高三數學一輪復習：平面向量及其應用練習

第二章平面向量及其應用

一、選擇題

1.已知向量方=(x,3),3=(2,1),aLb,貝晨=()

33

A.6B.-C.-6D.--

22

2.如圖，在口Q4GB中，E是AC的中點，R是線段3c上的一點，且5c=3防，若

0C=mOE+nOF,其中機，neR,則機+〃的值為()

BFC

0A

377

A.lB.-C.-D.-

253

3.在△ABC中，b=>/2c，a=\/10，A=—，則S^ABC=()

A.垃B.lC.20D.2

4.在矩形ABCD中,AB=2,5C=1,圓”為矩形內恒與AB,BC相切的動圓，則

市?限+詬?比+邁?加的最小值為()

513

A.-iB.--C.-lD.--

322

5.在AABC中，a,b,c分別為△ABC的內角A,B,C的對邊，”為邊AC上一

點，滿足A/C=3AM,a2+c2—b2+ac=0,c=2,a=4,則,四|=()

A衛(wèi)B.立C.1D.叵

2772

6.在ZvlBC中，cosC=|,AC=4,BC=3,則tanB等于()

A.A/5B.4^C.2A/5D.8j?

7.對稱美是數學美的重要組成部分，他普遍存在于初等數學和高等數學的各個分支中，

在數學史上，數學美是數學發(fā)展的動力.如圖，在等邊△ABC中,AB=2,以三條邊為直徑

向外作三個半圓,M是三個半圓弧上的一動點，若麗=4而+7,則2+〃的最大值為

)

A.-B.—C.lD.-

232

8.已知向量滿足7石=10,且B=(—3,4),則￡在B上的投影向量為()

ALB.(6,-8)C哈,々

二、多項選擇題

9.向量滿足:同=4,W=2,3/23,則向量B在向量［上的投影向量的模的可能值是

()

A.lB.lC.-D.2

44

10.設點。是△ABC所在平面內一點，則下列說法正確的有()

A.若礪=|則點。是邊的中點

B.若蒞=麗+/,貝U點。是AABC的重心

C.若而=2通-而，則點。在邊3C的延長線上

D.若15=+y正，且x+y=g,則△BCD是△ABC面積的一半

11.在AABC中，角A,3,C所對的邊分別為見瓦c,已知3=交,>=8,則()

3

A.若A=二,則a=±^B.若。=4,則sinA&

634

C.AABC面積的最大值為電由D.AABC周長的最大值為巫+8

33

三、填空題

12.已知以。為起點的向量％,B在正方形網格中的位置如圖所示、網格紙上小正方

形的邊長為1,貝1Ja.(a-B)=.

13.設4是不共線的兩個向量，怎=4+屹,魂=&+3",歷=2不-1.若

A,B,。三點共線，則左的值為.

14.已知錄.是兩個不共線的單位向量,￡=￡—如■石=雨+2￡若［與坂共線，則

k------------

四、解答題

15.在AABC中，已知NB4C=120。，。為上一點，CD*,BD=4近,且

ZBAD=9Q°.

⑴求任的值；

AC

(2)求△ACD的面積.

16.在銳角△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為瓦c,其中a=2，Z?=3，sinC=2也.

3

(1)求c的值.

(2)求sinA的值.

17.已知向量1=(2,—1),b=(l,x)-

(I)若a，(a+5)，求防|的值;

(H)若I+2石=(4,-7)，求向量萬與5夾角的大小.

18.已知在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為〃力,c,且他-c)sinC=(6+〃)(sinB-sinA).

(1)求角A的大??；

(2)若a=4,。為的中點,445。的面積為主叵，求AD的長.

2

19.設7B是不共線的兩個向量.

⑴若次=21小OB=3a+b^反=Z-3小求證：A，B,C三點共線；

(2)若丘+防與筋+23共線，求實數左的值.

參考答案

1.答案：D

解析：/.a-b=Q,即2x+3xl=0,解得％=一』，

2

故選：D.

2.答案：C

解析：在平行四邊形中次=宓，OB=AC,OC=OA+OB,

因為E是AC中點，

AE=-AC=-OB,

22

:.OE=OA+AE=OA+-OB,

2

BC=3BF,

:.BF=-BC=-OA,

33

:.OF^OB+BF^OB+-OA,

3

OC=mOE+nOF,

7

m+n=—

5

故選C.

3.答案：B

解析：在AABC中，b=缶，a=y/lQA=與，由余弦定理得

b1+C1-2Z?ccosA=a29

即(伍y+c2—2?伍?ccos女=(M)2,整理得02=2,

4一

所以S^=-Z?csinA=—?V2c2sin—=-c2=1?

△ABC2242

故選：B

4.答案：D

解析：建立以3為原點，｛麗，患｝為正交基底平面直角坐標系，設

M（a,a）,0<a<1,A（2,0）,C（O,1）,D（2,l）,

AZA=(2—a,—a),MB=(—a,—ci),NIC=(_tz,1—a)，A/Z)=(2—tz,1—ci)，

所以

MA^+Mb-MC+MB^=(MA+MD+MB)MC=(4-3tz,1-3(2)?{-a.1-(2)

(2丫5

=6〃2-8Q+1=6Q————，

I3j3

又0WaWL所以其最小值在a=工時取得,即為-3?

222

故選:D.

5.答案：A

解析：

6.答案：B

解析：設AB=c，BC=a，CA=b，

2

c1=a2+b2-labcosC=9+16—2x3x4x—=9:.c=3

3

a2+c2-b21.L,1.475人￡

cosBD=--------------=—sinBD=Jl-(—)2=------tanB=4j5

2ac9\99

故選：B

7.答案：B

解析：如圖，過點M作MPIIBC交直線AB,AC于點P,Q,

貝I」AM=xAP+yAQ,x+y=l.

設衣=左麗，而=左無至.則的二加一刀二（"一1）通+白恁.

?/BM=2AB+//AC2+〃=kx—l+ky=k—l.

由圖可知，當PM與半圓BC相切時，上最大，易求得左=延=心8,

AB3

即左最大為邛工二4+〃的最大值為當.

故選：B.

8.答案：C

解析:因為ai=10,且5=（-3,4），所以a在坂上的投影向量同cos<￡,

b則上=68]

b>10x3

H/9+16555/

故選:C.

9.答案：ACD

解析:由題意，向量ZJ滿足同=4,網=2且.九3,

所以向量辦在向量Z上的投影向量的模為例85（。,可=悼之3.

故選:ACD

10.答案：ABD

解析：對=■（原+急）,即工而通■/_工石,

221

即麗=元，

即點D是邊BC的中點，故A正確；

對B,設BC的中點為M,須=g（荏+恁）=gx2皿=g汨,

即點。是△ABC的重心，故B正確；

對Cj.?須=2商一衣，

即擊-荏=麗-/，

即加=函

即點。在邊CB的延長線上，故C錯誤；

對D,-.-AD=xAB+yAC,_ILx+y=,

^2AD=2xAB+2jAC,J!L2x+2y=l,

^AM=2AD,

則而7=2x南+2”交，且2x+2y=l,

故MB,C三點共線，且;W=2AD,

即△BCD是△ABC面積的一半，故D正確.

11.答案：BCD

?3x--/-

解析：對于A,若4，又8=生2=8,由正弦定理得。=刎史=—=孚，故A錯誤;

63sinBV33

對于B,由題意人用力=8,“=4,由正弦定理得五“1=竺g=上￡=走，故8正確；

b84

對于C，由余弦定理/=〃2+。2_2tzccosB得,64=a2+c2+ac>2ac+ac=3ac，所以

ac〈竺，當且僅當q=c=延時取等號,

33

所以SABC=~^csinB=^-ac<"6,

A/iDC243

所以△ABC面積的最大值為史正，故C正確；

3

對于D,由3=~^，b=8，及余弦定理/=a2+C2—2accosB得，

64=a2+c~+ac=(a+c)2-ac>(a+c)2—("+°).=乂。+c)，所以“+。<建百,

443

當且僅當a=c=8叵時取等號，

3

所以△ABC的周長/=8+a+c<8+更由，

3

所以△ABC周長的最大值為更無+8，故D正確.

3

故選：BCD

12.答案:2

解析：以。為坐標原點建立如圖所示直角坐標系，

設一小格為1單位，則工=(2,1)，3=(2,—1)，a-b=(O,2)，

則￡.伍-％(2,1).(0,2)=2,

故答案為：2.

13.答案：4

解析：因為荏=冢+攵￡，株=4+3&，?=24_4，

以BD—CD—CB-2e、—e、一(G+3eJ=6一4g2，

由題意，A,B,。三點共線，故必存在一個實數九使得順=彳麗.

所以G+ke7=2(q—4e2),

又因為［與￡不共線，

1=2

所以解得左=T.

k=-4A

故答案為：4

14.答案：-工或-0.5

2

解析：因為冢匕是兩個不共線的單位向量,￡=冢-4區(qū)方=胸+區(qū),若2與B是共線向

量，

設B=花，2eR,則kex+2e2=A（er-4e2}=-42e2,

所以\k=2，解得左.=」1.

2=-422

故答案為:_L

2

15.答案：（1）2

（2）至

2

解析：（l）N￡WC=120。，ZBAD=9Q°,則NC4￡）=30。,

在△ACD中，———=———,所以AC=2j7sinNADC=277sinNADB.

sinZADCsinZCAD

在△AB￡>中，ZBAD=90°,sinZADB=—,所以A3=4巾sinNAD3.

BD

故四—4折sinZADB_?

AC277sinZADB-

（2）在△ABC中，由余弦定理可得BO?=402+452-ZACCOSNBAC,

即（577）2=AC2+（2AC）2-4AC2COS120°,

解得AC=5,AB=10,

則AD=7B/)2-AB2=273.

故△ACD的面積為LACAOsin/C4D=%8.

22

16.答案：(1)3

(2)逑,

9

解析：(1)?.?△ABC為銳角三角形,sinC

故c的值為3.

2_3

(2)由正弦定理得：—吼=，—，即：潟7=布,解得：sinA=^.

sinAsinC—9

3

故sinA的值為逑.

9

17.答案:(I)5正；

(II)

4

解析：⑴因為斤=(2,-1),5=(1,X)，所以Z+石=(3,-1+x)，

由a_l_(a+B),可得a.(a+B)=O，

即6+1—x=0，解得x=7，即B=(l,7)，

所以㈤=,f+72=5夜;

(II)依題意￡+2B=(4,2x-l)=(4,—7)，

可得％=—3，即1=(1,—3)，

2+3_41

所以cos<a,b>—,」

⑷聞亞?屈―2

因為<a,b>e[0,n]>

所以