初中數(shù)學(xué)圓中常用輔助線的作法八大題型及答案

圓中常用輔助線的作法【八大題型】

A題型梳理1

【題型1遇弦連半徑構(gòu)造三角形】1

【題型2遇弦作弦心距解決有關(guān)弦長的問題】5

【題型3遇直徑作直徑所對的圓周角】8

【題型4遇切線作過切點(diǎn)的半徑】11

【題型5遇90的圓周角連直徑】16

【題型6轉(zhuǎn)移線段】19

【題型7構(gòu)造相似三角形】23

【題型8四點(diǎn)共圓】30

A舉一反三

【題型1遇弦連半徑構(gòu)造三角形】

1.(2024?陜西渭南?三模)如圖，4ABC內(nèi)接于。0,AB為。0的直徑，點(diǎn)D在。0上，連接CD、BD,BD

=BC,瞇DB至U點(diǎn)E,峙BE=BD,?CE.

(1)求證：ZA+ZE=90°；

⑵若。0的半徑為學(xué)，BC=5,求CE的長.

O

2.（23-24九年級上?重慶大足?期末）如圖，AB是。0的直徑，弦CDLAB,垂足為點(diǎn)P,若CD=8,0P

C.5D.3

3.（2024?貴州黔東南?二模）如圖，。。是4ABC的外接圓，且AC=BC,過點(diǎn)B作BE，AC,垂足為點(diǎn)

E,延長BE交。0于點(diǎn)D,連接AD,CD,CO,并延長CO交BD于點(diǎn)F.

（1）寫出圖中一個(gè)與NACD相等的角：

⑵求證：CD=CF；

⑶若BC=10,BE=6,求。0的半徑.

4.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）如圖，在RtZ^ABC中，ZACB=9（7,BC是。。的直徑，。。與邊AB交于

點(diǎn)D,E為BD的中點(diǎn)，連接CE,與AB交于點(diǎn)F.

（1）求證：AC=AF.

⑵當(dāng)F為AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：FC=2EF.

【題型2遇弦作弦心距解決有關(guān)弦長的問題】

5.（23-24九年級上?云南昆明?期末）如圖,半徑為5的。。中，有兩條互相垂直的弦AB、CD,垂足為點(diǎn)

E,且AB=CD=8,則0E的長為（）

C.2V3D.3V2

6.（23-24九年級上?山東濰坊?期末）如圖,O0的半徑是4,點(diǎn)P是弦AB延長線上的一點(diǎn)，連接OP,若

0P=6,ZAPO=30,貝弦AB的長為()

C.5D-4

7.（23-24九年級下?明?階段練習(xí)）如圖，。。和。。相交于A和B,過點(diǎn)A作QQ的平行線交兩圓

于C、D,改口01O2=20cm,則CD=cm.

8.（23-24九年級上?福建廈門?期末）關(guān)于x的一元二次方程V2"ax2+2cx+03=0,如果a、b、c滿足a2

+b2=c2且cW0,那么我們把這樣的方程稱為“勾系方程”，請解決下列問題：

（1）求證：關(guān)于x的“勾系方程"。ax2+2cx+/2b=0必有實(shí)數(shù)根.

⑵如圖，已知AB、CD是半徑為5的。。的兩條平行弦，AB=2a,CD=2b,且關(guān)于x的方程「2ax2+

10x+9=0是“勾系方程”.

①求/BDC的度數(shù)，

②直接寫出BD的長：（用含a、b的式子表示）.

【題型3遇直徑作直徑所對的圓周角】

9.（2024?安徽合肥?一模）如圖，AB是。0的直徑，CD是。0的一條弦，AB±CD于點(diǎn)M,連接0D

⑴若NODB=54，求ZBAC的度數(shù)；

（2）AC,DB的延長線相交于點(diǎn)F,CE是。0的切線，交BF于點(diǎn)E,若CE±DF,求證：AC=CD.

10.（2024九年級上?湖北武漢?期中）如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)，CDAE交直線AE于

D點(diǎn).

⑴求證：0C〃AD；

⑵若DE=1,CD=2,求。0的直徑.

11.（2024?浙江溫州?三模）如圖，已知AABC中，NACB=90,AB=4,AC=3,點(diǎn)E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，以

CE為直徑作。F,雌BE交。F于點(diǎn)D,則AD的最小值為.

12.（23-24九年級上?福建莆田?期中）如圖，AB是半圓。的直徑，AB=10,點(diǎn)D在半圓。上，AD=6,C

是弧BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC,過D點(diǎn)作DH_LAC于H,峨BH,在點(diǎn)C移動(dòng)的過程中，BH的最

小值是.

【題型4遇切線作過切點(diǎn)的半徑】

13.（2024?貴州?模擬預(yù)測）如圖,在RtAABC中，ZACB=90,點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn)，連接AP,分別以點(diǎn)A,

P為圓心，大于是：AP的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E,F,EF交AB于點(diǎn)D,再以點(diǎn)D為圓心，DA長

為半徑作圓，交AB于點(diǎn)M,BC恰好是。D的切線.若/B=3（J,AC=6,貝i]BM的長為（）

A.考^B.雪C亨D.VT

14.（2024?遼寧大連?一模）如圖，4ABC內(nèi)接于。0,AD是。。的直徑與BC交于點(diǎn)F,NCAD=45，過B

點(diǎn)的切線交AD的延長線于點(diǎn)E.

⑴若NC=64，求NE的度數(shù)；

⑵。0的半徑是3,OF=1,求BE的長.

15.（2024?福建泉州?哪I預(yù)測）已知AB與。0相切于點(diǎn)B,直線AO與。0相交于C,D兩點(diǎn)（AO>

AC）,E為BD的中點(diǎn)，連接OE并延長，交AB的延長線于點(diǎn)F.

（1）如圖①，若E為0F的中點(diǎn)，求/A的大小;

⑵如圖②，連接BD與OF相交于點(diǎn)G,求證：ZD=ZF.

16.（23-24九年級上?北京西城?期中）如圖，AB為。。的直徑，CB,CD分別切。。于點(diǎn)B,D,CD交

BA的延長線于點(diǎn)E,CO的延長線交。0于點(diǎn)G,EF±0G于點(diǎn)F.若BC=6,DE=4.

⑴求證：ZFEB=ZECF；

⑵求。。的半徑長.

⑶求線段EF的長.

【題型5遇90的圓周角連直徑】

17.（2024?安徽合肥?一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,ZBAD=90°,BC=CD,過電C作CE,使得

CD=CE,交AD的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：AB=AE.

⑵若AD=DE=2,求CD的長.

18.（2024?浙工嘉興?模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD內(nèi)接于。0,AB=2,BC=2?■，則AB的長為（）

/x------

A.yH

19.（23-24九年級下?四川成都?開學(xué)考試）《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓.”度方知圓，感悟

數(shù)學(xué)之美.如圖，正方形ABCD的邊長為2.以它的對角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形

ABCD,若AB:AB=2:1,則四邊形ABCD的外接圓半徑.

20.（2024?江西景德鎮(zhèn)?三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。P經(jīng)過點(diǎn)0,與y軸交于點(diǎn)A0,6，與x軸

交于點(diǎn)B8,0，則0P的長為.

【題型6轉(zhuǎn)移線段】

21.（23-24九年級上?四川瀘州?階段練習(xí)）如圖，。。的直徑AB=8,弦CD=3,且弦CD在圓上滑動(dòng)（CD

的長度不變，點(diǎn)C、D與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)C作CP±AB于點(diǎn)P,若M是CD的中點(diǎn)，則PM的最大

值是.

22.（2024九年級上?浙江臺(tái)州?期中）如圖，在4ABC中,AB=5,AC4,BC3,經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切

的動(dòng)圓與CA、CB分別相交于點(diǎn)P、Q,則線段PQ長度的最小值是

9

23.（2024-西徐州?三模）【問題情境】

如圖1,P是。0外的一點(diǎn)，直線PO分別交。。于點(diǎn)A、B.

小明認(rèn)為線段PA是點(diǎn)P到。0上各點(diǎn)的距離中最短的線段，他是這樣考慮的：在。0上任意取一個(gè)不

同于點(diǎn)A的點(diǎn)C,曲0C、CP,貝盾OP<0C+PC,即OP-0C<PC,由0A=0C得OP-0A<

PC,即PA<PC,從而得出線段PA是點(diǎn)P到。。上各點(diǎn)的距離中最短的線段.

小紅認(rèn)為在圖1中，線段PB是點(diǎn)P到。0上各點(diǎn)的距離中最長的線段，你認(rèn)為小紅的說法正確嗎？請

說明理由.

【直接運(yùn)用】

如圖3,在RtAABC中，ZACB=9O,AC=BC=2,以BC為直徑的半圓交AB于D,P是CD上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,則AP的最小值是；

【構(gòu)造運(yùn)用】

如圖4,在邊長為2的菱形ABCD中，/A=6O,M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將4AMN沿

MN所在的直線翻折得到AAMN,連妾AC,請求出AC長度的最小值.

圖4圖5

【深度運(yùn)用】

如圖5,已知點(diǎn)C在以AB為直徑，。為圓心的半圓上，AB=4,以BC為邊作等邊ABCD,則AD的最大

值是.

24.(23-24九年級上?河南開封?階段練習(xí))如圖，以G(0,3)為圓心，半徑為6的圓與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與

y軸交于C,D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為。G上一動(dòng)點(diǎn)，CF_LAE于F,點(diǎn)E在G的運(yùn)動(dòng)過程中，線段FG的長度的

最小值為.

G2石

~x

\D

【題型7構(gòu)造相似三角形】

25.(2024?貴州六盤水?二模)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,AD為直徑，DB平分NADC,CA=CD,DB

與CA交于點(diǎn)E,延長AB,DC交于點(diǎn)F.

(1)直接寫出線段AB與線段BC的數(shù)量關(guān)系;

⑵求證：AAFC^ADEC；

01的值

⑶設(shè)4ABD的面積為S”4BCD的面積為S2,求十

2

26.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）已知DE是。0的直徑，DE=6.點(diǎn)A是圓外一點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)E在同一條直

線上.且AD=2.過點(diǎn)A另一條直線交。。于B、C.

⑴如圖1,當(dāng)AC=5時(shí)，研究發(fā)現(xiàn):連接CE、BD可以得至！JZiABDsAAEC,繼而可以求AB長.請寫

出完整的解答過程.

⑵如圖2,當(dāng)B、C重合于一點(diǎn)時(shí)，AC=

⑶如圖3,當(dāng)0B平分/A0C時(shí)，AC=.

27.（23-24九年級下?福建廈門?階段練習(xí)）如凰以AB為直徑的。。與AH相切于點(diǎn)A,點(diǎn)C在AB左側(cè)

圓弧上，弦CD，AB交。0于點(diǎn)D,痛AC,AD,點(diǎn)A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)為E,苴線CE交。0于點(diǎn)

F,交AH于點(diǎn)G.

（1）求證：ZCAG=ZAGC；

⑵當(dāng)點(diǎn)E在AB上，連接AF交CD于點(diǎn)P,若器=，求吟的值；

CE5CP

⑶當(dāng)點(diǎn)E在射線AB上，AB=2,四邊形AC0F中有一組對邊平行時(shí)，求AE的長.

28.（2024九年級上?上海?專題練習(xí)）已知AB是。0的一條弦，點(diǎn)C在。。上，連接CO并延長，交弦AB于

點(diǎn)D,且CD=CB.

⑴如圖1,女昧B0平分NABC,求證：AB=BC；

⑵如圖2,女腥AOL0B,求AD:DB的值；

⑶延長線段A0交弦BC于點(diǎn)E,女瞟^EOB是等腰三角形，且。0的半徑長等于2,求玄BC的長.

【題型8四點(diǎn)共圓】

29.（2024九年級上?北京海淀?階段練習(xí)）如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)F在邊BC上，過點(diǎn)F作EFLBC,

且FE=FC（CE<CB）,■CE、AE,點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，連接FG.

圖1圖2

⑴用等式表示線段BF與FG的數(shù)量關(guān)系：;

⑵將圖1中的4CEF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使ACEF的頂點(diǎn)F恰好在正方形ABCD的對角線AC上,

點(diǎn)G仍是AE的中點(diǎn)，連接FG、DF.

①在圖2中，依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段DF與FG的數(shù)量關(guān)系并證明.

30.（23-24九年級上?湖南長沙?階段練習(xí)）如圖，已知AABC中，NACB=90,AC=4,BC=3,NCPB

/A,過點(diǎn)C作CP的垂線，與BP的延長線交于點(diǎn)Q,則CQ的最大值為（）

P

A.4B.5C.D,警

5

31.（2024?浙江嘉興?中考真題）如圖，在△ABC中，ZBAC=90,AB=AC=5,點(diǎn)D在AC上，且AD=2,

點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE,點(diǎn)F,G分別是BC,DE的中點(diǎn)，連接AG,FG,當(dāng)AG=FG時(shí)，線段

DE長為（）

32.（23-24九年級下?重慶?階段練習(xí)）在AABC中，AC=BC,點(diǎn)D在BC上方，連接CD,將CD繞點(diǎn)D順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到ED.

圖1圖2圖3

（1）如圖LNACB=90點(diǎn)D在AC右上方，連接AE,CE,若ZACD=15,AB=2?,CD=2而，求

AE的長；

⑵如圖2,點(diǎn)D在AC的左側(cè)上方，連接BE交CD于點(diǎn)M,F為BE上一點(diǎn)，若NDEF=NEDF+

NEBC,且M為BF的中點(diǎn)，過F作FH，DE于點(diǎn)H,求證：DM=4DE+FH；

⑶如圖3,NACB=90,BC=2,CD=2，5■，將AEDC沿著直線CD翻折至CD連接EB,連妾

EA并延長交CD于點(diǎn)Q,交EB于點(diǎn)R,當(dāng)CR最長時(shí)，直接寫出此時(shí)4AQD的面積.1

圓中常用輔助線的作法【八大題型】

A題型梳理1

【題型1遇弦連半徑構(gòu)造三角形】1

【題型2遇弦作弦心距解決有關(guān)弦長的問題】5

【題型3遇直徑作直徑所對的圓周角】8

【題型4遇切線作過切點(diǎn)的半徑】11

【題型5遇90的圓周角連直徑】16

【題型6轉(zhuǎn)移線段】19

【題型7構(gòu)造相似三角形】23

【題型8四點(diǎn)共圓】30

A舉一反三

【題型1遇弦連半徑構(gòu)造三角形】

1.(2024?陜西渭南?三模)如圖，4ABC內(nèi)接于。0,AB為。0的直徑，點(diǎn)D在。0上，連接CD、BD,BD

=BC,瞇DB至U點(diǎn)E,峙BE=BD,?CE.

(1)求證：ZA+ZE=90°；

⑵若。0的半徑為學(xué)，BC=5,求CE的長.

O

【答案】⑴見解析

⑵6

【分析】本題考查了圓綜合，其中涉及到了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理解三角形，圓周

角定理及推論等知識點(diǎn)，熟練掌握這些知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

⑴利于等邊對等角的性質(zhì)得到/BCE=ZE,ZBCD=ZD,利用三角形的內(nèi)角和得到NBCE+ZE+

ZBCD+ZD=180,艮阿得到/E+ND=90,再由圓周角的性質(zhì)等量代換即可；

⑵連接0C,由垂徑定理推出OB±CD,CF=DF,利用勾股定理建立式子運(yùn)算出BF的長，再利用中位線

定理即可推出CE的長.

【詳解】⑴證明：：BD=BC,BE=BD,

ABC=BE,

AZBCE=ZE,ZBCD=ZD,

VZBCE+ZE+ZBCD+ZD=180,

.\ZE+ZD=-lx180=90,

VZA=ZD,

?.ZA+ZE=90；

⑵解：峨0C,則OC=OB=孕，如圖所示：_一C

0

VBC=BD,

ABC=BD,

AOB_LCD,CF=DF,

在RtZkOCF中，CF2=OC2-0F2=至2

66D

停pRt/kBCF中，CF2—D以一D「2-。2

...2_25__BF2_52_BF2

66

解得BF=3,

VBD=BE,DF=CF,

；.BF為ADCE的中位線，

.\CE=2BF=6.

2.（23-24九年級上?重慶大足?期末）如圖,AB是。0的直徑，弦CD±AB,垂足為點(diǎn)P,若CD=8,0P

=3,則。0的直徑為（）

A.10B.8C.5D.3

【答案】A

【分析】連接0C,由垂徑定理可得CP=PD=4,然后再根據(jù)勾股定理可得OC,進(jìn)而問題可求解.

【詳解】解：瞄0C,如圖所示：C____

VCD_LAB,CD=8,

ACP=PD=4,

VOP=3,

???在RtACPO中，

OC=Jcp2+opz=5,

二。。的直徑為10；

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2024?貴州黔東南?』）如圖，。。是AABC的外接圓，且AC=BC,過點(diǎn)B作BE，AC,垂足為點(diǎn)

E,延長BE交。0于點(diǎn)D,連接AD,CD,CO,并延長CO交BD于點(diǎn)F.

c

⑴寫出圖中一個(gè)與NACD相等的角：；

⑵求證：CD=CF；

⑶若BC=10,BE=6,求。0的半徑.

【答案】⑴NACD=NABD（答案不唯一）

⑵見解析

⑶。0的半徑為嗎?

【分析】本題考查圓周角定理，垂徑定理及其推論，相似三角形的判定與性質(zhì)；

⑴根據(jù)圓周角可得/ACD=NABD；

⑵延長CF交AB于M,根據(jù)垂徑定理的推論可得/ACF=/BCF,CM_LAB,即可由BE_LAC得到

ZACF=ZABD,進(jìn)而得到/ACD=NABD=/ACF=NBCF,由三線合一即可得到CD=CF；

⑶連0A,由勾股定理求得CE=8,進(jìn)而依次得到AE=2,AB=2/TD,AM=JAB=/ID,再求出CM，最

后在Rt^AOM中利用勾股定理求半徑即可.

【詳解】⑴由圓周角可得：ZACD=ZABD,

故答案為：NABD（答案不唯一）；

⑵延長CF交AB于M,

VAC=BC,延長CO交BD于點(diǎn)F

.".ZACF=ZBCF,CM_LAB,AM=:AB

?/BE±AC,

/.ZBEC=NAMC=9。，

Z.ZACF=ZABD=90-ZCAB,

AZACD=ZABD=ZACF=ZBCF,

VBE±AC,

AZCED=ZCEF=90,

AACED^ACEF,

.".CD=CF；

⑶連0A,

VBC=10,BE=6,

ACE=JBC2-CE2=8,AC=BC=10

AE=AC-CE=2,

/.AB=JAE2+BEZ=27HT,

二.AM=yAB=vnr

CM=JAC'AM2=3vliT,

A0M=CM-0A=3vHT-0A

RtAAOM中，OM2+AM2=OA2,

3VHI-0A2+網(wǎng)2=0A2

解得0A=駕￡,

U

.?.00的半徑為包要.

4.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）如圖，在RSABC中，NACB=90,BC是。。的直徑，。。與邊AB交于

點(diǎn)D,E為BD的中點(diǎn)，連接CE,與AB交于點(diǎn)F.

B

(1)求證：AC=AF.

⑵當(dāng)F為AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：FC=2EF.

【答案】⑴見詳解

⑵見詳解

【分析】⑴連接E0,交BD于點(diǎn)N,楠gE為BD的中點(diǎn)，可得0E±BD,艮崎/NEF+ZEFN=90,再根

據(jù)E0=0C,可得N0EC=Z0CE,進(jìn)而可得。ACF=ZAFC,即可證明；

⑵連接EB,在RtZiABC中，有BF=AF=FC=：AB,即NABC=ZFCB,再由E為BD的中點(diǎn)，可得

ZEBD=ZFCB,進(jìn)而可得NEBD二ZABC,即可證明AEBF^ACBA,問題隨之得證.

【詳解】⑴連接E0,交BD于點(diǎn)N,如圖，B

：E為BD的中點(diǎn)，、

"BD，必/\

AZENF=90,/\

7

Z.ZNEF+ZEFN=90,及''1(7

AZNEF+ZAFC=90,\/\/

VE0=0C,\/

AZOEC=ZOCE,

VZACB=9ff,C

AZACF+Z0CE=90,

Z.ZACF+N0EC=90,

VZNEF+ZAFC=90,

.\ZACF=ZAFC,

/.AC=AF；

⑵連接EB,如圖，

?.?在RtZ^ABC中，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，

ABF=AF=FC=：AB,

AZABC=ZFCB,,

：E為BD的中點(diǎn)，

ADE=BE,

AZEBD=ZFCB,

.".ZEBD=ZABC,

：BC是。0的直徑，

AZBEC=90,

AZBEC=ZACB,

XVZEBD二ZABC,

.,.△EBF^ACBA,

.EFBF

"AC^"HF'

即里=以=￡,

ACAB2

A2EF=AC,

VAF=FC,(1)已證明AC二AF,

即FC=2EF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊等知識，作出合理的輔

助線，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵.

【題型2遇弦作弦心距解決有關(guān)弦長的問題】

5.（23-24九年級上?云南昆明?期末）如圖，半徑為5的。。中，有兩條互相垂直的弦AB、CD,垂足為點(diǎn)

E,且AB=CD=8,則0E的長為（）

C.2JTD.

【答案】D

【分析】作0M_LAB于M,ON_LCB于N,雌0A,0C,根據(jù)垂徑定理得出BM=AM=4,DN=CN=4,

根據(jù)勾股定理求出0M和0N證明四邊形OMEN是正方形，即可解決問題.

【郵】解：如圖，作0M_LAB于M,ON_LCB于N,螃0A,0C.

AM二BM=4,CN=DN=4,

VOA=0C=5,

7T

A0M=VOA-AM-=V5p=3,ON=X/OC-CN-二=3

A0M=ON,

VAB±CD,

.NOME=ZONE=ZMEN=90,

.??四邊形OMEN是矩形，

VOM=ON,

四邊形OMEN是正方形，

/.OE=VZOM=3v2,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的垂徑定理和正方形的判定，關(guān)鍵在于作出輔助線，利用垂徑定理得到證明.

6.（23-24九年級上?山東濰坊?期末）如圖，。。的半徑是4,點(diǎn)P是弦AB延長線上的一點(diǎn)，連接0P,若

0P=6,NAPO=30,貝舷AB的長為（）

A.2^/7B.77

【答案】A

【分析】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，含30的直角三角形，連接0A,則0A=4,過點(diǎn)。作0DAB交

AB于點(diǎn)D,則可計(jì)算出0D,利用勾股定理求出AD,進(jìn)一步利用垂徑定理即可求出弦AB的長.

【詳解】解：髏0A,則0A=4,過點(diǎn)。作0D，AB交AB于點(diǎn)D,__八

\,若0P=6,ZAP0=30°

/.0D=0P4-2=64-2=3,/\

則AD=J0A2-0D2=|J

二AB=2AD=20\。）

故選：A./

7.（23-24九年級下?上每?階段練習(xí)）如圖，OQ和。G相交于A和B,過點(diǎn)A作QQ的平行線交兩圓

于C、D,改口。1。2=20cm，貝!JCD=cm.

\Oiyo2J

【答案】40

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，垂徑定理的應(yīng)用，作0出±CD于點(diǎn)E,02F±CD于點(diǎn)F,利用垂徑

定理得到AE二CE,AF=DF,且易得四邊形0Q?FE為矩形，進(jìn)而得到EF=0曾2=20cm,再利用等量代

換即可得到CD.

【詳解】解：作OiE，CD于點(diǎn)E,O2F，CD于點(diǎn)F,

0[E〃02F,AE=CE,AF=DF,

V0^2/7CD,（?-H—?）

易得四邊形O1O2FE為矩形，\0,WO2/

??ccon-------------------/

.0]C）2=20cm,

/.EF=01O2=20cm,

二?CD=CE+AE+AF+DF=2AE+AF=2EF=40cm,

故答案為：40.

8.（23-24九年級上?福建廈門?期末）關(guān)于*的一元二次方程72^2+2。*+9=0,如果a、b、c滿足a?

+62=?2且。/0,那么我們把這樣的方程稱為“勾系方程”，請解決下列問題：

備用圖

（1）求證：關(guān)于x的“勾系方程”0ax2+2cx+Ob=0必有實(shí)數(shù)根.

⑵如圖，已知AB、CD是半徑為5的。。的兩條平行弦，AB=2a,CD=2b,且關(guān)于x的方程02ax2+

10x+/b=0是“勾系方程”.

①求NBDC的度數(shù),

②直接寫出BD的長：（用含a、b的式子表示）.

【答案】⑴見解析

⑵①NBDC=45；②V?a+b

【分析】⑴根據(jù)一元二次方程根的判別式即可判斷；

⑵①由勾股定理，圓周角定理，垂徑定理即可求解.

②過點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為G,則四邊形DGEF是矩形，根據(jù)AB〃CD,得出NGBD=/BDC=45，進(jìn)

而勾股定理，即可求解.

【詳解】⑴證明：?；關(guān)于x的一元二次方程"2ax2丁4ex/40—u是“勾系方程”

/.a2+b2=c2且cW0,a#0,

A=2c2-4'^/Zb

=4c2-8ab

=4a2+b2-8ab

=4a2+b2-2ab

=4a-b2,

a-b220,

A^O,

方程必有實(shí)數(shù)根；

⑵解：①/BDC=45,理由如下：

作OE_LAB于E,4E0交CD于F,聯(lián)OB,0C,

,/DC〃AB,

EF_LCD,

/.AE=BE=a,CF=DF=b,

,/BE2+OE2=OB2,

a2+0E2=52,

+lOx+^/Zb=0是"勾系方程"，

/.a2+b2=52,

OE=b=CF；

VOB=0C,

???RtABOE^RtAOCFHL；

???ZFOC=ZOBE,

ZOBE+ZEOB=90,

JZFOC+ZEOB=9(J,

JZCOB=90,

ZBDC=1.ZBOC=45.'

②如圖所示，過點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為G,則四邊形DGEF是矩形，/\

；.DG=EF=a+b,I；I

：AB〃CD,貝!J/GBD=ZBDC=45\1

；.DB=V^DG="a+b^Q~E~/B

故答案為：取a+b.

【點(diǎn)睛】本題考查了“勾系方程”的概念，一元二次方程根的判別式，勾股定理，圓周角定理，垂徑定理，三角形

全等，解題的關(guān)鍵是明白“勾系方程”的定義.

【題型3遇直徑作直徑所對的圓周角】

9.(2024?安徽合肥?一模)如圖，AB是。。的直徑，CD是。。的一條弦，AB，CD于點(diǎn)M,邇妾0D

⑴若NODB=54，求ZBAC的度數(shù)；

(2)AC,DB的延長線相交于點(diǎn)F,CE是。0的切線，交BF于點(diǎn)E,若CE±DF,求證：AC=CD.

【答案】⑴36

⑵見詳解

【分析】⑴根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/ODB=/OBD=54,WfZDOB=180-ZOBD-ZODB=72,

根據(jù)垂徑定理得到BC=BD,于是得到結(jié)論；

⑵連接0C,BC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到0C±CE,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ZACO=ZF,根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)得到/A=NACO,求得AB=BF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AC=CF,等量代換得到結(jié)論.

本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確地作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】⑴解：；0D=0B,

.\ZODB=ZOBD=54,

Z.ZDOB=180-ZOBD-ZODB=72,

：AB是。0的直徑，AB±CD,

BC=BD,

.\ZBAC=1-ZB0D=36,

故NBAC的度數(shù)為36；

⑵證明：連接0C,BC,

：CE是。0的切線，

：.0C_LCE,F

VCE_LDF,

???0C〃DF,

AZACO=ZF,

VOA=OC,

AZA=ZACO,

???NA=NF,

AAB=BF,

TAB是。0的直徑,

ABC±AF,

AAC=CF,

VZA=ZCDB,

Z.ZCDB=NF,

ACD=CF,

AAC=CD.

10.（2024九年級上?湖北武漢?期中）如圖，AB為。0的直徑，點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)，CD，AE交直線AE于

D點(diǎn).

⑵若DE=1,CD=2,求。0的直徑.

【答案】⑴見解析

⑵5

【分析】⑴證明0C±EB,AD±BE即可得出結(jié)論；

⑵設(shè)BE交0C于點(diǎn)T,證明四邊形DETC是矩形，設(shè)OB=OC=r,利用勾股定理即可求解.

【詳解】⑴證明：鈕BE,如圖，

TAB為。。的直徑，

AZAEB=90，即AD_LBE,

??,點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)，

AEC=CB,

A0C±EB,

???0C〃AD；

⑵解：設(shè)BE交0C于點(diǎn)T,如圖，

VCD±AD,

AZD=ZDET=ZCTE=90,

???四邊形DETC是矩形，

ACD=ET=2,DE=CT=1,

VOC±EB,

ABT=TE=2,

設(shè)OB=OC=r,ZvX..

貝（]a=r-]2+22/

2,

；.AB=2r=5,即。0的直徑為5；zQ#"

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)

建方程解決問題，屬于中考常考題.

11.（2024?浙江溫州?三模）如圖，已知aABC中，NACB=90,AB=4,AC=3,點(diǎn)E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，以

CE為直徑作。F,連妾BE交。F于點(diǎn)D,則AD的最小值為.

【分析】連接DC,由以CE為直徑作。F,得NCDE=90,ZCDB=90，即可得動(dòng)點(diǎn)D在以BC為直徑的圓上

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A,D,0在一直線上時(shí)，根據(jù)AD2AO-0D,即可求解.

【詳解】解：AABC中，ZACB=90,AB=4,AC=3,

BC=JAB「_AC2=J42-32=0

連接DC,由以CE為直徑作。F,BC=4,AC=5,

AZCDE=90,ZCDB=90,

動(dòng)點(diǎn)D在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，。為圓心，

當(dāng)A,D,0在一直線上時(shí)，

卜。7+斗2’

AD三AO-0D=乎=聞j"

即AD的最小值為弋彳

故答案為：聞二彳.

12.（23-24九年級上存箍莆田?期中）如圖，AB是半圓0的直徑，AB=10,點(diǎn)D在半圓0上，AD=6,C

是弧BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC,過D點(diǎn)作DH，AC于H,睡BH,在點(diǎn)C移動(dòng)的過程中，BH的最

小值是.

___________9

D

C

AoB

【答案】V7T-3/-3+g

【分析】連接BD,取AD的中點(diǎn)E,9BE,由題意先判斷出點(diǎn)H在以點(diǎn)E為圓心，AE為半徑的圓上，當(dāng)B、

H、E三點(diǎn)共線時(shí)，BH取得最小值，然后利用勾股定理，求出BD的長，再利用勾股定理，求出BE的長，再利

用直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出EH的長，再由BH=BE-EH,即可算出BH的長.

【詳解】解：如圖，網(wǎng)BD,取AD的中點(diǎn)E,般BE,

...點(diǎn)H在以點(diǎn)E為圓心，AE為半徑的圓上，當(dāng)B、H、E三點(diǎn)共線時(shí)，BH取得最小值，

VAB是直徑，

/.ZBDA=90,

在RtABDA中，

VAB=10,AD=6,

由勾股定理得：BD=VAB2-AD2=7100-36=8,

為AD的中點(diǎn)，

/.DE=-1AD=3,

在RtABDE中，

VBD=8,DE=3,

由勾股定理得：BEDEZ+BDZ=巾?=03,

又：DH，AC,且點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，

AEH=1-AD=3,

ABH=BE-EH=^/TS-3.

故答案為："7-3.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理解三角形，直徑所對的圓周角為直角，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，

能夠判斷出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解本題的關(guān)鍵.

【題型4遇切線作過切點(diǎn)的半徑】

13.（2024?貴州?模擬預(yù)測）如圖,在RtAABC中，ZACB=90,點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn)，連接AP,分別以點(diǎn)A,

P為圓心，大于是：AP的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E,F,EF交AB于點(diǎn)D,再以點(diǎn)D為圓心，DA長

為半徑作圓，交AB于點(diǎn)M,BC恰好是。D的切線.若/B=3（J,AC=則BM的長為（）

C

EP

M

pV*-D.V3

B-3~4

【答案】A

【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)、含30角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握圓的切線垂

直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是