數(shù)學(xué)課后導(dǎo)練：數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導(dǎo)練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1。等式12+22+32+…+n2=（5n2—7n+4）（）A.n為任何正整數(shù)時(shí)都成立B。僅當(dāng)n=1,2,3時(shí)成立C.當(dāng)n=4時(shí)成立，n=5時(shí)不成立D。僅當(dāng)n=4時(shí)不成立解析:當(dāng)n=1時(shí)，左=1=右，成立；當(dāng)n=2時(shí)，左=5=右，成立;當(dāng)n=3時(shí),左=14=右，成立;當(dāng)n=4時(shí),左=30≠28=右，不成立。故答案為B.答案:B2.平面內(nèi)原有k條直線,它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為f(k），則增加一條直線它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為…()A.f（k）+1B。f(k）+kC。f（k）+k+1D。k·f(k）解析:每增加一條直線，它必與其他直線各有一個(gè)交點(diǎn)，已有k條.所以增加k個(gè)交點(diǎn),∴交點(diǎn)為f（k)+k.答案：B3。平面上有k（k≥3）條直線,其中有k—1條直線互相平行,剩下一條與它們不平行，則這k條直線將平面分成區(qū)域的個(gè)數(shù)為(）A。k B.k+2 C.2k D.2k+2解析：k-1條平行線將平面分為k部分,與其相交一條又將每部分一分為二。答案：C4。用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n是非負(fù)整數(shù)時(shí)55n+1+45n+2+35n能被11整除”的第一步應(yīng)寫成：當(dāng)n=__________時(shí)，55n+1+45n+2+35n=__________=__________，能被11整除。解析：∵n為非負(fù)整數(shù)，∴n≥0且n∈N?！鄋0=0。代入得51+42+30=22.答案：051+42+30225。設(shè)凸k邊形的內(nèi)角和為f(k),則凸k+1邊形的內(nèi)角和f(k+1）=f(k)+__________.解析：由內(nèi)角和公式（n-2）π,得f(k+1）—f(k)=（k-1）π+(k-2）π=π.答案:π6。用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+23+…+25n—1（n∈N＊)是31的倍數(shù)時(shí),從“n=k到n=k+1”需添的項(xiàng)是__________.解析:當(dāng)n=k時(shí),1+2+22+…+25k-1,當(dāng)n=k+1時(shí),1+2+22+…+25k—1+25k+…+25(k+1）-1,∴增加項(xiàng)為25k+25k+1+…+25k+4。答案：25k+25k+1+…+25k+47。設(shè)f（n）=+++…+(n∈N＊),那么f（n+1）-f（n）等于__________.解析：∵f（n)=+++…+,f(n+1)=++…++，∴f（n+1)—f（n)=+—=-.答案:—8.證明12—22+32-42+…+(2n-1）2-（2n)2=-n（2n+1).證明:(1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=12-22=-3,右邊=-1·(2×1+1)=-3，等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立,即12—22+32-42+…+（2k-1）2—(2k）2=—k(2k+1）,則當(dāng)n=k+1時(shí)，12—22+…+（2k—1)2—（2k）2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-（2k+2)2=-（k—1）[2（k+1)+1]。由（1）(2）可知，對(duì)任何n∈N*,等式成立。9。已知數(shù)列{an｝滿足a1=，且前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=n2an,求{an}的通項(xiàng)公式，并給出證明。解：由已知a1=,Sn=n2an,a1+a2=4a2，a2=a1=，a1+a2+a3=9a3.∴a3=。同理a4=。猜想:an=.下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：（1)當(dāng)n=1時(shí),a1=,而=，公式成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，公式成立，即ak=。當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=Sk+1—Sk=（k+1）2ak+1-k2ak.ak+1=ak=·=,即當(dāng)n=k+1時(shí)，公式也成立。由(1）（2）可知,對(duì)任何n∈N＊公式都成立.綜合運(yùn)用10。設(shè)有通過一點(diǎn)的k個(gè)平面，其中任何三個(gè)或三個(gè)以上的平面不共有一條直線,這k個(gè)平面將空間分成f（k）個(gè)部分,則k+1個(gè)平面將空間分成f（k+1)=f（k)+__________個(gè)部分。答案：2k11.平面上原有k個(gè)圓，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為f（k），則增加第k+1個(gè)圓后，交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多增加__________個(gè)。答案：2k12.設(shè)數(shù)列｛an｝滿足a1=2,an+1=2an+2，用數(shù)學(xué)歸納法證明an=4×2n-1—2的第二步中，設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即ak=4×2k—1—2，那么當(dāng)n=k+1時(shí),__________.解析：ak+1=2ak+2=2(4×2k-1-2)+2=4×2k-2=4×2(k+1）—1—2.答案:4×2（k+1）—1-213.設(shè)an=（2n+1)(3n+2),求它的前n項(xiàng)和Sn,并用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.解:S1=a1=15;S2=a1+a2=55;S3=a1+a2+a3=132。猜想Sn=(4n3+13n2+13n）。證明:(1）n=1時(shí)顯然成立。(2)假設(shè)n=k時(shí)成立,即Sk=（4k3+13k2+13k)，則Sk+1=Sk+ak+1=(4k3+13k2+13k）+（2k+3)(3k+5)=(4k3+13k2+13k)+6k2+19k+15=(4k3+25k2+51k+30)=［4(k+1)3+13（k+1）2+13(k+1）］?！喈?dāng)n=k+1時(shí)也成立。由（1)(2）知,Sn=(4n3+13n2+13n)對(duì)任意n∈N＊成立.拓展探究14.用數(shù)學(xué)歸納法證明n∈N時(shí)，(2cosx-1)(2cos2x—1）…（2cos2n—1·x-1)=.證明:(1）當(dāng)n=1時(shí),左式=2cosx—1,右式==2cosx—1,即左式=右式.∴等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即（2cosx—1）（2cos2x—1)…(2