三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式【10類題型】-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)突破（新高考專用）

專題4-1三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式

近5年考情

考題示例考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求

2023年甲卷，第14題,5分三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式考點(diǎn)

(1)三角函數(shù)基本概念

分析：掌握正弦、余弦、正切等

2022年浙江卷第13題,5分(2)任意角的三角函數(shù)

基本定義，理解其在單位圓上的

(3)同角三角函數(shù)的基本

幾何意義。誘導(dǎo)公式是重點(diǎn)，需

關(guān)系

2021年甲卷第8題,5分熟練記憶并應(yīng)用，解決復(fù)雜角度

(4)誘導(dǎo)公式

的三角函數(shù)值問題。

模塊一k熱點(diǎn)題型解讀(目錄)

【題型1】等分角的象限問題......................................................1

【題型2】三角函數(shù)的定義......................................................3

【題型3】對(duì)sina,cosa,tana的知一求二問題.....................................4

【題型4】弦切互化求值..........................................................5

【題型5］sina±cosa與sinacosa的關(guān)系............................................6

【題型6】利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)....................6

【題型7】誘導(dǎo)求值與變形(給值求值問題).......................................7

【題型8】扇形弧長(zhǎng)與面積的計(jì)算.................................................8

【題型9］割圓術(shù)...............................................................10

【題型10】象限與三角函數(shù)正負(fù)的辨析...........................................11

模塊一核心題型?舉一反三

【題型1］等分角的象限問題

基礎(chǔ)知識(shí)

如何確定角一5GN）終邊所在象限

n+

（X

法1分類討論法：利用已知條件寫出。的范圍（用上表示），由此確定一的范圍，在對(duì)左進(jìn)行分類

n

（X

討論，從而確定一所在象限。

n

法2幾何法：先把各象限分為〃等份，再從x軸的正方向的上方起，逆時(shí)針依次將各區(qū)域標(biāo)上一、

（X

二、三、四...則。原來是第幾象限的角，標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域即角一終邊所在的區(qū)域。

n

1.（多選）如果a是第三象限的角，那么?？赡苁窍铝心膫€(gè)象限的角（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知々是第二象限角，則（）

（

A.￡n是第一象限角B.sin|1>0

C.sin2（z<0D.2a是第三或第四象限角

【鞏固練習(xí)1】（多選）如果2夕是第四象限角，那么，可能是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

a

【鞏固練習(xí)2】已知sina>0,cosa<0,則§的終邊在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限

【鞏固練習(xí)3】（2024?高三?湖北黃岡?期中）若角a滿足c=^+^（keZ）,則&的終邊一定在（）

36

A.第一象限或第二象限或第三象限

B.第一象限或第二象限或第四象限

C.第一象限或第二象限或x軸非正半軸上

D.第一象限或第二象限或y軸非正半軸上

【題型2】三角函數(shù)的定義

基礎(chǔ)知識(shí)

一\任意角的三角函數(shù)

（1）定義：任意角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸（X，y）時(shí)，則sine=y,cosa=x,tana=-（x^O）.

（2）推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)PP（x，y）是角a終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸到

原點(diǎn)。的距離為廠，則sina=）,cosa=—,tana=—（%0）

rrx

二、三角函數(shù)的定義中常見的三種題型及解決辦法

1、已知角a的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，求角a的三角函數(shù)值

方法：先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解。

2、已知角a的一個(gè)三角函數(shù)值和終邊上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求與角a有關(guān)的三角函數(shù)值

方法：先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離（帶參數(shù)），根據(jù)已知三南函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出

未知數(shù)，從而求解問題。

3、已知角的終邊所在的直線方程（y=Ax，左力0）,求角的三角函數(shù)值

方法：先設(shè)出終邊上一點(diǎn)尸（a,Aa）,awO,求出點(diǎn)。到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解，

注意。的符號(hào)，對(duì)。進(jìn)行討論。若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角a的三角函數(shù)值

【注意】不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況

3.已知P（-3,4）為角a終邊上一點(diǎn)，則sina+cosa=.

4.（2024?山東青島?一模）已知角d終邊上有一點(diǎn)p]tan：兀,2sin[-[兀則cosd的值為（）

A.；B.--C.-且D.巫

2222

【鞏固練習(xí)1】（2024?江西?二模）已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)貝!|cosa=（）

A.逅B.立C.72D.正

332

【鞏固練習(xí)2】如果角a的終邊在直線y=2x上，則sm"+2c°s”=（）

3sina-cosa

【鞏固練習(xí)3】在平面直角坐標(biāo)系中，角。的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終

c\

邊經(jīng)過點(diǎn)P—,且sintz=［x,則X的值可以是（）

A.±72B.±1C.0D.±2

【鞏固練習(xí)4】已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（l,2sinc）,貝Usina的值不可能是（）

A.也B.0C.一且D.g

222

【題型3】對(duì)sina,cosa,tana的知一求二問題

基礎(chǔ)知識(shí)

1、知弦求弦：利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系sin2a+cos2?=1求解

2、知弦求切：常通過平方關(guān)系，與對(duì)稱式sina±cosa,sina?cosa建立聯(lián)系

sina

3、知切求弦：先利用商數(shù)關(guān)系得出sina=tana?cosa或cosa=tana,然后利用平方關(guān)系求解

5.若sina=一百,貝!Jtana=.

6.已知夕￡（0,兀）岡11夕=以九夕，則sin6cose=（）

A.一0B.--C.gD.0

2乙

【鞏固練習(xí)1］已知asina=|,則cose等于（）

【鞏固練習(xí)2］若。￡I0,—tang=：,貝（|sin。一cos6=

【鞏固練習(xí)3】（2023年全國(guó)甲卷真題）設(shè)甲：sin2a+sin2/7=1,乙：sina+cos尸=0,則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【題型4]弦切互化求值

「核心?技巧77

1、弦化切：把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為“切”的表達(dá)式，進(jìn)行求值.常見的結(jié)構(gòu)看：

(1)sina,cosa的二次齊次式(如asin2a+bsinacosa+cccWa)的問題常采用“切”代換法求解；

(4sina+Z;cosa)

(2)sina,cosa的齊次分式(如csina+dcoscj的問題常采用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形.

sina

2、切化弦：利用公式tana=cosa,把式子中的切化成弦.一般單獨(dú)出現(xiàn)正切的時(shí)候，采用此技巧.

7.已知sina+cosa=3cosatana,則cc^atana：()

332

A.--B.—C.—

555

8.若tan9=2,貝!Jsin<9(cos，一sine)=.

9.已知角6的大小如圖所示，則1+s蜉=()

cos2”

【鞏固練習(xí)1］已知tan&=2,則巴(~a)+3sina=________

4cos<z—sina

【鞏固練習(xí)2】已知tan6=2,貝Usin26+3cos?6=

1

【鞏固練習(xí)3]已知tan0=2,則的值是

sin26+cos29

【題型51sinaicosa與sinacosa的關(guān)系

/核心?技巧/

對(duì)于sina~\~cosa,sina一cosa,sinacosa這三個(gè)式子，知一可求二：(sina±cosa^二1±Isinacosa

10.（多選題）已知sina-cosa=@,0<cr<7i,則下列選項(xiàng)中正確的有（）

5

A.sina-cosa--B.sina+coscz=—

55

-15

C.tana+-------=一D.sin?！?/p>

tana35

11.已知a為第三象限角,sina-cosa=——，貝！!tan2a=()

3

A.一撞B一偵「2蓬n2百

5335

7

【鞏固練習(xí)1】已知cosA+sinA=A為第四象限角，則tanA等于（)

125125

A.B.C.D.

512y12

【鞏固練習(xí)2】（多選題）已知°￡（0,兀），sina+cosa,則下列結(jié)論中正確的是（

5

32V10

A.sin2&=——B.COS6Z-Sin6Z=

55

4

C.cos2a=一D.tana=-3

5

【題型6】利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)

法心?隹，

一、誘導(dǎo)公式

公式--?二三四五六

71n

角2左萬+a(kGZ)〃+a—(Xn-a---a----FOL

22

正弦sincr一sina-sinasinacosacosa

余弦cosa一cosacosa一cosasina-sina

正切tanatan夕-tana-tana

口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限

二、把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟

任意負(fù)角任意正角0?2兀的

利用誘導(dǎo)公式利用誘導(dǎo)公式二I銳角三I

的三角函的三角函角的三角

1數(shù)三或一數(shù)函數(shù)或四或五

也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了

12.點(diǎn)尸(sin2022°—cos2022°,sin2022°cos2022°)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

■■一，jsina----cos-------\-atan(^-cr)

【鞏固練習(xí)1】已知a為第三象限角，/⑶(2)[2J、=

tan(-a—%)sin(—a—%)

?一一.一，4一…2sin(K-a)-3tan(3ii-a)

【鞏固練習(xí)2】已知sin(a+7u)=—,且sinacosa<0,貝(J---------:-----;-------;---------=

54cos(a-7i)

【鞏固練習(xí)3】已知角。的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與1軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（3,y）,且

4

tancr=——.

3

sin(兀-a)+2cos(兀+a)

(1)求sina+cosa的值;(2)求.「3「3工的值.

sin-Tt-a-cos—Tt+a

12J12.

【題型7】誘導(dǎo)求值與變形（給值求值問題）

核心?技巧

（1）誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與整數(shù)倍角的和差問題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)公式可以把任

意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù).

(2)通過等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù).

(3)等可利用誘導(dǎo)公式把的三角函數(shù)化

A.一還2721

B.C.

3333

兀471

14.已知sina+則cosa

356

34

AB.C.

-4555

ng,則sin12aq71

15.已知cosCtH-----

66

【鞏固練習(xí)1】已知cos[a+?-)=二，則sin(0+7)=()

4334

A.B.C.D.

555

【鞏固練習(xí)2］若=則cos(5+tz］等于()

A.—叵B.叵C.--D.

333

【鞏固練習(xí)3】已知sin+=＞貝Ucos［夸■_2a］=_____二

【題型8】扇形弧長(zhǎng)與面積的計(jì)算

核心?技巧

一、扇形弧長(zhǎng)與面積的爰茶公式

已知扇形的半徑為R,圓心角為。

弧長(zhǎng)公式：i=e-R

11,

面積公式：s=—iR=—eN

22

二、應(yīng)用弧度制解決問題的方法

（1）利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

（2）求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

（3）在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

16.（2024?四川南充?三模）如圖，圓。內(nèi)接一個(gè)圓心角為60。的扇形A3C,在圓。內(nèi)任取一點(diǎn),

該點(diǎn)落在扇形A3C內(nèi)的概率為（）

7T

17.（2024?遼寧撫順?三模）已知圓錐的底面圓的半徑為1,其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為5的扇形,

則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）

57

A.-B.3C.-D.4

22

18.如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形0。截去同心扇形所得部分，已知A￡）=lm，弧

2

AB=jm,弧CD=^m,則此扇環(huán)形磚雕的面積為m.

19.若扇形的周長(zhǎng)為18,則扇形面積取得最大值時(shí)，扇形圓心角的弧度數(shù)是.

【鞏固練習(xí)1】已知扇形的周長(zhǎng)為20cm,則當(dāng)扇形的圓心角扇形面積最大.

【鞏固練習(xí)2]（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的

杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，A8是以。為圓心，04為半徑的圓弧，C是

rr）2

的中點(diǎn)，。在AB上，CDLAB.“會(huì)圓術(shù)''給出A3的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：S=+當(dāng)

OA

Q4=2,NAO5=60。時(shí)，s=()

D

9-3月9-4百

--2--2

【鞏固練習(xí)3】下圖是第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽“潮涌”，可將其視為一扇環(huán)A8CD已知AB=2TI，

AD=3.且該扇環(huán)ABCD的面積為9兀，若將該扇環(huán)作為側(cè)面圍成一圓臺(tái)，則該圓臺(tái)的體積為.

19thAsianGames

Hangzhou2022

【題型9】割圓術(shù)

核心?技巧

割圓術(shù)其核心思想是通過不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊裝，使正多邊形的周長(zhǎng)無限接近圓的周長(zhǎng)，

進(jìn)而求得較為精確的圓周率。這一方法體現(xiàn)了極限思想，為中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。具

體操作為：從圓內(nèi)接正六邊形開始，逐步分割成正十二邊形、正二十四邊形等，直至邊數(shù)無法再增，

此時(shí)正多邊形的周長(zhǎng)即接近圓周率與直徑的乘積。

20.《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合

體，而無所失矣”.這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以視為將一個(gè)圓內(nèi)接正〃邊形等

分成"個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)〃越大，等腰三角形的面積之和越近似等于圓的面積.運(yùn)用

割圓術(shù)的思想，可得到sin5。的近似值為（）

21.我國(guó)古代魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之，又割，以

至于不可割，則與圓周合體無所失矣”.劉徽從圓內(nèi)接正六邊形逐次分割，一直分割到圓內(nèi)接正

3072邊形，用正多邊形的面積逼近