2020-2021學(xué)年湖北省鄂西北六校高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年湖北省鄂西北六校高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出.【詳解】，則復(fù)數(shù)z的虛部為.故選：C.2．已知集合，集合，則集合等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合，，根據(jù)并集的定義解答即可．【詳解】解：，，，，，，，．故選：A．3．設(shè)是第三象限角，為其終邊上的一點，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出的值，得到點的坐標，從而求出的值．【詳解】解：為其終邊上的一點，且，，解得：或，又是第三象限角，，，，．故選：C．4．在新冠肺炎疫情期間，某學(xué)校定期對教室進行藥熏消毒.教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（單位：毫克）隨時間（單位：小時）的變化情況如圖所示.在藥物釋放的過程中，與成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)）.據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.2毫克以下時，學(xué)生方可進入教室.那么，從藥物釋放開始到學(xué)生能回到教室，至少在（）（參考數(shù)值）A．42分鐘后 B．48分鐘后C．50分鐘后 D．60分鐘后【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出時的函數(shù)解析式，即求出的值，再解不等式求得答案.【詳解】把點代入中，，解得.所以當時，因為當空氣中每立方米的含藥量降低到0.2毫克以下時，學(xué)生方可進入教室所以，解得.至少需要經(jīng)過分鐘后，學(xué)生才能回到教室.故選：B.5．若，是夾角為60°的兩個單位向量，則與的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】根據(jù)題意，分別計算出、、，進而可得，夾角.【詳解】根據(jù)題意得，，，，故，因此，夾角為120°.故選：C.6．在平行四邊形中，已知，，對角線，則對角線的長為（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】根據(jù)題意，在中，由余弦定理得，因，所以，故在中，由余弦定理得，計算得.故選：A.7．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，恒成立，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意得到在為增函數(shù)，根據(jù)是偶函數(shù)得到，從而得到.【詳解】當時，恒成立，所以在為增函數(shù).又因為是偶函數(shù)，所以，即，所以，即.故選：A8．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)為三角形內(nèi)一點，且滿足：，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)向量的基本運算得到，再結(jié)合“奔馳定理”即可求解結(jié)論．【詳解】解：為三角形內(nèi)一點，且滿足，，．，故選：D．二、多選題9．下列命題錯誤的是（）A．有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．長方體是四棱柱，直四棱柱是長方體C．相等的線段在直觀圖中仍然相等D．平行的線段在直觀圖中仍然平行【答案】ABC【分析】直接利用棱柱的定義，平面圖形和直觀圖的定義的應(yīng)用，棱柱和直棱柱的定義判斷A、B、C、D的結(jié)論．【詳解】解：對于A：有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形兩個扣在一起的斜棱柱組成的多面體就不是棱柱，故A錯誤；對于B：長方體是四棱柱，直四棱柱的底面不一定是長方形，故不一定是長方體，B錯誤；對于C：相等的線段在直觀圖中不一定相等，故C錯誤；對于D：與軸平行的線段在直觀圖中平行性不變，故D正確；故選：ABC．10．在中，角，，所對的邊分別為，，，那么在下列給出的各組條件中，能確定三角形有唯一解的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BD【分析】對于ABC，求出頂點A到BC邊的距離與比較大小即可，對于D，由三個角和一邊確定唯一個三角形【詳解】解：對于A，頂點A到BC邊的距離為，因為，所以三角形有兩個解，所以A不符合題意；對于B，頂點A到BC邊的距離為，因為，所以三角形是直角三角形，有唯一解，所以B符合題意；對于C，頂點A到BC邊的距離為，所以三角形無解，所以C不符合題意；對于D，因為，，所以，因為，所以三角形的形狀是唯一的，所以D符合題意，故選：BD11．設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（）A．，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)數(shù)模長的計算，即可求解.【詳解】對于選項A，因，所以，故，因此A為真命題；對于選項B，因，所以，因此B為真命題；對于選項C，因，所以，即，因此C為真命題；對于選項D，當，時，，但，因此D為假命題.故選：ABC.12．下列關(guān)于平面向量的說法中錯誤的是（）A．若，則存在唯一的實數(shù)，使得B．已知向量，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是C．若且，則D．若點為的垂心，則【答案】ABC【分析】直接利用向量的共線，向量的坐標運算，向量垂直的率要條件，向量的數(shù)量積的應(yīng)用判斷A，B，C，D的結(jié)論即可【詳解】解：對于A，當時，滿足，但不滿足存在唯一的實數(shù)，使得，所以A錯誤；對于B，因為，，所以，因為與的夾角為銳角，所以，解得，而當時，與共線，所以且，所以B錯誤；對于C，由于，，所以當時，等號成立，所以C錯誤；對于D，因為點為的垂心，所以，所以,所以,同理可得所以，所以D正確，故選：ABC三、填空題13．一個正方體的頂點都在球面上，且該正方體的表面積為，則該球的表面積為___________.【答案】【分析】利用正方體的表面積求解棱長，然后求解外接球的半徑，即可求解球的表面積．【詳解】解：一個正方體的頂點都在球面上，且該正方體的表面積為，設(shè)正方體的棱長為，則，解得，正方體的體對角線的長度就是外接球的直徑，所以，所以外接球的表面積為：，故答案為：．14．已知是虛數(shù)單位，則___________.【答案】-1【分析】先計算，再利用復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．【詳解】解：，．．故答案為：．15．已知向量，，，，若，則的最小值為___________.【答案】2【分析】根據(jù)，得，結(jié)合“1”的巧用即可求解.【詳解】由，得，即，因此，故當且僅當“”時，取最小值2.故答案為：2.16．如圖，在扇形中，，半徑，為弧上一點，則的最小值為___________.【答案】-8【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)可引入角表示，然后結(jié)合和差角及輔助角公式進行化簡后，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求．【詳解】解：因為，，所以，設(shè)，則，則，，則，，，，由，得，所以，則的最小值．故答案為：．四、解答題17．為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)是：（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)？【答案】（1）或；（2）且；（3）【分析】先對復(fù)數(shù)整理得，（1）要為實數(shù)，只要虛部為零，令即可；（2）要為虛數(shù)，只要虛部不為零，令即可；（3）要為純虛數(shù)，只要實部為零，虛部不為零，由求解即可【詳解】解：．（1）由得或，即或時，為實數(shù)．（2）由得且，即且時，為虛數(shù)．（3）由得，即時，為純虛數(shù)．18．已知向量，.（1）若向量，且，求的坐標；（2）若向量與互相垂直，求實數(shù)的值.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）設(shè)，利用兩個向量平行的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出向量的坐標．（2）由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，代入模即可求出的值．【詳解】解：（1）設(shè)，因為，所以，因為，所以，解得或，所以或.（2）因為向量與互相垂直所以，即，而，，所以，，因此，解得.19．在中，角，，所對的邊分別為，，且.（1）求；（2）已知，若為的中點，且，求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理把轉(zhuǎn)化為可求得；（2）由，兩邊平方可求得長，從而求得的面積．【詳解】解：（1）因為，由正弦定理得，即，所以，因為在中，，所以，因為，所以.（2）因為為的中點，則兩邊平方得，因為，所以，解得或(舍去)，所以的面積為.20．已知母線長為的圓錐的側(cè)面展開圖為半圓.（1）求圓錐的底面積；（2）在該圓錐內(nèi)按如圖所示放置一個圓柱，當圓柱的側(cè)面積最大時，求圓柱的體積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)展開圖扇形的弧長即為底面圓的周長求出底面圓的半徑，即可求出圓錐的底面積；（2）設(shè)圓柱的高，，根據(jù)三角形相似得到，即可表示出圓柱的側(cè)面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積最大值，即可得解；【詳解】解：（1）沿母線剪開，側(cè)面展開圖是以為半徑的半圓設(shè)，在半圓中，，弧長為，圓錐的底面周長，所以，所以，故圓錐的底面積為.（2）設(shè)圓柱的高，，在，，∵，所以，即，，，所以，當，時，圓柱的側(cè)面積最大，此時.21．如圖：某快遞小哥從地出發(fā)，沿小路以平均時速30公里/小時，送快件到處，已知(公里)，，，是等腰三角形，.（1）試問，快遞小哥能否在30分鐘內(nèi)將快件送到處？（2）快遞小哥出發(fā)5分鐘后，快遞公司發(fā)現(xiàn)快件有重大問題，由于通訊不暢，公司只能派車沿大路追趕，若汽車平均時速60公里/小時，問汽車是否先到達處？(參考數(shù)據(jù)：，)【答案】（1）快遞小哥能在30分鐘內(nèi)將快件送到處；（2）汽車不能先到達處.【分析】(1)根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理得，即可得到路程，進而可求得快遞小哥將快件送到處的時間，即可求解；(2)根據(jù)題意，分別計算、的路程，即可得到汽車到達處的時間，進而可求解.【詳解】(1)在中，，則，由正弦定理得，所以(公里)，又因為(分鐘)，所以快遞小哥能在30分鐘內(nèi)將快件送到處.(2)在中，由余弦定理，得(公里)，由(1)知(公里)，又因為(分鐘)，所以汽車不能先到達處.22．已知向量，，.（1）當時，求的值域；（2）是否同時存在實數(shù)和正整數(shù)，使得函數(shù)在上恰有2021個零點？若存在，請求出所有符合條件的和的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，當時，；當時，.【分析】（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出函數(shù)的值域；（2）假設(shè)同時存在實數(shù)和正整數(shù)滿足條件，得出函數(shù)和直線在，上恰有2021個交點，根據(jù)，時函數(shù)的圖象特征，討論的取值情況，從而求出滿足條件的和的值．【詳解】解：（1）∵又∵，∴∴，∴（2）假