2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：空間距離

第七節(jié)空間距離

考試要求：1.理解點線距、線線距、線面距、面面距的概念與向量表示.

2.會利用向量求空間距離.

必備知識落實“四基”

自查自測

知識點一點到直線的距離

如圖，在長方體ABCDAIBCLDI中，AAi=AB=2,AD^l,點,F,G分別為AB,CG的中

點，則點D到直線GF的距離為.

\->C

R

V2解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則。(0,0,0),F(l,1,0),G(0,2,1),

所以不=(1,-1,-1),DF=(l,1,0).

取。=說=(1,1,0),"=嬴=俘’-f，-

所以點D到直線GF的距離為卜一(擊“丫=電

核心回扣

已知直線/的單位方向向量為“，A是直線/上的定點，P是直線/外一點.如圖，設(shè)方="，

則向量N在直線I上的投影向量而=3幻".點P到直線/的距離|PQ|=J|疝5『一|?！?

相一(”-“)2.

AQ

自查自測

知識點二點到平面的距離

判斷下列說法的正誤，正確的畫“J”，錯誤的畫“X”.

(1)若平面a上不共線的三點到平面￡的距離相等，則a〃K(X)

(2)若直線/平行于平面a,貝門上各點到a的距離相等.(J)

⑶若直線/上兩點到平面a的距離相等，貝心〃a.(X)

(4)點到直線的距離就是該點與直線上任一點連線的長度.(X)

核心回扣

如圖所示，已知AB為平面a的一條斜線段，"為平面a的法向量，則點8到平面a的距離

為|協(xié)|=\AC?n\

~\n\~

【常用結(jié)論】

->

"吧=0,

“?CD=0.

應(yīng)用在正方體ABCD-AIBCLDI中,AB=4,則異面直線A8與AC之間的距離為.

2V2解析：如圖，以。為原點，DA,DC,。。所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，

則A(4,0,0),5(4,4,0),C(0,4,0),Ai(4,0,4),

所以方=(0,4,0),可=(4,-4,4),瘋=(0,0,4).

設(shè)根=(x,y,z)是異面直線A3和AC的公垂線的方向向量，

?

則,fm—-A>B=0所,以f4,y=0,

{m-CAx=0,(4x—4y+4z=0.

?。?1,則z=—l,所以機=(1,0,一1)是異面直線A8和AC公垂線的一個方向向量,

所以異面直線AB和AC的距離為什:時=4==26

\m\V2

核心考點提升“四能”

考點一點到直線的距離

1.(2024?濟南模擬)空間中有三點P(l,-2,-2),MQ,—3,1),N(3,—2,2),則點P

到直線MN的距離為()

A.2V2B.2V3

C.3D.2V5

A解析：因為而^=(1,1,1),所以面^的一個單位方向向量為〃=R(1,1,1).因為巨必=

(1,-1,3),所以|河研=[12+(—1了+32=，11,PM-H=V3,所以點尸到直線MN的距離

為J國『-囪?“y=J11-3=2V2.

2.如圖，已知直三棱柱ABC-AiBiG，AAi=l,AB=4,BC=3,ZABC=90°,則點B到直

線4cl的距離為

y解析：以B為原點，BA,BC,8以所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，貝44(4,0,1),Ci(0,3,1),

所以而=(—4,3,0).

又房=(0,3,1),

所以點8到直線4cl的距離1=反斤一=Jio-Q)2=y.

3.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A/iCid中，已知E為CG上一點，且2CE=EG，

在平面CDDiCi內(nèi)作EF//AxB,交Ci￡)i于點F,則直線EF與AiB之間的距離為

—解析：以A為原點，AB,AD,441所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的

6

空間直角坐標(biāo)系，則4(0,0,1),2(1,0,0),E(l,1,；).

直線EF與A山之間的距離等于點￡到直線48的距離，西=(—1,0,1),赤=(0,1,；),

所以點E到直線42的距離d=J|S￡|2-=等.

A反思感悟

1.求點到直線的距離的方法

(1)設(shè)過點P的直線I的單位方向向量為n,A為直線/外一點，點A到直線I的距離d=

Jl可-(瓦?〃)1

(2)若能求出點在直線上的射影坐標(biāo)，可以直接利用兩點間的距離公式求距離.

2.平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離求解.

點到平面的距離

【例1】如圖，已知四邊形A8C。是邊長為4的正方形，E,尸分別是48,的中點，CG

垂直于正方形ABC。所在的平面，且CG=2,則點B到平面EPG的距離為.

AEB

斗解析：因為CG_L平面ABC。，CD,CBc-f?ABCD,所以CG_LCZ),CG_LCA因為

CD1CB,所以以C為原點，CD,CB,CG所在的直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,0,0),5(0,4,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2),

所以元=(—2,2,0),前=(—2,-4,2),BE=(2,0,0).

設(shè)平面EFG的法向量為m=(x,y,z),

m-FE=—2x+2y=0,

,m-EG=12x—4j+2z=0.

令I(lǐng)=1,則m=(1,1,3)為平面EFG的一個法向量,

=I2I_2VTT

所以點3到平面EFG的距離為d=

IVT+T+QI-ii'

A反思感悟

向量法求點到平面的距離的步驟

(1)建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.

p

(2)求點坐標(biāo)：寫出(求出)相關(guān)點的坐標(biāo).

(3)求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(NA,平面a內(nèi)兩不共線向量，平面1的法向量〃).

(4)求距離d=%工

\n\

多維訓(xùn)練B

1.如圖，在三棱柱48cAiBiG中，所有棱長均為1,且AA1，底面ABC,則點S到平面

ABCi的距離為.

理解析：以C為原點，CB,的方向分別為y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，則A惇，p0),8(0,1,0),Bi(O,1,1),G(0,0,1),所以館=(?,p—1),

CX=(O,1,0),郎=(0,1,-1).

設(shè)平面A8C1的法向量為〃=(%,y,Z),

則有I。'不妨設(shè)z=l,解得"=(日，1,1)為平面ABCi的一個法向

[C^B-n=y~z=0.

2.如圖，在長方體ABC￡)-4BiCiA中，AD=AAi=l,48=2,點E在棱AB上移動.

DyC,

(1)證明：DiE±AiD；

⑵當(dāng)E為AB的中點時，求點E到平面AC￡)i的距離.

(1)證明：以。為原點，DA,DC,DA所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系(圖略)，設(shè)AE=x,

則。(0,0,0),A1(1,0,1),￡>1(0,0,1),E(l,X,0),A(l,0,0),C(0,2,0),

所以雁=(1,無，-1),9=(—1,0,-1).

因為印?而=0,所以雁_L常，F(xiàn)pDiEXAiD.

(2)解：因為E為A8的中點，所以E(l,1,0),

從而印=(1,1,-1),就=(一1,2,0),同=(-1,0,1).

設(shè)平面AC￡)i的法向量為"=(a,b,c),

,(n-AC=0,~(~a+2b=0,

則―.所以

=0,1—6z+c=0.

取b=l,則〃=2,c=2,所以〃=(2,1,2)為平面AC￡)i的一個法向量.

所以點E到平面ACDi的距離=邑二W=

\n\33

考點三直線到平面的距離與平面到平面的距離

［例2］如圖，在四棱錐O-ABCZ）中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA_L底面ABCD,

OA=2,M,N,R分別是OA,BC,的中點.求:

（1）直線MN與平面。8的距離;

（2）平面MNR與平面OCD的距離.

解：（1）因為OA_L底面ABCD,四邊形ABCD為正方形，所以AB,AD,AO兩兩垂直.

以A為原點，AB,AD,AO所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

則C(2,2,0),。(0,2,0),0(0,0,2),M(0,0,1),NQ,1,0),R(0,1,0),

所以虎=(2,0,0),DO=(0,-2,2),MN=(2,1,-1),2VC=(0,1,0).

設(shè)平面OCD的法向量為"=（尤，y,z）,

-DC=0,生2x=0,

則—>所以

?00=0,—2y+2z—0.

取y=l,則x=0,z=l,所以〃=(0,1,1)是平面OCZ)的一個法向量.

因為赤?〃=(),所以MN〃平面OCD

所以直線MN與平面OCD的距離為a=加3=人.

\n\V22

(2)由(1)知MN〃平面OCD.

因為福=(-2,0,0),所以赤?"=(),所以〃平面0CD

歸為MNCNR=N,MNu平面MNR,NRu平面MNR,所以平面MNR〃平面OCD則平面

MNR與平面OCD的距離為d2=與0=之=也.

\n\V22

A反思感悟

平面的平行線到平面的距離以及兩平行平面間的距離都可以轉(zhuǎn)化為點到平面的距離.

多維訓(xùn)練.

1.若正方體A8CD4B1C1O1的棱長為2,則4A到平面的距離為()

A.V2B.2

C.電D./

22

A解析：由正方體的性質(zhì)可知，A3〃平面BiOiDB,4A到平面8Q1D8的距離就是點4

到平面81D1DB的距離.連接4G,交SA于點01(圖略)，4。1的長即為所求.由題意可

得AiOi=；4cl=V2.

2.如圖,正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長為4,M,N,E,2分別為40,2同,CM,81cl

的中點，則平面AMN與平面EFBD間的距離為

g解析：以。為原點，DA,DC,所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

則4(4,0,0),M(2,0,4),0(0,0,0),2(4,4,0),E(0,2,4),FQ,4,4),N(4,2,

4),所以麗=(2,2,0),礪=(2,2,0),翔=(—2,0,4),麗=(—2,0,4),

所以而=麗，BF=AM,所以EF〃MN,BF//AM.

因為EFCBF=F,MNCAM=M,所以平面AAfN〃平面EFBD

所以平面到平面EFBD的距離就是點B到平面AMN的距離.

設(shè)平面AMN的法向量為“=（尤，y,z）,

（n-MN=O,“,（2x+2y=0,

則n—,所以?

I"?/■=（）,（―2x+4==0.

取z=l,則x=2,y——2,所以〃=（2,—2,1）是平面AMN的一個法向量.

因為方=（0,4,0）,所以平面AMN與平面￡尸8。的距離/='亨=*

課時質(zhì)量評價（三十八）

愛考點鞏固

1.已知棱長為1的正方體ABCDAiBiCid，則平面ASC與平面AC。之間的距離為（）

A-?B.f

C.苧D.f

B解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4（1，0,0）,C（0,1,0）,D（0,0,1）,z（l,0,1）,

所以兩=（i,o,-1）,西=（o,1,-1）,2D=（-I,O,0）.

（--->--

設(shè)平面AiG。的法向量為帆=（%,y,z）,則t'所以x—z—0,

ag=o,

取1=1,則y=l,z=l,所以帆=（1,1,1）為平面A1GZ）的一個法向量.

顯然平面A5C〃平面AiCiD,

所以平面ABiC與平面AiQD之間的距離

\m：\〃"=WV3=￡3

2.（數(shù)學(xué)與文化）（2024?滁州模擬）《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其

一為陽馬，一為鱉膈.陽馬居二，鱉席居一，不易之率也.合兩鱉腌三而一，驗之以基，其

形露矣.”文中“陽馬”是底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐.在陽馬

P-ABCD中,側(cè)棱熱，底面ABCD,且融=1,A8=AO=2,則點A到平面PBD的距離為（）

B解析：如圖，連接8。，取8。的中點E,連接PE因為A8C。為長方形，AB=AD=2,

所以B￡)=2VI因為E4_L平面ABCD,AB,A￡)u平面ABC。，所以B4_LAB,PALAD,所

以PB=7PA「AB，=?PD=7P￡+AD=正.所以PE上BD,PE=JPU—臺點=&.設(shè)點A

到平面P8O的距離為/?,則三棱錐尸-48。的體積為:乂皿?必=；SAPB*?，即有:X；x2x2xl=

-X-x2V2xV3Xh>所以/z=f.

3.在長方體ABCZX415CQ1中，A4i=AB=2,AD^l,點、F,G分別是AB,CG的中點,

則△AGP的面積為（）

B解析：以。為原點，DA,DC,所在直線分別為無軸、y軸、z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系（圖略）,

則。1（0,0,2）,G（0,2,1）,F（l,1,0）,

所以西=（—1,-1,2）,同=（—1,1,1）,

所以點。1到直線GF的距離1=:兩『-二:G=16—（舒=半.

又「G|=6,所以SA“GF=JXV^X￥=孚.

4.（多選題）在棱長為3的正方體ABCDAiBiGOi中，點尸在棱OC上運動（不與頂點重合）,

則點B到平面AGP的距離可以是（）

\D\

，;節(jié)

V3

V5

CD解析：如圖，以。為原點，DA,DC,DDi所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，

B

則0(0,0,0),A(3,0,0),3(3,3,0),Z)i(0,0,3).設(shè)尸(0,t,0)(0<Z<3),

所以N=(—3,t,0),苑=(—3,0,3),方=(0,3,0).

設(shè)平面的法向量為〃=(X,y,z),

(n-AP=O化3x+W=0,

則n}—>f所以

I”?/￡)]=(),〔—3x+3z=0.

取y=3,則％=/,z=t,所以〃=(/,3,。為平面A￡)i尸的一個法向量.

所以點8到平面ADrP的距離為1=嶼半=

\n\J2/+9

因為0<r<3,所以點8到平面AGP的距離的取值范圍是(6,3).

5.已知兩平行平面a,￡分別經(jīng)過點。(0,0,0)和點A(2,1,1),且兩平面的一個法向量

為“=(—1,0,1),則這兩個平面間的距離是.

V解析：因為兩平行平面a,￡分別經(jīng)過點0(0,0,0)和點A(2,1,1),04=(2,1,1),

且兩平面的一個法向量為"=(—1,0,1),所以這兩個平面間的距離]=里11=12/+I|=9.

\n\V22

6.如圖，在長方體ABCD-AiBCiOi中，AB=AAi=2,AD=\,E為CCi的中點，則異面直

線與AE之間的距離為

蜉解析：以。為原點，DA,DC,所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，則4(1,0,0),B(l,2,0),C(0,2,0),CAO,2,2),E0,2,1,所以

AE=(~1,2,1),刷=(—1,

設(shè)3G與AE的公垂線的方向向量為"=(x,y,z),

n-AE=0,?—x+2y+z=0,

則—>所以

n?BCi=0,—x+2z=0.

取z=l,則x=2,所以〃=(2,r1BCi與AE的公垂線的一■個方向向量.

又因為方=(0,2,0),

7.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-AIiGDi中，E為線段481的中點，尸為線段AB的

中點.

EBy

⑴求點2到直線ACi的距離；

(2)求直線FC到平面AEG的距離.

解：(1)以。1為原點，DiAi，DiCr，。。所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，

G

\--1/

XEB,

則A(l,0,1),8(1,1,1),C(0,1,1),G(0,1,0),E(l,p0),F(l,1),

所以羽=(0,1,0),而=(—1,1,-1),R=(0,:,—1),EC=(-1,g,0),

FC=(-1,p0),AF=(0,p0).

取〃=方=(0,1,0),u=-=；=

陷|

則點8到直線AG的距離為卜-L=J1-j=y.

(2)因為定=南=(—1,；,0),

所以FC//EQ,而FCQ平面AECi,ECiu平面AECi,

所以FC〃平面AEG，

所以點尸到平面AECi的距離即為直線FC到平面AECi的距離.

設(shè)平面AEG的法向量為〃=(%,y,z),

,fn-Z&=0,“、一z=0,

則|__>所以｛2

=

\n-EC1=0,—x+-y0.

取z=l,則％=1,y=2,所以〃=(1,2,1)為平面AEG的一個法向量.

又因為N=(o,1,o),

所以點F到平面AECi的距離為埠川=—,即直線FC到平面AECi的距離為"

\n\66

多高考培優(yōu)

8.如圖，四棱錐P-ABC。的底面是邊長為2的正方形，B4_L平面且B4=4,M是

P8上的一個動點(不含端點)，過點M作平面a〃平面B4。，截棱錐所得截面的面積為》若

平面a與平面之間的距離為x,則函數(shù)y=/(x)的圖象是()

C解析：如圖1,過點M■作交AB于點N,則MN_L平面A8CD,過點N作N。

//AD,交C。于點Q,過點。作Q”〃P。，交PC于點H,連接MH,則平面MN?！笔撬?/p>

作的平面a.

因為MN_L平面4BCZ),平面MNQH〃平面膽。，所以平面MNQH與平面抬。之間的距離

2-xMN

x—AN,MNQH為直角梯形，所以y=S標(biāo)衫"N2H.由題意得,解得MN=4—2x.

24

由反?！ㄊ５煤?穿，即冷=黑，解得。8=石(2—x).

CDPD22V5

圖2

如圖，過點H作HE±NQ,則HE=MN.

在RtAHEQ中，EQ=6/—HE=2~X,

所以NE=2—(2—x)=x,所以MH=x.

2

所以y=/(x)=G+2),W=—X+4(O<X<2).

所以函數(shù)y=/(x)的圖象如圖2所示.故選C.

9.如圖，已知四棱錐尸-A3co的底面A8CO是邊長為4的菱形，且/。48=馬PO_L底面

ABCD.若點D到平面PAC的距離為0,則PD=()

A.2V2B.V2

C.1D.2

D解析：設(shè)E為3C的中點，連接DE,因為底面ABC。是邊長為4的菱形，且

所以。E_L8C,而AD〃BC,所以_LZM.

以。為原點，D4,DE,。尸所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系.

設(shè)尸。=〃(。>0),則。(0,0,0),尸(0,0,a),A(4,0,0),C(—2,26，0),

所以百=(4,0,-a),就=(—6,2V3,0),畝=(4,0,0).

設(shè)平面B4c的法向量為〃=(x,y,Z),

,(n-B4=0,?(4x—qz=0,門

則｛—,所以<___取]=〃，則z=4,

kn-AC=0,I—6x+2?^=0.

所以〃=(Q,y[3a,4)為平面必。的一個法向量.

設(shè)點。到平面9C的距離為d,所以」=94@=7上==6,解得0=2(負值舍去).

l?lV4a2+16

10.(多選題)已知正方體ABCn-AiBiGDi的棱長為2,E為441的中點，平面a過8,G，E

三點，下列說法正確的是()

A.C。與平面a平行

B.平面AIiCD與平面a垂直

C.平面a截正方體所得截面的面積為手

D.正方體的頂點到平面a距離的最大值為七

BC解析：因為平面a過8,G，E三點，所以4?與平面a相交.因為CO〃AB,所以

C。與平面a不可能平行，故A錯誤.

因為在正方體中，CD_L平面BCCiS，BCiu平面BCC/i，所以CD±BCi.又因為BiCIBCi，

BiCnCZ)=C,BiC,C￡)U平面481CD所以8G_L平面4SCD因為BGu平面a,故平

面A15C。與平面a垂直，故B正確.

如圖，平面a截正方體所得截面為等腰梯形EFCiB,其中尸是Ad的中點，EF=y[2,BC

1

=2V2,計算得梯形EPCiB的高為子，所以梯形EFGB的面積為:x(虎+26)x￥=g,故

C正確.

以。為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則E(2,0,1),3(2,2,0),Ci(0,2,2),

D(0,0,0),所以尿=(0,-2,1),BC=(~2,0,2),DB=(2,2,0).

設(shè)平面BEG的法向量為/n=(x,y,z),則卜竺°,所以12"°,

=0,