2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計數(shù)原理1.2排列與組合1.2.1第2課時排列二學(xué)案含解析新人教A版選修2-3

PAGE第2課時排列(二)自主預(yù)習·探新知情景引入2024年7月1日是中國共產(chǎn)黨成立99周年紀念日，各地組織形式多樣的紀念活動，某校開展了“學(xué)習強國”答題競賽，共有29名參賽者按依次就座參與競賽．那么這29位選手的排列依次有多少種呢？這樣的排列依次問題能否有一個公式表示呢？只要駕馭了本節(jié)我們將要學(xué)習的排列與排列數(shù)公式，這些問題便可迎刃而解．新知導(dǎo)學(xué)1．排列數(shù)的性質(zhì)①Aeq\o\al(m,n)＝__n__Aeq\o\al(m－1,n－1)；②Aeq\o\al(m,n)＝__m__Aeq\o\al(m－1,n－1)＋Aeq\o\al(m,n－1)．性質(zhì)①是指從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素排成一列．分兩步驟完成：第一步從n個元素中選出1個排在一個位置上，其次步從余下的n－1個元素中選出__m－1__個元素排在余下的m－1個位置上，得到Aeq\o\al(m,n)＝__nAeq\o\al(m－1,n－1)__．性質(zhì)②是指從含有元素a的n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素，排成一列．第一類：m個元素中含有a，分兩步完成．第一步，將a排在某一位置上，有__m__種不同的方法．其次步，從其余n－1個元素中取出__m－1__個排在其他m－1個位置有Aeq\o\al(m－1,n－1)種方法，即有mAeq\o\al(m－1,n－1)種不同的方法．其次類：m個元素中不含有a.從n－1個元素中取出__m__個元素排在m個位置上有Aeq\o\al(m,n－1)種方法，∴Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n－1)＋Aeq\o\al(m,n－1)或∵Aeq\o\al(m,n)－Aeq\o\al(m,n－1)＝n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)－(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n－m)＝m[(n－1)(n－2)…(n－m＋1)]＝__mAeq\o\al(m,n－1)__∴Aeq\o\al(m,n)＝__mAeq\o\al(m－1,n－1)＋Aeq\o\al(m,n－1)__．2．有限制條件的排列問題①干脆法：以元素為考察對象，先滿意__特別__元素的要求，再考慮__一般__元素(又稱為元素分析法)，或以位置為考察對象，先滿意__特別__位置的要求，再考慮__一般__位置(又稱位置分析法)．②間接法：先不考慮附加條件，計算出總排列數(shù)，再減去__不合要求__的排列數(shù)．③相鄰元素__捆綁__法，相離問題__插空__法，定元、定位__優(yōu)先排__法，至多、至少__間接__法，定序元素__最終排__法．預(yù)習自測1．5名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必需排在一起的不同排法有(C)A．70 B．72C．36 D．12[解析]甲、乙、丙先排好后視為一個整體與其他2名同學(xué)進行排列，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝36種排法．2．用數(shù)字0、1、2、3、4、5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有(B)A．288個 B．240個C．144個 D．126個[解析]個位是0，有4Aeq\o\al(3,4)＝96個；個位不是0，有2×3×Aeq\o\al(3,4)＝144個，∴共有96＋144＝240個．3．有七名同學(xué)站成一排照畢業(yè)照，其中甲必需站在中間，并且乙、丙兩位同學(xué)要站在一起，則不同的站法有__192__種．[解析]解法一：先去掉甲考慮其他6人，首先將乙、丙綁定為一個元素，排法有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(2,2)，然后讓甲站在中間位置，但此時有不符合條件的，即當乙、丙在中間位置時，甲再插入中間的應(yīng)去掉，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)，則符合條件的站法有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(2,2)－Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝192種．解法二：乙、丙的排法有2種，乙、丙可在甲的左邊也可在右邊，每邊都有2種位置，乙、丙站好后其余4人隨意排共有2×2×2Aeq\o\al(4,4)＝192種．4．7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男生4人，女生2人，在下列狀況下，各有不同站法多少種？(1)兩名女生必需相鄰而站；(2)4名男生互不相鄰；(3)若4名男生身高都不等，按從高到低的一種依次站；(4)老師不站中間，女生不站兩端.[解析](1)2名女生站在一起有站法Aeq\o\al(2,2)種，視為一個元素與其余5個全排，有Aeq\o\al(6,6)種排法，∴有不同站法Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(6,6)＝1440種．(2)先排老師和女生，有排法Aeq\o\al(3,3)種，再在老師和女生站位的間隔(含兩端)處插入男生，每空一人，有插入方法Aeq\o\al(4,4)種，∴共有不同站法Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144種．(3)7人全排列中，4名男生不考慮身高依次的站法有Aeq\o\al(4,4)種，而由高到低有從左到右，或從右到左的不同，∴共有不同站法2·eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(4,4))＝420種．(4)中間和兩側(cè)是特別位置，可如下分類求解：①老師站兩側(cè)之一，另一側(cè)由男生站，有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(5,5)種站法；②兩側(cè)全由男生站，老師站除兩側(cè)和正中外的另外4個位置之一，有Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)種站法，∴共有不同站法Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝2112種．互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?元素相鄰問題典例16名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必需在一起的不同排法共有(C)A．720種 B．360種C．240種 D．120種[解析]因甲、乙兩人要排在一起，故將甲、乙兩人捆在一起視作一人，與其余四人全排列共有Aeq\o\al(5,5)種排法，但甲、乙兩人之間有Aeq\o\al(2,2)種排法，由分步乘法計數(shù)原理可知：共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(2,2)＝240種不同的排法，選C．『規(guī)律總結(jié)』1.解排列應(yīng)用題的基本思路實際問題→排列問題→求排列數(shù)→解決實際問題．通過審題，找出問題中的元素是什么，是否與依次有關(guān)，有無特別限制條件(特別位置，特別元素)．2．相鄰元素捆綁法．假如所給問題中要求某n個元素必需相鄰，可將這n個元素先排好，然后將其整體看作一個元素參與排列．┃┃跟蹤練習1__■記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有(B)A．1440種 B．960種C．720種 D．480種[解析]先將5名志愿者排好，有Aeq\o\al(5,5)種排法，2位老人只能排在5名志愿者之間的4個空隙中，先將2位老人排好，有Aeq\o\al(2,2)種排法，再把它作為一個元素插入空隙中，有4種插法．∴共有不同排法4Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝960種．命題方向?元素不相鄰問題典例2要排一張有6個歌頌節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰，問有多少種不同的排法？[解析]先將6個歌頌節(jié)目排好，其不同的排法為Aeq\o\al(6,6)種，這6個歌頌節(jié)目的空隙及兩端共七個位置中再排4個舞蹈節(jié)目有Aeq\o\al(4,7)種排法，由分步乘法計數(shù)原理可知，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰的排法為Aeq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(6,6)＝604800(種)．『規(guī)律總結(jié)』不相鄰問題插空法．不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其他元素將它隔開，此類問題可以先將其他元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的空隙及兩端位置，故稱“插空法”．┃┃跟蹤練習2__■4名男生和4名女生站成一排(1)男生不相鄰的站法有__2_880__種．(2)女生不相鄰的站法有__2_880__種．(3)男、女生相間的站法有__1_152__種．(可不必計算出數(shù)值)[解析](1)4名女生排好有Aeq\o\al(4,4)種排法，男生插入女生形成的5個空位中有Aeq\o\al(4,5)種．∴男生不相鄰的站法有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,5)＝2880種．(2)同(1)可得Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,5)＝2880種．(3)如圖，1男2男3男4男5男生排好后，形成5個空位，要使男女相間排列，女生應(yīng)排在1至4號位或2至5號位，∴有排法2Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)＝1152種．命題方向?定位定元問題典例33名男生，4名女生，依據(jù)不同的要求排隊，求不同的排列方案的方法種數(shù)．(1)全體站成一排，其中甲只能在中間或兩端；(2)全體站成一排，其中甲、乙必需在兩端；(3)全體站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端．[思路分析](1)甲是特別元素，其余學(xué)生站法不受限制，故可先將甲排好，再排其他人．(2)同(1)的分析，甲、乙是特別元素可先在兩端排好甲、乙，有Aeq\o\al(2,2)種排法，再排其他人．(3)干脆排時，可按甲的站位分類：甲在最右端和甲不在兩端；也可按乙的站位分類．用間接法求時，7人全排列后減去甲在左端的和乙在右端的(兩種情形一樣多)，再加上甲在左端且乙在右端的情形(兩次都減去了)．[解析](1)(特別元素優(yōu)先法)先考慮甲有Aeq\o\al(1,3)種方案，再考慮其余六人全排，故N＝Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(6,6)＝2160(種)．(2)(特別元素優(yōu)先法)先支配甲、乙有Aeq\o\al(2,2)種方案，再支配其余5人全排，故N＝Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(5,5)＝240(種)．(3)解法一(特別元素優(yōu)先法)：按甲是否在最右端分兩類：第一類：甲在最右端時有N1＝Aeq\o\al(6,6)(種)，其次類：甲不在最右端時，甲有Aeq\o\al(1,5)個位置可選，而乙也有Aeq\o\al(1,5)個位置，而其余全排Aeq\o\al(5,5)，有N2＝Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)(種)，故N＝N1＋N2＝Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)．解法二(間接法)：無限制條件的排列數(shù)共有Aeq\o\al(7,7)，而甲在左端或乙在右端的排法都有Aeq\o\al(6,6)，且甲在左端且乙在右端的排法有Aeq\o\al(5,5)，故N＝Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)．解法三(特別位置優(yōu)先法)：按最左端優(yōu)先支配分步．對于左端除甲外有Aeq\o\al(1,6)種排法，余下六個位置全排有Aeq\o\al(6,6)，但減去乙在最右端的排法Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)種，故N＝Aeq\o\al(1,6)Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)．『規(guī)律總結(jié)』有限制條件的排列問題常用的方法有“干脆法”和“間接法”．1．至多、至少間接法當問題的正面分類較多或計算較困難，而問題的反面分類較少或計算更簡便時往往運用“間接法”．含“至多”、“至少”類詞語的排列(組合)問題，是須要分類問題，常用間接法(即解除法)解答．這時可以先不考慮特別元素(位置)，而列出全部元素的全排列數(shù)，從中再減去不滿意特別元素(位置)要求的排列數(shù)，即解除法．2．定元、定位優(yōu)先排．在有限制條件的排列問題中，有時限定某元素必需排在某位置，某元素不能排在某位置；有時限定某位置只能排(或不能排)某元素．這種特別元素(位置)解題時要優(yōu)先考慮．(1)元素分析法——即以元素為主，優(yōu)先考慮特別元素，再考慮其他元素，先特別后一般．(2)位置分析法——即以位置為主，優(yōu)先考慮特別位置，再考慮其他位置，先分類后分步．┃┃跟蹤練習3__■7人站成一排．(1)甲必需在乙的前面(不肯定相鄰)，則有多少種不同的排列方法；(2)甲、乙、丙三人自左向右的依次不變(不肯定相鄰)，則有多少種不同的排列方法．[解析](1)甲在乙前面的排法占全體全排列種數(shù)的一半，故有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(2,2))＝2520種不同排法．(2)甲、乙、丙自左向右的依次保持不變，即甲、乙、丙自左向右依次的排法種數(shù)占全體排列種數(shù)的eq\f(1,A\o\al(3,3))．故有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝840種不同排法．學(xué)科核心素養(yǎng)排列與其他學(xué)問相交匯排列問題常與方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何等學(xué)問相交匯，給人感覺情境新奇，但只需轉(zhuǎn)化和化歸，即可脫去新題的偽裝，還其原來面目．典例4從1,2,3，…，20這20個自然數(shù)中任選出3個不同的數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列可以有多少個？[思路分析]由三個自然數(shù)組成的等差數(shù)列具有這樣的性質(zhì)：第一個數(shù)與第三個數(shù)必同時為偶數(shù)或同時為奇數(shù)(若a，b，c成等差數(shù)列，則a＋c＝2b)，在1到20這20個數(shù)中有10個偶數(shù)和10個奇數(shù)，聯(lián)想到排列的定義，可以求解．[解析]設(shè)a，b，c∈N*，且a，b，c成等差數(shù)列，則a＋c＝2b，即a＋c應(yīng)是偶數(shù)．因此，若從1到20這20個數(shù)中任選出三個數(shù)成等差數(shù)列，則第一個數(shù)與第三個數(shù)必同為偶數(shù)或同為奇數(shù)，而1到20這20個數(shù)中有10個偶數(shù)和10個奇數(shù)．當?shù)谝粋€數(shù)和第三個數(shù)選定后，中間的數(shù)被唯一確定．因此選法有兩類：第一類，第一個數(shù)和第三個數(shù)都是偶數(shù)，有Aeq\o\al(2,10)種選法；其次類，第一個數(shù)和第三個數(shù)都是奇數(shù)，有Aeq\o\al(2,10)種選法．于是，選出3個數(shù)成等差數(shù)列的個數(shù)為Aeq\o\al(2,10)＋Aeq\o\al(2,10)＝180．『規(guī)律總結(jié)』解有限制條件的排列應(yīng)用問題的關(guān)鍵是將題設(shè)的限制條件轉(zhuǎn)化為顯性的排列的限制條件．如本例中將三個正整數(shù)成等差數(shù)列這一限制條件轉(zhuǎn)化為第一項和第三項同為偶數(shù)或同為奇數(shù)的限制條件．┃┃跟蹤練習4__■某電視節(jié)目的主持人邀請年齡互不相同的5位嘉賓逐個出場亮相．(1)其中有3位老者要按年齡從大到小的依次出場，出場依次有多少種？(2)3位老者與2位年輕的都要分別按從大到小的依次出場，依次有多少種？[思路分析]思路(1)3位老者按從大到小的依次出場不肯定這3位相鄰出場，只要先排下年輕的，剩余的3個位置，可以按年齡“對號入座”．思路(2)可先不考慮依次，共有Aeq\o\al(5,5)種排法．設(shè)符合條件的排法有x種，每一種排法若不講依次的話，三位老者又可作全排列Aeq\o\al(3,3)種，共有排法x·Aeq\o\al(3,3)，這是不講依次的另一種列式方法．∴x·Aeq\o\al(3,3)＝Aeq\o\al(5,5).∴x＝eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))＝Aeq\o\al(2,5)＝20．[解析](1)只要第一步先排好年輕的，共有Aeq\o\al(2,5)種方法，其次步排3位年老者只有一種排法，按分步乘法計數(shù)原理有Aeq\o\al(2,5)×1＝20(種)排法．(2)設(shè)符合條件的排法共有x種，用(1)的方法可得：x·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,2)＝Aeq\o\al(5,5)，解得x＝eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3)·A\o\al(2,2))＝10(種)．易混易錯警示排列的綜合應(yīng)用典例54名運動員參與4×100接力賽，依據(jù)平常隊員訓(xùn)練的成果，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，則不同的出場依次有(B)A．12種 B．14種C．16種 D．24種[錯解]若不考慮限制條件，4名隊員全排列共有Aeq\o\al(4,4)＝24種排法，甲跑第一棒有Aeq\o\al(3,3)＝6種，乙跑第四棒有Aeq\o\al(3,3)＝6種，故一共有Aeq\o\al(4,4)－2Aeq\o\al(3,3)＝12種．[辨析]解答過程中，解除甲跑第一棒和乙跑第四棒，兩次都減去了甲跑第一棒且乙跑第四棒的狀況，導(dǎo)致了錯誤結(jié)論Aeq\o\al(4,4)－2Aeq\o\al(3,3)＝12．[正解]用解除法，若不考慮限制條件，4名隊員全排列共有Aeq\o\al(4,4)＝24種排法，減去甲跑第一棒有Aeq\o\al(3,3)＝6種排法，乙跑第四棒有Aeq\o\al(3,3)＝6種排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有Aeq\o\al(2,2)＝2種排法，共有Aeq\o\al(4,4)－2Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)＝14種不同的出場依次．課堂達標·固基礎(chǔ)1．用1、2、3、4、5這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(A)A．36 B．30C．40 D．60[解析]奇數(shù)的個位數(shù)字為1、3或5，偶數(shù)的個位數(shù)字為2、