高考數(shù)學（理）一輪講義：導數(shù)與函數(shù)的綜合問題

第16講導數(shù)與函數(shù)的綜合問題

2019曷考解讀GAOKAOJIEDU?◎。

考綱要求考情分析命題趨勢

1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單2023?全國卷I,21

調性、極(最)值，并會解決與之2023?全國卷III,21考查導數(shù)在研究函數(shù)中

有關的方程(不等式)問題.2023?四川卷,21的應用，并應用導數(shù)的方法探求一

2.會利用導數(shù)解決某些簡些與不等式、函數(shù)、數(shù)列有關的綜

分值：12~14分

單的實際問題.合問題，題目難度較大.

板塊~/考點清單?課前1查漏

知識梳理/

1.生活中的優(yōu)化問題

通常求利潤最大、用料最省、效率最高等問題稱為優(yōu)化問題，一般地，對于實際問題，若函數(shù)在給定

的定義域內只有一個極值點，那么該點也是最值點.

2.利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的基本思路

|優(yōu)化問題|~-I用函數(shù)表個數(shù)學問題|

|優(yōu)化.題答案IT用導數(shù)解』數(shù)學問題|

3.導數(shù)在研究方程(不等式)中的應用

研究函數(shù)的單調性和極(最)值等離不開方程與不等式；

反過來方程的根的個數(shù)、不等式的證明、不等式恒成立求參數(shù)等，又可轉化為函數(shù)的單調性、極值與

最值的問題，利用導數(shù)進行研究.

4.導數(shù)在綜合應用中轉化與化歸思想的常見類型

(1)把不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值問題；

(2)把證明不等式問題轉化為函數(shù)的單調性問題；

(3)把方程解的問題轉化為函數(shù)的零點問題.

對點檢測/

1.思維辨析(在括號內打“J”或“x”).

(1)若實際問題中函數(shù)定義域是開區(qū)間，則不存在最優(yōu)解.(x)

(2)函數(shù)八尤)=了3+以2+6x+c的圖象與無軸最多有3個交點，最少有一個交點.(V)

(3)函數(shù)F(無)=/(x)—g(x)的最小值大于0,則/(x)>g(x).(V)

(4)”存在b),使7(x)2〃”的含義是“任意工￡(〃，b),使危)2?！?(x)

2.已知某生產廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產量M單位：萬件)的函數(shù)關系式為y=—$+81尤一

234,則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為(C)

A.13萬件B.411萬件

C.9萬件D.7萬件

解析y'=一9+81,令y=0得x=9或X=—9(舍去)，當XG(0,9)時，y'>0,當x6(9,+°0)

時，y'<0,則當x=9時，y有最大值.即使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為9萬件.

3.己知函數(shù)無)，g(尤)均為［a,句上的可導函數(shù)，在［a,b］上連續(xù)且/(無)<g'(x),則八尤)一g(x)的最大

值為(A)

A.五①一g(a)B.j(b)—g(b)

C.jct4peve—g(b)D.fib)~g(a)

解析設F(x)=/(x)—g(x),F'(x)=/(,x)—g'(x)<0,

.*.P(x)在［a,切上是減函數(shù).

.?.丹力在團，加上的最大值為F(a)=/(a)-g(a).

Inx

4.若4x)=k，0<a<b<e,貝|八。)，外加的大小關系為?。。⊙?###.

］—Inx1—1nx

解析由題意可知，/(x)=r2,當xG(0,e)時，..>0,即/(無)>0,...於)在(0,e)上遞增，

又0<a<b<e,，艮艮b).

5.若函數(shù)/U)=x3—3x+a有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是(一2,2).

解析由于函數(shù)人力是連續(xù)的，故只需要兩個極值異號即可.

f(x)=3/—3,令3/—3=0,得了=±1,只需八一1成1)<0,

即(a+2)(a—2)V0,故。?(—2,2).

-利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題

利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的四個步驟

(1)分析實際問題中各個量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關

系式>=兀力

(2)求函數(shù)的導數(shù),(x),解方程(尤)=0.

(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和使/(尤)=0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.

(4)回歸實際問題提出解決方案.

注意：解決此類問題要根據(jù)實際問題的意義確定函數(shù)的定義域.

【例1】某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設該蓄水池的底面半徑為r米，高為〃

米，體積為V立方米.假設建造成本僅與表面積有關，側面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本

為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000兀元(兀為圓周率).

(1)將V表示成廠的函數(shù)H，)，并求該函數(shù)的定義域;

02/12

(2)討論函數(shù)V(r)的單調性，并確定廠和h為何值時該蓄水池的體積最大.

解析(1)因為蓄水池側面的總成本為100義2兀泌=200兀K元，底面的總成本為160兀3元，所以蓄水池

的總成本為(200兀汕+16071r2)元.

又根據(jù)題意得20071^+160^=12000K,

1JT

所以。=*(30°—4戶)，從而M>)=兀戶用=弓(300「一42).

由h>0,且r>0可得0<r<5小,故函數(shù)V⑺的定義域為(0,5#).

⑵因丫(廠)=5(300廠一4戶)，所以V(r)=^(300-12r).令V0)=0,解得n=5,r2=—5(因為廠2=一

5不在定義域內，舍去).

當—(0,5)時,V(r)>0,故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；

當rG(5,54)時，V'(r)<0,故V⑺在(5,55)上為減函數(shù).

由此可知，V(r)在廠=5處取得最大值，此時〃=8,即當廠=5,%=8時，該蓄水池的體積最大.

躇法二利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或方程的根

>歸納總結I

研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，

畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結合的思想去分析問題，可以使問題的求

解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).

【例2】已知尤=3是函數(shù)式無)=aln(l+x)+x2—10x的一個極值點.

⑴求1的值;

(2)求函數(shù)/(x)的單調區(qū)間；

(3)若直線y=6與函數(shù)y=/(x)的圖象有3個交點，求6的取值范圍.

解析(1)因為/'(X)=K%+2X—10,

所以(3)=^+6—10=0,因此a=16.

(2)由⑴知,犬x)=161n(l+x)+/—10x,x￡(-l,+0°),

,2?X2~4X+3?

f(無尸1+x.

當尤e(一1,1)或(3,+8)時,f(x)>0;xG(l,3)時，f(x)<0.

所以ar)的單調增區(qū)間是(一1,1),(3,+°°);兀r)的單調減區(qū)間是(1,3).

(3)由(2)知，八尤)在(一1,1)內單調遞增，在(1,3)內單調遞減，在(3,+8)內單調遞增，且當尤=1或x=3

時，(x)=0.

所以人尤)的極大值為/(l)=161n2—9,

極小值為式3)=321n2-21.

因為X16)>162-10X16>161n2—9=/(1),1)<一32+11=—21勺(3),所以在/(x)的三個單調區(qū)間

(-1,1),(1,3),(3,+8)上，直線y=6與y=/(x)的圖象各有一個交點，當且僅當犬3)<6勺Q).因此，b的

取值范圍為(321n2-21,161n2-9).

房法三利用導數(shù)證明不等式

利用導數(shù)證明不等式的解題策略

(1)證明兀0<8(》)，戈6(凡b),可以構造函數(shù)刀(x)=/(尤)一g(x),如果F(x)<0,那么尸(無)在(a,6)上是

減函數(shù)，同時若F(a)WO,由減函數(shù)的定義可知，xe(a,6)時，有F(x)<0,即證明了大x)<g(x).

(2)證明外x)>g(x),xG(cz,b),可以構造函數(shù)F(x)=A尤)一g(x),如果尸'(x)>0,那么網尤)在(a,b)上是

增函數(shù)，同時若網a)20,由增函數(shù)的定義可知，xe(a,6)時，有F(無)>0,即證明了/(尤)丑(無).

(3)在證明過程中，一個重要技巧就是找到函數(shù)/(x)=?r)—g(x)的零點，這往往就是解決問題的一個突

破口.

?r—2

【例3】已知函數(shù)五尤)=Rp

(1)設g(%)=lnx,求證：g(x)2/a)在［1,+8)上恒成立;

,,八、-Inb-lna2a

⑵右0<"6,求證：b_a>^5.

2x-2

證明(1)由題意知，要證111125不7在［1，+8)上恒成立,

即證明(f+l)ln2,flnx+lnx—2x+220在［1,+8)上恒成立.

設/zOOuflnx+lnx—2%+2,則h'(x)=2xlnx+x+J—2,

由G1,得2xlnx20,x+》12?、層22(當且僅當x=l時等號成立)，即/?'(x)20,所以/z(x)在［1,

x

+8)上單調遞增，/z(x)^/z(l)=O,所以g(%)2，/(x)在［1,+8)上恒成立.

2.--2

…bba轉Inala,

(2)因為0<a<b,所以工>1,則(1)知In,整理付衣京，所以當°<。電時，

In/?—Ina2a

--------->------

b~a次+/

考法四利用導數(shù)研究恒成立(或存在性)問題

利用導數(shù)研究不等式恒成立問題的方法

(1)由不等式恒成立求解參數(shù)的取值范圍問題常采用的方法是分離參數(shù)求最值，即要使aNg(x)恒成立，

只需O》g(X)max,要使。Wg(無)恒成立，只需aWg(X)min.另外，當參數(shù)不宜進行分離時，還可直接求最值建

立關于參數(shù)的不等式求解，例如，要使不等式八x)》。恒成立，可求得兀0的最小值九m)，令/?(a)》0即可

求出a的取值范圍.

(2)參數(shù)范圍必須依靠不等式才能求出，求解參數(shù)范圍的關鍵就是找到這樣的不等式.

【例4】已知函數(shù)危)=f+2x,g(x)—xex.

04/12

⑴求人的一g(%)的極值；

(2)當2,0)時，/(x)+l2〃g(x)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

解析(1)令〃(%)=/(x)—g(x)=f+2x—xe\

則今(x)=(x+l)(2-ex),令/(x)=0,解得工=一1或x=ln2.

當x變化時，/(%)與/z(x)的變化情況如下表.

X(-8,-1)-1(-1,In2)In2(In2,+8)

h'(x)一0+0一

極小極大

h(x)單調遞減單調遞增單調遞減

值值

.?./z(x)的極小值為4(—1)=:—1,%(x)的極大值為/z(ln2)=ln22,

即/(x)—g(x)的極小值為1,極大值為In?2.

(2)由題意知，當工￡(—2,0)時，，+2x+1恒成立,

f+2x+l

即恒成立.

xex

/+2%+1?拶+1??%+1?

令?)=;則t'(x)=

.??當次￡(—2,—1)時，t'(x)>0,?x)單調遞增;

當丁￡(—1,0)時,t'(x)<0,心)單調遞減；

當工￡(—2,0)時，*x)max=4—1)=0.「.aNO.

故。的取值范圍是[0,+°°).

【例5】已知函數(shù)加)=/一blnx在點(1,11))處的切線方程為y=3x—1.

(1)若八%)在其定義域內的一個子區(qū)間(%—1,左+1)內不是單調函數(shù)，求實數(shù)上的取值范圍；

(2)若對任意x￡(0,+°°),均存在/￡[1,3],使得53—弓工/+以+111試求實數(shù)c的取值

范圍.

b

解析(1^(x)=2ax--f

由f?1?=3,

歷1?=2,

14工2—11

/(x)=2f-Inx,f(x)=4x--=---,令/(x)=0,得

Z—1N0,

所以<解得iwk<|.

^+1>2，

故實數(shù)上的取值范圍是1,

(2)設g⑺一*|二2+a+ln2+t,

根據(jù)題意可知g?)minW兀X)min.

由(1)知於)min=/a=g+ln2,

g'(/尸/2—(c+l)/+c=Q—1)(Lc),

當cWl時，g'⑺20,g⑺在［1,3］上單調遞增，

c

g(，)min—g(D—2+ln2,>兩足g(/)minWy(X)min.

當1<C<3時，g⑺在［1,C］上單調遞減，在匕3］上單調遞增，g(/)min=g(C)=一甘+++1112+/.由一家

+^c2+ln2+不忘1+1112得c3—3c2+2^0,(c—1)(，-2c—2)20,

此時1+小Wc<3.

,3c143c14

當c23時，g'(0^0,g⑺在［1,3］上單調遞減，^(0min=^(3)=—y+y+ln2,^(3)=—y+y+ln2^

3X3141

-—2-+-+ln2W］+ln2.

綜上，c的取值范圍是(一8,1］U［1+V3,+8).

1.做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27兀，且用料最省，則圓柱的底面半徑為（A）

A.3B.4

C.6D.5

解析設圓柱的底面半徑為R,母線長為I,則丫=兀店/=27兀，

27、

，/=?，要使用料最省，只須使圓柱的側面積與下底面面積之和S最小.由題意，S=7lR2+2TIR/=7IR2

27

:五

54兀

**.S'=2TIR—R2,令S'=0,得R=3,

則當R=3時，S最小.故選A.

2.已知函數(shù)兀c）=皿3—3x+l對xG（0,l］總有1x）20成立，則實數(shù)a的取值范圍是「4,十8）.

3x—1

解析當xG（0,l］時不等式加一3苫+120可化為a2一^―,

3%—1

設g（x）=、，XG（O,1］,

,3X3-?3X—1?-3X26（J—5）

g（x）=?~.

06/12

由g'(x)=0得x=T，當xG(O,，時g，(x)>0;

當xG(W，J時g'(x)<0;因此g(x)的最大值g(；)=4,

則實數(shù)。的取值范圍是［4,+8).

］1—a

3.已知函數(shù)/0)=不？+方~臺一or—a,尤GR,其中a>0.

(1)求函數(shù)八勸的單調區(qū)間；

(2)若函數(shù)兀0在區(qū)間(一2,0)內恰有兩個零點，求。的取值范圍.

解析(l)f(x)=x2+(l—ci)x—a=(x+l)(無一a).

由(尤)=0,得了=一1或。(。>0).

當無變化時(尤)與八x)的變化情況如下表

X(~°0,-1)-1(—1,a)a(a,+°°)

fW+0一0+

極大極小

fl.x)單調遞增單調遞減單調遞增

值值

故函數(shù)的單調遞增區(qū)間是(一8,—1),(m+8)；單調遞減區(qū)間是(一1,。).

(2)由⑴知人勸在區(qū)間(-2,—1)內單調遞增；在區(qū)間(-1,0)內單調遞減.從而函數(shù)次尤)在區(qū)間(-2,0)

7?-2?<0,

內恰有兩個零點，當且僅當1?>0，解得0<。<4所以〃的取值范圍是(0,I

/?0?<0,

4.(2023?安徽安慶模擬)已知y(%)=xlnx,證明：當時，2x—e^/x).

證明令g(%)=/(%)—2x+e,則g'M=f,(x)—2=lnx—1.

令g'。)=0,得1=?.

f

當％￡(1,e)時，g(x)<0;當一￡(e,+8)時，g'(x)>o,

.,.g(x)在(1,e)內單調遞減,在(e,+8)內單調遞增.

g(x)極小值=g(e)=/(e)—2e+e=0.

又??飛(1)=,1)-2+?=9—2>0,???ga)在［1,+8)內的最小值為0,

.??g(x)2ga)min=0,???/(%)—2x+eNO,即2x—

易錯點忽視定義域出錯、求導出錯，非等價轉化出錯

錯因分析：對一些函數(shù)的定義域沒有認清，不能對要證明的目標進行合理轉化，也不能按得分點規(guī)范

化書寫而失分.

［例1］設函數(shù)alnx.

(1)討論?x)的導函數(shù)/(%)零點的個數(shù)；

.2

(2)證明：當a>0時，f(x)^2a+a\n~.

解析(l/x)的定義域為(0,+°°),

/(無)=(3?)-(alnx)'=2e2v-^>0),

當aWO時，f'(x)>0,/(x)沒有零點.

當a>0時，設〃(x)=2e汽o(x)=*

因為〃(x)=2e2%在(0,+8)上單調遞增，

0a)=￡在(0,+8)上單調遞減，

在同一坐標系中作出u(x),o(x)的簡圖如下.

可知"(x)與o(x)的圖象在(0,+8)上僅有一個交點.

故當〃>0時，/(x)存在唯一零點.

綜合得/(%)的零點的個數(shù)為1.

(2)證明：由⑴，可設/(%)在(0,+8)上的唯一零點為私當x￡(0,必)時，/(x)V0；

當x￡(%o,+°°)H+,f(x)>0.故人%)在(0,xo)上單調遞減，在(%o,+8)上單調遞增，所以當x=x()

時，危)取得最小值，最小值為月配).

［十4?a2

由于2e2xo——=0,所以e2&=5—，41nxo=-2〃&-〃ln-，

XQ/X。Cl

所以危。)=+2ax?！?/p>

zx。a+?lna~22+tzln~.

2

故當〃>0時，?x)e2a+”ln‘.

【跟蹤訓練1】已知八%)=疣%,g(%)=—(x+l)2+m若?陽，％2￡R，使得/(X2)Wgai)成立，則實數(shù)〃

的取值范圍是JJJ-g+8］###.

解析/(x)=er+xer=ex(l+x),當尤C一1時，/(x)<0,當尤>一1時，/(尤)>0,.7/(>:)在(-8,-1)

上遞減，在(-1,+8)上遞增，，於：)min=/(—1)=—土

???g(%)max=〃，「?由題意，得”》一1?

課時達標第16講

［解密考綱］本考點主要以基本初等函數(shù)為載體，綜合應用函數(shù)、導數(shù)、方程、不等式等知識，?？疾?/p>

恒成立問題、存在性問題或者與實際問題相結合討論最優(yōu)解等問題，綜合性較強，常作為壓軸題出現(xiàn).三

08/12

種題型均有出現(xiàn)，以解答題為主，難度較大.

1.已知函數(shù)人功二%2一。無一alnx(aeR).

(1)若函數(shù)7U)在x=i處取得極值，求。的值；

(2)在(1)的條件下，求證：了+4x+不.

解析(1?'(尤)=2無一4一%由題意可得

，(1)=0,解得4=1.

經檢驗，4=1時“X)在％=1處取得極小值，所以〃=1.

(2)由(1)知，J(x)=x1—x—\nx,

+4+

令g(x)=/(x)-[~^~~X~6,J=~3~~+3x_In不，

1—14?X—1?3

由g'(X)=X2-3X+3--=—^-3(x-l)=，'(x>0),可知g(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,+^)

上是增函數(shù)，

1311

?*-g(X)min=g(l)=3-2+3一不=°，

5X211

當x>0時，g(x)2g(1)=0,于是八次)》一可+三一4%+不.

4

2.若函數(shù)危)=以3—笈+4,當x=2時，函數(shù)?x)有極值一

(1)求函數(shù)1的的解析式;

(2)若方程式x)=左有3個不同的根，求實數(shù)左的取值范圍.

角星析(1^(%)=3加一b,

//?2?=12。一匕=0,1

a=y

由題意得14解得《

/?2?=8〃-2。+4=一?

3=4,

故所求函數(shù)的解析式為y(x)=1x3—4x+4.

(2)由(1)得/(x)=/—4=(x+2)。-2),令/(x)=0,

得x=2或x=-2.

當X變化時，f(X),危)的變化情況如下表.

(—8,-2)(—2,2)2(2,+°0)

2

/④+0一0+

錯單調遞

於)單調遞增4單調遞增

減

3

284

因此，當x=-2時，有極大值可，當冗=2時，人%)有極小值一],

所以函數(shù)危)=￥—4x+4的圖象大致如圖所示.

428

因為八工)=左有3個不同的根，所以直線,=女與函數(shù)?x)的圖象有3個交點，所以一

3.(2023?河南新鄉(xiāng)調研)已知函數(shù)危)=x—(〃+l)ln%一，(a￡R),g(x)~xex.

(1)當x￡[l,e]時,求於)的最小值;

(2)當〃<1時，若存在e”使得對任意的應W[-2,0],兀⑴嵇3)恒成立，求。的取值范圍.

解析(1求>)的定義域為(0,+8),f(x)=-—V----

①當aWl時，e],f(x)^0,犬x)為增函數(shù)，

則/U)min=/U)=l-a

②當l<a<e時，Xd[l,a]時，f(x)^0,/)為減函數(shù)；

xG[a,e]時，f'(x)^0,應行為增函數(shù)，

則f(x)mm=f(a)=a~(a+l)lna—1.

③當a2e時，xG[l,e]時，f(x)^0,人尤)在[1,e]上為減函數(shù)，

則/(x)min=#e)=e—(a+1)—(

綜上，當aWl時，/(x)min=l-a;

當l<〃<e時，y(%)min=a—(a+l)lna—1;

當〃2e時，y(x)min=e—(41+1)—P

⑵由題意知，危)(x￡[e,e2])的最小值小于g(x)a￡L2,0])的最小值.由⑴知心：)在[e,e?]上單調遞增,

yU)min=/(e)=e—(a+l)g'(無)=(1—3)元.

xG[-2,0]時，g'a)W0,則g(x)為減函數(shù).

所以gQ)min=g(0)=l.所以e—(〃+l)一號<1,

e2-2e

即

e2—2e)

所以4的取值范圍為

4.某商店經銷一種奧運紀念品，每件產品成本為30元，且每賣出一件產品，需向稅務部門上交〃元

(a為常數(shù)，2WaW5)的稅收，設每件產品的日售價為x元(35WxW41),根據(jù)市場調查，日銷售量與e%e為

10/12

自然對數(shù)的底數(shù))成反比，已知每件產品的日售價為40元時，日銷售量為10件.

(1)求商店的日利潤元與每件產品的日售價x元的函數(shù)關系式；

(2)當每件產品的日售價為多少元時該商店的日利潤〃尤)最大，說明理由.

kk

解析(1)設日銷售量為最件，則群=10,...左=10e4°

40

則日銷售量為否101e件，每件利潤為(x—30—a)元，

1---30---Z7

則日利潤L(x)=10e4°q.工(35WxW41).

31-I-a—x

(2)1,(x)=10e他一最一(35WxW41).

①當2<aW4時，33W31+aW35,L'(x)40,￡(無)在［35,41］上是減函數(shù)....當x=35時，L(x)的最大

值為10(5—a)e5.

②當4<aW5時，35<31+aW36,由Z7(x)=0得x=a+31,

當尤G(35,a+31)時,L'(x)>0,L(x)在(35,a+31)上是增函數(shù).

當尤e(a+31,41］時,L'(x)<0,L(x)在(a+31,41］上是減函數(shù).

當x=a+31時，L(x)的最大值為10e9-fl.

綜上可知，當2WaW4時，日售價為35元可使日利潤L(x)最大，

當4<aW5時，日售價為a+31元可使日利潤L(x)最大.

5.(2023?遼寧五校聯(lián)考)已知函數(shù)式x)=(依一l)lnx+g.

(1)若。=2,求曲線>=人尤)在點(1,八1))處的切線/的方程；

(2)設函數(shù)g(尤)=/(尤)有兩個極值點，xi，尤2，其中尤iG(0,e］,求g(xi)—g(無2)的最小值.

解析⑴當a=2時，/(x)=21nx+x一菱+2,

f(1)=2,-1)=.

.?.切線/的方程為y—；=2(x—l),即4無一2y一3=0.

(2)函數(shù)g(x)=aln尤+x—1+”，定義域為(0,+°°),

,.a