2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之圖形的對稱

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之圖形的對稱

選擇題（共10小題）

1.（2024?沙坪壩區(qū)自主招生）如下字體的四個漢字中，是軸對稱圖形的是（）

閽冰肩＞

2.（2024?湖北模擬）如圖，“箭頭”是一個軸對稱圖形，AB//CD,ZB=80°,ZE=46°,則圖中NG

的度數(shù)是（）

A.78°B.70°C.68°D.58°

3.（2024?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級模擬）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸（2,1）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.（2,1）B.（-2,1）C.（2,-1）D.（-2,-1）

4.（2023秋?船山區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，與點(diǎn)（2,5）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)是（）

A.（-2,5）B.（2,-5）C.（-2,-5）D.（5,2）

5.（2023秋?潮南區(qū)期末）如圖，等邊AABC中，。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)P、。分別為A8、上的點(diǎn)，且8P

=AQ=4,QD=3,在8。上有一動點(diǎn)E,則PE+QE的最小值為（）

6.（2024春?新會區(qū)期末）如圖，已知矩形ABC。沿著直線2。折疊，使點(diǎn)C落在C'處，BC'交于

E,AO=8,AB=4,則DE的長為（）

E.

AD

：'C

A.3B.4C.5D.6

7.（2024?臨湘市校級開學(xué)）在下面平面圖形中，對稱軸最多的是（

A.扇形B.長方形

C.正方形D.等邊三角形

8.（2024?旌陽區(qū)模擬）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史，下列由黑白棋子

擺成的圖案是軸對稱圖形的是（）

9.（2024?港南區(qū)二模）點(diǎn)（-2,3）關(guān)于無軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.(-2,-3)B.(2,3)C.(-2,3)D.(2,-3)

10.（2024?鳳城市二模）在一條沿直線鋪設(shè)的電纜兩側(cè)有甲、乙兩個小區(qū)，現(xiàn)要求在上選取一點(diǎn)

P,向兩個小區(qū)鋪設(shè)電纜.下面四種鋪設(shè)方案中,使用電纜材料最少的是（）

甲甲

M

M~L_|N

A.乙B.乙

甲

M

C.乙

填空題（共5小題）

11.（2024?開福區(qū)校級開學(xué)）已知點(diǎn)P(-2,-4)關(guān)于無軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是

12.（2024?渝北區(qū)自主招生）如圖，將正五邊形紙片A2COE折疊，使點(diǎn)2與點(diǎn)E重合，折痕為AM,展

開后，再將紙片折疊，使邊落在線段AM上，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)皮，折痕為AF,則/AFC的度

數(shù)為.

13.（2024?路橋區(qū)校級開學(xué)）如圖，在等腰△AB。中，/48。=90°,腰長為2,則A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱

14.（2024春?龍江縣期末）如圖已知長方形ABC。中A8=8cm,BC=10cm,在邊C。上取一點(diǎn)E,將4

ADE折疊使點(diǎn)。恰好落在BC邊上的點(diǎn)F,則CE的長為.

15.（2023秋?牧野區(qū)校級期末）在△ABC中，ZACB=90°,NA=30°,BC=1,點(diǎn)。是A8邊上一動

點(diǎn)，將△AC。沿直線翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，連接CE交AB于點(diǎn)?當(dāng)△。所是直角三角形時,

三.解答題（共5小題）

16.（2024春?來賓期中）小林同學(xué)是一名剪紙愛好者,喜歡運(yùn)用數(shù)學(xué)知識對自己的剪紙作品進(jìn)行分析思考,

下面是他利用勾股定理對部分剪紙作品的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究思考的過程，請你幫助他一起完成.

(1)如圖1,圖案1是以Rt^ABC的三條邊為直徑，向外作半圓，其面積分別記為Si,S2,S3,請寫

出Si,S2,S3之間的數(shù)量關(guān)系：.

(2)如圖2,這是由四個全等的直角三角形緊密地拼接形成的飛鏢狀圖案，測得外圍輪廓(實(shí)線)的

周長為80,OC=5,求該飛鏢狀圖案的面積.

(3)如圖3,這是由八個全等的直角三角形緊密地拼接形成的大正方形A8CZ),記圖中正方形ABCD

正方形EFGH,正方形MNKT的面積分別為Si,&,&.若Sl+S2+S3=16,則&=.

17.(2024?路橋區(qū)校級開學(xué))如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1,網(wǎng)格中有一個格點(diǎn)三

角形ABC(即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上).

(1)在圖中作出△ABC關(guān)于直線的對稱圖形△A181G；

(2)在上找一點(diǎn)尸，使得P8+PC的距離最短，在圖中作出尸點(diǎn)的位置；(保留作圖痕跡)

(3)若點(diǎn)8坐標(biāo)為(-1,3),點(diǎn)81坐標(biāo)為(5,3),則△ABC上一點(diǎn)尸(a,b)的對應(yīng)點(diǎn)尸1坐標(biāo)表

18.(2023秋?齊齊哈爾期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，點(diǎn)。(0,0),A(-1,2),B(2,1).

(1)在圖中畫出△AOB關(guān)于y軸對稱的△AiOBi,并直接寫出點(diǎn)4和點(diǎn)的的坐標(biāo);

(2)在x軸上畫出點(diǎn)P,使得出+PB的值最小(保留作圖痕跡).

19.(2024春?廣平縣校級月考)如圖，點(diǎn)。，A,B,C都在正方形網(wǎng)格圖中的格線父點(diǎn)處.

(1)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，向東方向?yàn)閤軸正方向，向北方向?yàn)閥軸正方向，每個小正方形的邊長為單

位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，并寫出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)在(1)中建立的坐標(biāo)系中標(biāo)出點(diǎn)D(2,-3),E(0,-1),F(2,1),并判斷由點(diǎn)D,E,F

圍成的三角形是不是軸對稱圖形.

BA北

r-1——?-----1—?-----1—?八

?????????

I____I_L_J_________I____I___L_J_____I東

IIIIIIIII

IIIIIIIII

?-----1—?-----1—?-----1—r-1—?

?????????

L_J_____I____I_?_J__________I__I____I

20.(2023秋?法庫縣期末)如圖，在直角坐標(biāo)系中，A(-b5),8(-3,0),C(-4,3).

(1)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△AiBiCi；

(2)寫出點(diǎn)Ci的坐標(biāo)；

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之圖形的對稱（2024年9月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

（?沙坪壩區(qū)自主招生）如下字體的四個漢字中，是軸對稱圖形的是（）

1.2024W>

【考點(diǎn)】軸對稱圖形.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)軸對稱的定義判斷即可.

【解答】解：根據(jù)軸對稱的定義,山是軸對稱圖形,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?湖北模擬）如圖，“箭頭”是一個軸對稱圖形，AB//CD,ZB=80°,Z￡=46°,則圖中/G

的度數(shù)是（）

【考點(diǎn)】軸對稱圖形；平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】C

【分析】延長A8交EG于M,延長交尸G于M過G作GK〃AB,得到GK〃CD推出NKGM=

ZEMB,NKGN=/DNF,得至*/EGF=/EMB+NDNF,由三角形外角的性質(zhì)得到N￡MB=34°,Z

DNF=34°,即可求出/EGf的度數(shù).

【解答】解：延長A3交EG于延長C。交BG于N,過G作GK〃A8,

:“箭頭”是一個軸對稱圖形，

：.ZCDF=ZABE^Q°,ZF=Z￡=46°,

'JAB//CD,GK//AB,

J.GK//CD,

：.ZKGM=NEMB,ZKGN=ZDNF,

：.ZKGM+ZKGN=ZEMB+ZDNF,

NEGF=ZEMB+ZDNF,

VZAB￡=80°,ZE=46°,

，ZEMB=ZABE-ZE=34°,

同理：NDNF=34°,

:./EGF=NEMB+NDNF=34°+34°=68°.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)以及軸對稱圖形，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

3.(2024?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級模擬)在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、P(2,1)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(2,1)B.(-2,1)C.(2,-1)D.(-2,-1)

【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】C

【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可直接得到答案.

【解答】解：點(diǎn)尸(2,1)關(guān)于無軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,-1),

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律.

4.(2023秋?船山區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，與點(diǎn)(2,5)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)是()

A.(-2,5)B.(2,-5)C.(-2,-5)D.(5,2)

【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化-對稱.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)解答即可.

【解答】解：???點(diǎn)（2,5）,

與點(diǎn)（2,5）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)（-2,5）.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查的是坐標(biāo)與圖形變化-對稱，熟知關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反

數(shù)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023秋?潮南區(qū)期末）如圖，等邊△ABC中，。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)P、。分別為A3、上的點(diǎn)，且8尸

=AQ=4,QD=3,在8。上有一動點(diǎn)E,則PE+QE的最小值為（）

【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀.

【答案】C

【分析】作點(diǎn)。關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q',連接PQ,交BD于E,連接QE,此時PE+EQ的值最小.最

PE+QE=PE+EQ'=PQ',

【解答】解：如圖，：△ABC是等邊三角形，

：.BA=BC,

為AC中點(diǎn)，AQ=4,QD=3,

：.AD=DC=AQ+QD=7,

作點(diǎn)。關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q',連接PQ'交BD于E,連接QE,此時PE+EQ的值最小.最小值PE+QE

=PE+EQ'=PQ',

,：AQ=4cm,AD=DC=7,

：.QD=DQ'=3,

：.CQ'=BP=4,

：.AP=AQ'=10,

VZA=60°,

：.^APQ'是等邊三角形,

：.PQ'=PA=10,

.,.PE+QE的最小值為10.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解

決最短問題，屬于中考常考題型.

6.（2024春?新會區(qū)期末）如圖，已知矩形ABCD沿著直線8。折疊，使點(diǎn)C落在C'處，BC'交AD于

E,AD=8,AB=4,則。E的長為（)

C.5D.6

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）.

【答案】C

【分析】先根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出CO=C'D,/C=/C'=90°,再設(shè)。E=尤，則AE=8-x,由

全等三角形的判定定理得出RtZkABEgRtZkCDE,可得出8E=OE=無，在RtZXABE中利用勾股定理

即可求出x的值，進(jìn)而得出。E的長.

【解答】解：,?,2△DC'B由Rt4Z）3c翻折而成,

:.CD=CZ)=AB=4,NC=NC'=90°,

設(shè)DE=x,貝i]AE=8-x,

VZA=ZC=90°,ZAEB=ZDEC,

AZABE=ZCDE,

在RtaABE與RtzXC'DE中,

4=ZC/=90°

-AB=CD

^ABE=Z.C'DE

.\RtAABE^RtAC,DE(ASA),

：.BE=DE=x,

在RtZkABE中，AB2+AE1=BE1,

.'.42+（8-x）2=—,

解得：尤=5,

...OE的長為5.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)及勾股定理，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前

后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等的知識是解答此題的關(guān)鍵.

7.（2024?臨湘市校級開學(xué)）在下面平面圖形中，對稱軸最多的是（）

A.扇形B.長方形

C.正方形D.等邊三角形

【考點(diǎn)】軸對稱圖形.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念以及對稱軸的概念判斷.

【解答】解：扇形有一條對稱軸，長方形有兩條對稱軸，正方形有四條對稱軸，等邊三角形有三條對稱

軸，

對稱軸最多的是正方形，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這

個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

8.（2024?旌陽區(qū)模擬）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史，下列由黑白棋子

擺成的圖案是軸對稱圖形的是（）

【考點(diǎn)】軸對稱圖形.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀.

【答案】D

【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形叫做軸對稱圖形，

這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可.

【解答】解：A,B,C選項(xiàng)中的圖案都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁

的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

。選項(xiàng)中的圖案能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以

是軸對稱圖形；

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

9.（2024?港南區(qū)二模）點(diǎn)（-2,3）關(guān)于無軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（-2,-3）B.（2,3）C.（-2,3）D.（2,-3）

【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo).

【專題】平面直角坐標(biāo)系；符號意識.

【答案】A

【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答.

【解答】解：點(diǎn)（-2,3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2,-3）.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了關(guān)于無軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）

關(guān)于無軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互

為相反數(shù).

10.（2024?鳳城市二模）在一條沿直線鋪設(shè)的電纜兩側(cè)有甲、乙兩個小區(qū)，現(xiàn)要求在上選取一點(diǎn)

P,向兩個小區(qū)鋪設(shè)電纜.下面四種鋪設(shè)方案中，使用電纜材料最少的是（)

甲甲

M------NM-Lp

A.乙B.乙

甲

MN

C.乙

【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】A

【分析】連接甲乙，交于點(diǎn)P,點(diǎn)尸就是所求的點(diǎn)，理由是連接甲、乙的所有線中，線段最短.

【解答】解：根據(jù)線段的性質(zhì)可知，點(diǎn)P即為所求作的位置.

符合題意的畫法是A.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短是解決問題關(guān)鍵，學(xué)會將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)

學(xué)知識.

二.填空題（共5小題）

11.（2024?開福區(qū)校級開學(xué)）已知點(diǎn)尸（-2,-4）關(guān)于無軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2,4）.

【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀.

【答案】（-2,4）.

【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)進(jìn)行求解即可.

【解答】解：點(diǎn)尸（-2,-4）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2,4）,

故答案為：（-2,4）.

【點(diǎn)評】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化一軸對稱，解題的關(guān)鍵是了解對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn).

12.（2024?渝北區(qū)自主招生）如圖，將正五邊形紙片折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)E重合，折痕為AM,展

開后，再將紙片折疊，使邊落在線段AM上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)2,，折痕為AR則NAFC的度

數(shù)為135°.

A

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；正多邊形和圓.

【專題】多邊形與平行四邊形；展開與折疊；推理能力.

【答案】135°.

【分析】根據(jù)題意求得正五邊形的每一個內(nèi)角為：（5-2）x1800=108。,根據(jù)折疊的性質(zhì)求得

ZFAB',在△AFB，中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NAF夕=45°,得到/A尸定=45°,

即可求解.

1

【解答】解：：正五邊形的每一個內(nèi)角為g（5-2）x180°=108°,

將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)￡重合，折痕為AM,

11

則々AM="BAE=jx108°=54°,

:將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B,折痕為AR

11

ZFABz=*義54°=27°,ZAB'F=ZB=108°,

在AA尸夕中，ZAFB'=180°-ZB-ZFAB'=180°-108°-27°=45°,

:.NAFB=/AFB'=45°,

AZAFC=180°-ZAFB=135°

故答案為：135°.

【點(diǎn)評】本題考查了折疊的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和的應(yīng)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（2024?路橋區(qū)校級開學(xué)）如圖，在等腰△A3。中，/A8O=90°,腰長為2,則A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱

【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】平面直角坐標(biāo)系；等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】（2,2）.

【分析】先根據(jù)等腰三角形的定義得出A2=0B=2,推出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再結(jié)合關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的特

征，即可求解.

【解答】解：在等腰△AB。中，/480=90°,腰長為2,

；.A8=0B=2,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,2）,

故答案為:（2,2）.

【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的定義，關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的特征，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活

運(yùn)用.

14.（2024春?龍江縣期末）如圖已知長方形ABC。中A2=8cw,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E,將4

ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F,則CE的長為3cm.

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】要求CE的長，應(yīng)先設(shè)CE的長為無，由將折疊使點(diǎn)。恰好落在BC邊上的點(diǎn)F可得Rt

AADE^Rt^AFE,所以AF=l（kro,EF=DE=8-x；在Rt/XABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2,

已知AB、AF的長可求出BF的長，又CF=BC-BF=10-BF,在RtAECF中由勾股定理可得：EF2

=CE2+CF2,即：（8-尤）2=?+（10-BF）2,將求出的8尸的值代入該方程求出X的值，即求出了CE

的長.

【解答】解：：四邊形ABCD是矩形，

.,.AD=BC=lQcm,CD=AB=Scm,

根據(jù)題意得：RtAAZ）￡^RtAAF￡,

AZAF￡=90°,AF=l0cm,EF=DE,

設(shè)CE=xcm,則DE=EF=CD-CE=（8-尤）cm,

在RtAABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2,

即82+BF2=102,

BF=6cm,

：.CF=BC-BF=10-6=4(cm),

在RtZXECF中，由勾股定理可得：EF2=CET+CF1,

即（8-尤）2=7+42,

.'.64-16X+X2=X2+16,

??3（cm）,

即CE—3cm.

故答案為：3cm.

【點(diǎn)評】本題主要考查了圖形的翻折變換以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知識，關(guān)鍵是熟練掌

握勾股定理，找準(zhǔn)對應(yīng)邊.

15.（2023秋?牧野區(qū)校級期末）在△ABC中，ZACB=90°,NA=30°,BC=1,點(diǎn)。是A8邊上一動

點(diǎn)，將△ACD沿直線CD翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，連接CE交AB于點(diǎn)F.當(dāng)ADEF是直角三角形時，

3—y/3

AD=1或，.

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；含30度角的直角三角形；勾股定理.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】1或三三

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得NE=NA=30°,NACD=/ECD,AD=DE,再由直角三角形兩銳角的

關(guān)系可得/2=60°,AB=2BC=2,然后分兩種情況討論：當(dāng)NOPE=90°時，當(dāng)/即尸=90°時，分

別進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【解答】解：由折疊的性質(zhì)可得：NE=NA=30°,ZACD=ZECD,AD=DE,

V90°,NA=30°,

；./8=90°-ZA=60°,AB=2BC=2,

如圖，當(dāng)/。FE=90°時，則/BFC=90°,

A

：.ZFCB=90°-ZB=30°,

11

：.BF=^BC=1,

：.AF=AB-BF=

VZE=30°,

11

：.DF=^DE=^AD,

13

???DF+4。=^AD+^D=i4F=|,

???A0=1；

如圖，當(dāng)NED/=90°時，則NEFZ)=90°-ZE=60°,

ZBFC=60°,

VZB=60°,

???2X55。是等邊三角形，

:?CF=BC=BF=1,

'：AC=7AB2-BC2=V3,

：.CE=AC=y[3,

VZE=30°,ZEDF=90°,

：.DF==1(CE-CF)=與

J3—13—J3

：.AD=AB-BF-DF=2-1-與，=/2

3-V3

綜上，的值為1或工一，

故答案為：1或3一—聲V3.

【點(diǎn)評】此題考查直角三角形的兩個銳角互余、含30度角的直角三角形的特征，軸對稱的性質(zhì)，勾股

定理等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(共5小題)

16.(2024春?來賓期中)小林同學(xué)是一名剪紙愛好者，喜歡運(yùn)用數(shù)學(xué)知識對自己的剪紙作品進(jìn)行分析思考，

下面是他利用勾股定理對部分剪紙作品的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究思考的過程，請你幫助他一起完成.

(1)如圖1,圖案1是以RtaABC的三條邊為直徑，向外作半圓，其面積分別記為Si,S2,S3,請寫

出S1,&,S3之間的數(shù)量關(guān)系：S1+S2=S3.

(2)如圖2,這是由四個全等的直角三角形緊密地拼接形成的飛鏢狀圖案，測得外圍輪廓(實(shí)線)的

周長為80,OC=5,求該飛鏢狀圖案的面積.

(3)如圖3,這是由八個全等的直角三角形緊密地拼接形成的大正方形A8C。，記圖中正方形A8CZ),

16

正方形斯G8,正方形MNKT的面積分別為Si,&,S3.若SI+S2+S3=16,則S2=§.

【考點(diǎn)】圖形的剪拼；全等圖形；勾股定理的應(yīng)用.

【專題】三角形；推理能力.

【答案】(1)S1+S2=S3;

(2)120；

16

(3)——.

3

【分析】(1)利用圓的面積公式，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)周長公式和勾股定理求出OA的長，分割法求出面積即可；

(3)利用勾股定理結(jié)合正方形的面積公式以及面積關(guān)系，求解即可.

221222

【解答】解：(1)由題意,得：a+b=c,S、=寺兀.g)2-la7r,S2=■(1)=^bn,S3=兀，

令=標(biāo)2兀，

2

.\S1+S2=豆a27r+/727r--cn=S3；

(2)設(shè)：OA=a,AB=c,由題意，得：OB=OC=5,

4c+4(a-5)=80,?2+52=C2,

??c=25-a,

tz2+52—(25-a)2,

解得：a=12,

飛鏢狀圖案的面積為4x1x12x5=120；

(3)設(shè)直角三角形的長直角邊為a,短直角邊為b,斜邊長為c,貝I：c2=a2+b2,

b)2,22

由題意，得：Si=(a+S2=c,S3=(a-Z)),

**?+S2+S3=(a+b)2+c?+(a—b)2

=〃2+2次?+廬+。2+。2-2ab+伊

=c2+c2+c2

=302=16,

-2_16

??c一丁

2

?\S2=c=學(xué).

故答案為：y.

【點(diǎn)評】本題考查勾股定理，以直角三角形的三邊構(gòu)成的圖形的面積問題，掌握勾股定理是關(guān)鍵.

17.(2024?路橋區(qū)校級開學(xué))如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1,網(wǎng)格中有一個格點(diǎn)三

角形ABC(即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上).

(1)在圖中作出△ABC關(guān)于直線MN的對稱圖形△A181Q；

(2)在MN上找一點(diǎn)P,使得P8+PC的距離最短，在圖中作出尸點(diǎn)的位置；(保留作圖痕跡)

(3)若點(diǎn)8坐標(biāo)為(-1,3),點(diǎn)81坐標(biāo)為(5,3),則△ABC上一點(diǎn)尸(a,b)的對應(yīng)點(diǎn)尸1坐標(biāo)表

示為.

M

N

【考點(diǎn)】作圖-軸對稱變換；軸對稱-最短路線問題.

【專題】作圖題；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；推理能力.

【答案】(1)作圖見解析過程；

(2)作圖見解析過程；

(3)(4-a,b).

【分析】(1)先找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)4、a、Ci,再順次連接481、BiCi、A1C1

即可；

(2)根據(jù)對稱的性質(zhì)可得PC=PCi,PB+PC^PB+PCi,當(dāng)點(diǎn)8,點(diǎn)C,點(diǎn)尸三點(diǎn)共線時，PB+PC

的值最小為8C1；

(3)先根據(jù)對稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)得出對稱軸，再結(jié)合關(guān)于對稱軸對稱的兩個點(diǎn)到對稱軸的距離相等，求

出點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)，即可求解.

【解答】解：(1)如圖1：△481C1即為所求.

圖1

(2)連接BC1,與的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)尸，如圖2：

N

圖2

(3)：點(diǎn)8坐標(biāo)為(7,3),點(diǎn)81坐標(biāo)為(5,3),

.,.點(diǎn)8、21關(guān)于直線尤=2對稱，

故△ABC上一點(diǎn)尸(a,b)的對應(yīng)點(diǎn)尸1的縱坐標(biāo)為b,橫坐標(biāo)為。+2(2-a)=4”，

故點(diǎn)尸1的坐標(biāo)為(4-a,b).

故答案為：(4-a,b).

【點(diǎn)評】本題考查了作圖-軸對稱變換，軸對稱-最短路線問題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱變

換的性質(zhì).

18.(2023秋?齊齊哈爾期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O(0,0),A(-1,2),B(2,1).

(1)在圖中畫出△AO8關(guān)于y軸對稱的△4081,并直接寫出點(diǎn)4和點(diǎn)Bi的坐標(biāo)；

(2)在x軸上畫出點(diǎn)P,使得出+P8的值最小(保留作圖痕跡).

°——―J―3--"-—匚'

【考點(diǎn)】作圖-軸對稱變換；軸對稱-最短路線問題.

【專題】作圖題；幾何直觀.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出點(diǎn)4和點(diǎn)物的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可;

(2)作點(diǎn)8關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)8,，連接AB'交x軸于點(diǎn)P.

【解答】解：(1)如圖，△4081為所求，Ai(1,2),Bi(-2,1)；

(2)如圖，點(diǎn)尸為所作.

L_____I_______I_--___L_____?_______I

【點(diǎn)評】本題考查了作圖-軸對稱變換：作軸對稱后的圖形的依據(jù)是軸對稱的性質(zhì)，掌握其基本作法是

解決問題的關(guān)鍵(先確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；利用軸對稱性質(zhì)作出關(guān)鍵點(diǎn)的對稱點(diǎn)；按原圖形中的方式順次

連接對稱點(diǎn)).也考查了最短路徑問題.

19.(2024春?廣平縣校級月考)如圖，點(diǎn)。，A,B,C都在正方形網(wǎng)格圖中的格線交點(diǎn)處.

(1)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，向東方向?yàn)闊o軸正方向，向北方向?yàn)閥軸正方向，每個小正方形的邊長為單

位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，并寫出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)在(1)中建立的坐標(biāo)系中標(biāo)出點(diǎn)D(2,-3),E(0,-1),F(2,1),并判斷由點(diǎn)D,E,F

圍成的三角形是不是軸對稱圖形.

【考點(diǎn)】作圖-軸對稱變換；三角形三邊關(guān)系.

【專題】幾何直觀.

【答案】(1)A(4,3),8(-2,3),C(-4,-1)；

(2)見解析，由點(diǎn)。，E,尸圍成的三角形是軸對稱圖形.

【分析】(1)根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，再寫出點(diǎn)A,B,C,。的坐標(biāo)，即可求解;

(2)根據(jù)題意畫出△￡＞跖,再根據(jù)軸對稱的定義判斷即可.

【解答】解：(1)如圖；A(4,3),B(-2,3),C(-4,-1)；

(2)如圖，由點(diǎn)。，E,尸圍成的三角形是軸對稱圖形.

【點(diǎn)評】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，熟練掌握坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.(2023秋?法庫縣期末)如圖，在直角坐標(biāo)系中，A(-1,5),B(-3,0),C(-4,3).

(1)在圖中作出AABC關(guān)于y軸對稱的圖形△ALBICI；

(2)寫出點(diǎn)Ci的坐標(biāo)；

(3)求△ABC的面積.

【考點(diǎn)】作圖-軸對稱變換.

【專題】作圖題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)、(2)利用關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出Ai、Bi、Ci的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可;

(3)用一個矩形的面積減去三個三角形的面積計(jì)算AABC的面積.

【解答】解：(1)如圖，△4B1C1為所作;

(2)點(diǎn)Ci的坐標(biāo)為(4,3)；

,11111

(3)△ABC的面積=3X5—Wx3Xl—±x3X2—力*5義2=蕓.

【點(diǎn)評】本題考查了作圖-對稱性變換：在畫一個圖形的軸對稱圖形時，先從確定一些特殊的對稱點(diǎn)開

始的，一般的方法是：由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；直線的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，

作一條線段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線段的長，得到線段的另一端點(diǎn)，即為對稱點(diǎn)；連接這些對稱

點(diǎn)，就得到原圖形的軸對稱圖形.

考點(diǎn)卡片

1.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1:兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相等.

定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

2.三角形三邊關(guān)系

(1)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

(2)在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短

的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形.

(3)三角形的兩邊差小于第三邊.

(4)在涉及三角形的邊長或周長的計(jì)算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個隱藏的定時炸彈，

容易忽略.

3.全等圖形

(1)全等形的概念

能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.

(2)全等三角形

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

(3)三角形全等的符號

“全等”用符號“g”表示.注意：在記兩個三角形全等時，通常把對應(yīng)頂點(diǎn)寫在對應(yīng)位置上.

(4)對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊、對應(yīng)角

把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)；重合的邊叫做對應(yīng)邊；重合的角叫做對應(yīng)角.

4.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，

關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角

形.

5.等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從中任意取出兩個

元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論.

6.等邊三角形的性質(zhì)

(1)等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形.

①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形中，腰和底、頂

角和底角是相對而言的.

(2)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線

是對稱軸.

7.含30度角的直角三角形

(1)含30度角的直角三角形的性質(zhì)：

在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.

(2)此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性