江蘇省南京市、鹽城市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

江蘇省南京市、鹽城市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知全集。與集合a2的關(guān)系如圖，則圖中陰影部分所表示的集合為()

A.A^BB.NUa5C.D.3U&/

2.復(fù)數(shù)z滿足(1-丁2=1+1,(i為虛數(shù)單位)，貝曲|

3.等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知$3=出+5%,%=4,則4=()

11?1

A.-B.——C.-D.——

4422

4.德國天文學(xué)家約翰尼斯開普勒根據(jù)丹麥天文學(xué)家第谷布拉赫等人的觀測資料和星表,

通過本人的觀測和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運(yùn)動第三定律一一

繞以太陽為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長。與公轉(zhuǎn)周期7有

如下關(guān)系：T=-^-a\其中M為太陽質(zhì)量，G為引力常量.已知火星的公轉(zhuǎn)周期

yJGM

約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長半軸長約為水星的()

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

5.關(guān)于函數(shù)/(x)=/sin(0x+e)(A>0,?>0,0<?若)，有下列四個(gè)說法：

①/(x)的最大值為3

②/(x)的圖像可由》=3sinx的圖像平移得到

③/(x)的圖像上相鄰兩個(gè)對稱中心間的距離為］

?f(x)的圖像關(guān)于直線x=f對稱

若有且僅有一個(gè)說法是錯(cuò)誤的，則/()

A.普

6.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓及■：@一1)2+(>-2)2=4與工軸切于點(diǎn)人，直線x-傷+2百=0

試卷第1頁，共4頁

交圓河于3,C兩點(diǎn)，其中B在第二象限，則次.前=()

AV15036「V15「3A/5

4422

7.在棱長為2ag>0)的正方體A8CD-4耳G2中，點(diǎn)”，N分別為棱0G的中

點(diǎn).已知動點(diǎn)尸在該正方體的表面上，且西.麗=0，則點(diǎn)尸的軌跡長度為()

A.12aB.12兀QC.24。D.24兀。

8.用min{x,y}表示x,了中的最小數(shù).已知函數(shù)/(x)=j,則min{〃x)J(x+ln2)}

的最大值為()

A.B.—C.——D.In2

e2e2

二、多選題

9.已知尤jeR,且12、=3,⑵=4，貝1K)

A.y>xB.x+y>l

C.xy<—D.<V2

10.有〃(〃eN*,"N10)個(gè)編號分別為1,2,3,〃的盒子，1號盒子中有2個(gè)

白球和1個(gè)黑球，其余盒子中均有1個(gè)白球和1個(gè)黑球.現(xiàn)從1號盒子任取一球放入2

號盒子；再從2號盒子任取一球放入3號盒子；…；以此類推，記“從i號盒子取出的球

是白球”為事件43=1，2,3,〃),則()

14

A.尸(44)=§B-尸(4=w

71

c.尸(4+4)=§D.P(4)=5

11.已知拋物線￡：f=4y的焦點(diǎn)為凡過尸的直線4交￡于點(diǎn)/(%,必)，B(x2,y2),

E在8處的切線為4,過/作與4平行的直線4,交E于另一點(diǎn)。(尤3，%)，記4與V軸

的交點(diǎn)為。，貝U()

A.yxy2=1B.x{+x3=3x2

C.AF=DFD."BC面積的最小值為16

三、填空題

12.展開式的常數(shù)項(xiàng)為

試卷第2頁，共4頁

22

13.設(shè)雙曲線C：\-4=l(a>0,6>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為凡過?作一條漸近線的垂線,

ab

垂足為瓦若線段骸的中點(diǎn)在。上，則。的離心率為.

14.已知a,/?^［。為)且sina-sin/?=-g,cosa-cos/?=；,貝|

tani+tan/?=.

四、解答題

15.在“SC中,sin(5-4)+行sin4=sinC.

⑴求5的大??；

____JT

(2)延長8c至點(diǎn)使得2就=心祝.^ZCAM=-,求/A4c的大小.

16.如圖，己知四棱臺/BCD-44GA的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形,

平面44QQ1平面/BCD,//=2。=而，點(diǎn)尸是棱。A的中點(diǎn)，點(diǎn)。在棱3c

上.

(1)若BQ=30C,證明：尸?！ㄆ矫?4；

(2)若二面角尸的正弦值為餐，求3。的長.

17.已知某種機(jī)器的電源電壓。(單位V)服從正態(tài)分布N(220,202).其電壓通常有

3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V?240V之間③超過240V.在上述三種狀態(tài)下,

該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15,0.05,0.2.

(1)求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；

⑵從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取〃(?>2)件，記其中恰有2件不合格品的概率為

P,,,求P?取得最大值時(shí)"的值.

附：若Z?耳〃,〃)，取P(//-cr<Z<〃+cr)=0.68,P(〃-2<T<Z<〃+2CF)=0.95.

22

18.已知橢圓C：?+方=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為尸(1,0),右頂點(diǎn)為/,直線/：I

試卷第3頁，共4頁

與x軸交于點(diǎn)M,且|/叫=4/刊

(1)求C的方程；

(2)3為/上的動點(diǎn)，過8作C的兩條切線，分別交y軸于點(diǎn)P,Q,

①證明：直線2尸，BF,30的斜率成等差數(shù)列；

②ON經(jīng)過8,P,0三點(diǎn)，是否存在點(diǎn)8,使得，NPNQ=9Q°?若存在，求忸叫；若

不存在，請說明理由.

19.已知。>0,函數(shù)〃x)=axsinx+cosox-l,0<x<：.

⑴若“=2,證明：/(x)>0;

(2)若/(x)>0,求。的取值范圍；

(3)設(shè)集合P={a?\an=￡cos西臺u，〃eN*},對于正整數(shù)加，集合2K={x\m<x<1m},

記尸CO”,中元素的個(gè)數(shù)為超，求數(shù)列{九}的通項(xiàng)公式.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.A

【分析】

利用韋恩圖表示的集合運(yùn)算，直接寫出結(jié)果即可.

【詳解】

觀察韋恩圖知，陰影部分在集合/中，不在集合8中，所以所求集合為

故選：A

2.C

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,再求模長即可求解.

【詳解】

1+i1+i（l+i）i11.

由己知得：2=百=五=二^=一］+9，

所以，回=j（一；y+（；）2=日.

故選：C.

3.A

【分析】

把等比數(shù)列｛%｝各項(xiàng)用基本量％和9表示，根據(jù)已知條件列方程即可求解.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為/

由邑=。2+5%,得：％+%+%=。2+5%,

2

即：a3-4%=axq,

所以，［2=4,

又。5=4,所以，=%(02)2=%x42=4,

所以，

故選：A.

4.B

答案第1頁，共20頁

【分析】

根據(jù)已知的公式，由周期的倍數(shù)關(guān)系求出長半軸長的倍數(shù)關(guān)系即可.

【詳解】

設(shè)火星的公轉(zhuǎn)周期為長半軸長為弓，火星的公轉(zhuǎn)周期為（，長半軸長為出，

2%3

4=碎①

4GM

則，1=8＜，且

3

2%加②

4GM

SW：/管=8,

所以，：=4,即：％=4電.

故選：B.

5.D

【分析】

根據(jù)題意，由條件可得②和③相互矛盾，然后分別驗(yàn)證①②④成立時(shí)與①③④成立時(shí)的

結(jié)論，即可得到結(jié)果.

【詳解】

TTTOjr

說法②可得0=1,說法③可得彳=G，則T=兀=一，則0=2,②和③相互矛盾;

22coJ一

jrjr

當(dāng)①②④成立時(shí)，由題意4=3,co=\,—+(p=2kn+—,keZ.

因?yàn)?”,]Tl71

,故左=0,0=:，即/(%)=3sinx+—

6

/jrjr

說法①③④成立時(shí)，由題意4=3,3=2,(p-2kji+—,kEZJ,

9=2左)一.任(0,|^,故不合題意.

故選：D.

6.D

【分析】

先根據(jù)圓的弦長公式求出線段的長度，再求出直線x-回+26=0的傾斜角，即可求

得刀與死的的夾角，進(jìn)而可得出答案.

答案第2頁，共20頁

【詳解】

由題意」(1,0),圓心

河(1,2)至I］直線》一回；+2百=0距離為，

所以叱=2/_：=病,

直線工-?了+2?=0的斜率為出,則其傾斜角為

36

則近與前的的夾角為?，

6

所以刀.灰？=|方卜前jcosE,灰？=lxjf?xg=竽.

故選：D.

7.B

【分析】根據(jù)條件得到尸點(diǎn)軌跡為以"N為直徑的球，進(jìn)而得出點(diǎn)尸的軌跡是六個(gè)半徑為。

的圓，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閮?麗=0,故P點(diǎn)軌跡為以"N為直徑的球，

如圖，易知MN中點(diǎn)即為正方體中心。，球心在每個(gè)面上的射影為面的中心，

設(shè)。在底面/BCD上的射影為0,又正方體的棱長為2a,所以MN=2亞a，

易知。。1="，0}M=a,又動點(diǎn)尸在正方體的表面上運(yùn)動,

所以點(diǎn)P的軌跡是六個(gè)半徑為。的圓，軌跡長度為6*2私=12?！?

8.C

答案第3頁，共20頁

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)研究〃x)=?的單調(diào)性，作出其圖象，根據(jù)圖象平移作出y=/(x+ln2)的圖象,

數(shù)形結(jié)合即可得到答案.

【詳解】???/(加十，.."(x)=(，

根據(jù)導(dǎo)數(shù)易知/(x)在(-雙1)上單調(diào)遞增，在(1,+“)上單調(diào)遞減；

由題意令/(x)=/(x+ln2),即己普，解得x=ln2；

則min{/(x),/(x+ln2)}的最大值為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)處函數(shù)值，為殍.

故選：C.

9.ACD

【分析】

用對數(shù)表示x,小利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)的計(jì)算、基本不等式等即可逐項(xiàng)計(jì)算得到答

案.

【詳解】

,??12'=3,.0=1。8123,同理y=log124,

,.j=logi2X在x>0時(shí)遞增，故N>x,故A正確；

?.?x+y=log]212=l,錯(cuò)誤；

1?1x>0,y>0,；.=',當(dāng)且僅當(dāng)x=V時(shí)等號成立，而x<y,故孫<},

正確；

+6)=x+y+2y[xy=1+2y[xy<2,即人<四,'D正確.

故選：ACD.

10.BC

答案第4頁，共20頁

【分析】

根據(jù)題意，由概率的公式即可判斷AC,由條件概率的公式即可判斷B,由p（4）與尸（4_J

的關(guān)系，即可得到尸（4）=；［l+g］，從而判斷D

【詳解】

對A,P（44）=f7xj?=^4所以A錯(cuò)誤；

,、22115z、尸（44）4

對B,P（4）=fx|+ixi="故P（//4）=+所以B正確；

2547

對C,P（Al+A2）=P（Al）+P（A2）-P（AlA2）=-+---=-,所以C正確；

對D,由題意:尸（4）=*（4T）+；［I-尸（&）］，所以尸（4）-；=!尸（4-）—，

「（4）=|，p（4）-|=|-rr所以尸⑷-9：、出"=">

所以尸（4）=；1i+g］，

則P（&））=；11+JJ，所以D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.ACD

【分析】

A選項(xiàng)，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，設(shè)直線4的方程為>=6+1,聯(lián)立拋物線方程，得到兩

根之積，從而求出M%=1；B選項(xiàng)，求導(dǎo)，得到切線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到

再+$=2xz；C選項(xiàng),求出。（0,必+2）,。下|=%+1,結(jié)合焦半徑公式求出|/下|=弘+1,C

正確；D選項(xiàng)，作出輔助線，結(jié)合B選項(xiàng)，得到S/BC=2S〃BM，表達(dá)出S△皿，利用基本

不等式求出最小值，從而得到。8C面積最小值.

【詳解】

A選項(xiàng)，由題意得尸（0」），準(zhǔn)線方程為了=-1,

直線4的斜率存在，故設(shè)直線4的方程為y=b+l,

聯(lián)立x2=4y,得/一414=0,xtx2=-4,故%％=4x；x；=l,A正確；

答案第5頁，共20頁

B選項(xiàng)，/=gx,直線4的斜率為;馬，故直線4的方程為Pf=￡（x-xJ,

即夕=三工+弘+2,聯(lián)立/=4了，得/-2尤2x-2（H+2）=0,故網(wǎng)+毛=2工2，

所以B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，由直線。的方程令x=0得了=/（一玉）+乂，

又再迎=一4,所以了=必+2,

故仇0,%+2）,故口口|=M+1,

又由焦半徑公式得|/尸|=必+1,所以C正確；

D選項(xiàng)，不妨設(shè)再＜/，過8向4作垂線交4于M，

根據(jù)B選項(xiàng)知，再+七=2X2,

故S.ABC=2sAABM,

根據(jù)直線4的方程y-必=字（》-西），

22

x+

當(dāng)工二12時(shí)，y=-Y（^2~dy[=￡+y一手_二5~+必+2，

故M（工2，1+凹+2,

x2再2x2空+2」1+?

故忸MJ71+2-%=22

TH44x：4(xj

1(44丫

］士+二|-|^+―

再X"

當(dāng)且僅當(dāng)X|=一,即再=2時(shí)，等號成立,

再

答案第6頁，共20頁

故AABC的面積最小值為16,D正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：

(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決

(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，

再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍.

12.15

【分析】

利用二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式求解.

【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為加=或針[-5：=(-1)?4匕

令6-3左=0,解得左=2,

所以常數(shù)項(xiàng)為“=屋=15,

故答案為：15.

13.V2

【分析】

由直線E尸與漸近線方程聯(lián)立求出E的坐標(biāo)，代入雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出離心率.

【詳解】

b

)=一"'2h

直線即與漸近線方程聯(lián)立得a解得乙=幺，yE=—,

a(\cc

y=--^-c),

,.S一一、r(/+。2Clb]

??,EF中點(diǎn)M的坐標(biāo)為——,

I2c2c)

又M點(diǎn)在雙曲線上，代入其標(biāo)準(zhǔn)方程，得()+一)工=i，

4a2c24c2

化簡得c2=2a2,：.e1=2,e-V2.

故答案為：V2.

14.52

33

【分析】

答案第7頁，共20頁

IT

變形后得到sina+cosa=sin/?+cosp,利用輔助角公式得到a+尸="得到

13、

sina-cosa,兩邊平方后得到sinacosa=^,利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出

28

c18

tan+tan/>=--------------=—.

sinacosa3

【詳解】

由題可知sincr-sin/?=-cosa+cos4,所以sina+coscr=sin/?+cos/7,

所以也5由（二+：）=行51111/7+：）,

因?yàn)樗詀+*"!，/?+'eg,力

-r—?cLLtvt兀C兀I?c兀

又aw尸，所以。+:+尸+：=兀，故&+/?=「，

442

所以sina—sin夕=sina-cos6if=-—,

一’13

兩邊平方后得sin2a-2sinacosa+cos2a=—,故sinacosa=一,

48

八1sin。cosa18

tana+tan//=tana+-------=---------1--------=--------------=—.

tanacosasinasinacosa3

o

故答案為：—

71

15.⑴8=“

（2）NB/C=2或2.

71212

【分析】（1）由sinC=sin（/+8）,代入已知等式中，利用兩角和與差的正弦公式化簡得

cos5=——，可得5的大?。?/p>

2

（2）設(shè)BC=x,/BAC=e,在和△4CM中，由正弦定理表示邊角關(guān)系，化簡求

NA4。的大小.

【詳解】（1）在A^8C中，A+B+C=TI,所以sinC=sin（Z+5）.

因?yàn)閟in（5-/）+亞sinZ=sinC,所以sin（5-/）+V^sin/=sin（4+8）,

BPsinBcosA-cos5sin/+/sinZ=sinBcosA+cosBsinA

化簡得J^sin/=2cosBsin/.

因?yàn)?￡（。,兀），所以sin/lwO,cosB=.

答案第8頁，共20頁

TT

因?yàn)?<8<兀，所以8=—.

4

⑵法1：設(shè)5C=x,ABAC=0,貝ljCM=2x.

Ji

由(1)知5=—,又/CAM=—,所以在中，Z.AMC=--6.

442

4C

BCAC

在。5c中，由正弦定理得，即sin3sin工①，

sinABACsin5

2x

CMAC

在△/CM中，由正弦定理得，lPsin-

sinZCAMsinM

4

V2

①+②，得2,即2sin6cose=:，所以sin26=2.

zsinU7222

因?yàn)?/0,當(dāng)，2ejo,汩，所以20=2或與，故6*或泮

V4766"12

法2：設(shè)8C=x,則CM=2x,BM=3x.

所以所因此含=黑

所以4/2=9,CN=6X2,AM=46X.

3x_V6x

BMAM

在△力?河中，由正弦定理得即sinZR4M-V2，

sinZBAMsin5

V

化簡得sin/AW=@.

2

因?yàn)橐玻?所以48/〃=巴或四,ABAC=ABAM--,

k4J334

故4/C=A或3

16.(1)證明見解析;

(2)1.

【分析】

答案第9頁，共20頁

(1)取441的中點(diǎn)初，先證明四邊形"I"。是平行四邊形得到線線平行，再由線面平行性

質(zhì)定理可得；

(2)法一：應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得到線面垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用共線條件

設(shè)西=X而(0<2<1),利用向量加減法幾何意義表示所需向量的坐標(biāo)，再由法向量方法

表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空間直角坐標(biāo)系后，直接設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)

0(4,Z,O)(-l<f<3),進(jìn)而表示所需向量坐標(biāo)求解兩平面的法向量及夾角，建立方程求解入

法三：一作二證三求，設(shè)80=M()4X44),利用面面垂直性質(zhì)定理，作輔助線作角，先證

明所作角即為二面角的平面角，再利用已知條件解三角形建立方程求解可得.

【詳解】(1)證明：取441的中點(diǎn)/，連接MP,MB.

在四棱臺/geo-44GA中，四邊形是梯形，44=2,AD=4,

AD-L-AD

又點(diǎn)M,尸分別是棱9。的中點(diǎn)，所以且曾=4；=3.

在正方形/3CD中，BC//AD,8c=4,又BQ=3QC,所以8。=3.

從而M尸〃50且〃尸=20,所以四邊形2Mp。是平行四邊形，所以尸?！∕3.

又因?yàn)锳ffiu平面耳4，尸。U平面所以尸?！ㄆ矫?8耳4；

(2)在平面44a。中，作4。，40于。.

因?yàn)槠矫?4。。，平面48CD,平面44QOc平面48cz>=4D,Afi±AD,/Qu平面

AAXD｛D,

所以4。，平面/BCD.

在正方形4BCD中，過。作N2的平行線交2。于點(diǎn)N,則CW_L0D.

以｛麗，礪，兩｝為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

答案第10頁，共20頁

因?yàn)樗倪呅?4。。是等腰梯形，44=2,34,所以/。=1,又4/=。。=而，所

以40=4.

易得2（4,-1,0）,Z＞（0,3,0）,C（4,3,0）,A（0,2,4）,Plo,|,2j,所以皮=（4,0,0）,

法1：設(shè)函=4怎=（0,-4/1,0）（04241）,所以殖=皮+西=（4,一440）.

m-DP=0—y+2z—0/、

設(shè)平面PD0的法向量為玩=（x,y,z）,由＜，得2尸，取應(yīng)=（4彳,4,1）,

m?DO=04x-4Ay=0

另取平面DCQ的一個(gè)法向量為反=（0,0,1）.

設(shè)二面角尸-0D-C的平面角為仇由題意得|cosq=Jl-sin26=與.

，26

\m'n\11_1

又|cosq=|cosm,H|=

阿,同7（42）2+17’所以而莎7二忘'

33

解得4=±二（舍負(fù)），因止匕CQ=：x4=3,BQ=\.

44

所以當(dāng)二面角尸-紗-C的正弦值為旭時(shí)，20的長為1.

26

法2：設(shè)。（4/⑼（―1?區(qū)3）,所以而=（4,"3,0）.

「一[1

/、m?DP=0—y+2z=0

設(shè)平面PD0的法向量為玩=（x,y,z）,由＜_.，得|2，，取

[m-DQ=0[4x+?-3）y=0

=（3-Z,4,l）,

另取平面DCQ的一個(gè)法向量為方=（0,0,1）.

設(shè)二面角尸-0D-C的平面角為仇由題意得|cos《=a-sin?6=￡

726

答案第11頁，共20頁

又必砰…,小品;而入,所以;F二二看'

解得:0或6（舍），因此8。=1.

所以當(dāng)二面角尸-8-C的正弦值為阻時(shí)，8。的長為1.

法3：在平面4/0。中，作PH_L4D,垂足為

因?yàn)槠矫?40,，平面48CD,平面44DAPI平面/8CZ）=Z。，PH1AD,PHu平面

A]ADD],

所以尸HL平面/BCQ,又。。u平面/BCQ,所以尸H，。。.

在平面N8CD中，作垂足為G,連接尸G.

因?yàn)槭琀G±DQ,PHCHG=H,PH,HGu平面P〃G,

所以。01平面尸HG,又尸Gu平面尸HG,所以。。，尸G.

因?yàn)椤℅，。。，PG1DQ,所以/PG〃是二面角「一。。一/的平面角.

在四棱臺/BCD-44aA中，四邊形4〃。。是梯形，

44=2，AD=4,4/=DQ=&7,點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，

所以尸〃=2,DH=g.

設(shè)也=x（OVx<4）,則C0=4-x,吟臚+依-4=6-8x+32,

在中，一X—X4=—X7X^8^+32X//G,從而HG=r.

、222VX2-8X+32

因?yàn)槎娼鞘?QD-C的平面角與二面角P-0。-/的平面角互補(bǔ)，

且二面角P-QD-C的正弦值為空1,所以sinNPGH=二羽，從而tan/PG〃=5.

2626

所以在Rt^PHG中，駕=6-8x+32=5,解得尤=1或x=7（舍）.

HCJ

答案第12頁，共20頁

所以當(dāng)二面角尸-紗-C的正弦值為%區(qū)時(shí)，30的長為1.

26

17.(1)0.09；

⑵〃=22.

【分析】

(1)根據(jù)題意，由正態(tài)分布的概率公式代入計(jì)算，再由全概率公式，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，由二項(xiàng)分布的概率公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)記電壓“不超過200V”、“在200V?240V之間”、“超過240V”分別為事件B,

C,“該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件。.

因?yàn)椤?N(220,206所以尸(/)二尸(UW20O)=l_P(〃一+

P(B)=尸(200<U<240)=尸(〃一b<Z<〃+b)=0.68,

P(C)=P(U>240)=——上------------I=—產(chǎn)=0.16.

所以尸(。)=尸⑷尸⑷4)+尸⑻尸(。5)+P(C)尸(。C)

=0.16x0.15+0.68x0.05+0.16x0.2=0.09,

所以該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率為0.09.

(2)從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取〃件，設(shè)不合格品件數(shù)為X,則X?8(”,0.09),

所以p,=P（X=2）=C>0.91"-4-0.092.

解得24〃<與-.

所以當(dāng)2V時(shí)，pn<p?+l；

當(dāng)"222時(shí),pn>pn+i；所以。22最大.

因此當(dāng)〃=22時(shí)，p”最大.

22

18.⑴土+匕=1

43

(2)①證明見解析；②存在，|W|=V7

【分析】

答案第13頁，共20頁

(1)先求出右頂點(diǎn)。和"的坐標(biāo)，利用題中條件列等式，分類討論計(jì)算得出橢圓的方程;

(2)設(shè)直線的方程為y—=Mx-4),將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，由題意,

將韋達(dá)定理代入可出答案.

【詳解】⑴由右焦點(diǎn)為尸(1,0),得C=l,

因?yàn)閨4四|=4/尸|,所以|4-4="0-1),

若貝l]a-4=a("l),得/_24+4=0,無解，

若。＜4,則4一。=。(°-1),得/=4,所以〃=3,因此。的方程[+:=1.

(2)設(shè)8(4,。，易知過8且與C相切的直線斜率存在，

設(shè)為了—=碎-4),

y-t=后(工一4)

聯(lián)立,消去〉得(3+4/卜2+8左?-4左)x+4?-4左丫-12=0,

143

由A=6僅2“-砌2-4(3+僅2)&?_44-12]=0,得12f-8%+/_3=0,

設(shè)兩條切線8P，80的斜率分別為左，k2,則左+內(nèi)==彳，klk2=^.

12312

①設(shè)BF的斜率為k3,則左3=；1=；，

2/

因?yàn)檎?L=W=2/，所以5PBF,5。的斜率成等差數(shù)列，

W②法1：在y_[=,(K-4)中,令x=0,得力=t-4左—所以尸(0,4左),

同理，得0(0,-4切,所以尸0的中垂線為y=f—2&+占),

易得8P中點(diǎn)為(2,"2幻，所以2P的中垂線為y=-；(x-2)+f-2勺，

答案第14頁，共20頁

V=%—2（左+1左2）

聯(lián)立_"上，_。沙，解得N（2上店+2,/-2（左+七））,

）—（X/J十IK]

IK

所以標(biāo)=（一2%肉_22k2_2勺），NQ=（一2勺右一22k「2kJ,

要使標(biāo)屣=0,即4（桃2+1）2-4（勺-e）2=0,整理得|桃2+1|=歸-目，

所以;^+1=號"解得/=7，/=±5，因此忸叫=療,

故存在符合題意的點(diǎn)3,使得標(biāo)?而=0,此時(shí)忸叫=療.

法2：在yT±%（x—4）中,令x=0,得力=7-4%,因此尸（0J-4%）,

同理可得。（0J-4田，所以尸0的中垂線為了="2（尢+心），

因?yàn)?5中點(diǎn)為（2,"2左），所以2P的中垂線為y=-；（x-2）+f-2勺,

y=t-2(kx+k2)

聯(lián)立,1,小,，，解得知=2先4+2,

y=-----{x-2)+t-2k

[kix^

要使麗?而=0,則/PN0=g,所以風(fēng)卜幽，即|2岫+2|=2歸-周,

22

所以；^+1="^，解得/=7，/=土療，因此忸閭=療,

故存在符合題意的點(diǎn)8,使得標(biāo)?而=o,此時(shí)忸M|=V7.

答案第15頁，共20頁

法3：要使NPNQ=90。，即/尸8。=45?；?35。,

左一左2|二］

從而『的/尸=1,又tanNPBQ=所以

1+左］&1+桃2|

所以與￡=1+彳解得『=7，/=土不，所以忸叫=后,

故存在符合題意的點(diǎn)3,使得而?而=0,此時(shí)忸叫=近.

法4：要使NPNO=90。，即/尸8。=45?；?35。,

BPBQ

從而|cosNP8Q|V2

BP\-\BQ2

在y_（=《（x_4）中，令x=0,得力=（_4左，故尸（0,7_4左）,

同理可得。（0J-4冬）,

因此麗=（一4,一4勺），皿=（一4,-4僅），

JPJQ_16+16^2_V2

所以回@=4而奸-4曲F=W'

故（1+k、k、）=Jl+k；k：+k；+k￡,即2+2k；后+4左色=1+左［傳+k;+k：,

整理得將代+6派2+1=（K+初2，

答案第16頁，共20頁

所以+6,1F+I=（f））整理得〃+2/-63=0,解得"=7或一9（舍去）,

因此r=±J7,忸M|=J7,

故存在符合題意的點(diǎn)3,使得標(biāo)?而=0,此時(shí)忸叫=療.

在）_/=左（尤一4）中，令x=0,得力=/-4左],故P（O/—%）,

同理可得。（0,”能），

由等面積法得瓦|=之9/研.做卜?，

即"缺一4局?4=；?4而行.4y/l+k1■乎，整理得化+初2=k/+6k芯+1,

所以（,：=[+6.23+晨整理得〃+2/-63=0,解得r=7或-9（舍去），

因此/=±5，忸叫=J7,

故存在符合題意的點(diǎn)3,使得而?而=0,此時(shí)忸叫=療.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（七,必）,（孫力）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或了）的一元二次方程，注意△的判斷;

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為項(xiàng)+%、為尤2（或“+%、乂%）的形式;

（5）代入韋達(dá)定理求解.

19.（1）證明見解析;

⑵（0,2];

答案第17頁，共20頁

(3)bm=m.

【分析】

(1)通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求最小值即可證明；

(2)對。的值分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求最小值，判斷能否滿足/(x)>0；

(3)利用(1)中結(jié)論，++通過放縮并用裂項(xiàng)相消法求

弋71-1S兀

>COS——-----,有〃-COS——7-----<?,可得8=m

臺2M左+1)'e￡2左化+1)，J何加.

[詳解】(1)因?yàn)镼=2,所以/(x)=2xsinx+cos2x—l=2(x—sinx)sinx,

兀

0<x<—,2sinx>0.

4

設(shè)g(x)=x-sinx,0<xv：,

則g<x)=1-cosx>0,所以g(x)在上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(O)=O,

因此〃x)>0.

(2)函數(shù)/(x)=axsinx+cosax-l,0<x<^,

方法一：

/'(%)=a(sinx+xcosx-sin(7x),

當(dāng)0<QK2時(shí)，

71

注意到0<oxW2X<—,故sin辦<sin2x,

2

因止匕/'(%)2。(sinx+xcosx-sin2x)=a[sirtr(1-cosx)+(x—sinx)cosx],

由(1)得x-sinx>0,因止匕

所以/(X)在(o,[上單調(diào)遞增，從而〃x)>〃o)=o,滿足題意；

當(dāng)a>2時(shí)，令〃(%)=/<x)=a(sinjr+xcosx-sinax),

=a(2cosx-xsinx-acosax)<a(2-acosax)=a11--cosax|,

答案第18頁，共20頁

因?yàn)?<2<1,所以存在aee(0，M，使得cosaO=2,

a<2ja

則當(dāng)xe(0,6)時(shí)，axG(Q,a0),”(x)</仔