2024年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽一試試卷（預(yù)賽）（A卷）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽一試試卷（預(yù)賽）（A卷）一、填空題：本題共8小題，每小題8分，共64分。1.若實(shí)數(shù)m>1滿足log9(log8m)=20242.設(shè)無窮等比數(shù)列{an}的公比q滿足0<|q|<1.若{an}的各項(xiàng)和等于3.設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿足：集合A={x∈R|x2?10x+a≤0}與B={x∈R|bx≤b3}的交集為4.在三棱錐P?ABC中，若PA⊥底面ABC，且棱AB，BP，BC，CP的長分別為1，2，3，4，則該三棱錐的體積為______．5.一個(gè)不均勻的骰子，擲出1，2，3，4，5，6點(diǎn)的概率依次成等差數(shù)列.獨(dú)立地先后擲該骰子兩次，所得的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b.若事件“a+b=7”發(fā)生的概率為17，則事件“a=b”發(fā)生的概率為______．6.設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽、最小正周期為5的函數(shù).若函數(shù)g(x)=f(2x)在區(qū)間[0,5)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為25，則g(x)在區(qū)間[1,4)7.設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓Ω的焦點(diǎn)，在Ω上取一點(diǎn)P(異于長軸端點(diǎn))，記O為△PF1F2的外心，若8.若三個(gè)正整數(shù)a，b，c的位數(shù)之和為8，且組成a，b，c的8個(gè)數(shù)碼能排列為2，0，2，4，0，9，0，8，則稱(a,b,c)為“幸運(yùn)數(shù)組”，例如(9,8,202400)是一個(gè)幸運(yùn)數(shù)組.滿足10<a<b<c的幸運(yùn)數(shù)組(a,b,c)的個(gè)數(shù)為______．二、解答題：本題共3小題，共56分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。9.(本小題16分)

在△ABC中，已知cosC=sinA+cosA2=sinB+cosB210.(本小題20分)

在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線Γ：x2?y2=1的右頂點(diǎn)為A.將圓心在y軸上，且與Γ的兩支各恰有一個(gè)公共點(diǎn)的圓稱為“好圓”.若兩個(gè)好圓外切于點(diǎn)P，圓心距為11.(本小題20分)

設(shè)復(fù)數(shù)z，w滿足z+w=2，求S=|z2?2w|+|w參考答案1.4049

2.[?13.7

4.34

5.196.11

7.68.591

9.解：由題意知，sinA+cosA=sinB+cosB，

所以2sin(A+π4)=2sin(B+π4)，

所以A+π4=B+π4或(A+π4)+(B+π4)=π，即A=B或A+B=π2，

當(dāng)A=B時(shí)，C=π?2A，且A∈(0,π2)，

由cosC=sinA+cosA2，知cos(π?2A)=sinA+cosA2，即?2cos2A=sinA+cosA，

所以2(sin2A?cos2A)=sinA+cosA，

所以2(sinA+cosA)(sinA?cosA)=sinA+cosA，

因?yàn)锳∈(0,π2)，所以sinA+cosA≠0，所以sinA?cosA=12，10.解：考慮以(0,y0)為圓心的好圓Ω0：x2+(y?y0)2=r02(r0>0)．

由Ω0與Γ的方程聯(lián)立消去x，得關(guān)于y的二次方程2y2?2y0y+y02+1?r02=0．

根據(jù)條件，該方程的判別式Δ=4y02?8(y02+1?r02)=0，因此y02=2r02?2．

對(duì)于外切于點(diǎn)P的兩個(gè)好圓Ω1，Ω2，顯然P在y軸上．

設(shè)P(0,?)，Ω1，11.解：根據(jù)z+w=2，得w=2?z，

可得|z2?2w|=|z2?2(2?z)|=|z2+2z?4|=|z+1+5|?|z+1?5|．

|w2?2z|=|(2?z)2?2z|=|z2?6z+4|=|z?3+5|?|z?3?5|．

以上兩式的最右邊各項(xiàng)分別是z到復(fù)平面中實(shí)軸上的點(diǎn)(?1?5,0)，(?1+5,0)，

(3?5,0)，(3+5,0)的距離，

將z=x+yi換成其實(shí)部x時(shí)，各個(gè)距離都不會(huì)增大，

因此只需考慮函數(shù)f(x)=|x2+2x?4|+|x2?6x+4|在R上的最小值．