高考數(shù)學一輪復習-第三周-每日一練【含答案】

第三周

［周一］

（2—i

1.（2023?長春模擬）已知aGR,i為虛數(shù)單位，若彳為實數(shù)，則“等于（

A.—3BqC.3D.—

答案A

解析因為

3+1(3+1)(3—1)

3a—1—(o+3)i3〃-1〃+3

=io=io—ioi為實數(shù),

則一—0,即"+3=0,所以〃=-3.

2.(2023?青島模擬)已知函數(shù)於)=丁一垢%,若。￡(0,若)『/((cos"嗎,

Z?=X(sin時嗎,

C=—/(一，，則〃，b，c的大小關系為()

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>a>b

答案A

解析因為A—x)=(-x)3—^sin(—x)

——(x3—^sinj=—fix),

所以/U)在R上是奇函數(shù).

所以c=—/(—0=/g),

對Ax)=爐—2s^n%求導得，

f(x)=3x2—^cosx,

人71

令g(%)=3/—]cosx,

則g'(x)=6x+^sinx,

當]<x<l時,g'(x)>0,

所以g(x)在g,1)上單調遞增，

則當如<1時，g(尤)>g@)=dcos3>,一品1>0,即/(x)>0,

所以40在G，1)上單調遞增.

因為oe(o,吉)，

所以cos分,>sin0,

因為y=xsin(o<sin在(0,+8)上單調遞增，所以(cos。嚴%⑤口夕產叫

令〃(%)=xlnx+ln2,則1(x)=lnx+1,

所以當0<x<(時，h'(x)<0,/z(x)單調遞減；

當時，h'(%)>0,/z(x)單調遞增.

所以^+In2=ln2—p

1

而2e>e,即2>ee,

所以In2>~,即In2—^>0.

所以xlnx>—In2,即當，

貝|(sin0)sine>2,

所以(cos6)sine>(sine)sin%；且(cos。嚴。<1,

所以犬(COSe)sin今次(sin。嚴與習⑤，

即a>b>c.

3.(多選)(2023?錦州模擬)如果有限數(shù)列｛匾｝滿足的=加計&=1,2,…，〃)，則稱其為“對稱

數(shù)列”，設｛仇｝是項數(shù)為2k—l(kN*)的“對稱數(shù)列"，其中bk,"+i，…，歷hi是首項為

50,公差為一4的等差數(shù)列，貝!]()

A.若左=10,則%=10

B.若k=10,則｛6“｝所有項的和為590

C.當人=13時，｛兒｝所有項的和最大

D.｛勿｝所有項的和可能為0

答案BC

解析｛勿｝的和S2i=504一七一X4X2—50

=-4^+104^-50=—4(Z—13＞+626,

對于選項A,%=10,則61=619=50—4X9=14,

故A錯誤；

對于選項B,左=10,則所有項的和為一4X9+626=590,故B正確；

對于選項C,｛久｝的和S2kl=-4(4—13)2+626,當左=13時，和最大，故C正確；

對于選項D,S2*T=—4研+104左一50=0,方程無正整數(shù)解，故D錯誤.

4.(2023?大連模擬)甲、乙、丙三人每次從寫有整數(shù)加，n,網(wǎng)0＜加＜“＜身的三張卡片中各摸出

一張，并按卡片上的數(shù)字取出相同數(shù)目的石子，放回卡片算做完一次游戲，然后再繼續(xù)進行,

當他們做了N(NN2)次游戲后，甲有22粒石子，乙有9粒石子，丙有9粒石子，并且知道最

后一次丙摸的是％,那么N=.

答案5

解析N次游戲所取卡片數(shù)字總和為N(%+“+?=22+9+9=40,

又?"+"+左21+2+3=6,且》?+"+左為40的因數(shù)，所以(〃z+〃+A)miii=8,且N=2,4,5.

當N=2時，m+n+k=20,因為丙得9粒石子，則kW8,所以甲得石子數(shù)小于16,不符合

題意；

當N=4時，%+〃+4=10,因為丙得9粒石子，則上W6,為了使甲獲得石子數(shù)最多，k=6,

m=l,n=3,此時甲最多得21粒石子，不符合題意；

當N=5時，優(yōu)+〃+左=8,因為丙得9粒石子，則ZW5,為了使甲獲得石子數(shù)最多，k=5,

m=19n—2,

此時甲最多得22粒石子，甲、乙、丙三人每次得石子數(shù)如表所示,

第1次第2次第3次第4次第5次

甲55552

乙22221

丙11115

故做了5次游戲，N=5.

5.(2023?大連模擬)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知6c(1+cosA)=4/.

(1)證明：b+c=3a；

7

(2)若Q=2,cosA=g,角B的角平分線與邊AC交于點O,求5。的長.

⑴證明因為Z?c(l+cosA)=4a2,

所以—詆~

所以bc+2=4〃2,

即（/?+C）2=9〃2,所以b+c=3a.

⑵解如圖，由余弦定理得層=/+廿―2bccosA,

7

即22=b2+c2-2bc^

14

=(Z?+c)2—2bc—~gbc,

Z?+c=3〃=6,

所以Z?c=9,b=c=3,

由角平分線定理可得An緇=4笨n=永a

nCZ

39

所以40=5X3=5,

在△ABD中,由余弦定理得8O2=［1）2+32—2X￡X3X,,所以3。=半.

［周二］

1.（2023?婁底模擬）某地春節(jié)聯(lián)歡晚會以“歡樂中國年”為主題，突出時代性、人民性、創(chuàng)新

性，節(jié)目內容豐富多彩，呈現(xiàn)形式新穎多樣.某小區(qū)的5個家庭買了8張連號的門票，其中

甲家庭需要3張連號的門票，乙家庭需要2張連號的門票，剩余的3張隨機分到剩余的3個

家庭即可，則這8張門票不同的分配方法的種數(shù)為（）

A.48B.72C.120D.240

答案C

解析若甲、乙2個家庭的5張票連號，則有A1=48（種）不同的分配方法，

若甲、乙2個家庭的5張票不連號，則有ASA3=72（種）不同的分配方法，

綜上，這8張門票共有48+72=120（種）不同的分配方法.

2.（2023?保山模擬）折紙藝術起源于中國.折紙藝術是用一張完整的紙用折疊的方法而成就的

各種人物、動物或草木的形態(tài)的方法.折紙與自然科學結合在一起，不僅成為建筑學院的教

具，還發(fā)展出了折紙幾何學，成為現(xiàn)代幾何學的一個分支，是一項具有藝術性的思維活動.現(xiàn)

有一張半徑為6,圓心為。的圓形紙片，在圓內選定一點P且|。月=4,將圓翻折一角，使圓

周正好過點P,把紙片展開，并留下一條折痕，折痕上到。，尸兩點距離之和最小的點為M,

如此反復，就能得到越來越多的折痕，設點M的軌跡為曲線C,在C上任取一點Q,則△QOP

面積的最大值是（）

A.2小B.2市

C.2事D.4

答案B

解析如圖所示，設折痕為直線/,點尸與P'關于折痕對稱，l^OP'=M,在/上任取一

點B,

由垂直平分線的性質可知|尸2|+出0|=忸戶|+|BO|2|OM+|MP|=|0P當且僅當B

重合時取等號.

即折痕上到。，尸兩點距離之和最小的點為且|PM+|MO|=|OP'|=6>|OP|=4.

故M的軌跡是以。，P為焦點，且長軸長為2a=6的橢圓，焦距2c=|0P|=4,c=2,

故短半軸長b=市,

所以當。為橢圓上（下）頂點時，△。。尸的面積最大，最大值為3><2c><b=2書.

3.（多選）（2023?湛江模擬）已知尸1,仍分別為雙曲線C：/一g=1（。>0，6>。）的左、右焦點，

點A（xi，竺）為雙曲線C在第一象限的右支上一點，以A為切點作雙曲線C的切線交無軸于點

3（x2,0）,則下列結論正確的有（）

A.0<X2<a

B.ZFiAB=ZF?AB

C.x\X2=ab

D.若cosN尸iA/2=］，且尸由=337%則雙曲線。的離心率e=2

則在點A（xi,州）處的切線斜率為

b2

所以在點A（xi,"）處的切線方程為

y_%=S?（x—為），礙-g=i，

化簡得切線方程為第一步=1,

V1X0

所以茅1,

所以為12=。2,故C錯誤;

由即刀2=。2,得X2=~~f

又陽>〃，所以0<X2<〃，故A正確;

B（c,0）,0）,

由一F2（C,O）,

22

得|P18|=g+c,逐/2l=C一彳，

I

耳」尸1引尤1十CCXl十/

故兩=一?=cxi-a2）

C——

X1

由%汜1,得針箏F

所以IAF11=N（Xl+c）2+G

=［（X1+C）2+字一萬

=71+a.

所以|AF2|=|AF11—2a=宗1—4,

一「I-xi-ha

所以⑷獷。

~axi~a

cxi+6z2|FiB|

cxi—a2\BF^\'

設點A到％軸的距離為

S

則AAFtB=%引〃

=^\AFi\\AB\sinZFiAB,

^△AF2B=習&8|"

為sin/尸MB,

$△4月8尸5i||AFi|sinNHA8

==9

飛\F2B\\AF2\sinZF2AB

^AAF2B

\AFj\_\FrB\

^\AF2r\BF2\'

所以NBAB=NF2AB,故B正確;

由上可得同衛(wèi)=普十。，0),

QQ2a2

\AFi\=-x\+a=~X—^~+a=3a9

…—cc、,2a2

|AF2|=-X1—6Z="X——?=6Z,

所以

222

/…|AF1|+|AF2|-|F1F2|

COSZFIAF2-2|AFI|.|AF2|

222

9cz+a-4c5291

=-67—=廠子=手

解得e=也，故D錯誤.

4.（2023?白山模擬）在正四棱錐S—ABC。中，M為SC的中點，過AM作截面將該四棱錐分

成上、下兩部分，記上、下兩部分的體積分別為％,L，則會的最大值是_______.

VI

答案2

解析記正四棱錐S—A8C。的體積為匕求號的最大值，由Vi+V2=V為定值知，只需求

V1

%的最小值,

s

設過AM的截面分別交S3和SO于￡；F,平面SAC與平面S3。的交線為SO,SO與AM相

交于G,如圖，

則SG=^SO,令器=%，瑞=%

->■1—?―?1―?1—?

則SG=^(SD+SB)=^SE+^SF,

即有?+?=1,

3x3y

V1=Vs-AFM~^~Vs-AEM—VF-SAM'VVE-SAM

_SFSE、/

SDyD-SAM'SB,

=y；Vo—SAC+4外—SAC

V

=a(%+y)

2

當且僅當％=y=,時取等號,

V?V—V]VV

此時拓=FT=H—iw《一i=2,

3

所蜷的最大值是2.

5.(2023?濟南模擬)已知數(shù)列｛念｝的前〃項和S〃=2〃+】一2,數(shù)列｛為｝滿足為=log2M

(1)求數(shù)列｛〃〃｝,｛"〃｝的通項公式;

(2)由斯，為構成的〃X〃階數(shù)陣如圖所示，求該數(shù)陣中所有項的和4.

(aibi，a\bi，。必3，…，。也\

aib\,a2b2,93,…，aibn

〃3仇，a3b2,a3b3,…，a3bn

Q/i,斯歷,〃滴3，…，anbi/

解(1)因為&=2篦+1—2,

當〃=1時，SI=22—2=2,即〃i=2,

當〃22時，&-1=2〃-2,

所以S〃T=2〃+1—2—(2〃-2),即斯=2〃，

經(jīng)檢驗，當〃=1時，也成立，

=log2〃〃=n

所以〃〃=2〃，則bn10g22=n.

2(8+b2H------+b2H-------

(2)由數(shù)陣可知Tn=ai(bi+b2~\-----\~bn)~\~。\~bn)~\------an(Jb\\~bn)

=3i+42H-----1-斯)(bi+b2H------\~bn),

因為S〃=2〃+i—2,

,,,,,,n(l+n)層+幾

2H-----

仇+b\-bn=l+2-\-------\-n=~~，

九2—|—九

所以G=(2/i—2>-y-=(2"—1)?(層+〃).

［周三］

1.設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若A+8=半，a=2小,c=5,貝UsinA

等于()

4332

A弓B號C，4D，3

答案B

解析因為A+8=,,所以C=，,

由正弦定理得一%=—J,即第=工，

sinAsinCsinA.兀

sin3

3

所以sinA=g.

2.已知A,B,尸是直線/上不同的三點，點。在直線/外，若5>=瘋>+(2加一3)5^(M￡R),

則呼1等于()

\PA\

A.2B.gC.3D.g

答案A

解析VAP=OP-OA,OP^mAP+(2m-3)C^^m(OP-dA)+(2m-3)OB,

整理得(加一1)錚=加%+(3—2%)為，

當根=1時，0=。4+05顯然不成立，故加W1,

—m—,3—2m一

VA,B,尸是直線/上不同的三點，

；.-7+宜胃=1,解得加=2,：.OP=2OA~OB,

m~1m~1

設防=2摘，2W1,:.OB-OP=^(OA-OP)9

OP-r(9A-：T

A——1Z——1OB,

??.，7=2,解得4=2,即曰=2.

，T兩

3.(多選)(2023?保山模擬)己知函數(shù)/卜+2為奇函數(shù)，g(x)的圖象關于直線尤對稱，若於)

+g(%)=sinx,貝女)

A.函數(shù)兀0為奇函數(shù)

B.函數(shù)g(x)的最大值是半

C.函數(shù)段)的圖象關于直線尤=—熱稱

D.函數(shù)/(x)的最小值為一勺

答案BC

解析因為為奇函數(shù)，

所以/((—4+1)=—/G+]),

令/二始+?則/'停一，=-/?,

即/?！猨=—^x),

由g(x)的圖象關于直線尸號對稱，

可得g?！猨=g(x)，

-/U)+g(x)=/■停-j+g停-X)

=sin(^-x),

聯(lián)立fix)+g(x)=sinx,

故函數(shù)/(x)不是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)的最大值是坐，函數(shù)八X)的圖象關于直線X=一3寸稱，函

數(shù)於)的最小值為一

4.(2023?鞍山質檢)冬季兩項是冬奧會的項目之一，是把越野滑雪和射擊兩種不同特點的競賽

項目結合在一起進行的運動，其中冬季兩項男子個人賽，選手需要攜帶槍支和20發(fā)子彈，每

滑行4千米射擊1次，共射擊4次，每次5發(fā)子彈，若每有1發(fā)子彈沒命中，則被罰時1分

鐘，總用時最少者獲勝.已知某男選手在一次比賽中共被罰時3分鐘，假設其射擊時每發(fā)子

彈命中的概率都相同，且每發(fā)子彈是否命中相互獨立，記事件A為其在前兩次射擊中沒有被

罰時，事件8為其在第4次射擊中被罰時2分鐘，那么P(A|8)=.

宏安—

u木3

解析由題意得P(8)=^^,

D/ACgCg

尸網(wǎng)=裔

..P(4|B)—p⑻—C曠?o-3-

5.(2023?延邊模擬)如圖1,在△ABC中，D,￡分別為AB,AC的中點，。為DE的中點，

AB=AC=2p8C=4.將△AOE沿DE翻折到△4OE的位置，使得平面4DE_L平面BCED,

如圖2.

⑴求證：AiOXBD；

(2)求直線AiC和平面A{BD所成角的正弦值;

(3)若點F在AiC上，是否存在點F,使得直線DF和BC所成角的余弦值為華？若存在,

求出策的值；若不存在，請說明理由.

⑴證明因為在△ABC中，D,E分別為AB,AC的中點,

所以DE〃BC,AD=AE.

所以AiD=Ai￡,又。為。E的中點，所以40LOE

因為平面AiOE_L平面BCE。，平面AiDECl平面3C￡D=Z)E,且40U平面AQE,

所以4O_L平面BCE。，又BDU平面BCED,

所以AiO_LBD

(2)解取8c的中點G,連接OG,所以OELOG.

由⑴得4O_LOE,AiO±OG.

以。為原點，OG,OE,04所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標系.

由題意得,4(0,0,2),5(2,-2,0),C(2,2,0),0(0,-1,0).

設平面48。的法向量為"=(無，y,z).

n-A1B=Q,(2x—2y—2z—0,

則‘一即

i-y-2z=0.

M-AID—0,

令尤=1,則y=2,z=—1,

所以"=(1,2,—1).

設直線AC和平面AiBD所成的角為0,

則sind=|cos〈〃，AiC)|=

InllAici

|2+4+2|2A/2

—\1+4+1々4+4+4—3'

故所求角的正弦值為手.

(3)解存在點F符合題意.

設立=疝乙其中

設廠(為，y\,zi),

則有Qi,ji,幻-2)=(2九22,-22),

所以為=2九%=2九zi=2-2九

從而F(2A,2九2-22),

所以。尸=(2九2/1+1,2-2/1),

又病=(0,4,0),

所以|cos<5>,病〉尸嚨函

\DF]\BC\

___________4|2%+1|_________

—4K(24+⑼+])2+(2—22)2

V35

一7，

整理得16#—244+9=0,解得力=*所以線段4C上存在點尸符合題意，且笑=*

[周四]

1.（2023?青島模擬）已知全集U=R,A={x|3<x<7},B={x||x-2|<4},則圖中陰影部分表示

的集合為（）

A.{R—2<xW3}B.{x\—2<x<3}

C.{-1,0,1,2)D.{-1,0,1,23)

答案A

解析|無一2]<40一4<%—2<4=一2a<6,：.B={x\~2<x<6].

則AU8={x|-2a<7},

圖中陰影部分為[（AUB）A={X[—2<xW3}.

2.（2023?郴州、湘潭聯(lián)考）已知圓臺的上、下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺的下底

面過球心，上底面半徑為1,則圓臺的體積為（）

A.59兀B.5小無

「7力兀

D.7小兀

。3

答案C

解析設圓臺的上底面的圓心為Q,下底面的圓心為。，點A為上底面圓周上任意一點，則

01A=1,

設圓臺的高為//,球的半徑為R=0A=2,

則h=00i=qR2—0自2=74—12=小,

所以圓臺的體積y=g（4兀+#4兀?兀+兀）*<§=7,無

3.（多選）（2023?白山模擬）某校抽取了某班20名學生的化學成績，并將他們的成績制成如下

所示的表格.

成績60657075808590

人數(shù)2335421

下列結論正確的是（）

A.這20人成績的眾數(shù)為75

B.這20人成績的極差為30

C.這20人成績的25%分位數(shù)為65

D.這20人成績的平均數(shù)為75

答案AB

解析根據(jù)表格可知，

這20人成績的眾數(shù)為75,故A正確；

極差為90-60=30,故B正確；

20X25%=5,

所以25%分位數(shù)為3義（65+70）=67.5,故C錯誤；

平均數(shù)為

60X2+65X3+70X3+75X5+80X4+85X2+90

----------------------------------------------二

207小4

故D錯誤.

4.已知數(shù)列｛斯｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，S〃是它的前〃項和，若〃305=64,且〃5+2〃6

=8,則S6=.

答案126

解析設正項等比數(shù)列｛為｝的公比為夕（夕>0）,由〃3。5=64,得屆=俏。5=64,而〃4>0,解得

〃4=89

又〃5+2〃6=8,則〃4夕+244/=8,于是2q2+q—l=0,而q>0,解得。1=3=64,

=126.

5.（2023?大連模擬）國學小組有編號為1,2,3,…，〃的〃位同學，現(xiàn)在有兩個選擇題，每人答

對第一題的概率為多答對第二題的概率為*每個同學的答題過程都是相互獨立的，比賽規(guī)

則如下：①按編號由小到大的順序依次進行，第1號同學開始第1輪出賽，先答第一題；②

若第9=1,2,3,…，〃一1）號同學未答對第一題，則第z?輪比賽失敗，由第i+1號同學繼續(xù)

比賽；③若第9=1,2,3,…，w—1）號同學答對第一題，則再答第二題，若該同學答對第二題,

則比賽在第，輪結束；若該同學未答對第二題，則第i輪比賽失敗，由第i+1號同學繼續(xù)答

第二題，且以后比賽的同學不答第一題；④若比賽進行到了第〃輪，則不管第〃號同學答題

情況，比賽結束.

（1）令隨機變量X“表示〃名同學在第X”輪比賽結束，當〃=3時，求隨機變量X3的分布列；

（2）若把比賽規(guī)則③改為：若第源=1,2,3,…，〃-1）號同學未答對第二題，則第z?輪比賽失敗,

第i+i號同學重新從第一題開始作答.令隨機變量匕表示n名挑戰(zhàn)者在第匕輪比賽結束.

①求隨機變量匕（"CN*,”三2）的分布列；

②證明：隨機變量匕的數(shù)學期望E（匕）單調遞增，且小于3.

⑴解由題設，X3的可能取值為1,2,3,

P（X3=l）=|x|=|,

2111215

P（X3=2）=QX]X]+WX,X]=同，

157

尸（X3=3）=一廠同=加

因此X3的分布列為

X3123

157

P

31818

⑵①解%的可能取值為1,2,…，”，

每位同學兩題都答對的概率為p號2X：11",則答題失敗的概率為1號2義1；號2,

J乙。J乙，

所以當1,左GN*）時，

=X；；

當匕=〃時，p（y“="）=停＞—i,

故匕的分布列為

Y?123???n~1n

121?2X3a

PX.??

333停）fw

②證明由①知，E（匕）=ixg+〃住>-i（/z￡N*,〃22）.

k=l'

E（匕+1）—E（匕）=力停>一1義；+5+1）仔）"一〃停>一1=（1>>0,故E（匕）單調遞增.

又E（Y2）='|,

所以E（匕尸E（Y2）+囪㈤-EG2）］+夙匕）一線⑸］+…+區(qū)匕）一E（匕.1）］,

所以E（%）=|+停）2+酊+…+停卜=|+（3）［1?］=3—2X仔卜<3,

1-3

故E（匕）<￡（匕）<氏以）<3匕）（匕）<3.

［周五］

1.（2023?淄博模擬）已知集合4=32*>1},B={x|lnx>l},則下列集合為空集的是（）

A.AA（CRB）B.（CRA）AB

C.AABD.（（R4）C（［RB）

答案B

解析集合A={x|2*>l}={x|x>0},

集合B={x|lnx>l}={x|x>e},

所以［RA={尤|xW0},［RB={x|x^e},

對于A,APl（CRB）={x|0<x^e},故選項A不滿足題意；

對于B,（CRA）HB=0,故選項B滿足題意；

對于C,ACB={x|x>e},故選項C不滿足題意；

對于D,（［RA）n（RB）={小W0},故選項D不滿足題意.

2.已知函數(shù)/（x）的定義域為R,_/（x+l）為奇函數(shù)，且對VxGR,兀v+4）=/（—x）恒成立，則下

列選項中不正確的是（）

A.兀v）為偶函數(shù)

B.犬3）=0

c.痣=-/(1)

D.八尤)是以8為周期的函數(shù)

答案D

優(yōu)￥+2)=-/(—J

解析因為加+1)為奇函數(shù)，所以八1一x)=-Al+x),故L、〃、

IA2-X)=-/%),

又/(x+4)=/(—X),所以式2+x)=/(2—X),故一八一X)=一兀￥),

所以八一x)=/(x),人尤)為偶函數(shù)，A正確；

/U+1)為奇函數(shù)，

所以犬1)=0,又穴2+無)=,2—尤)，

所以犬3)=/Q)=0,B正確;

/(1)=/(1)，又於)的圖象關于點(1,。)對稱，所以/(1)=一/(1)，

C正確;

又式x+4)=大-x)=/U),

所以五x)是以4為周期的函數(shù)，D錯誤.

3.(多選X2023?邵陽模擬)若函數(shù)段)=2coscox(coscox—sinS:)—1(G>0)的最小正周期為兀,

則()

A.

B.段)在悖詈［上單調遞增

C.兀0在［0,引內有5個零點

D.式尤)在［―1彳上的值域為［―1，1］

答案BC

解析/(無)=2cosox(coscox—sincox)—1

=2COS2C9%—2costoxsincox—1

cos2(t>x—sin2cox=y[2cos\2cox-]-~^

由最小正周期為兀，可得兀=2①,解得8=1,

故於)=$cos(2x+J,

對于A,了(一升班3(-吉+2

=gos導坐,故A錯誤；

對于B,當xG壬空時，

y,y。［小2兀）,此時加）單調遞增，故B正確;

對于C,令?r）=Wcos（2x+*=0,

即cos（2%+習=0,

jrjr

所以2x+w=1+fai,%￡Z,

即%=]+竽,kGZ,

當了￡0,了時,

滿足要求的有x=￡5兀9兀13K

OX=~S9

x=R-,故有5個零點，故C正確;

>.7TJC

對于D,當工仁［一4，工）時?，

c.?！浮?13兀1

2無十泡一不列,

則cos（2x+§e一乎,1,

故加）引一1,也］,所以D錯誤.

4.（2023?齊齊哈爾模擬）一組數(shù)據(jù)由8個數(shù)組成，將其中一個數(shù)由4改為2,另一個數(shù)由6改

為8,其余數(shù)不變，得到新的一組數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)的方差相比原數(shù)據(jù)的方差的增加值為

答案2

解析一個數(shù)由4改為2,另一個數(shù)由6改為8,故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)受不變，

設沒有改變的6個數(shù)分別為制，X2,…，X6,

原數(shù)據(jù)的方差

X1+(X2-x)24----|-(X6—x)2+(4—X)2+(6—X)2],

SI=OQ[(X\—

新數(shù)據(jù)的方差/=][(為-x/+(X2—X)2H----F(X6—X)2+(2—X)2+(8—x)2],

o

所以52—51=1[(2—X)2+(8—X)2—(4—X)2—(6—X)2]=2.

o

y[3X2V2

5.（2023?蘇州調研）已知拋物線y2=a2x的焦點也是禺心率為為-的橢圓了+^=1（。泌＞。）的一

個隹占F

（1）求拋物線與橢圓的標準方程；

（2）設過點尸的直線/交拋物線于A,8兩點，交橢圓于C,。兩點，且A在B左側，C在。

左側，A在C左側.設r=|AC|,s=^CD\,t=\DB\.

①當〃=2時，是否存在直線/,使得r,s,f成等差數(shù)列？若存在，求出直線/的方程；若不

存在，說明理由；

②若存在直線/,使得r,s,f成等差數(shù)列，求〃的范圍.

解（1）由題意知拋物線的焦點F（J,0）,橢圓的一個焦點F（c,0）,由于0=\=坐，即

0）,

則有空與，

因此4=2小，c=3,b=yla2—c2=y[3,

故拋物線的標準方程為/=12x,橢圓的標準方程為為十[=L

(2)設/：x=my+3(m^0),A(xi,%),

3(X2,>2),C(X3,>3),。(%4,>4),

將直線與拋物線聯(lián)立，

2

y=l2x9

則有

x=my+3,

整理得y2-12my-36=0,

j=144m2+36X4>0,

y\+yi=l2m,

則

Jiy2=136，

于是x\X2=(myi+3)(mj；2+3)

=m2yly2+3m(ji+”)+9=9,

[^+^-12=0,

將直線與橢圓聯(lián)立，則有「

[x=my-\-3,

得到一元二次方程(加+4)y2+6^y—3=0,J>0,

61n

券+丁4=m2+4,

則有＜

3

y3y4m2+4,

則|A5|=yj(xi—%2)2+Cvi-J2)2

=71+力.2、Qi+丁2)2-4%p2

=12(m2+l),

\CD\=N(%3—工4)2+(乃一丁4)2

=q1+而7(3+丁4)2—4y3y4

36m212m2+48

(m2+4)2+(m2+4)2

4小(蘇+])

m2+4'

\AC\+\DB\=\AB\~\CD\

=12(m2+l)

m2+4?

①當〃=2時，s=2\CD\,

假設存在直線/,使得r,s,/成等差數(shù)列,

即|AC+|D3|=4|CD|,

4小(/+])

即有12(m2+1)

加2+4

4v§(川+1)

=4義

m2+4

整理得12汴=2加一48,方程無解，因此不存在/滿足題設.

_4小(療+1)

②若存在直線/,使得r,s,￡成等差數(shù)列，只需使得方程12（川+1）

m2+4

4-J3(m2+l)..._____

=2"乂1+4有斛即可?

整理得病=小+2甘—12,

故療=小+2中-12>°,

解得〃6嗎二4+8）.

[周六]

1.(2023?泉州質檢)已知復數(shù)Z滿足(1—i)z=4i,則Z?立等于()

A.-8B.0C.8D.8i

答案C

解析因為（1—i）z=4i,

_4i_4i(l+i)__4+4i__,

所以z—q_i)(i+i)—2——+2i，

所以z——2—2i,因此，z-z=(—2+2i)(—2—2i)=4+4=8.

2.（2023?婁底模擬）已知夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何

平面所截，如果截得兩個截面的面積之比為網(wǎng)常數(shù)），那么這兩個幾何體的體積之比也為k.

則橢圓C：橢圓的面積S—Ttab,

其中〃，匕分別為長半軸、短半軸的長X）

44

A可a9bB^iab9

4&

Dg7lZ?3

答案B

解析如圖所示,

72

直線y=/z交半橢圓，+方=1。20）于A,5兩點，交半圓工2+、2=〃。20）于。兩點,

\AB\*2a

由題意可得?

27b2—h2

yjb^—h26，

72

將半橢圓方+%=1。20）和半圓r+Vn/gO）繞著無軸旋轉一圈后,

利用垂直于y軸的平面去截橢球體與球體，設截面面積分別為S,S，，

^-\AB\-\CD\

由題意可知-j='h,

22

設半橢圓5+5=120）繞X軸旋轉一圈所得的幾何體體積為V,

半圓繞工軸旋轉一圈所得的幾何體體積為V，,

Vatz.a4TIZ?3Ajiab2

則=方所以v=1TM'=彳亍

V，

3.(多選X2023-8的展開式中，下列說法正確的是（）

A.常數(shù)項是1120

B.第四項和第六項的系數(shù)相等

C.各項的二項式系數(shù)之和為256

D.各項的系數(shù)之和為256

答案