2024-2025學(xué)年浙江省杭州某中學(xué)九年級(jí)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

2024-2025學(xué)年浙江省杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.在△ABC中，AB=5,AC=4,BC=3,那么sinA等于（）

A.3B.O”D.a

4553

2.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原

來(lái)大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應(yīng)該是（

A.①

B.②

C.③

D.④

3.如圖，點(diǎn)A、D、G、M在半。。上，四邊形A80C、DEOF、HMNO

均為矩形.設(shè)=EF=b,NH?則下列各式中正確的是

（）

A.a>b>c

B.b>c>a

C.(■>a>b

D.a=b=c

4.如圖，在△ABC中，N4=36°，AB=AC,AB的垂直平分線OO交AB于點(diǎn)O,交AC于點(diǎn)。，連

接即，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.ZC=2ZA

C.S^BCD=S&BODD.點(diǎn)D為線段AC的黃金分割點(diǎn)

5.已知二次函數(shù)“=ax2+心+c的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如表:

第1頁(yè)，共14頁(yè)

X-1013

y-3131

則下列判斷中正確的是()

A.拋物線開(kāi)口向上

B.拋物線與y軸交于負(fù)半軸

C.當(dāng)工=4時(shí)，y>0

D.方程a/+bx+c=0的正根在3與4之間

9

6.二次函數(shù)y=ar2+命+c(a/O)和正比例函數(shù)“=9r的圖象如圖所示，則

O

c2

方程+(b_-)./；+(>=O(a^O)的兩根之和()

3

A.大于0

B.等于0

C.小于0

D.不能確定

7.如圖，直徑為10的上經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0.5)和點(diǎn)0(0.0),8是y軸右側(cè).)〃優(yōu)弧上一點(diǎn)，則NOB。的余弦

值為()

4

D-

5

8.如圖，在半徑為1的③。中，直徑AB把0。分成上、下兩個(gè)半圓，點(diǎn)C是上半

圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(。與點(diǎn)A、2不重合)，過(guò)點(diǎn)C作弦垂足為E,2OCD

的平分線交③。于點(diǎn)P,設(shè)CE.u，AP=y,下列圖象中，最能刻畫(huà)y與x的函

數(shù)關(guān)系的圖象是()

第2頁(yè)，共14頁(yè)

9.分解因式：2x2y—12.ry+18//=.

10.如圖，線段48=9,4。，48于點(diǎn)4于點(diǎn)B,AC=2,BD=4,點(diǎn)P為線段AB上一

動(dòng)點(diǎn)，且以A、C,尸為頂點(diǎn)的三角形與以2、D、尸為頂點(diǎn)的三角形相似，則AP的長(zhǎng)為.

C.

ApB

11.如圖，在扇形OAB中，/4。8=90°，點(diǎn)C是病上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A,B

重合），OD1BC，OE1AC>垂足分別為。，E.若OE=1，則扇形0AB的

面積為.

12.已知二次函數(shù)〃=〃/+bx+c圖象的對(duì)稱(chēng)軸為i=1,其圖象如圖所示，現(xiàn)

有下列結(jié)論：

①abc>0,

②b-2a<0,

@a—b+c>0,

@(i+b>n(aii+b),(7101),

⑤2c<36.正確的序號(hào)是.

三、解答題：本題共4小題，共42分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

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13.(本小題10分)

(1)計(jì)算：_g)2_一g)2_2Q;

(2)解分式方程：三—爐=島.

f+22-xx2—4

14.(本小題10分)

如圖，四邊形ABC。中，AC平分/O4B，/40。=乙4。6=90°，E為AB的中點(diǎn)，連接CE,DE.

(1)求證：4。2=43.4。；

A尸

(2)若40=4,48=6,求石石的值.

FC

15.(本小題14分)

已知4(1,0)、8(0,—1)、。(-1⑵、0(2,—1)、E(4⑵五個(gè)點(diǎn)，拋物線1/=心-1片+fc(Q>0)經(jīng)過(guò)其

中的三個(gè)點(diǎn).

(1)求證：C、E兩點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線沙="(.「—1)?+卜(">())上;

(2)點(diǎn)A在拋物線y=a(,r-1產(chǎn)+k(a>0)上嗎？為什么？

(3)求。和左的值.

16.(本小題8分)

如圖，在矩形ABC。中，=是大于0的常數(shù))，BC=8,E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與夙C重

合).連接。E,作EF1OE，EE與射線BA交于點(diǎn)R設(shè)CE—/，BF=y.

⑴求y關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若m=8,求尤為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？

19

(3)若?/=上，要使△口￡下為等腰三角形，根的值應(yīng)為多少？

m

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：?.?32+42=5'2，

：,BC2+AC2=AB2>

,,.△88C是直角三角形，ZC=90%

,BC3

故選：B.

根據(jù)△ABC中，AB=5,AC=4,BC=3可利用勾股定理逆定理判斷出△八BC是直角三角形，再根

據(jù)正弦的定義可得答案.

此題主要考查了勾股定理逆定理，解直角三角形，關(guān)鍵是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)。，

b,c滿足足+/=/,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.

2.【答案】A

【解析】解：第①塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂

直平分線的交點(diǎn)就是圓心，進(jìn)而可得到半徑的長(zhǎng).

故選：A.

利用段完整的弧結(jié)合垂徑定理確定圓心即可.

本題考查了確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點(diǎn)即為該圓的圓

心.要確定圓的大小需知道其半徑.根據(jù)垂徑定理知第①塊可確定半徑的大小.

3.【答案】D

【解析】解：連接OM、OD、OA,根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，得

BC=OA,EF=OD,NX=OR/.再根據(jù)同圓的半徑相等，得

a=b=c.

故選D.

本題主要根據(jù)矩形的性質(zhì)以及垂徑定理進(jìn)行做題.

此題主要能夠根據(jù)矩形的對(duì)角線相等把線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，根據(jù)同圓的半徑相等即可證明.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，黃金分割點(diǎn)，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要

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考查學(xué)生的推理能力.

求出NC的度數(shù)即可判斷A；求出N/18C和NH8/）的度數(shù)，求出//）BC的度數(shù)，即可判斷先根據(jù)三角

形面積即可判斷C；求出△03。s△34。，得出，。2=。0,4。，求出40=8。，即可判斷。.

【解答】

解：A、?.?/A=36°，AB=AC，

NC=N4BC=72°，

，/C=2/4，正確，

3、?「DO是AB垂直平分線，

.-.AD=BD，

：.LA=￡ABD=36°，

.l.4DBC=72°-36°=36°=AABD,

%/）是N/1BC的角平分線，正確，

c,根據(jù)已知不能推出△3C0的面積和△BOO面積相等，錯(cuò)誤，

D、：ZC=NC，NOBC=N4=36°，

^DBC^^BAC,

BCCD

-AC=BC，

BC2=CD-AC>

■：/.C=72°,LDBC=36°>

，NBOC=72°=NC，

：,BC=BD，

：AD=BD,

:.AD=BC，

AD2=CDAC

即點(diǎn)。是AC的黃金分割點(diǎn),正確，

故選：C.

5.【答案】D

【解析】解：由圖表可得，

該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是直線工；=噌=；,有最大值，

22

.??拋物線開(kāi)口向下，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤,

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拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0.1),故選項(xiàng)8錯(cuò)誤,

工=—1和「=4時(shí)的函數(shù)值相等，則T=4時(shí)，y--3<0,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

方程a/+br+c=()的正根在3與4之間,故選項(xiàng)D正確，

故選：I).

根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以得到該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口方向，從而可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說(shuō)法是否正

確，從而可以解答本題.

本題考查拋物線與無(wú)軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條

件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

6.【答案】A

【解析】解：設(shè)+c=01子0)的兩根為J”，n,

?.?由二次函數(shù)的圖象可知:盯+電>0，a>0,

設(shè)方程a/+(6—])￡+c=0(a#0)的兩根為m，n,則,〃十

o>0,

3a

/.m+n>0.

故選.1.

設(shè)”.r+，"+，=0((/#0)的兩根為心，由二次函數(shù)的圖象可知皿+工2>o，a>0,設(shè)方程

c2一一

a/+--)JT+c=0(a#0)的兩根為m,〃再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.

O

本題考查的是拋物線與X軸的交點(diǎn)，熟知拋物線與X軸的交點(diǎn)與一元二次方程根的關(guān)系是解答此題的關(guān)

鍵.

7.【答案】C

第7頁(yè)，共14頁(yè)

【解析】解：如圖，連接CA并延長(zhǎng)交I；泊與點(diǎn)。，連接OD,

,同弧所對(duì)的圓周角相等,

ZOBC=ZODC,

是③4的直徑，

../。。0=90°，

?.0(0.5),

■OC=5,

//、“OD/102-525^3瓜

：.cosA（）U（-——=---------=——=>

CD10102

cosZOBC=^-

即"8°的余弦值為等.

故選：C.

首先根據(jù)圓周角定理，判斷出NOBC=NO￡>C；然后根據(jù)CD是③力的直徑，判斷出/。。。=90。，在

RtZXCOO中，用。。的長(zhǎng)度除以C。的長(zhǎng)度，求出NO。。的余弦值為多少，進(jìn)而判斷出的余弦值

為多少即可.

(1)此題主要考查了圓周角定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在同圓或等圓中，同弧

或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

(2)此題還考查了銳角三角函數(shù)值的求法，要熟練掌握.

8.【答案】A

【解析】解：連接。尸，

OC=OP,

/OCP=20PC,

?/Z.OCP=^DCP，CDLAB，

：.NOP。=Z.DCP.

第8頁(yè)，共14頁(yè)

OP//CD.

POLAB.

■：OA=OP=1，

：.AP=y=\/2(0<z<1).

故選：A.

連接。P，根據(jù)條件可判斷出即A尸是定值，與x的大小無(wú)關(guān)，所以函數(shù)圖象是平行于x軸的線

段.要注意CE的長(zhǎng)度是小于1而大于0的.

解決有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象類(lèi)習(xí)題時(shí)，關(guān)鍵是要根據(jù)條件找到所給的兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，尤其是

在幾何問(wèn)題中，更要注意基本性質(zhì)的掌握和靈活運(yùn)用.

9.【答案】2y(x-3)2

【解析】解：原式=21/(工2-61+9)

=2〃(工一3)2,

故答案為:2y(x-3)2.

原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.

此題考查了因式分解-提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關(guān)鍵.

10.【答案】1或3或&

【解析】解：設(shè)4P=工.

?「以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形與以8、D、尸為頂點(diǎn)的三角形相似，

①當(dāng)票=空時(shí)，?=戶，解得工=3.

BDPB49—出

②當(dāng)然時(shí),.解得T=1或T=8，

BPBD9-z4

二.當(dāng)以A、C、尸為頂點(diǎn)的三角形與以B、。、P為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，4尸的長(zhǎng)為1或3或8,

故答案為1或3或&

分兩種情形構(gòu)建方程求解即可.

本題考查了相似三角形的判定，利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵.

11.【答案】三

第9頁(yè)，共14頁(yè)

【解析】解：連接AB,

-.ODLBC，0E1AC，

:.D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，

,DE為△ABC的中位線，

AB=2DE=2.

又.在△。八。中，/力。8=90°，0A=0B,

x/2「

：.OA=OB=-y-zW=瓜，

扇形OAB的面積為：怛也空=￡

3602,

故答案是：2,

連接AB,由垂直于BC,OE垂直于AC,利用垂徑定理得到。、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，即ED為

三角形ABC的中位線，即可求出的長(zhǎng).利用勾股定理、OA^OB，且N49B=90°，可以求得該扇

形的半徑.

此題考查了垂徑定理，勾股定理，扇形面積的計(jì)算以及三角形的中位線定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)

鍵.

12.【答案】④⑤

【解析】解：；?拋物線開(kāi)口向下,

。<0，

,「拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線￡1，

2a

b=—2a>0,

/.b-2a>0,②錯(cuò)誤.

?.,拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方,

/.c>0,

abc<0，①錯(cuò)誤.

由圖象可得］=一1時(shí)，y=a-b+c<0,

③錯(cuò)誤.

由圖象可得土=1時(shí)，y=a+b+c為最大值，

.\a+b+c>ani+bn+c(n^l),即〃+b>〃(cm+與(〃/1),④正確.

?.?%=—1時(shí)，JJ<0,拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線h=1,

第10頁(yè)，共14頁(yè)

.1工=4時(shí)，？/=9。+3b+c<(),

;b=-2a,

b

,o=-5'

.1.9a+36+c=-gb+c<(),

.?.2c<36,⑤正確.

故答案為：④⑤.

由拋物線的開(kāi)口方向判斷。的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸及拋物線與x

軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

本題主要考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號(hào)由拋物線開(kāi)口方

向、對(duì)稱(chēng)軸和拋物線與y軸的交點(diǎn)確定.

13.【答案］解：⑴_(tái)(1_國(guó)+J(1_㈣2_2-2

=----2\/3+\/3-1---

44

=-1-73；

⑵，__±=

,工+22—x/—4，

zj*28

方程可化為一^+:=廠二句一方,

z+2X—2(N+2)(1—2)

方程兩邊同乘(』+2)(立-2),得立0;_2)+(x+2)2=8,

解得叫=-2,X2—1,

檢驗(yàn)：當(dāng)/=—2時(shí)，(；r+2)(.r-2)=0,所以工=—2不是分式方程的解；

當(dāng)工=1時(shí)，(丁+2)(1-2)#(),所以r=1是分式方程的解；

所以原分式方程的解是立=1.

【解析】(1)先根據(jù)有理數(shù)的乘方、算術(shù)平方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算法則計(jì)算，再合并即可；

(2)分式方程兩邊同乘(工+2)(工-2),將分式方程化為整式方程求解即可.

本題考查了解分式方程，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則以及解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】(1)證明：?二4。平分NZX4B，

ADAC=/.CAB,

：^ADC=ZACB=90°，

：,LADC^LACB,

第11頁(yè)，共14頁(yè)

AD：AC=AC：AB,

AC2=AB-AD；

(2)解：?.?/月。8=90。，E為AB中點(diǎn)，

AE=CE，

NCAE=NECA,

4。平分N￡MB,

:.ADAC=Z.EAC，

：,^DAC=AACE,

CE//AD,

.-.^AFD^LCFE,

AD：CE=AF：CF,

■;CE=^AB,

CE=mx6=3,

2

"0=4,

4F_4

'CF=3,

【解析】(1)由AC平分AADC=ZACB=90°，可證得△AOC'szviCB,然后由相似三角形

的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得4。2=力，,4￡)；

(2)易證得△/IbOs^CFE,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得士「的值.

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的

判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】解:⑴?.?拋物線y=a(r-1『+生的對(duì)稱(chēng)軸為2=1,

而。(-1.2),￡(4,2)兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，

由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，C、E關(guān)于直線r=l對(duì)稱(chēng)，

又。1,2)與對(duì)稱(chēng)軸相距2,E(4,2)與對(duì)稱(chēng)軸相距3,

.(、￡兩點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線上；

(2)假設(shè)點(diǎn)4(1,0)在拋物線"=一球+>0)上，

第12頁(yè)，共14頁(yè)

則Q(11)2+A--0,解得人?=(),

因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)5個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)，

將8(0,-1)、。(一1,2)、0(2,—1)、E(4,2)代入，

12

得出a的值分別為a=—1,a=-,a=—\,a=

29

所以拋物線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是B,D,

又因?yàn)閍>0,與a=-1矛盾，

所以假設(shè)不成立.

所以A不在拋物線上；

(3)由題意，拋物線可能經(jīng)過(guò)28或者BDE,

將。(2,—1)、。(―1.2)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入“=a(：r—1產(chǎn)+k中，得

(Q+k=-1

(4Q+k=2'

解得｛二:

y=(x-I)2-2,

在拋物線上.

或?qū)、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入v一a"-I)?+卜中，得

(9a+k=2

[a+k=-l'

解得，J，

8

.?.8(0,-1)在拋物線上.

3

綜上所述，(或,

K=-2.11

k=一"—