矩形的折疊問題-2023年中考數(shù)學(xué)重點知識專項講練（原卷版）

第16講矩形的折疊問題

：利用對稱的性質(zhì)，結(jié)合方程思想求值

矩形折*

結(jié)合相似或者三角函數(shù)求值

?題型一：利用對稱的性質(zhì)，結(jié)合方程思想求值

IEBI例題精講：

【例1】如圖，一張寬為3,長為4的矩形紙片力BCD,先沿對角線BD對折，點C落在。的位置，BC,交AD于

G,再折疊一次，使點。與點4重合，得折痕EN,EN交AD于M,那么ME=.

【對稱性質(zhì)】

①線段相等：CD=C'D=AB,BC=BC',EA=EDNA二ND八M二DM;

②角相等：NC'BD二NCBD,/C'DB=/CDB;

③全等三角形：△CBD04CBD,AABG=△CDG

④垂直平分：BD垂直平分CC',NE垂直平分AD;

困真題演練：

1.〔2022?遼寧營口?統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形48CD中，點M在4B邊上，把△BCM沿直線CM折疊，使

點2落在力。邊上的點E處，連接EC,過點B作BF1EC,垂足為R假設(shè)CD=1,CF=2,那么線段AE的

長為（）

11

A.V5-2B.V3-1D.

32

2.（2022?山東濟寧??？级！橙鐖D，矩形。4BC中，OA=4,AB=3,點。在邊BC上，且CD=3D8,點E是

邊04上一點，連接DE,將四邊形力BDE沿DE折疊，假設(shè)點A的對稱點4恰好落在邊。C上，那么。E的長為

3.[2022?河南鄭州?鄭州外國語中學(xué)?？寄M猜測）如圖，在長方形紙條力BCD中，點G在邊BC上,BG=2CG,

將該紙條沿著過點G的直線翻折后，點C、D分別落在邊8c下方的點￡、尸處，且點￡、F、B在同一條直

線上，折痕與邊力D交于點H,與BG交于點設(shè)4B=t,那么AGHM的周長為〔用含f的代數(shù)

4.（2022?山東泰安??？级＃┰诰匦?8CD中，AB=4,2E=2,點G、F、H、E是分另U邊4B、BC、DC、AD

上的點，分別沿HE,GF折疊矩形恰好使DE、BF都與EF重合，那么2D=

5.（2022?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABC。沿CE折疊，使點8落在邊AO上的點尸處.假

設(shè)點E在邊AB上，AB=3,BC=5,那么AE=

6.[2022?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形紙片ABC。中，點E在8c邊上，將ACDE沿。E翻折得

至IjAFDE,點P落在AE■上.假設(shè)CE=3cm,AF=2EF,那么4B=cm.

7.〔2022?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題）如圖，對折矩形紙片力BCD,使得力。與BC重合，得到折痕EF,把紙片

展平，再一次折疊紙片，使點A的對應(yīng)點4落在EF上，并使折痕經(jīng)過點8,得到折痕BM.連接MF,假設(shè)

MF1BM,AB=6cm,那么4D的長是cm.

8.〔2022?山東濰坊?中考真題）小瑩依據(jù)如下圖的步驟折疊A4紙，折完后，發(fā)覺折痕與A4紙的長邊AB

恰好重合，那么A4紙的長A3與寬的比值為

D'(D)5(5)

9.（2022?遼寧錦州?中考真題）如圖,四邊形2BC0為矩形,AB=<2,AD=3,點E為邊BC上一點，將△DCE

沿DE翻折，點C的對應(yīng)點為點尸，過點尸作DE的平行線交4。于點G,交直線BC于點H.假設(shè)點G是邊力D

10.（2022?四川雅安?統(tǒng)考中考真題）如圖，把一張矩形紙片沿對角線折疊，假設(shè)8C=9,CD=3,那么陰影

局部的面積為

H.（2022?吉林長春?模擬猜測）【推理】

如圖1,在邊長為10的正方形2BCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點尸處，連結(jié)

BE,CF,延長CF交AD于點G,BE與CG交于點M.

圖3

(1)求證：CE=DG.

【運用】

(2)如圖2,在【推理】條件下，延長BF交4。于點”.假設(shè)CE=6,求線段?！钡拈L.

【拓展】

(3)如圖3,在【推理】條件下，連結(jié)力M.那么線段4M的最小值為

12.(2022?河南鄭州?鄭州外國語中學(xué)?？寄M猜測)如圖，平面直角坐標系中，矩形04BC的對角線AC=12,

ZXCO=30°

⑴求3、C兩點的坐標;

⑵把矩形沿直線OE對折使點C落在點A處，DE與4C相交于點F,求四邊形4DCE的面積;

(3)假設(shè)點M在直線DE上，平面內(nèi)是否存在點N,使以0、F、M、N為頂點的四邊形是菱形？假設(shè)存在,

請直接寫出點N的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由.

13.〔2022?湖北荊門?統(tǒng)考中考真題)如圖，矩形ABC。中，AB=8,BC=x[0<x<8),將△ACB沿AC對

折到△ACE的位置，AE和CD交于點F.

(1)求證：ACEF義Z\ADF；

(2)求tan/ZM尸的值(用含x的式子表示).

14.(2022?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題)如圖，四邊形ABC。為矩形4B=2^2,BC=4,點E在8c上,CE=AE,

將△ABC沿AC翻折至I]AAFC,連接EF.

D

⑴求EF的長;

(2)求sin/CEE的值.

15.12022?河南?統(tǒng)考中考真題)綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊〃為主題開展數(shù)學(xué)活動.

(1)操作推斷

操作一：對折矩形紙片A8CD,使與8c重合，得到折痕EF,把紙片展平；

操作二：在AD上選一點P,沿8尸折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM,BM.

依據(jù)以上操作，當(dāng)點〃在斯上時，寫出圖1中一個30。的角：.

(2)遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，連續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片A8CD依據(jù)〔1〕中的方式操作，并延長交。于點。，連接8。.

①如圖2,當(dāng)點〃在EF上時，ZMBQ=°,ZCBQ=°；

②轉(zhuǎn)變點尸在A。上的位置〔點P不與點A,D重合)，如圖3,推斷與NC8Q的數(shù)量關(guān)系，并說明

理由.

(3)拓展應(yīng)用

在〔2〕的探究中，正方形紙片ABC。的邊長為8cm,當(dāng)FQ=lcm時，直接寫出AP的長.

?題型二：結(jié)合相像或者三角函數(shù)求值

IEBI例題精講：

【例2】1.如圖，點E是矩形ABCD中CD邊上一點，ABCE沿8E折疊得到對應(yīng)的且點C的對應(yīng)點尸

落在力。上.假設(shè)tan/DFE=*BC=3,那么CE=

用真題演練:

16.（2022?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考中考真題）矩形紙片力BCD中，E為BC的中點，連接力E,將AABE沿4E折疊得

到AAFE,連接CF.假設(shè)力B=4,BC=6,那么CF的長是〔）

A.3B.—C.-D.—

525

17.〔2022?浙江湖州?統(tǒng)考中考真題）如圖，2。是矩形A2CD的對角線，AB=6,8C=8,點、E,尸分別在邊

AD,BC上，連結(jié)BE,DF.將AABE沿翻折，將△OCT沿。尸翻折，假設(shè)翻折后，點A,C分別落在

對角線3。上的點G,H處,連結(jié)GH那么以下結(jié)論不正確的選項是（）

A.BD=10B.HG=2C.EG||FHD.GF±BC

18.〔2022?四川達州?統(tǒng)考中考真題）如圖，點E在矩形4BCD的AB邊上，將AADE沿DE翻折，點A恰好落

在BC邊上的點尸處，假設(shè)CD=3BF,BE=4,那么力。的長為（）

C.15D.18

19.（2022?浙江金華?統(tǒng)考中考真題）如圖是一張矩形紙片/BCD,點石為AD中點，點方在BC上，把該紙片

沿EF折疊，點A,3的對應(yīng)點分別為4,B',4E與BC相交于點G,94的延長線過點C假設(shè)會=j那

GC3

AA.2QVW2Bo.-4-V-1--0-Cc.—20nD.-8

573

20.〔2022?浙江寧波?校考一模）如圖，在矩形紙片48CD中，點E、尸分別在矩形的邊4B、2。上，將矩形紙

片沿CE、CF折疊，點B落在H處，點。落在G處，點、C、H、G恰好在同始終線上，假設(shè)48=9,AD=6,BE=3,

那么。F的長是（）

C.券D.3

21.12022.遼寧盤錦?中考真題）如圖，四邊形ABC。為矩形，AB=3,AD=4,AC,2。為矩形的對角線,

E是AD邊的中點，點尸是CD上一點，連接EF,將△￡>￡/沿EF折疊，當(dāng)點G落在矩形對角線上時，那

么折痕所的長是

22.〔2022?遼寧沈陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABC。折疊，折痕為MN,點M,N分別在邊A。，

BC上，點C,。的對應(yīng)點分別在E,尸且點E在矩形內(nèi)部,的延長線交BC與點G,EF交邊BC于點H.EN=

2,4B=4,當(dāng)點反為GN三等分點時，的長為.

23.12022?江蘇蘇州.統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABC。中黃=|.動點M從點A動身，沿邊A。向點。

勻速運動，動點N從點B動身，沿邊BC向點C勻速運動，連接MN.動點M,N同時動身，點M運動的

速度為U1，點N運動的速度為〃2，且藥<〃2.當(dāng)點N到達點C時，M,N兩點同時停止運動.在運動過程

中，將四邊形MA5N沿MN翻折，得到四邊形MA夕N.假設(shè)在某一時刻，點5的對應(yīng)點?恰好在CD的中

點重合,那么手勺值為一

24.（2022?遼寧丹東??？级＃┤鐖D，矩形4BCD中，4B=12,BC=13,點E為2D上一點，且乙4BE=30°,

將AABE沿BE翻折，得到△48E,連接C4并延長，與4。相交于點心那么。尸的長為

25.[2022?浙江寧波??？既＃┤鐖D，在矩形4BCD中Q4D>4B）,點E為BC的中點，點F為邊BC上的動點,

連結(jié)4凡DE.將AABF沿著2F翻折，使點8的對應(yīng)點所恰好落在線段DE上.假設(shè)三點共線，那么

cosNB字C的值為；假設(shè)4D=4,且這樣的點才有且只有一個時，那么DE的長為

26.〔2022?山東濟南?統(tǒng)考模擬猜測）如圖，矩形紙片2BCD,4D:4B=/:1,點E,F分別在AD,BC上,

把紙片如圖沿EF折疊，點A,B的對應(yīng)點分別為4,夕，連接44并延長交線段C。于點G,那么三的值為

27.12022?河南信陽??？家荒＃┤鐖D，在菱形4BCD中，ADAB=45°,=4,點P為線段上一動點,

過點P作PE14B交力。于點E,沿PE將乙4折疊，點4的對稱點為點尸，連接EF、DF、CF,當(dāng)△CDF為等腰

三角