AB=5,CM=^DE=3,當(dāng)C、M、N

在同一直線上時，"N取最小值，即可求得的最小值為2,根據(jù)兩點之間線段最短得到

C、M、N在同一直線上時跖V取最小值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接CM、CN,

VZC=90°,AC=8,BC=6,

AB=^AC2+BC2=V82+62=10，

：Z）E=6,點M、N分別是DE、AB的中點，

CN=—AB=5,CM=—DE=3,

22

當(dāng)C、M、N在同一直線上時，MN取最小值,

...肱V的最小值為5-3=2.

故選：A.

8.C

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，仿照題干，正確理解一元二次方程的幾何解法是

解題關(guān)鍵.參照已知方法，將四個長為3x-〃，寬為x的長方形紙片拼成一個大正方形，求

出大正方形的邊長為10,得到〃=4xT0,再根據(jù)小正方形的邊長為10-2x,小正方形的邊

長的面積是4,求出x=4,即可得到“的值.

【詳解】解：由題意可知，將四個長為3X72,寬為龍的長方形紙片拼成一個大正方形，則

大正方形的邊長是3x-〃+x,面積是四個矩形的面積與中間小正方形的面積之和，

???x（3x-〃）=24,小正方形的面積為4,

大正方形的面積為4x24+4=100,

...大正方形的邊長為10,

3x—n+x=4x—n=10,

n=—10,

「小正方形的邊長為3%-幾-%,即10-2x,

3x-n>x,

即10—2x>0,

故（10-2療=4,

10-2x—±2,

V10-2x>0,

??JC—4f

冏=4x4—10=6,

故選：c.

9.2

【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，直接得出結(jié)果即可.熟練掌握根

與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???明〃是一元二次方程爐-2彳-3=0的兩根，

m+n=2；

故答案為：2.

10.5&-5或5

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是能夠根

據(jù)題意畫出圖形，再利用相關(guān)性質(zhì)解題.據(jù)題意畫出圖形，分將三角板繞著點C順時針旋

轉(zhuǎn)45。及90。兩種情況討論，進行求解即可.

【詳解】解：???△ABC中，NA=90。，BC=5垃,4=45。

AB=AC=5,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：AB=DE=CD=5,BC=CE=5近,,

如圖所示，

將三角板繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)45。后，DE//BC,

此時==-5;

如圖所示，

E

將三角板繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)90。后，DE//AC,

,;DE〃AC,DE=AC,

，四邊形ACDE是平行四邊形，

QZCZ)E=90o,

，四邊形ACDE是矩形，

AE=CD=5,

故答案為：5&-5或5.

H.3

7

【分析】本題考查了概率的定義，圖案共有7個全等的正六邊形組成，其中空白的正六邊形

有3個，根據(jù)概率公式即可求解.

【詳解】解：由題意得，圖案共有7個全等的正六邊形組成，其中空白的正六邊形有3個,

假設(shè)可以隨機在圖中取點，那么這個點取在空白部分的概率是1.

3

故答案為：-

12.3.75

【分析】本題主要考查了矩形與折疊問題，勾股定理，平行線的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻

折變換的性質(zhì)，勾股定理等幾何知識，靈活進行判斷、分析、推理或解答.首先根據(jù)題意得

到=然后根據(jù)勾股定理得到關(guān)于線段?IB、AE、防的方程，解方程即可解決問題.

【詳解】解：二?四邊形AB8為矩形，

AAD//BC,AD=BC=6,AB=CD=3,ZABC=ZC=ZCDA=ZA=90°,

：.NEDB=/DBC,

設(shè)ED=x,則AE=6-x,

根據(jù)折疊可知：ZEBD=ZDBC,

NEDB=NEBD,

EB=ED=x,

由勾股定理得：BE2=AB2+AE2>

即x2=32+（6-x）2,

解得：x=3.75,

,ED=3.15.

故答案為：3.75.

13.A/3+I

【分析】因為菱形ABC。的周長為8,則鉆=2,連接EC,與BD交于點尸，連接AC,止匕

PA+PE=CP+EP=CE.因為四邊形ABC。是菱形，Z&4D=120°,推出VABC為

等邊三角形，所以AC=AB=2,因為E是AB中點，則CE1AB,AE=1,所以

CE=qAC?-AE。=722-12=上則AP+EP=CE=JL即可求得NAPE周長的最小值?

【詳解】解：,??菱形A3。的周長為8,

;.AB=2,點A與點C關(guān)于80對稱，

連接EC,與BD交于點尸，連接AC,如圖，

則CPuM,

此時E4+PE=CP+￡P(guān)=CE,值最小.

???四邊形ABCD是菱形,ZBAD=120°,

ZCAB=-ZBAD=60°,

2

■.■AB=BC,

.”ABC為等邊三角形，

AC=AB=2,

,.tE是48中點，

J.CE1AB,AE=-AB=i,

2

:.CE=VAC2-AE2=722-12=6，

AP+EP=CE=6

:.AAPE周長的最小值是AP+PE+AE=CE+AE=y[3+\.

【點睛】本題考查了軸對稱一最短路線問題，菱形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判

定與性質(zhì)，勾股定理，難度適中，確定點P的位置是解題的關(guān)鍵.

14.0.08

【分析】本題考查了利用頻率估計概率，當(dāng)實驗的所有可能結(jié)果不是有限個或結(jié)果個數(shù)很多，

或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般通過統(tǒng)計頻率來估計概率.

大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根

據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事

件的概率.

【詳解】解：觀察表格發(fā)現(xiàn)：隨著實驗次數(shù)的增多，“點落入圓形區(qū)域內(nèi)”的頻率逐漸穩(wěn)定到

0.08附近,

所以估計“點落入圓形區(qū)域內(nèi)”的概率為0。8,

故答案為：0.08.

15.6-1或6+1或2逐

【分析】分三種情況：①如圖1,當(dāng)/DPC=90。時，尸在正方形的內(nèi)部，先根據(jù)直角三角

形斜邊中線的性質(zhì)得EP的長，利用勾股定理得BE的長，從而可解答；②如圖2,當(dāng)

/DPC=90。時，尸在正方形的外部，同理可解答；③如圖3,當(dāng)/CDP=90。時，證明

ABCE=APDE(ASA),可得PE=BE=下,從而可解答.

【詳解】解：分三種情況:

①如圖1,當(dāng)“PC=90。時，P在正方形的內(nèi)部,

?.?E是CD的中點,且CD=2,

圖1

:.PE=-CD=1,

2

???四邊形ABCD是正方形,

BC=2,/BCD=90°,

\BE=y/22+l2=-j5<

BP=#-k

②如圖2,當(dāng)/DPC=90。時，P在正方形的外部,

圖2

同理可得82=6+1；

圖3

:.ABCE冬APDE(ASA),

:.PE=BE=4，

：.BP=2,yf5,

綜上，BP的長是石-1或指+1或2石；

故答案為：或6+1或2方.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定

理等知識，解題的關(guān)鍵是運用分類討論的思想解決問題，并正確畫圖，不要丟解.

1AA/5-1

16.y=-----x

2

【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及一元二次方程的應(yīng)用，解題時注意:

求正比例函數(shù)，只要一對％,y的值就可以，因為它只有一個待定系數(shù)；而求一次函數(shù)

y=kx+b,則需要兩組工,丁的值.設(shè)=AD=b,則B(2a+b,a+b),代入函

數(shù)解析式為y=kx{k>0)化簡計算，即可得到k的值.

【詳解】解：如圖，

C

,這些矩形右上角的頂點A、B、C...,與原點。在

HF-

E

同一直線上，

可設(shè)這條直線的函數(shù)解析式為V=kx*>0),

設(shè)or>=a,AD=b,貝尸=8G=o+〃，OG=2a+b,

：.A(a,b),B(2a++b),

代入>=爪(左w0)可得：

[Q+Z?=左(2〃+b)②，

把①代入②，可得：a+ak=k(2a+ak),

化簡可得—1=0,

解得女二避二1或左二至二1(舍去)，

22

「?這條直線的函數(shù)解析式為y二年^.

故答案為：y=--x.

2

17.⑴%=1+百，w=l-6；

(2)玉=5+,x2=5—V10；

(3)芯=-3,x2=—；

(4)玉=7,x2=-I

【分析】本題考查了解一元二次方程；

(1)兩邊同時除以3得(x-l『=5,然后根據(jù)直接開平方法解一元二次方程;

(2)先移項，然后配方得(X-5)2=10,再根據(jù)直接開平方法解一元二次方程;

(3)先計算判別式，再根據(jù)求根公式，即可求解;

(4)根據(jù)因式分解法得(x-7)(x+l)=0,進而即可求解.

【詳解】(1)解：：3(元-以=15,

(1)2=5,

%—1=土亞，

Xj=1+y/5,=1—>/5；

(2)解：'/x2=10.x—15,

?*—10》=一15,

.'?x2-10x+25=25-15,

(X-5)2=10,

AX-5=±A/10,

?=5+J10,羽=5-,\/10；

(3)解：方程中a=2,b—5,c——3

VA=25+24=49>0,

-5±V49-5±7

..X——

2x24

,-.Xi=-3,x2=1；

(4)解：x2-6x=7,

方程變形得：f-6x-7=o,

分解因式得：(x-7)(x+l)=0,

解得：玉=7,x2=-l.

18.⑴；；

(2)不公平，理由見詳解

【分析】本題考查了概率及利用列表法求概率判斷游戲的公平性，判斷游戲公平性就要計算

每個參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平.掌握概率的求法是解題關(guān)鍵，即

如果在一次試驗中，有”種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中相

種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率是P(A)='.

n

(1)列舉出所有可能數(shù)，再利用概率公式即可求出概率；

(2)利用列表法列舉所有可能的結(jié)果，再利用概率公式求出兩人的獲勝概率即可得出答案.

【詳解】(1)解：第一次抽取卡片共有4種等可能的結(jié)果，其中卡片上數(shù)字是正數(shù)的結(jié)果有

2種，

第一次抽取的卡片上數(shù)字是正數(shù)的概率是!；

2

(2)解：列表如下：

-1012

-110-1-2

00000

1-1012

2-2024

由表可知，共有16種等可能結(jié)果，其中結(jié)果為負(fù)數(shù)的有4種結(jié)果，結(jié)果為正數(shù)的有5種結(jié)

果，

所以小亮獲勝的概率=4+16=9,小明獲勝的概率=5+16=占

416

???此游戲不公平.

19.(1)左〉一1

(2)k=0,%=0,x2=2

【分析】本題主要考查根的判別式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程

ax2+bx+c-0(QHO)的根與系數(shù)的關(guān)系.

(1)先根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根得出△=(-2>-4(-4)=4左+4>0,解之可得；

(2)在以上所求上的范圍內(nèi)取一值，如％=0,再解方程即可得.

【詳解】(1)解：???關(guān)于x的一元二次方程尤2—2x-左=0有兩個不相等的實數(shù)根,

...A=(-2)2-4(-k)=4左+4>0,

解得：k>—\.

(2)解:取％=0,此時方程為x?—2x=0,

解得：%=。,x2=2,

20.⑴見詳解

⑵2百

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD〃3c且AD=3C,等量代換得到BC=EF,推出四

邊形AEFD是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)得AD=AB=3C=10,由勾股定理求出AE=8,AC=4^5,再由直角

三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】(1)證明：?四邊形ABCD是菱形，

.:AD〃BC且AD=BC,

-,-BE=CF,

:.BC=EF,

:.AD=EF,

■：AD\\EF,

，四邊形AEFD是平行四邊形，

AE1BC,

：.ZAEF=90°,

四邊形A￡FD是矩形；

(2)解：?.?四邊形ABCD是菱形，AD=10,

：.AD=AB=BC=1O,

■.■EC=4,

..BE=10—4=6,

在Rt^ABE中，AE=^AB1-BE1=V102-62=8>

在RtATlEC中，AC=y/AE2+EC2=782+42=445-

V四邊形ABC。是菱形，

/.OA=OC,

.-.OE=-AC=2y/5.

2

【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線

性質(zhì)等知識；正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

21.⑴見解析

0、25g

2

【分析】⑴根據(jù)三角形中位線性質(zhì)，得DE\\BC,BC=2DE,根據(jù)BE=2DE，得到BC=BE,

結(jié)合EF=BE,推出四邊形3CFE是平行四邊形，推出平行四邊形BCfE是菱形；

(2)根據(jù)菱形性質(zhì)得到3。=。尸=3￡=跖，ZBEC=60°,得到是等邊三角形，根

據(jù)正三角形面積公式得到SmFE=2SBCE=筌且.

菱形上ADCC2

【詳解】(1)證明：：。、E分別是AB、AC的中點，

DE是VABC的中位線，

DE\\BC,BC=2DE,

又：BE=2DE,

：.BC=BE,

"：EF=BE,

：.EF=BC,EF//BC,

四邊形BCFE是平行四邊形，

又：EF=BE,

平行四邊形3CFE是菱形；

(2)解：由(1)知，四邊形3CFE是菱形，

BC=CF=BE=EF,

,：NBEF=120°,

：.NBEC=ZFEC=-ZBEF=60°,

2

...AEBC是等邊三角形,

?S-2S爐25百

【點睛】本題主要考查了菱形綜合.熟練掌握三角形中位線性質(zhì)，平行四邊形判定和性質(zhì)，

菱形判定和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形面積公式，是解決問題的關(guān)鍵.

22.(1)見解析

(2)272

(3)(1)中的結(jié)論成立，證明見解析

【分析】本題考查了直角三角形斜邊的中線，勾股定理，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)

鍵.

(1)設(shè)點E是48的中點，連接CE,證明==由勾股定理得

AD2+BD2^(AE-DE)2+(BE+DE?,整理可得AD?+8加=2CD2-,

(2)把后，CO代入(1)中結(jié)論即可求解；

(3)設(shè)點E是48的中點，連接CE,可證設(shè)點E是的中點，連接CE,由勾股定理得

AD2+BD2=(DE-AEy+(BE+DE)2,整理可得AD2+BD2=2CD2.

【詳解】(1)證明：設(shè)點E是AB的中點，連接CE,

AABC,ZACB=90°4c=BC,

CE±ABAE=BE=CE,

：.AD2+BD2=(AE-DE^+(BE+DE^

=AE2-2AEDE+DE2+BE2+2BEDE+DE2

=CE2-2CE-DE+DE2+CE2+2CE-DE+DE2

=2(CE2+DE2)

=2CD2,

即=2CZ)2；

⑵解：把AQ=0,CD=有代入AD?+BD?=2CD?,得

(A/2)2+B￡>2=2X(V5)2,

解得=20.

故答案為：20;

（3）（1）中的結(jié)論成立.

證明：設(shè)點E是48的中點，連接CE,

AABC,NACB=90°,AC=BC,

：.CE±ABAE=BE=CE,

：.AD2+BD2(DE-AE)2+(BE+DE)"

=DE2-2AEDE+AE2+BE2+2BEDE+DE2

=DE1-2AE-DE+CE2+CE2+2AE-DE+DE2

=2(CE2+DE2)

=2CD2,

即AD2+BD2=2CD2.

23.⑴見解析

(2)能,22.5°

⑶Ql

【分析】（1）在48上截?、萔=CG,連接NG,根據(jù)正方形的性質(zhì)可證得A&VG是等腰直

角三角形，有/4A，G=135。，由折疊的性質(zhì)得/XADE絲ZWE,則AF=AB,可證明

RtAABG^RtAAFG,有4L4G=NE4G和NAGB=NAGE即/GAH=45°,則AAG"為等

腰直角三角形，進一步證明ARVG/AGC”,有NGCH=ZANG=135°,求得/DCH,結(jié)合

/HCN=/DC"即可；

（2）當(dāng)EG〃//C時，/PGC=NHCM=45。,則四邊形CHPG為平行四邊形，

ZHGC=ZGHP,由（1）得/胡G=NftlG和ZAG3=ZAGR,則有=即

可證明四邊形CHPG為菱形，有』PHG=-ZPHC,則ZEHP=22.5°，即可得ZDAE=ZEHP；

2

(3)根據(jù)題意得AC=JAB?+欣?2=0，當(dāng)A、F、c三點共線時，CF最短，貝UCF長度的

最小值A(chǔ)C-AF.

【詳解】(1)證明：在4B上截取AN=CG,連接NG,如圖1所示：

圖1

..?四邊形ABCD是正方形，

:.ND=NB=NBCD=NDCM=90。,AB=BC=AD,

：.ZNAG+ZAGB^90°,

?/AN=CG,

：.BN=BG,

A&VG是等腰直角三角形，

/BNG=45。，

：.ZANG=135°,

由折疊的性質(zhì)得：AADE^AAFE,

：.ZD=ZAFE=ZAFG=90°,AD=AF,ZDAE^ZFAE,

，AF=AB,

在Rt^ABG和RtAAFG中，

JAG=AG

\AB=AF'

RtAABG^RtAAFG（HL）,

ZBAG^ZFAG,ZAGB-ZAGF,

：.ZGAF+NEAF=-x90°=45°,

2

即ZGAH=45°,

,：GH1AG,

???△AG”為等腰直角三角形，

???AG=GH,

9：GH±AG,

：.NAG"=90。，

???ZAGB+/CGH=9。。,

：.ZNAG=ZCGH,

在AAA/G和△GCH中，

AN=GC

<ZNAC=ZCGH

AG=GH

：.△4VG%GCH（SAS）,

???NGCH=ZANG=135。,

：.ZDCH=135°-90°=45°f

：.