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認(rèn)證主體：李**（實(shí)名認(rèn)證）

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PAGE1第25講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（10類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年天津卷，第19題,15分由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等比數(shù)列前n項(xiàng)和裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和2023年天津卷，第19題,15分等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等差數(shù)列前n項(xiàng)和寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2023年天津卷，第5題,5等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)2022年天津卷，第18題,15分等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算錯位相減法求和分組(并項(xiàng))法求和2021年天津卷，第19題,15分等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算由定義判定等比數(shù)列錯位相減法求和數(shù)列不等式恒成立問題2020年天津卷，第19題,15分等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等差數(shù)列前n項(xiàng)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算分組(并項(xiàng))法求和2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度高，分值為15分【備考策略】1.理解、掌握等差數(shù)列的基本概念與通項(xiàng)公式2.能掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式3.具備數(shù)形結(jié)合的思想，會根據(jù)函數(shù)的特征解決等差數(shù)列的最值與單調(diào)性問題4.會解數(shù)列的前n項(xiàng)和問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)與求和問題。知識講解知識點(diǎn)一．等差數(shù)列的有關(guān)概念1.等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，定義表達(dá)式為an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)．2.等差中項(xiàng)由三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且有2A＝a＋b.知識點(diǎn)二．等差數(shù)列的有關(guān)公式1.通項(xiàng)公式：an2.前n項(xiàng)和公式：Sn知識點(diǎn)三．等差數(shù)列的常用性質(zhì)1.若{an}為等差數(shù)列，且p＋q＝s＋t，則ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*)．2.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性當(dāng)d>0時，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時，{an}是常數(shù)列．知識點(diǎn)四．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的常用性質(zhì)1.當(dāng)d≠0時，等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n是關(guān)于n的二次函數(shù)．2.在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值．知識點(diǎn)五．等差數(shù)列的常用結(jié)論1．等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.3．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．這里公差d＝2A.4．若{an}，{bn}均為等差數(shù)列且其前n項(xiàng)和為Sn，Tn，則eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).5．若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n，則(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).6．若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n＋1，則(1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；(2)eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n).考點(diǎn)一、等差數(shù)列基本量的計(jì)算1.（22-23高三上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a3A．70 B．80 C．120 D．1402.（22-23高三上·貴州黔東南·階段練習(xí)）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且S5=aA．5 B．6 C．7 D．81.（2024·天津北辰·三模）已知在等比數(shù)列an中，a4a8=12a6，等差數(shù)列bn的前A．60 B．54 C．42 D．362.（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知數(shù)列an為各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，4A．4 B．8 C．12 D．163.（2022·河南安陽·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a5=2a4≠0考點(diǎn)二、等差數(shù)列的判斷與證明1.（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1(1)證明：數(shù)列1S(2)設(shè)數(shù)列bn滿足bn=2.（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：a1=12，a2=1，n+11.（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=2,2.（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足a(1)證明：數(shù)列2n(2)設(shè)bn=an+1a3.（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn4.（2024高三·全國·專題練習(xí)）數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=na考點(diǎn)三、等差數(shù)列的性質(zhì)1.（·北京·高考真題）在等差數(shù)列an中，已知a1+A．4 B．5 C．6 D．72.（·北京·高考真題）已知等差數(shù)列an滿足aA．a(chǎn)1+a101>0 B．a(chǎn)11.（2024·遼寧·模擬預(yù)測）記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1+aA．60 B．80 C．140 D．1602.（2024·青海海西·模擬預(yù)測）前n項(xiàng)和為Sn的等差數(shù)列an中，若S6A．6 B．7 C．8 D．93.（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列an中，若a2+A．7 B．12 C．16 D．244.（2020·北京懷柔·一模）在等差數(shù)列an中，a4+A．5 B．6 C．7 D．10考點(diǎn)四、等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)1.（2024·河南周口·模擬預(yù)測）設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S3=4，A．12 B．14 C．16 D．182.（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）在等差數(shù)列an中，S3=3，S6=10，SA．13 B．17 C．21 D．231.（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，記Sn，Tn分別為an，bA．85 B．75 C．732.（2024·河北衡水·三模）已知數(shù)列an，bn均為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和分別為SnA．2 B．3 C．5 D．63.（2024·山西朔州·一模）設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S9A．52 B．3 C．924.（24-25高三上·浙江·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，若a7A．913 B．1213 C．75考點(diǎn)五、等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題1.（2024·遼寧葫蘆島·二模）等差數(shù)列an中，a1>0A．7 B．8 C．9 D．102.（2024·山東泰安·三模）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a1=?21，A．?99 B．?100 C．?110 D．?1211.（2024·全國·模擬預(yù)測）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3a10+a12A．9 B．10 C．10或11 D．112.（2024·全國·模擬預(yù)測）記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，已知a4=?2,SA．1 B．4 C．5 D．4或53.（2024·四川瀘州·三模）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1=?14，a2A．6 B．7 C．7或8 D．8或94.（2024·寧夏銀川·三模）設(shè)為Sn等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S1、S2、S4成等比數(shù)列，S2考點(diǎn)六、等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用1.（24-25高三上·湖北·階段練習(xí)）長江被稱為黃金水道，而三峽大壩則是長江上防洪發(fā)電的國之重器.三峽大壩壩前正常蓄水位為海拔175米，而壩下通航最低水位為海拔62米.為了改善船舶的通航條件，常常會通過修建階梯船閘來實(shí)現(xiàn)，船只只需要像爬樓梯一樣，以實(shí)現(xiàn)上升或者下降.假設(shè)每個閘室之間的水位差均可控制在15至25米之間，則要保證全年通航，那么三峽大壩船閘至少需要修建閘室的個數(shù)為（

）

A．4 B．5 C．6 D．72.（2024·遼寧·模擬預(yù)測）2024年春節(jié)前夕，某商城針對顧客舉辦了一次“購物送春聯(lián)”的促銷活動，活動規(guī)則如下：將一天內(nèi)購物不少于800元的顧客按購物順序從1開始依次編號，編號能被3除余1，也能被4除余1的顧客可以獲得春聯(lián)1對，否則不能獲得春聯(lián)．若某天符合條件的顧客共有2000人，則恰好獲得1對春聯(lián)的人數(shù)為（

）A．167 B．168 C．169 D．1701.（23-24高三下·上?！ら_學(xué)考試）天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”…，以此類推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，該年是（

）A．丁酉年 B．丁戌年 C．戊酉年 D．戊戌年2.（2024·云南曲靖·二模）小明同學(xué)用60元恰好購買了3本課外書，若三本書的單價既構(gòu)成等差數(shù)列，又構(gòu)成等比數(shù)列，則其中一本書的單價必然是（

）A．25元 B．18元 C．20元 D．16元3.（2023·山西·模擬預(yù)測）干支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，依此類推．已知2024年是甲辰年，則2124年為（

）A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年4.（2024·山西晉城·一模）生命在于運(yùn)動，某健身房為吸引會員來健身，推出打卡送積分活動（積分可兌換禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續(xù)打卡，每天所得積分都會比前一天多2分．若某天未打卡，則當(dāng)天沒有積分，且第二天打卡須從1積分重新開始．某會員參與打卡活動，從3月1日開始，到3月20日他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天是（

）A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日考點(diǎn)七、等差數(shù)列分奇偶問題1.（21-22高三上·全國·階段練習(xí)）已知某等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)，前三項(xiàng)與最后三項(xiàng)這六項(xiàng)之和為78，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為65，則這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)nA．9 B．11 C．13 D．152.（2021·山東濟(jì)南·二模）已知等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為319，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為290A．28 B．29 C．30 D．311.（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=2.（23-24高三上·四川成都·期中）數(shù)列an滿足：a1=a2=1,a2n+1?a2n?14.（20-21高三上·廣東汕頭·階段練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=3n2+2n+1考點(diǎn)八、含有絕對值的求和問題1.（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知等差數(shù)列an中，a1=9，a4=3A．245 B．263 C．281 D．2902.（23-24高三下·北京·開學(xué)考試）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n?13，若滿足akA．有3個 B．有2個 C．有1個 D．不存在1.（23-24高三上·遼寧沈陽·期末）已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為25，公差為?2的等差數(shù)列，則數(shù)列{2.（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a7a9a(1)求數(shù)列an(2)若bn=log2a3.（23-24高三上·遼寧丹東·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的公差為整數(shù)，a3=9，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)若bn=a2n+1?604.（23-24高三上·上?！て谥校┰诠顬閐的等差數(shù)列an中，已知a1=10，且a1，(1)求d，an(2)若d<0，a1+a考點(diǎn)九、等差數(shù)列的單調(diào)性1.（2023·貴州銅仁·二模）設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且?n∈N?，都有A．Sn的最小值是S17 B．SC．Sn的最大值是S17 D．S2.（2023·陜西寶雞·一模）已知等差數(shù)列an滿足a4+a7=0,a5+a8=?4，則下列命題：①an是遞減數(shù)列；②使A．①② B．①③C．①④ D．①②③1.（2022·浙江紹興·一模）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，則“2SA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2.（2021·北京·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn,a1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3.（2023·甘肅定西·一模）寫出同時滿足下面兩個條件的數(shù)列an的一個通項(xiàng)公式an①an是遞增的等差數(shù)列；②a4.（2021·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a6=2（1）求數(shù)列an（2）設(shè)bn=a1a考點(diǎn)十、等差數(shù)列中的恒成立問題1.（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=2an?2，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為A．2,+∞ B．98,+∞ C．2.（23-24高三上·山東青島·期末）Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S4A．7 B．6 C．5 D．41.（2023·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，a2=2，且對于任意A．a(chǎn)n是等差數(shù)列 B．a(chǎn)C．S9=81 2.（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a2=4，S8=72，n∈N*．記數(shù)列1Sn+3.（2024高三·全國·專題練習(xí)）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1=3,6n+2Snn+14.（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在①a1=1，a1，a3，a9成等比數(shù)列，②a2+a問題：已知數(shù)列an(1)求數(shù)列an(2)數(shù)列an2n的前n項(xiàng)和為Sn，對任意的n∈N注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．1．（2024·天津武清·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列an中，公差d≠0，若S21A．12 B．13 C．14 D．152．（23-24高三下·天津南開·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,TA．1713 B．3713 C．2073．（2024·天津·一模）已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且a1=2，A．54 B．45 C．23 D．184．（2024·天津·一模）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S4A．6 B．9 C．11 D．145．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知數(shù)列an(n∈N?)為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列anA．1219 B．114 C．3146．（23-24高三上·天津?qū)幒印て谀┮阎炔顢?shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且Sn1．（2024·天津和平·一模）已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，若a1,A．3+1 B．3?1 C．4+232．（23-24高三上·天津武清·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=an2+(3．（23-24高三下·天津和平·開學(xué)考試）在數(shù)列an中，an=?1,n=12an(1)求證an+3是等比數(shù)列，并求數(shù)列an(2)設(shè)數(shù)列cn滿足cn=an+3b4．（21-22高三上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，公比大于0，已知a1=b