高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第三周-每日一練【含答案】

第三周

［周一］

（2—i

1.（2023?長(zhǎng)春模擬）已知aGR,i為虛數(shù)單位，若彳為實(shí)數(shù)，則“等于（

A.—3BqC.3D.—

答案A

解析因?yàn)?/p>

3+1(3+1)(3—1)

3a—1—(o+3)i3〃-1〃+3

=io=io—ioi為實(shí)數(shù),

則一—0,即"+3=0,所以〃=-3.

2.(2023?青島模擬)已知函數(shù)於)=丁一垢%,若?！?0,若)『/((cos"嗎,

Z?=X(sin時(shí)嗎,

C=—/(一，，則〃，b，c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>a>b

答案A

解析因?yàn)锳—x)=(-x)3—^sin(—x)

——(x3—^sinj=—fix),

所以/U)在R上是奇函數(shù).

所以c=—/(—0=/g),

對(duì)Ax)=爐—2s^n%求導(dǎo)得，

f(x)=3x2—^cosx,

人71

令g(%)=3/—]cosx,

則g'(x)=6x+^sinx,

當(dāng)]<x<l時(shí),g'(x)>0,

所以g(x)在g,1)上單調(diào)遞增，

則當(dāng)如<1時(shí)，g(尤)>g@)=dcos3>,一品1>0,即/(x)>0,

所以40在G，1)上單調(diào)遞增.

因?yàn)閛e(o,吉)，

所以cos分,>sin0,

因?yàn)閥=xsin(o<sin在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以(cos。嚴(yán)%⑤口夕產(chǎn)叫

令〃(%)=xlnx+ln2,則1(x)=lnx+1,

所以當(dāng)0<x<(時(shí)，h'(x)<0,/z(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，h'(%)>0,/z(x)單調(diào)遞增.

所以^+In2=ln2—p

1

而2e>e,即2>ee,

所以In2>~,即In2—^>0.

所以xlnx>—In2,即當(dāng)，

貝|(sin0)sine>2,

所以(cos6)sine>(sine)sin%；且(cos。嚴(yán)。<1,

所以犬(COSe)sin今次(sin。嚴(yán)與習(xí)⑤，

即a>b>c.

3.(多選)(2023?錦州模擬)如果有限數(shù)列｛匾｝滿足的=加計(jì)&=1,2,…，〃)，則稱其為“對(duì)稱

數(shù)列”，設(shè)｛仇｝是項(xiàng)數(shù)為2k—l(kN*)的“對(duì)稱數(shù)列"，其中bk,"+i，…，歷hi是首項(xiàng)為

50,公差為一4的等差數(shù)列，貝!]()

A.若左=10,則%=10

B.若k=10,則｛6“｝所有項(xiàng)的和為590

C.當(dāng)人=13時(shí)，｛兒｝所有項(xiàng)的和最大

D.｛勿｝所有項(xiàng)的和可能為0

答案BC

解析｛勿｝的和S2i=504一七一X4X2—50

=-4^+104^-50=—4(Z—13＞+626,

對(duì)于選項(xiàng)A,%=10,則61=619=50—4X9=14,

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,左=10,則所有項(xiàng)的和為一4X9+626=590,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,｛久｝的和S2kl=-4(4—13)2+626,當(dāng)左=13時(shí)，和最大，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,S2*T=—4研+104左一50=0,方程無(wú)正整數(shù)解，故D錯(cuò)誤.

4.(2023?大連模擬)甲、乙、丙三人每次從寫(xiě)有整數(shù)加，n,網(wǎng)0＜加＜“＜身的三張卡片中各摸出

一張，并按卡片上的數(shù)字取出相同數(shù)目的石子，放回卡片算做完一次游戲，然后再繼續(xù)進(jìn)行,

當(dāng)他們做了N(NN2)次游戲后，甲有22粒石子，乙有9粒石子，丙有9粒石子，并且知道最

后一次丙摸的是％,那么N=.

答案5

解析N次游戲所取卡片數(shù)字總和為N(%+“+?=22+9+9=40,

又?"+"+左21+2+3=6,且》?+"+左為40的因數(shù)，所以(〃z+〃+A)miii=8,且N=2,4,5.

當(dāng)N=2時(shí)，m+n+k=20,因?yàn)楸?粒石子，則kW8,所以甲得石子數(shù)小于16,不符合

題意；

當(dāng)N=4時(shí)，%+〃+4=10,因?yàn)楸?粒石子，則上W6,為了使甲獲得石子數(shù)最多，k=6,

m=l,n=3,此時(shí)甲最多得21粒石子，不符合題意；

當(dāng)N=5時(shí)，優(yōu)+〃+左=8,因?yàn)楸?粒石子，則ZW5,為了使甲獲得石子數(shù)最多，k=5,

m=19n—2,

此時(shí)甲最多得22粒石子，甲、乙、丙三人每次得石子數(shù)如表所示,

第1次第2次第3次第4次第5次

甲55552

乙22221

丙11115

故做了5次游戲，N=5.

5.(2023?大連模擬)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知6c(1+cosA)=4/.

(1)證明：b+c=3a；

7

(2)若Q=2,cosA=g,角B的角平分線與邊AC交于點(diǎn)O,求5。的長(zhǎng).

⑴證明因?yàn)閆?c(l+cosA)=4a2,

所以—詆~

所以bc+2=4〃2,

即（/?+C）2=9〃2,所以b+c=3a.

⑵解如圖，由余弦定理得層=/+廿―2bccosA,

7

即22=b2+c2-2bc^

14

=(Z?+c)2—2bc—~gbc,

Z?+c=3〃=6,

所以Z?c=9,b=c=3,

由角平分線定理可得An緇=4笨n=永a

nCZ

39

所以40=5X3=5,

在△ABD中,由余弦定理得8O2=［1）2+32—2X￡X3X,,所以3。=半.

［周二］

1.（2023?婁底模擬）某地春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)以“歡樂(lè)中國(guó)年”為主題，突出時(shí)代性、人民性、創(chuàng)新

性，節(jié)目?jī)?nèi)容豐富多彩，呈現(xiàn)形式新穎多樣.某小區(qū)的5個(gè)家庭買了8張連號(hào)的門票，其中

甲家庭需要3張連號(hào)的門票，乙家庭需要2張連號(hào)的門票，剩余的3張隨機(jī)分到剩余的3個(gè)

家庭即可，則這8張門票不同的分配方法的種數(shù)為（）

A.48B.72C.120D.240

答案C

解析若甲、乙2個(gè)家庭的5張票連號(hào)，則有A1=48（種）不同的分配方法，

若甲、乙2個(gè)家庭的5張票不連號(hào)，則有ASA3=72（種）不同的分配方法，

綜上，這8張門票共有48+72=120（種）不同的分配方法.

2.（2023?保山模擬）折紙藝術(shù)起源于中國(guó).折紙藝術(shù)是用一張完整的紙用折疊的方法而成就的

各種人物、動(dòng)物或草木的形態(tài)的方法.折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教

具，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)，成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支，是一項(xiàng)具有藝術(shù)性的思維活動(dòng).現(xiàn)

有一張半徑為6,圓心為。的圓形紙片，在圓內(nèi)選定一點(diǎn)P且|。月=4,將圓翻折一角，使圓

周正好過(guò)點(diǎn)P,把紙片展開(kāi)，并留下一條折痕，折痕上到。，尸兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)為M,

如此反復(fù)，就能得到越來(lái)越多的折痕，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C,在C上任取一點(diǎn)Q,則△QOP

面積的最大值是（）

A.2小B.2市

C.2事D.4

答案B

解析如圖所示，設(shè)折痕為直線/,點(diǎn)尸與P'關(guān)于折痕對(duì)稱，l^OP'=M,在/上任取一

點(diǎn)B,

由垂直平分線的性質(zhì)可知|尸2|+出0|=忸戶|+|BO|2|OM+|MP|=|0P當(dāng)且僅當(dāng)B

重合時(shí)取等號(hào).

即折痕上到。，尸兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)為且|PM+|MO|=|OP'|=6>|OP|=4.

故M的軌跡是以。，P為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=6的橢圓，焦距2c=|0P|=4,c=2,

故短半軸長(zhǎng)b=市,

所以當(dāng)。為橢圓上（下）頂點(diǎn)時(shí)，△。。尸的面積最大，最大值為3><2c><b=2書(shū).

3.（多選）（2023?湛江模擬）已知尸1,仍分別為雙曲線C：/一g=1（。>0，6>。）的左、右焦點(diǎn)，

點(diǎn)A（xi，竺）為雙曲線C在第一象限的右支上一點(diǎn)，以A為切點(diǎn)作雙曲線C的切線交無(wú)軸于點(diǎn)

3（x2,0）,則下列結(jié)論正確的有（）

A.0<X2<a

B.ZFiAB=ZF?AB

C.x\X2=ab

D.若cosN尸iA/2=］，且尸由=337%則雙曲線。的離心率e=2

則在點(diǎn)A（xi,州）處的切線斜率為

b2

所以在點(diǎn)A（xi,"）處的切線方程為

y_%=S?（x—為），礙-g=i，

化簡(jiǎn)得切線方程為第一步=1,

V1X0

所以茅1,

所以為12=。2,故C錯(cuò)誤;

由即刀2=。2,得X2=~~f

又陽(yáng)>〃，所以0<X2<〃，故A正確;

B（c,0）,0）,

由一F2（C,O）,

22

得|P18|=g+c,逐/2l=C一彳，

I

耳」尸1引尤1十CCXl十/

故兩=一?=cxi-a2）

C——

X1

由%汜1,得針箏F

所以IAF11=N（Xl+c）2+G

=［（X1+C）2+字一萬(wàn)

=71+a.

所以|AF2|=|AF11—2a=宗1—4,

一「I-xi-ha

所以⑷獷。

~axi~a

cxi+6z2|FiB|

cxi—a2\BF^\'

設(shè)點(diǎn)A到％軸的距離為

S

則AAFtB=%引〃

=^\AFi\\AB\sinZFiAB,

^△AF2B=習(xí)&8|"

為sin/尸MB,

$△4月8尸5i||AFi|sinNHA8

==9

飛\F2B\\AF2\sinZF2AB

^AAF2B

\AFj\_\FrB\

^\AF2r\BF2\'

所以NBAB=NF2AB,故B正確;

由上可得同衛(wèi)=普十。，0),

QQ2a2

\AFi\=-x\+a=~X—^~+a=3a9

…—cc、,2a2

|AF2|=-X1—6Z="X——?=6Z,

所以

222

/…|AF1|+|AF2|-|F1F2|

COSZFIAF2-2|AFI|.|AF2|

222

9cz+a-4c5291

=-67—=廠子=手

解得e=也，故D錯(cuò)誤.

4.（2023?白山模擬）在正四棱錐S—ABC。中，M為SC的中點(diǎn)，過(guò)AM作截面將該四棱錐分

成上、下兩部分，記上、下兩部分的體積分別為％,L，則會(huì)的最大值是_______.

VI

答案2

解析記正四棱錐S—A8C。的體積為匕求號(hào)的最大值，由Vi+V2=V為定值知，只需求

V1

%的最小值,

s

設(shè)過(guò)AM的截面分別交S3和SO于￡；F,平面SAC與平面S3。的交線為SO,SO與AM相

交于G,如圖，

則SG=^SO,令器=%，瑞=%

->■1—?―?1―?1—?

則SG=^(SD+SB)=^SE+^SF,

即有?+?=1,

3x3y

V1=Vs-AFM~^~Vs-AEM—VF-SAM'VVE-SAM

_SFSE、/

SDyD-SAM'SB,

=y；Vo—SAC+4外—SAC

V

=a(%+y)

2

當(dāng)且僅當(dāng)％=y=,時(shí)取等號(hào),

V?V—V]VV

此時(shí)拓=FT=H—iw《一i=2,

3

所蜷的最大值是2.

5.(2023?濟(jì)南模擬)已知數(shù)列｛念｝的前〃項(xiàng)和S〃=2〃+】一2,數(shù)列｛為｝滿足為=log2M

(1)求數(shù)列｛〃〃｝,｛"〃｝的通項(xiàng)公式;

(2)由斯，為構(gòu)成的〃X〃階數(shù)陣如圖所示，求該數(shù)陣中所有項(xiàng)的和4.

(aibi，a\bi，。必3，…，。也\

aib\,a2b2,93,…，aibn

〃3仇，a3b2,a3b3,…，a3bn

Q/i,斯歷,〃滴3，…，anbi/

解(1)因?yàn)?=2篦+1—2,

當(dāng)〃=1時(shí)，SI=22—2=2,即〃i=2,

當(dāng)〃22時(shí)，&-1=2〃-2,

所以S〃T=2〃+1—2—(2〃-2),即斯=2〃，

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)〃=1時(shí)，也成立，

=log2〃〃=n

所以〃〃=2〃，則bn10g22=n.

2(8+b2H------+b2H-------

(2)由數(shù)陣可知Tn=ai(bi+b2~\-----\~bn)~\~。\~bn)~\------an(Jb\\~bn)

=3i+42H-----1-斯)(bi+b2H------\~bn),

因?yàn)镾〃=2〃+i—2,

,,,,,,n(l+n)層+幾

2H-----

仇+b\-bn=l+2-\-------\-n=~~，

九2—|—九

所以G=(2/i—2>-y-=(2"—1)?(層+〃).

［周三］

1.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若A+8=半，a=2小,c=5,貝UsinA

等于()

4332

A弓B號(hào)C，4D，3

答案B

解析因?yàn)锳+8=,,所以C=，,

由正弦定理得一%=—J,即第=工，

sinAsinCsinA.兀

sin3

3

所以sinA=g.

2.已知A,B,尸是直線/上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)。在直線/外，若5>=瘋>+(2加一3)5^(M￡R),

則呼1等于()

\PA\

A.2B.gC.3D.g

答案A

解析VAP=OP-OA,OP^mAP+(2m-3)C^^m(OP-dA)+(2m-3)OB,

整理得(加一1)錚=加%+(3—2%)為，

當(dāng)根=1時(shí)，0=。4+05顯然不成立，故加W1,

—m—,3—2m一

VA,B,尸是直線/上不同的三點(diǎn)，

；.-7+宜胃=1,解得加=2,：.OP=2OA~OB,

m~1m~1

設(shè)防=2摘，2W1,:.OB-OP=^(OA-OP)9

OP-r(9A-：T

A——1Z——1OB,

??.，7=2,解得4=2,即曰=2.

，T兩

3.(多選)(2023?保山模擬)己知函數(shù)/卜+2為奇函數(shù)，g(x)的圖象關(guān)于直線尤對(duì)稱，若於)

+g(%)=sinx,貝女)

A.函數(shù)兀0為奇函數(shù)

B.函數(shù)g(x)的最大值是半

C.函數(shù)段)的圖象關(guān)于直線尤=—熱稱

D.函數(shù)/(x)的最小值為一勺

答案BC

解析因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，

所以/((—4+1)=—/G+]),

令/二始+?則/'停一，=-/?,

即/?！猨=—^x),

由g(x)的圖象關(guān)于直線尸號(hào)對(duì)稱，

可得g停—j=g(x)，

-/U)+g(x)=/■停-j+g停-X)

=sin(^-x),

聯(lián)立fix)+g(x)=sinx,

故函數(shù)/(x)不是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)的最大值是坐，函數(shù)八X)的圖象關(guān)于直線X=一3寸稱，函

數(shù)於)的最小值為一

4.(2023?鞍山質(zhì)檢)冬季兩項(xiàng)是冬奧會(huì)的項(xiàng)目之一，是把越野滑雪和射擊兩種不同特點(diǎn)的競(jìng)賽

項(xiàng)目結(jié)合在一起進(jìn)行的運(yùn)動(dòng)，其中冬季兩項(xiàng)男子個(gè)人賽，選手需要攜帶槍支和20發(fā)子彈，每

滑行4千米射擊1次，共射擊4次，每次5發(fā)子彈，若每有1發(fā)子彈沒(méi)命中，則被罰時(shí)1分

鐘，總用時(shí)最少者獲勝.已知某男選手在一次比賽中共被罰時(shí)3分鐘，假設(shè)其射擊時(shí)每發(fā)子

彈命中的概率都相同，且每發(fā)子彈是否命中相互獨(dú)立，記事件A為其在前兩次射擊中沒(méi)有被

罰時(shí)，事件8為其在第4次射擊中被罰時(shí)2分鐘，那么P(A|8)=.

宏安—

u木3

解析由題意得P(8)=^^,

D/ACgCg

尸網(wǎng)=裔

..P(4|B)—p⑻—C曠?o-3-

5.(2023?延邊模擬)如圖1,在△ABC中，D,￡分別為AB,AC的中點(diǎn)，。為DE的中點(diǎn)，

AB=AC=2p8C=4.將△AOE沿DE翻折到△4OE的位置，使得平面4DE_L平面BCED,

如圖2.

⑴求證：AiOXBD；

(2)求直線AiC和平面A{BD所成角的正弦值;

(3)若點(diǎn)F在AiC上，是否存在點(diǎn)F,使得直線DF和BC所成角的余弦值為華？若存在,

求出策的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑴證明因?yàn)樵凇鰽BC中，D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),

所以DE〃BC,AD=AE.

所以AiD=Ai￡,又。為。E的中點(diǎn)，所以40LOE

因?yàn)槠矫鍭iOE_L平面BCE。，平面AiDECl平面3C￡D=Z)E,且40U平面AQE,

所以4O_L平面BCE。，又BDU平面BCED,

所以AiO_LBD

(2)解取8c的中點(diǎn)G,連接OG,所以O(shè)ELOG.

由⑴得4O_LOE,AiO±OG.

以。為原點(diǎn)，OG,OE,04所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系.

由題意得,4(0,0,2),5(2,-2,0),C(2,2,0),0(0,-1,0).

設(shè)平面48。的法向量為"=(無(wú)，y,z).

n-A1B=Q,(2x—2y—2z—0,

則‘一即

i-y-2z=0.

M-AID—0,

令尤=1,則y=2,z=—1,

所以"=(1,2,—1).

設(shè)直線AC和平面AiBD所成的角為0,

則sind=|cos〈〃，AiC)|=

InllAici

|2+4+2|2A/2

—\1+4+1々4+4+4—3'

故所求角的正弦值為手.

(3)解存在點(diǎn)F符合題意.

設(shè)立=疝乙其中

設(shè)廠(為，y\,zi),

則有Qi,ji,幻-2)=(2九22,-22),

所以為=2九%=2九zi=2-2九

從而F(2A,2九2-22),

所以。尸=(2九2/1+1,2-2/1),

又病=(0,4,0),

所以|cos<5>,病〉尸嚨函

\DF]\BC\

___________4|2%+1|_________

—4K(24+⑼+])2+(2—22)2

V35

一7，

整理得16#—244+9=0,解得力=*所以線段4C上存在點(diǎn)尸符合題意，且笑=*

[周四]

1.（2023?青島模擬）已知全集U=R,A={x|3<x<7},B={x||x-2|<4},則圖中陰影部分表示

的集合為（）

A.{R—2<xW3}B.{x\—2<x<3}

C.{-1,0,1,2)D.{-1,0,1,23)

答案A

解析|無(wú)一2]<40一4<%—2<4=一2a<6,：.B={x\~2<x<6].

則AU8={x|-2a<7},

圖中陰影部分為[（AUB）A={X[—2<xW3}.

2.（2023?郴州、湘潭聯(lián)考）已知圓臺(tái)的上、下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺(tái)的下底

面過(guò)球心，上底面半徑為1,則圓臺(tái)的體積為（）

A.59兀B.5小無(wú)

「7力兀

D.7小兀

。3

答案C

解析設(shè)圓臺(tái)的上底面的圓心為Q,下底面的圓心為。，點(diǎn)A為上底面圓周上任意一點(diǎn)，則

01A=1,

設(shè)圓臺(tái)的高為//,球的半徑為R=0A=2,

則h=00i=qR2—0自2=74—12=小,

所以圓臺(tái)的體積y=g（4兀+#4兀?兀+兀）*<§=7,無(wú)

3.（多選）（2023?白山模擬）某校抽取了某班20名學(xué)生的化學(xué)成績(jī)，并將他們的成績(jī)制成如下

所示的表格.

成績(jī)60657075808590

人數(shù)2335421

下列結(jié)論正確的是（）

A.這20人成績(jī)的眾數(shù)為75

B.這20人成績(jī)的極差為30

C.這20人成績(jī)的25%分位數(shù)為65

D.這20人成績(jī)的平均數(shù)為75

答案AB

解析根據(jù)表格可知，

這20人成績(jī)的眾數(shù)為75,故A正確；

極差為90-60=30,故B正確；

20X25%=5,

所以25%分位數(shù)為3義（65+70）=67.5,故C錯(cuò)誤；

平均數(shù)為

60X2+65X3+70X3+75X5+80X4+85X2+90

----------------------------------------------二

207小4

故D錯(cuò)誤.

4.已知數(shù)列｛斯｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，S〃是它的前〃項(xiàng)和，若〃305=64,且〃5+2〃6

=8,則S6=.

答案126

解析設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛為｝的公比為夕（夕>0）,由〃3。5=64,得屆=俏。5=64,而〃4>0,解得

〃4=89

又〃5+2〃6=8,則〃4夕+244/=8,于是2q2+q—l=0,而q>0,解得。1=3=64,

=126.

5.（2023?大連模擬）國(guó)學(xué)小組有編號(hào)為1,2,3,…，〃的〃位同學(xué)，現(xiàn)在有兩個(gè)選擇題，每人答

對(duì)第一題的概率為多答對(duì)第二題的概率為*每個(gè)同學(xué)的答題過(guò)程都是相互獨(dú)立的，比賽規(guī)

則如下：①按編號(hào)由小到大的順序依次進(jìn)行，第1號(hào)同學(xué)開(kāi)始第1輪出賽，先答第一題；②

若第9=1,2,3,…，〃一1）號(hào)同學(xué)未答對(duì)第一題，則第z?輪比賽失敗，由第i+1號(hào)同學(xué)繼續(xù)

比賽；③若第9=1,2,3,…，w—1）號(hào)同學(xué)答對(duì)第一題，則再答第二題，若該同學(xué)答對(duì)第二題,

則比賽在第，輪結(jié)束；若該同學(xué)未答對(duì)第二題，則第i輪比賽失敗，由第i+1號(hào)同學(xué)繼續(xù)答

第二題，且以后比賽的同學(xué)不答第一題；④若比賽進(jìn)行到了第〃輪，則不管第〃號(hào)同學(xué)答題

情況，比賽結(jié)束.

（1）令隨機(jī)變量X“表示〃名同學(xué)在第X”輪比賽結(jié)束，當(dāng)〃=3時(shí)，求隨機(jī)變量X3的分布列；

（2）若把比賽規(guī)則③改為：若第源=1,2,3,…，〃-1）號(hào)同學(xué)未答對(duì)第二題，則第z?輪比賽失敗,

第i+i號(hào)同學(xué)重新從第一題開(kāi)始作答.令隨機(jī)變量匕表示n名挑戰(zhàn)者在第匕輪比賽結(jié)束.

①求隨機(jī)變量匕（"CN*,”三2）的分布列；

②證明：隨機(jī)變量匕的數(shù)學(xué)期望E（匕）單調(diào)遞增，且小于3.

⑴解由題設(shè)，X3的可能取值為1,2,3,

P（X3=l）=|x|=|,

2111215

P（X3=2）=QX]X]+WX,X]=同，

157

尸（X3=3）=一廠同=加

因此X3的分布列為

X3123

157

P

31818

⑵①解%的可能取值為1,2,…，”，

每位同學(xué)兩題都答對(duì)的概率為p號(hào)2X：11",則答題失敗的概率為1號(hào)2義1；號(hào)2,

J乙。J乙，

所以當(dāng)1,左GN*）時(shí)，

=X；；

當(dāng)匕=〃時(shí)，p（y“="）=停＞—i,

故匕的分布列為

Y?123???n~1n

121?2X3a

PX.??

333停）fw

②證明由①知，E（匕）=ixg+〃住>-i（/z￡N*,〃22）.

k=l'

E（匕+1）—E（匕）=力停>一1義；+5+1）仔）"一〃停>一1=（1>>0,故E（匕）單調(diào)遞增.

又E（Y2）='|,

所以E（匕尸E（Y2）+囪㈤-EG2）］+夙匕）一線⑸］+…+區(qū)匕）一E（匕.1）］,

所以E（%）=|+停）2+酊+…+停卜=|+（3）［1?］=3—2X仔卜<3,

1-3

故E（匕）<￡（匕）<氏以）<3匕）（匕）<3.

［周五］

1.（2023?淄博模擬）已知集合4=32*>1},B={x|lnx>l},則下列集合為空集的是（）

A.AA（CRB）B.（CRA）AB

C.AABD.（（R4）C（［RB）

答案B

解析集合A={x|2*>l}={x|x>0},

集合B={x|lnx>l}={x|x>e},

所以［RA={尤|xW0},［RB={x|x^e},

對(duì)于A,APl（CRB）={x|0<x^e},故選項(xiàng)A不滿足題意；

對(duì)于B,（CRA）HB=0,故選項(xiàng)B滿足題意；

對(duì)于C,ACB={x|x>e},故選項(xiàng)C不滿足題意；

對(duì)于D,（［RA）n（RB）={小W0},故選項(xiàng)D不滿足題意.

2.已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,_/（x+l）為奇函數(shù)，且對(duì)VxGR,兀v+4）=/（—x）恒成立，則下

列選項(xiàng)中不正確的是（）

A.兀v）為偶函數(shù)

B.犬3）=0

c.痣=-/(1)

D.八尤)是以8為周期的函數(shù)

答案D

優(yōu)￥+2)=-/(—J

解析因?yàn)榧?1)為奇函數(shù)，所以八1一x)=-Al+x),故L、〃、

IA2-X)=-/%),

又/(x+4)=/(—X),所以式2+x)=/(2—X),故一八一X)=一兀￥),

所以八一x)=/(x),人尤)為偶函數(shù)，A正確；

/U+1)為奇函數(shù)，

所以犬1)=0,又穴2+無(wú))=,2—尤)，

所以犬3)=/Q)=0,B正確;

/(1)=/(1)，又於)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,。)對(duì)稱，所以/(1)=一/(1)，

C正確;

又式x+4)=大-x)=/U),

所以五x)是以4為周期的函數(shù)，D錯(cuò)誤.

3.(多選X2023?邵陽(yáng)模擬)若函數(shù)段)=2coscox(coscox—sinS:)—1(G>0)的最小正周期為兀,

則()

A.

B.段)在悖詈［上單調(diào)遞增

C.兀0在［0,引內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)

D.式尤)在［―1彳上的值域?yàn)椋郇D1，1］

答案BC

解析/(無(wú))=2cosox(coscox—sincox)—1

=2COS2C9%—2costoxsincox—1

cos2(t>x—sin2cox=y[2cos\2cox-]-~^

由最小正周期為兀，可得兀=2①,解得8=1,

故於)=$cos(2x+J,

對(duì)于A,了(一升班3(-吉+2

=gos導(dǎo)坐,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)xG壬空時(shí)，

y,y。［小2兀）,此時(shí)加）單調(diào)遞增，故B正確;

對(duì)于C,令?r）=Wcos（2x+*=0,

即cos（2%+習(xí)=0,

jrjr

所以2x+w=1+fai,%￡Z,

即%=]+竽,kGZ,

當(dāng)了￡0,了時(shí),

滿足要求的有x=￡5兀9兀13K

OX=~S9

x=R-,故有5個(gè)零點(diǎn)，故C正確;

>.7TJC

對(duì)于D,當(dāng)工仁［一4，工）時(shí)?，

c.兀「「713兀1

2無(wú)十泡一不列,

則cos（2x+§e一乎,1,

故加）引一1,也］,所以D錯(cuò)誤.

4.（2023?齊齊哈爾模擬）一組數(shù)據(jù)由8個(gè)數(shù)組成，將其中一個(gè)數(shù)由4改為2,另一個(gè)數(shù)由6改

為8,其余數(shù)不變，得到新的一組數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)的方差相比原數(shù)據(jù)的方差的增加值為

答案2

解析一個(gè)數(shù)由4改為2,另一個(gè)數(shù)由6改為8,故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)受不變，

設(shè)沒(méi)有改變的6個(gè)數(shù)分別為制，X2,…，X6,

原數(shù)據(jù)的方差

X1+(X2-x)24----|-(X6—x)2+(4—X)2+(6—X)2],

SI=OQ[(X\—

新數(shù)據(jù)的方差/=][(為-x/+(X2—X)2H----F(X6—X)2+(2—X)2+(8—x)2],

o

所以52—51=1[(2—X)2+(8—X)2—(4—X)2—(6—X)2]=2.

o

y[3X2V2

5.（2023?蘇州調(diào)研）已知拋物線y2=a2x的焦點(diǎn)也是禺心率為為-的橢圓了+^=1（。泌＞。）的一

個(gè)隹占F

（1）求拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)尸的直線/交拋物線于A,8兩點(diǎn)，交橢圓于C,。兩點(diǎn)，且A在B左側(cè)，C在。

左側(cè)，A在C左側(cè).設(shè)r=|AC|,s=^CD\,t=\DB\.

①當(dāng)〃=2時(shí)，是否存在直線/,使得r,s,f成等差數(shù)列？若存在，求出直線/的方程；若不

存在，說(shuō)明理由；

②若存在直線/,使得r,s,f成等差數(shù)列，求〃的范圍.

解（1）由題意知拋物線的焦點(diǎn)F（J,0）,橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F（c,0）,由于0=\=坐，即

0）,

則有空與，

因此4=2小，c=3,b=yla2—c2=y[3,

故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=12x,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為為十[=L

(2)設(shè)/：x=my+3(m^0),A(xi,%),

3(X2,>2),C(X3,>3),。(%4,>4),

將直線與拋物線聯(lián)立，

2

y=l2x9

則有

x=my+3,

整理得y2-12my-36=0,

j=144m2+36X4>0,

y\+yi=l2m,

則

Jiy2=136，

于是x\X2=(myi+3)(mj；2+3)

=m2yly2+3m(ji+”)+9=9,

[^+^-12=0,

將直線與橢圓聯(lián)立，則有「

[x=my-\-3,

得到一元二次方程(加+4)y2+6^y—3=0,J>0,

61n

券+丁4=m2+4,

則有＜

3

y3y4m2+4,

則|A5|=yj(xi—%2)2+Cvi-J2)2

=71+力.2、Qi+丁2)2-4%p2

=12(m2+l),

\CD\=N(%3—工4)2+(乃一丁4)2

=q1+而7(3+丁4)2—4y3y4

36m212m2+48

(m2+4)2+(m2+4)2

4小(蘇+])

m2+4'

\AC\+\DB\=\AB\~\CD\

=12(m2+l)

m2+4?

①當(dāng)〃=2時(shí)，s=2\CD\,

假設(shè)存在直線/,使得r,s,/成等差數(shù)列,

即|AC+|D3|=4|CD|,

4小(/+])

即有12(m2+1)

加2+4

4v§(川+1)

=4義

m2+4

整理得12汴=2加一48,方程無(wú)解，因此不存在/滿足題設(shè).

_4小(療+1)

②若存在直線/,使得r,s,￡成等差數(shù)列，只需使得方程12（川+1）

m2+4

4-J3(m2+l)..._____

=2"乂1+4有斛即可?

整理得病=小+2甘—12,

故療=小+2中-12>°,

解得〃6嗎二4+8）.

[周六]

1.(2023?泉州質(zhì)檢)已知復(fù)數(shù)Z滿足(1—i)z=4i,則Z?立等于()

A.-8B.0C.8D.8i

答案C

解析因?yàn)椋?—i）z=4i,

_4i_4i(l+i)__4+4i__,

所以z—q_i)(i+i)—2——+2i，

所以z——2—2i,因此，z-z=(—2+2i)(—2—2i)=4+4=8.

2.（2023?婁底模擬）已知夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的任何

平面所截，如果截得兩個(gè)截面的面積之比為網(wǎng)常數(shù)），那么這兩個(gè)幾何體的體積之比也為k.

則橢圓C：橢圓的面積S—Ttab,

其中〃，匕分別為長(zhǎng)半軸、短半軸的長(zhǎng)X）

44

A可a9bB^iab9

4&

Dg7lZ?3

答案B

解析如圖所示,

72

直線y=/z交半橢圓，+方=1。20）于A,5兩點(diǎn)，交半圓工2+、2=〃。20）于。兩點(diǎn),

\AB\*2a

由題意可得?

27b2—h2

yjb^—h26，

72

將半橢圓方+%=1。20）和半圓r+Vn/gO）繞著無(wú)軸旋轉(zhuǎn)一圈后,

利用垂直于y軸的平面去截橢球體與球體，設(shè)截面面積分別為S,S，，

^-\AB\-\CD\

由題意可知-j='h,

22

設(shè)半橢圓5+5=120）繞X軸旋轉(zhuǎn)一圈所得的幾何體體積為V,

半圓繞工軸旋轉(zhuǎn)一圈所得的幾何體體積為V，,

Vatz.a4TIZ?3Ajiab2

則=方所以v=1TM'=彳亍

V，

3.(多選X2023-8的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是（）

A.常數(shù)項(xiàng)是1120

B.第四項(xiàng)和第六項(xiàng)的系數(shù)相等

C.各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256

D.各項(xiàng)的系數(shù)之和為256

答案