概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件：多維隨機(jī)變量及其分布

2首頁返回退出首頁返回退出第一節(jié)二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布一、二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù)二、二維離散型隨機(jī)變量的分布律三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度四、常見的二維隨機(jī)變量分布

在實(shí)際問題中,試驗(yàn)結(jié)果有時(shí)需要同時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量來描述.

如，炮彈的彈著點(diǎn)的位置,(X,Y)是一個(gè)二維隨機(jī)變量.

又如，研究天氣變化狀況，令X,Y,Z分別表示溫度、濕度、風(fēng)速，則(X,Y,Z)是一個(gè)三維隨機(jī)變量.

研究多維隨機(jī)變量有必要將多個(gè)變量作為一個(gè)整體來考慮，討論它們總體變化的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，再進(jìn)一步可以討論各變量之間的相互關(guān)系§3.1二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù)3.1.1二維隨機(jī)變量定義3.1

設(shè)有隨機(jī)試驗(yàn)E,其樣本空間S.若X=X(e),Y=Y(e)是定義在樣本空間上S的隨機(jī)變量，則稱(X,Y)為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量.同理可定義n維隨機(jī)變量(隨機(jī)向量).圖示3.1.2聯(lián)合分布函數(shù)

定義3.3

(以下僅討論二維隨機(jī)變量)

設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)，二元函數(shù)稱為隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)。一維隨機(jī)變量X的聯(lián)合分布函數(shù)(1)聯(lián)合分布函數(shù)的定義(2)聯(lián)合分布函數(shù)的幾何意義二維隨機(jī)變量(X,Y)看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)合分布函數(shù)F(X,Y)在(x,y)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)落在以(x,y)左下方區(qū)域(如圖所示區(qū)域內(nèi))的概率。x0F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)(3)聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)xyyx1x2o具有這5條性質(zhì)的二元函數(shù)是二維r.v.的分布函數(shù).

3.1.3二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律

定義3.5若二維隨機(jī)變量(X,Y)只取有限個(gè)或可列個(gè)數(shù)對(xi,yj),則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律.一維離散型隨機(jī)變量X的分布律pij

=P(X=xi,Y=yj)，(X,Y)的聯(lián)合分布律表格形式Y(jié)Xy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…………………xipi1pi2…pij…………………性質(zhì)：

X

的所有可能值為解：

1，2，3，4

Y

的所有可能值為1，2，3，4當(dāng)時(shí)，由乘法公式

P{X=1,Y=2}=0

P{X=2,Y=2}=1/8故所求(X,Y)的聯(lián)合分布律為

P{X=3,Y=2}=1/12

P{X=4,Y=2}=1/16

P{X=1,Y=3}=0

P{X=2,Y=3}=0

P{X=3,Y=3}=1/12

P{X=4,Y=3}=1/16

P{X=1,Y=4}=0

P{X=2,Y=4}=0

P{X=3,Y=4}=1/12

P{X=4,Y=4}=1/16YX123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/163.1.4二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合概率密度函數(shù)成立，則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合(概率)密度函數(shù).一維連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度

定義3.6設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x

,y),如果存在一個(gè)二元非負(fù)實(shí)值函數(shù)f(x

,y),使得對于任意有假設(shè)G

是平面上的任意一個(gè)區(qū)域，則

聯(lián)合概率密度的性質(zhì)例2若(X,Y)～試求常數(shù)k.解:所以,k=12.=k/12xy0解:0,其他.例3若(X,Y)～試求分布函數(shù)F(x,y).0,其他.解：例4若(X,Y)～試求：(1)

由上題解得分布函數(shù)及分布函數(shù)性質(zhì)(5)可知:

3.1.5常見二維隨機(jī)變量分布一、二維均勻分布定義3.8設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為：則稱隨機(jī)變量(X,Y)服從區(qū)域G上的二維均勻分布.其中SG為G的面積.解:0,其他.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在圓域上服從均勻分布，例5(1)寫出(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)；(2)(2)計(jì)算二、二維正態(tài)分布若二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：則稱(X,Y)服從二維正態(tài)分布，記為(X,Y)

N(

m1,m2,s12,s22,

r).其中可以證明，f(x,y)滿足聯(lián)合密度的性質(zhì)。(1)顯然f(x,y)≥0；(2)令

22首頁返回退出首頁返回退出第二節(jié)邊緣分布及隨機(jī)變量獨(dú)立性一、邊緣分布二、隨機(jī)變量的獨(dú)立性§3.2邊緣分布及隨機(jī)變量獨(dú)立性已知(X,Y)的分布，如何確定X,Y的分布？F(x,y)＝P(X≤x,Y≤y)FX(x)＝P(X≤x)P(X≤x)＝P(X≤x,S)＝P(X≤x,Y＜+∞)＝F(x,+∞)(X,Y)關(guān)于X的邊際分布函數(shù).FY(y)＝F(+∞,y)＝FX(x)一、邊緣分布函數(shù)已知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則

YFY

(y)=F(+

,y).

XFX

(x)=F(x,+

),

例1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為求X,Y

的邊緣分布函數(shù)分布函數(shù).

二、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律:則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律:同理，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律:YXy1y2…yn…x1p11p12…p1n…x2P21p22…p2n…………………xmpm1pm2…pmn………………………P(Y=y1)=p·1P(Y＝y(tǒng)j)p

·

2p

·

n……1P(X＝xi)p

1

·

p

2

·pm

·例2在第3.1節(jié)例1中計(jì)算X與Y的邊緣分布律.解：(X,Y)的聯(lián)合分布律：25/48P(Y＝y(tǒng)j)13/481/161/4XY123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/167/48P(X＝xi)1/41/411/4所以，X與Y的邊緣分布律為：X的邊緣分布律為：Y的邊緣分布律為：XpkYpk三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度已知(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)則(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度:同理，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度:解:例3設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求X與Y的邊緣概率密度fX(x)和fY(y).所以所以3.2.2隨機(jī)變量的獨(dú)立性成立，則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立.

F(x,y)=FX(x)FY(y)成立，則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立.

(1)X與Y獨(dú)立的本質(zhì)是：對任意實(shí)數(shù)a,b,c,d，有(2)X與Y是獨(dú)立的，則g(X)與h(Y)也是獨(dú)立的.P(a<X<b,c<Y<d)=P(a<X<b)P(c<Y<d)在平面上幾乎處處成立.若(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，X與Y相互獨(dú)立等價(jià)于f(x,y)=fX(x)fY(y)XY123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/16例4例2中的聯(lián)合分布律和X與Y的邊緣分布律如下：問X與Y是否獨(dú)立？25/48P(Y＝y(tǒng)j)13/481/161/47/48P(X＝xi)1/41/411/4由于P(X=1,Y=2)=0故X與Y不是相互獨(dú)立的.P(X=1)P(Y=2)=13/192≠例5已知(X,Y)的聯(lián)合密度為問X與Y是否獨(dú)立？所以X與Y相互獨(dú)立.解:邊緣概率密度分別為:對一切x，y都有f(x,y)=fX(x)fY(y)，解:例6設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求X與Y的邊緣概率密度fX(x)和fY(y).由于存在面積不為0的區(qū)域，故X和Y不獨(dú)立.解:例7求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度.因?yàn)閯t有同理則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是ρ=0.

定理

設(shè)二維正態(tài)隨機(jī)變量

證明

當(dāng)ρ=0時(shí)，從而X與Y相互獨(dú)立.

反過來，當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí)，則對任意的x和y有特別地，有即，由此得，ρ=0.注意(1)若聯(lián)合概率密度f(x,y)可分離變量，即

f(x,y)=g(x)h(y)

且取值區(qū)域?yàn)榫匦斡颍瑒tX與Y獨(dú)立.(2)若(X,Y)服從二元正態(tài)N(m1,m2,s12,s22,r

)

則X與Y獨(dú)立的充要條件是

=0.(3)應(yīng)用中通常先根據(jù)實(shí)際情況判定兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性，再利用聯(lián)合分布求事件發(fā)生的概率.一般n維隨機(jī)變量的一些概念和結(jié)果

1、n維隨機(jī)變量（定義3.2）設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是S={e};設(shè)是定義在S上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)n維向量稱為n維隨機(jī)變量.2、分布函數(shù)（定義3.4）

稱為n維隨機(jī)變量的分布函數(shù).

3、離散型隨機(jī)變量的分布律4、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度（定義3.7）

稱為n維離散型隨機(jī)變量的分布律.設(shè)的所有可能取值為，ij=1,2,…

設(shè)的概率分布已知,則的k(1≤k≤n)維邊緣分布就隨之確定.5、邊緣分布例如：46首頁返回退出首頁返回退出第三節(jié)條件分布一、二維離散型隨機(jī)變量的條件分布律二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度§3.3條件分布

一、離散型隨機(jī)變量的條件分布律定義3.9設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，若對于固定的yj，若P(Y=yj)>0，則稱為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律.P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,…類似可定義在X=xi條件下，Y的條件分布律：P(Y=yj|X=xi)=，j=1,2,…定義3.10給定Y=yj條件下，隨機(jī)變量X的條件分布函數(shù)為給定在X=xi條件下，隨機(jī)變量Y的條件分布函數(shù)為

條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質(zhì).正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì).條件分布律滿足分布律的兩條性質(zhì)：例1設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)

的聯(lián)合分布律為：

解：例2設(shè)一只蟲所生蟲卵數(shù)X服從泊松分布P(l)，而每個(gè)蟲卵發(fā)育成幼蟲的概率是p(0<p<1)，并且各個(gè)蟲卵能否發(fā)育為幼蟲是相互獨(dú)立的，求一只昆蟲所生幼蟲數(shù)Y的分布律.解：所以，Y服從泊松分布P(lp).k=0,1,2,…

二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)

對于二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)，由于P(X=x)=P(Y=y)=0不能像離散的情況那樣直接利用條件概率來引入，需做如下處理：

設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度f(x,y)，其邊緣概率密度為：fY(y)定義3.11

設(shè)X和Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y),邊緣概率密度為，則對一切使的y,

定義已知

Y=y下，X的條件概率密度為同樣，對一切使fX(x)＞0的x,定義為已知

X=x下，Y的條件概率密度.

條件概率密度，也具有密度的一切性質(zhì).例如：解：概率密度f(x,y)的非零區(qū)面積為1，例3設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從的均勻分布，試求及G先求Y的邊緣概率密度于是，當(dāng)-1<y<1時(shí),當(dāng)y=1/2時(shí)，有從而，58首頁返回退出首頁返回退出第四節(jié)二