平方差公式（八大題型）（學(xué)生版）-2024-2025學(xué)年滬教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步練習(xí)

第09講平方差公式(八大題型)

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、會(huì)用圖形證明平方差公式;

2、學(xué)會(huì)用平方差公式計(jì)算；

3、平方差公式的應(yīng)用。

02思維導(dǎo)圖

1一

11.平方差公式

12.平方差公式與幾何圖形面積

〔題型1：利用平方差公式計(jì)算

1題型2:判斷是否用平方差公式計(jì)算

/題型3:平方差公式的圖形應(yīng)用

「題型4:利用平方差公式求代數(shù)式的值

J題型5:多重平方差公式問(wèn)題(含構(gòu)造平方差公式)

7題型6:平方差公式的代數(shù)應(yīng)用

【題型7:材料、規(guī)律題

【題型8:圖形應(yīng)用的難點(diǎn)分析

03知識(shí)清單

一、知識(shí)引入

計(jì)算下列各題，并觀察下列乘式與結(jié)果的特征：

(l)(y+2)(y-2)=

(2)(3-a)(3+a)=

(3)(2a+b)(2a-b)=

通過(guò)計(jì)算你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？比較等號(hào)兩邊的代數(shù)式可以看到兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積等于

這兩個(gè)數(shù)的平方差，即(a+b)(a-b尸a?-b2.這個(gè)公式叫做平方差公式.

證一證：你能根據(jù)圖中圖形的面積關(guān)系來(lái)說(shuō)明平方差公式嗎

平方差公式：(a+b\a-b)=a2-b2

兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

【方法規(guī)律】在這里，6既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.

抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又

有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見(jiàn)的變式有以下類型：

(1)位置變化：如(。+今(-5+利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型

(2)系數(shù)變化：如(3x+5y)(3x-5y)

(3)指數(shù)變化：如(加3+〃2)(加一〃2)

(4)符號(hào)變化：(-a-b)(a-b)

(5)增項(xiàng)變化：如(機(jī)+〃+2)(機(jī)一〃+夕)

【即學(xué)即練1】下列各式能用平方差公式計(jì)算的是()

A.(x—3)(3—x)B.(―2x-1)(—2x+1)

C.(x-3)(2x+3)D.(-x-3)(x+3)

【即學(xué)即練2】運(yùn)用平方差公式計(jì)算：

(1)(X+3)(X-3)(X2+9)；

【即學(xué)即練3】先化簡(jiǎn)，再求值：+其中俏=：.

04題型精講

題型L利用平方差公式計(jì)算

【典例11計(jì)算：

⑴(5加一3H)(5加+3〃)；

(2)(-2a2+5b)(-2a2-5b)；

(4)(一3歹一4x)(3歹一4x).

1Q

【典例2】.簡(jiǎn)便計(jì)算：90-X89-.

【典例3].用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：

(1)20192-20182

⑵9x1.22-16X1T

題型2：判斷能否用平方差公式計(jì)算

【典例41下列各式不能用平方差公式計(jì)算的是()

A.(5x-2ab)(5x+2a6)B.

C.(-a6-c)(46-c)D.(加+")(-加一〃)

【典例5】.下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是()

A.(2m-3/j)(2m+3/2)B.(a-6+c)(a+6+c)

C.(—a—6)(6—a)D.(—3a+b)(3a—b)

【典例6】?下列選項(xiàng)中不能運(yùn)用平方差公式的有()

A.(a+b+c)(a-b+c)B.(a-6+c)(-a+6-c)

C.(a-6+c)(a+6-c)D.(-a+6+c)(-a-6-c)

題型3：平方差公式的圖形應(yīng)用

【典例7].一個(gè)長(zhǎng)方形的寬為2x-y,長(zhǎng)為2x+y,則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是()

A.4x2-y2B.4x2+y2C.2x2-y2D.2x2+y2

【典例8].正方形I的周長(zhǎng)比正方形II的周長(zhǎng)長(zhǎng)96cm,它們的面積相差960cm2.求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng).

【典例9].如圖，從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為6的小正方形，再將剩下的陰影部分剪開(kāi)，拼

成右邊的長(zhǎng)方形，根據(jù)圖形的變化過(guò)程可以驗(yàn)證下列哪一個(gè)等式成立()

A.(a-b)2=a2-lab+b1B.a(^a+b^=a2+ab

C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.(tz-6)(a+6)-a2-b2

題型4：利用平方差公式求代數(shù)式的值

【典例10].若a+b=l,a-b=2022,貝h？一/=

【典例11].若/一/=4,則g+6）2（a-6）2的值是（）

A.24B.16C.8D.4

【典例12].已知。一6=5,貝UY一/—lob的值為（）

A.5B.10C.15D.25

【典例131若（"+62+1）（/+^2—]）=35,貝h，+〃=（）

A.3B.6C.±3D.±6

題型5：多重平方差公式問(wèn)題（含構(gòu)造平方差公式）

【典例14].（a—功（°+6乂。~+6?）（/+6,）（a*+/）

【典例15].計(jì)算（3+2）x（3?+2?）X（34+24）X（38+28）結(jié)果等于（）

A.1B.3e216C.332+232D.332-232

【典例16].計(jì)算：

【典例17】.式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）-（21024+1）化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）

A.21024-1B.21024+1C.22048-1D.22048+1

題型6：平方差公式的代數(shù)應(yīng)用

【典例18].已知：M=2008x2009x2010,N=2007x2009x2011,則“、N的大小關(guān)系是

【典例191對(duì)于任何整數(shù)機(jī),多項(xiàng)式（4俄+5）2-9都能被（）整除.

A.8B.mC.m-\D.2m-1

I2?232502,I22232502

【典例201^a=-+—+—~\—,H--------，b=----1--------1-------F,??+—,則a-b的近似值為（

A.13B.25C.50D.101

題型7:材料、規(guī)律題

一,1,1,1,1

【典例21].。1=1-滑。2=1一尹，。3=1一不，…，%=1-7—S.=°1,02,…4,則邑022=

【典例22].若〃為正整數(shù)，觀察下列各式：

（1x32（3j~3x52（35）5x72（57）

根據(jù)觀察計(jì)算并填空：

、111

“‘1x33x55x7---------

1111

,“1x33x55x7（2H-1）（2/7+1）------'

⑶計(jì)算：/置1--抒…X『募巾-.]

題型8：圖形應(yīng)用的難點(diǎn)分析

【典例23】.【探究】如圖①，從邊長(zhǎng)為。的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為6的小正方形，將陰影部分沿虛線

剪開(kāi)，拼成圖②的長(zhǎng)方形.

（1）請(qǐng)你分別表示出這兩個(gè)圖形中陰影部分的面積：圖①圖②;

（2）比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：（用字母6表示）；

①已知2m-n=3,2m+n=4,貝!JAm2-n2的值為；

②計(jì)算：（x-3）（x+3）（x2+9）.

【拓展】計(jì)算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）-（232+1）的結(jié)果為.

【典例24].數(shù)學(xué)中的許多規(guī)律不僅可以通過(guò)數(shù)的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)，也可以通過(guò)圖形的面積發(fā)現(xiàn).

⑴填表：【數(shù)的角度】

aba~\~ba-ba2~b2

21313

3-215-

1155

236一36

（2）【形的角度】如圖①，在邊長(zhǎng)為。的正方形紙片上剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b（b〈a）的小正方形，怎樣計(jì)算圖

中陰影部分的面積？小明和小紅分別用不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積.小明的方法：若陰影部分看

成大正方形與小正方形的面積差，則陰影部分的面積用代數(shù)式表示為「小紅的方法：若沿圖①中的虛線將

陰影部分剪開(kāi)拼成新的長(zhǎng)方形（圖②），則陰影部分的面積用代數(shù)式表示為

②

（3）【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】猜想：a+b,a-b、序一〃這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系是

（4）【運(yùn)用規(guī)律】運(yùn)用上述規(guī)律計(jì)算：502—492+482—472+462—452…+22—1.

【典例25].我們知道對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積時(shí)，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式.例如

由圖1可以得至1]/+3。6+262=（。+26）（。+6）.請(qǐng)回答下列問(wèn)題:

圖1圖2圖3

（1）寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式是二

（2）如圖3,用四塊完全相同的長(zhǎng)方形拼成正方形，用不同的方法，計(jì)算圖中陰影部分的面積，你能發(fā)現(xiàn)

什么?（用含有x,V的式子表示）」

（3）通過(guò)上述的等量關(guān)系，我們可知：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，它們的差的絕對(duì)值越小，則積越_（填

“大”“或“小”）；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積一定時(shí)，它們的差的絕對(duì)值越小，則和越_（填“大”或“小”）.

【典例26].操作與探究

（1）如圖1,在邊長(zhǎng)為。的正方形正中間剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為6的小正方形＞6）,把剩下的部分按照?qǐng)D中的

線段分割成四個(gè)等腰梯形，將四個(gè)等腰梯形拼成一個(gè)大平行四邊形.剪拼前后的兩個(gè)圖形可以驗(yàn)證的乘法

公式是（填序號(hào)）.

圖1

①(a+6)2=a2+2ab+b2@(a-b)2=a2-2ab+b2

222

(3)a2-b1=(a+b)(a-b)(4)a+b=(a+b)-2ab

思考與創(chuàng)新

（2）利用上面得到的乘法公式解決問(wèn)題：

①已知a+6=7,ab=10,求/-b?的值；

②（任選其一）模仿圖1,任選圖2或圖3用割拼的方法在左邊內(nèi)畫(huà)圖驗(yàn)證（1）中得到的乘法公

式成立（畫(huà)的圖形中標(biāo)注a、b）

圖1圖2圖3

【典例27].從邊長(zhǎng)為。的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形（如圖1）,然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形

（如圖2）.

?.于喊如A

RJa

H2

（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是;（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）

A.a~—2ab+b~=（a—

B./一方2=（々+6）（々_6）

C.a1+ab-a^a+b^

（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：

①已知無(wú)2-4/=12,x+2y=4,求x-2y的值；

②計(jì)算：

③計(jì)算:（1+

【典例28].如圖，在邊長(zhǎng)為加的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為〃的小正方形紙片（"?>"）,把剩余的部

分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形紙片.

(1)如圖1,通過(guò)計(jì)算兩個(gè)紙片中陰影部分的面積,可得等式一(填選項(xiàng)前面的字母);

A、m2+2mn+n2=[m+n)~B、m2—2mn+n2=(ni—n)~

C、m2-；72=(m+7?)(m-H)D、m2-mn-m(jn-n)

(2)請(qǐng)利用(1)中所選的結(jié)論，解答以下問(wèn)題：

①如圖2,大正方形/BCD的面積為H,小正方形CEFG的面積為邑,且耳-S?=30,求不規(guī)則四邊形3GE。

的面積；

②計(jì)算:0一級(jí)卜...義［1-20222H1-2023H2024J

一、單選題

1.下列各式能用平方差公式計(jì)算的是()

A.(2x—y)(x+2y)B.(x-y)(y-x)

C.(b+Q)(b—c)D.(-Q+6)(Q+6)

2.在下列計(jì)算中，不能用平方差公式計(jì)算的是()

A.(m-n)(-m+n)B.任一/)任十力

C.(-a-b)(a-b)D.(c?—/)(/+02)

3.計(jì)算202/—2022x2020的結(jié)果是()

A.2B.-2C.-1D.1

4.為了應(yīng)用平方差公式計(jì)算(〃-b+c)(〃+b-。)，必須先適當(dāng)變形，下列各變形中，正確的是().

A.[(Q+C)-6][(Q-C)+6]B.[(Q-6)+C[[(Q+A)-C]

C.[Q-(6+c)][a+(b-c)]D.[Q-9-C)][Q+伍-c)]

5.已知〃+b+3=0,且q-b-4=0,則屋-〃=()

A.12B.-12C.24D.±12

6.一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為(加+2〃)，寬為則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為()

A.m2-2n2B.m2-4n2

C.m2+2n2D.4m2—n2

7.計(jì)算(2+1)(22+1)04+1)…(2271)的值是()

A.2"-1B.22M-1C.24W-1D.222W-1

8.^a-b=~,則/一/一方的值為()

2

1

A.B.一C.1D.2

24

9.如圖，在邊長(zhǎng)為Q的正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a>b）（如圖1）,將余下的部分拼成一

個(gè)梯形（如圖2）,根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積的關(guān)系，可以得到個(gè)關(guān)于。力的等式為（）

A.(a-A2=a2-2ab+b2B.(〃+b)2=a2+2ab-\~b2

C.a2-b2=(Q+6)(Q-b)D.a2-\-ab=a(〃+b)

10.若/=-g(l+g)(l+J)(l+3)(l+J)(l+*)(l+「)(l+&)……(1+J)+1，則A的值是

11

A.0B.1C.D.

二、填空題

11.在括號(hào)中填上適當(dāng)?shù)恼?

(1)0+5)()=/-25;（2）（加一九）（)\=n2—m2;

(3)(一1—3x)()=l-9x2;(4)(a+26)()=4b2-a2

12.填空

⑴-3+-|lf3+-11=；(2)(-3x-5y)(-3x+5>)=.

13.用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：502-49x51=

14.(l)(x-2y)(2y+jc)=

(2)(2X+1)(2^-1)(4X2+1)=

15.計(jì)算----------------=___.

20202-2019x2021—

16.已知4/一9,，=26,2加+3"=13,貝！|2加-3〃=

17.若2a+6=5,a+2b=4,貝?。?-/=.

18.^{a+b+c)(a-b+c)=(A-B\A+B),貝［］/=,B=.

三、解答題

19.運(yùn)用平方差公式計(jì)算:

(1)+“；⑵(xy+V)(xy-1)；(3)(2a-36)(36+2a)

(4)(-26-5)(26-5)；(5)2001x1999；(6)998x1002.

20.計(jì)算:

(1)(2x+3y)(x-y)；

(3)(a+3/r)(a~-36)；(4)(5x3-4/)(5x3+4y2)；

(5)(x2+xj+/)(%-y)；(6)(x-l)(x+l)(2x+1).

21.計(jì)算：

,,、2x-3y3y+2x

(4)-------------------------------;

23

(5)(-〃尸〃+2)(-2)；(6)(x+D(x~+l)(x—1)(/+1).

22.先化簡(jiǎn)，再求值:4x（x-l）-（2x+l）（2x-l）,其中無(wú)=一5.

23.(1)用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：20232-2022x2024

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（2-a）（2+”）-2a（a+3）+3a~,其中a=

24.已知x—y=3,y-z=3,x+z=14,求/-z?的值.

25.如圖1所示，邊長(zhǎng)為。的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為6的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方

形，設(shè)圖1中陰影部分面積為百，圖2中陰影部分面積為邑.

圖2

（1）請(qǐng)直接用含。和6的代數(shù)式表示4=;寫(xiě)出利用圖形的面積關(guān)系所得到的公式

（用式子表達(dá)）;

⑵應(yīng)用公式計(jì)算：1一一一"）

（3）應(yīng)用公式計(jì)算：（5+1）（52+1）（54+1）---（532+1）（564+1）+1.

26.如圖①，從邊長(zhǎng)為。的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為6的小正方形，將陰影部分如圖