數(shù)學(xué)課后導(dǎo)練：絕對值三角不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導(dǎo)練基礎(chǔ)達標(biāo)1已知｜a+b|=|a｜+｜b｜,a、b∈R,則一定有…()A.ab<0B.ab〉0C.ab≥0D.ab=0解析:由｜a+b｜=｜a｜+|b|,得(a+b）2=（｜a｜+｜b|）2.∴a2+b2+2ab=a2+b2+2｜ab|，即|ab｜=ab?！郺b≥0。答案：C2若|a—c｜〈|b｜，且a、b、c均為不等于零的實數(shù)，則下列不等式成立的是（)A.a〈b+cB.a>c—bC.｜a｜<｜b|+|c｜D.｜a|>｜b|〉｜c｜解析：∵|a-c｜≥|a|-｜c|,∴｜b|>｜a-c|≥|a｜—|c｜?！啵黙|<｜b｜+|c｜.答案:C3已知函數(shù)f(x）=-2x+1，對任意實數(shù)ε,使得｜f（x1）-f（x2)｜<ε的一個充分但不必要的條件是（)A.|x1—x2｜<εB。｜x1-x2|〈C。｜x1—x2｜<D.|x1—x2｜>解析：∵|f(x1)—f(x2)|=｜—2x1+2x2｜=2｜x1—x2|,若｜x1—x2|〈,則｜f(x1）-f(x2)|<〈ε。而|f(x1）-f（x2)|〈ε|x1—x2｜<，∴應(yīng)選C。答案:C4不等式≤1成立的充要條件為（）A.ab≠0B。a2+b2≠0C.ab〉0D.ab<0解析:≤1故a≠0且b≠0，∴a2+b2≠0?！鄳?yīng)選B。答案:B5|a|<1，|b｜<1，a、b∈R,那么|a+b｜+|a—b｜與2的大小關(guān)系是______________—。解析：不妨設(shè)｜a｜≥｜b｜，則（｜a+b｜+|a—b｜）2=2（a2+b2）+2|a2-b2|=2(a2+b2）+2a2-2b2=4a2<4.∴|a+b｜+|a—b|〈2。答案：｜a+b|+｜a-b|〈2綜合應(yīng)用6不等式｜2x—log2x|〈2x+｜log2x|成立,則x的取值范圍為_____________.解析:∵|a+b|≤｜a｜+|b｜取不等號“<”的條件是ab<0,又∵x>0，∴原不等式等價于2x·（-log2x）<0，即log2x〉0.∴x>1。∴x的取值范圍為{x｜x〉1}.答案：{x|x>1}7已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R），當(dāng)x∈[—1，1］時,|f(x）|≤1.(1）證明｜b｜≤1;（2)若f（0)=-1，f(1)=1，求實數(shù)a的值。(1)證明:∵x∈［-1,1］時,｜f（x)|≤1，∴｜f(-1)｜≤1，|f（1)｜≤1.而b=［（a+b+c）—（a—b+c）］=［f（1)—f(—1）］，∴|b｜=｜f(1）—f(-1）|≤［｜f（1)|+|f(-1）｜］=1。(2)解析：∵f（0）=c=-1,f（1)=a+b-1=1,∴b=2—a.∴f（x）=ax2+(2—a）x-1.∵x∈［—1，1]時，|f（x）|≤1,∴|f（—1)|≤1,即|2a—3｜≤1?！?≤a≤2。f（x）的對稱軸x==-∈[—，0］[-1,1］?！啵黤(）|≤1，整理得|+1｜≤1。注意到a>0,∴≥0?！?1≥1。∴=0.∴a=2.8(1)設(shè)p、q、x∈R，pq≥0,x≠0，求證:|px+｜≥.（2)設(shè)m是｜a|、|b｜和1中最大的一個，當(dāng)|x｜>m時,求證：|｜<2。證明：（1)pq≥0，那么（px）·（）≥0，∴｜px+|=｜px｜+|｜≥(2）m是|a|、|b｜和1中最大的一個，則有m≥｜a｜,m≥|b|，m≥1?！撸黿｜>m≥|a|,｜x|>m≥｜b|，|x｜>m≥1,就有｜x｜2〉｜b｜,∴||≤=<=2。9(1）a、b∈R,且|a|≠｜b|,求證：≥|a｜-｜b|.（2)a、b∈R，c>0，求證:|a+b|2≤(1+c)|a|2+(1+)|b｜2.證明:（1）觀察要證的不等式的左、右端，可以發(fā)現(xiàn)應(yīng)用不等式｜a-b｜≥｜a|-｜b|的可能性。∵==·（｜a｜+｜b｜）=||a｜-|b｜｜（1+)≥｜|a｜—｜b｜｜≥|a|-|b｜.∴原不等式成立。（2)右式=|a｜2+｜b｜2+c|a|2+|b|2≥｜a｜2+｜b｜2+=（|a｜+|b｜)2≥|a+b｜2=左邊，∴原不等式成立。拓展探究10對定義在［-1，1］上的函數(shù)f（x),若存在常數(shù)A〉0,使得對任意x1、x2∈［—1,1］，都有｜f（x1)—f(x2)|≤A·｜x1—x2｜,則稱f（x)具有性質(zhì)L.問函數(shù)f（x）=x2+3x+5與g（x）=｜是否具有性質(zhì)L?試證明之。思路分析：要確定一個函數(shù)具有性質(zhì)L，其關(guān)鍵是要能找到滿足題設(shè)條件中的常數(shù)A,而要確定一個函數(shù)不具有性質(zhì)L,則一般需通過反證法來證明或?qū)ふ乙粋€反例.解析：(1)對于f（x)=x2+3x+5,任取x1、x2∈［—1，1］,|f（x1)-f(x2）｜=|x12—x22+3（x1—x2)|=|(x1-x2）（x1+x2+3）｜=|x1—x2｜·|x1+x2+3｜≤|x1—x2｜·(|x1|+|x2|+3)≤5｜x1—x2｜.∴存在A=5,使f（x）具有性質(zhì)L.(2)對于g(x)=,設(shè)它具有性質(zhì)L,任取x1、x2∈［0，1]，則|g(x1)—g(x2）|=｜—｜=≤A|x1-x2｜,∴A≥,≤2.∴∈（0，2］。取x1=≤1，x2=,有,與≥矛盾,故g(x)=不具有性質(zhì)L。備選習(xí)題11已知f(x)=—x2，x∈［0,1]，對于x1、x2∈［0，1],則|f（x1）-f（x2）|的最大值為________解析:畫出函數(shù)y=—x2的圖象,在x∈［0,1］上，函數(shù)單調(diào)遞減.f（x)max=f（0）=0，f(x)min=f（1）=0—1，∴｜f（x1）-f（x2）｜的最大值為1.答案:112已知a、b、c是實數(shù)，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c,g（x)=ax+b,當(dāng)—1≤x≤1時，｜f(x）｜≤1.(1）證明｜c|≤1;(2)證明當(dāng)—1≤x≤1時，|g（x)｜≤2。證明:(1)∵-1≤x≤1時,｜f（x）｜≤1,∴|c｜=|f(0）|≤1.(2)注意到x=(）2—(）2，可得g(x)=ax+b=a［（）2—（）2］+b(-）+(c-c)=［a（)2+b（）+c］-［a()2+b(）+c］=f()—f(）.當(dāng)-1≤x≤1時，有0≤≤1,-1≤≤0，∴|f（)|≤1,｜f（）|≤1。于是｜f()—f(）｜≤｜f（)｜+|f（）｜≤2,即｜g（x）|≤2.13已知函數(shù)f(x)=x2—1(x≥1）的圖象是C1，曲線C2與C1關(guān)于直線y=x對稱。(1)求曲線C2的方程y=g（x）；(2)設(shè)函數(shù)y=g（x)的定義域為M,x1、x2∈M且x1≠x2,求證:|g（x1)—g（x2）|〈｜x1—x2｜；(3)設(shè)A、B是曲線C2上任意不同兩點，證明直線AB與直線y=x必相交.解析:(1)由題設(shè)易知y=g（x)與y=f（x）互為反函數(shù)，所以g（x)=（x≥0)。（2)設(shè)x1≥0,x2≥0，且x1≠x2,則有|g(x1）-g（x2)｜=|｜=〈｜x1-x2｜。(3）設(shè)A(x1,y1）、B(x2,y2)是曲線C2上任意不同兩點(x1≠x2)，則｜kAB|=〈1,即kAB≠1,故直線AB與直線y=x必相交。14（1）已知α1，α2，α3，…，αn為n個實數(shù),求證:cosα1cosα2…cosαn+sinα1sinα2…sinαn≤m時,m的最小值為;（2）證明|sin（x1+x2+x3)|≤|sinx1｜+|sinx2|+|sinx3|;(3）已知數(shù)列通項公式an=，對于正整數(shù)m、n,當(dāng)m>n時，求證:｜am—an|<.證明：(1）cosα1cosα2…cosαn+sinα1sinα2…sinαn≤｜cosα1cosα2…cosαn｜+|sinα1sinα2…sinαn|≤｜cosα1｜+|sinα1｜=≤，∴m的最小值為。（2）|sin(x1+x2+x3)|=｜sin［(x1+x2）+x3］|=｜sin(x1+x2）·cosx3+cos（x1+x2)·sinx3｜≤|sin（x1+x2)cosx3｜+|cos(x1+x2）·sinx3｜≤|sin（x1+x2）|+｜sinx3｜≤|sinx1|+|sinx2|+|sinx3|.（3）｜am-an｜=｜++…+｜≤||+|｜+…+||≤=15已知｜lga—lgb｜≤1，求證：。證明