2024年簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)【八大題型】（含答案）

復(fù)習(xí)材料

專題L3簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)【八大題型】

【人教版】

2象[型無(wú)力

【題型1水平彈簧振子】

【題型2豎直彈簧振子】

【題型3單擺】

【題型4等效單擺】

【題型5振動(dòng)圖像的應(yīng)用】

【題型6簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性】

【題型7簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性】

【題型8簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式的應(yīng)用】

?聲—>￡二

【題型1水平彈簧振子】

【例1】如圖所示，

物體/置于物體3上，一輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端與5相連，現(xiàn)從彈簧處于壓縮狀態(tài)開始釋放/、B,在

彈簧的彈性限度內(nèi)，48在光滑的水平面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并保持相對(duì)靜止。若取向右為正方向，則從釋放

開始，/、8向右運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，物體/的速度。和所受摩擦力4隨時(shí)間變化的關(guān)系圖像正確的是()

解析：選B由于物體/、8做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)物體/、8向右運(yùn)動(dòng)，速度為正，位移越來(lái)越小，則速度

越來(lái)越大，A,8的回復(fù)力由彈簧彈力提供，從開始釋放到回到平衡位置過(guò)程中回復(fù)力減小，則加速度減小，

運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，回復(fù)力為0,加速度為0,此過(guò)程中加速度逐漸減小，?！皥D像的斜率減小，過(guò)平衡位置

后，物體/、5繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)，速度仍為正，位移越來(lái)越大，速度越來(lái)越小，回復(fù)力越來(lái)越大，回復(fù)力方向

變?yōu)橄蜃螅瑒t加速度大小變大，方向改變，即o-f圖像的斜率變大，斜率切線變?yōu)樨?fù)，A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)

“受力分析可知，/做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力由5對(duì)/的摩擦力提供，/從初始位置向平衡位置運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，回

復(fù)力方向向右，則摩擦力方向向右即為正，回復(fù)力大小為尸=一筋=居，此過(guò)程中位移減小，摩擦力減小,

即摩擦力與位移呈線性關(guān)系，且為正值，但此過(guò)程中物體N做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，同理，物體N從平

衡位置向右運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，摩擦力與位移也呈線性關(guān)系，但此過(guò)程中物體力做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)即加

速度向左，摩擦力向左，應(yīng)為負(fù)值，C、D錯(cuò)誤。

【變式1-1](多選)如圖甲所示，以。點(diǎn)為平衡位置，彈簧振子在N、8兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，圖乙為這個(gè)彈

簧振子的振動(dòng)圖象.下列說(shuō)法中正確的是()

A.在f=0.2s時(shí)，彈簧振子的加速度為正向最大

B.在?=0.1s與f=0.3s兩個(gè)時(shí)刻，彈簧振子在同一位置

C.從f=0到f=0.2s時(shí)間內(nèi)，彈簧振子做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)

D.在f=0.6s時(shí)，彈簧振子有最小的彈性勢(shì)能

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答案BC

解析在f=0.2s時(shí)，彈簧振子的位移為正向最大值，a----,知彈簧振子的加速度為負(fù)向最大，A錯(cuò)誤;

m

在f=0.1s與1=0.3s兩個(gè)時(shí)刻，彈簧振子的位移相同，說(shuō)明彈簧振子在同一位置，B正確；從f=0到/=

0.2s時(shí)間內(nèi)，彈簧振子從平衡位置向最大位移處運(yùn)動(dòng)，位移逐漸增大，加速度逐漸增大，加速度方向與速

度方向相反，彈簧振子做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)，C正確；在1=0.6s時(shí)，彈簧振子的位移為負(fù)向最大值,

即彈簧的形變量最大，彈簧振子的彈性勢(shì)能最大，D錯(cuò)誤.

【變式1-2］如圖甲所示，水平放置的彈簧振子在/、8之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，O是平衡位置，以向右為正方向,

其振動(dòng)圖像如圖乙所示，則（）

A.4、。間的距離為4cm

B.0.1s末，小球位于4點(diǎn)

C.0.2s末，小球有正向的最大速度

D.在0.2?0.3s內(nèi),小球從。向/做減速運(yùn)動(dòng)

解析：選D由振動(dòng)圖像可知，振幅為2cm,所以4、。間的距離為2cm,A錯(cuò)誤；0.1s末，小球在正向

最大位移處，即位于8點(diǎn)，B錯(cuò)誤；0.2s末，小球速度方向沿x軸負(fù)方向，并且速度最大，C錯(cuò)誤；在

0.2?0.3s內(nèi)，小球沿負(fù)向的速度逐漸減小，到達(dá)負(fù)向最大位移N處時(shí)速度減為零，則小球從。向/做減速

運(yùn)動(dòng)，D正確。

【變式1-3］（2022?青島調(diào)研）如圖甲所示，彈簧振子以。點(diǎn)為平衡位置，在光滑水平面上的42兩點(diǎn)之間

做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，/、2為分居。點(diǎn)左右兩側(cè)的對(duì)稱點(diǎn)。取水平向右為正方向，振子的位移x隨時(shí)間/變化的正

弦曲線如圖乙所示，下列說(shuō)法正確的是（）

A.f=0.6s時(shí)，振子在。點(diǎn)右側(cè)6cm處

B.振子在f=0.2s和f=1.0s時(shí)的速度相同

C.t=1.2s時(shí)，振子的加速度方向水平向右

D.?=1.0s到Z=1.4s的時(shí)間內(nèi)，振子的加速度和速度都逐漸增大

271

解析：選C由題圖可知，彈簧振子的振幅為0.12m,周期為1.6s,所以o=—=1.257rrad/s,結(jié)合振動(dòng)圖

T

像得，振動(dòng)方程為x=0.12sin（1.25Mm,在f=0.6s時(shí)，振子的位移xi=0.12sin（1.25兀cm,A

錯(cuò)誤；由振動(dòng)圖像可知，f=0.2s時(shí)振子從平衡位置向右運(yùn)動(dòng)，1.0s時(shí)振子從平衡位置向左運(yùn)動(dòng)，速度方

向不同，B錯(cuò)誤；f=1.2s時(shí)，振子到達(dá)N處，振子的加速度方向水平向右，C正確；f=1.0s到f=1.2s的

時(shí)間內(nèi)振子向負(fù)向最大位移處運(yùn)動(dòng)，速度減小，加速度增大；/=1.2s到f=1.4s時(shí)間內(nèi)振子從負(fù)向最大位

移處向平衡位置運(yùn)動(dòng)，則速度增大，加速度減小，D錯(cuò)誤。

【題型2豎直彈簧振子】

【例2】（多選）如圖所示，一輕質(zhì)彈簧上端固定在天花板上，下端連接一物塊，物塊沿豎直方向以。點(diǎn)為平

衡位置，在C、。兩點(diǎn)之間做周期為T的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).已知在人時(shí)刻物塊的速度大小為。、方向向下，動(dòng)能為

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瓜.下列說(shuō)法正確的是()

_T

A.如果在打時(shí)刻物塊的速度大小也為?，方向向下，則t2f的最小值小于一

2

B.如果在t2時(shí)刻物塊的動(dòng)能也為Ek,則t2f的最小值為工

2

C.當(dāng)物塊通過(guò)。點(diǎn)時(shí)，其加速度最小

D.物塊在。、。兩點(diǎn)的加速度相同

答案AC

解析如果在t\時(shí)刻物塊位于O點(diǎn)上方且向下運(yùn)動(dòng)，打時(shí)刻物塊位于O點(diǎn)下方且與t1時(shí)刻物塊速度相同，

T,

則與一人的最小值小于一，選項(xiàng)A正確；如果在才2時(shí)刻物塊的動(dòng)能也為Ek,則與時(shí)刻物塊速度與4時(shí)刻大小

2

T

相等，方向可能相同，也可能相反，打一九的最小值小于一，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；題圖中。點(diǎn)是平衡位置，物塊通

2

過(guò)。點(diǎn)時(shí)位移最小，根據(jù)。=一一知，其加速度最小，選項(xiàng)C正確；C、。兩點(diǎn)關(guān)于平衡位置對(duì)稱，加速度

m

等大反向，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

【變式2-1］［多選］如圖，輕彈簧上端固定，下端連接一小物塊，物塊沿豎直方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。以豎直向上

為正方向，物塊簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為y=0.1sin(2.5Mm。t=0時(shí)刻，一小球從距物塊人高處自由落下；/=0.6

s時(shí)，小球恰好與物塊處于同一高度。取重力加速度的大小g=10m/s2。以下判斷正確的是0

A.A=1.7m

B.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是0.8s

C.0.6s內(nèi)物塊運(yùn)動(dòng)的路程為0.2m

D.f=0.4s時(shí)，物塊與小球運(yùn)動(dòng)方向相反

［思路點(diǎn)撥］

(1)由物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式確定物塊的振幅和振動(dòng)周期。

(2)確定0.6s時(shí)物塊所在的位置。

(3)確定0.6s時(shí)小球下落的高度與h的關(guān)系。

.2兀2兀

［解析］由物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式y(tǒng)=0.1sin(2.5Mm知，CD=25R,T——=---s=0.8s,選項(xiàng)B正確；t=

co2.5K

1

2

0.6s時(shí)，歹=—0.1m,對(duì)小球：h+\y\=^gtf解得/z=1.7m,選項(xiàng)A正確；物塊0.6s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程為0.3

m,%=0.4s時(shí)，物塊經(jīng)過(guò)平衡位置向下運(yùn)動(dòng)，與小球運(yùn)動(dòng)方向相同，故選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤。

［答案］AB

【變式2?2】如圖所示，一輕質(zhì)彈簧上端固定，下端懸掛一物塊，取物塊靜止時(shí)所處位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O,向

下為正方向，建立Z坐標(biāo)軸。現(xiàn)將物塊豎直向下拉到4位置后由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力。已知物塊的質(zhì)

量為加，彈簧的勁度系數(shù)為左，4位置的坐標(biāo)為修，重力加速度為g。下列說(shuō)法正確的是()

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A.該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為2修

1

B.在任意一周期內(nèi)物塊通過(guò)的路程一定等于對(duì)

4

C.物塊在Z位置時(shí)所受的回復(fù)力大小為Axi

一1

D.物塊到。位置時(shí)的動(dòng)能為-^kx[2—mgXi

解析：選C該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為修，A錯(cuò)誤；物塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，靠近平衡位置時(shí)運(yùn)動(dòng)比較快，遠(yuǎn)離平衡

1

位置時(shí)運(yùn)動(dòng)比較慢，所以在不經(jīng)過(guò)平衡位置的一周期內(nèi)物塊通過(guò)的路程小于修，B錯(cuò)誤；物塊在。位置時(shí)受

4

力平衡,有kx()=mg,xo為彈簧伸長(zhǎng)量，在/位置時(shí)所受的回復(fù)力大小為尸=人(%()+修)一加g=^i,C正確;

11111

物塊從4位置回到。位置時(shí)，根據(jù)能量守恒定律得~k(x\+xo)2=mgx、H■-mv2H■-kxa,解得_md=-k(x\+%o)2

22222

1y

—mgxi—^kxo2,D4音誤。

【變式2-3】如圖所示，彈簧下面掛一質(zhì)量為加的物體，物體在豎直方向上做振幅為N的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物

體振動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，彈簧正好處于原長(zhǎng)，彈簧在彈性限度內(nèi)，則物體在振動(dòng)過(guò)程中()

A.彈簧的最大彈性勢(shì)能等于2mg/

B.彈簧的彈性勢(shì)能和物體動(dòng)能總和不變

C.物體在最低點(diǎn)時(shí)的加速度大小應(yīng)為2g

D.物體在最低點(diǎn)時(shí)所受彈簧的彈力大小應(yīng)為

解析：選A因物體振動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，彈簧正好處于原長(zhǎng)，此時(shí)彈簧彈力等于零，物體的重力加g=/^=

kA,當(dāng)物體在最低點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大等于2加g/,A對(duì)；在最低點(diǎn)，由尸回=mg=%a知，C錯(cuò)；

由F售一mg=F回得F算=2mg,D錯(cuò)；由能量守恒知，彈簧的彈性勢(shì)能和物體的動(dòng)能、重力勢(shì)能三者的總和

不變，B錯(cuò)。

【題型3單擺】

【例3][多選]圖1、2分別是甲、乙兩個(gè)單擺在同一位置處做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像，則下列說(shuō)法中正確的是0

A.甲、乙兩單擺的振幅之比為2：1

B.t=2s時(shí)，甲單擺的重力勢(shì)能最小，乙單擺的動(dòng)能為零

C.甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為4：1

D.甲、乙兩單擺的擺球在最低點(diǎn)時(shí)，向心加速度大小一定相等

解析：選AB由題圖知，甲、乙兩單擺的振幅分別為4cm、2cm,故選項(xiàng)A正確；f=2s時(shí)，甲單擺在平

衡位置處，乙單擺在振動(dòng)的正方向最大位移處，故選項(xiàng)B正確；由單擺的周期公式，推出甲、乙兩單擺的

1

擺長(zhǎng)之比為/,：屋=7>2:7—=1:4,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；設(shè)擺球擺動(dòng)的最大偏角為0,由根g/(l-cosO)=邢婷

v2A

及a=一可得，擺球在最低點(diǎn)時(shí)向心加速度a=2g(l—cos。)，因兩擺球的最大偏角。滿足sin。=一,故。

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,f>0c,所以a<f>a匕，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

【變式3-1】如圖所示，房頂上固定一根長(zhǎng)2.5m的細(xì)線沿豎直墻壁垂到窗沿下，細(xì)線下端系了一個(gè)小球（可

視為質(zhì)點(diǎn)）。打開窗子，讓小球在垂直于窗子的豎直平面內(nèi)小幅度擺動(dòng)，窗上沿到房頂?shù)母叨葹?.6m,不計(jì)

空氣阻力，g取10m/s2,則小球從最左端運(yùn)動(dòng)到最右端所用的最短時(shí)間為（）

A.2.0KsB.0.4兀sC.0.671sD.1.2ns

Zi

解析：選B小球的擺動(dòng)可視為單擺運(yùn)動(dòng)，擺長(zhǎng)為線長(zhǎng)時(shí)對(duì)應(yīng)的周期：方=2兀-=7ts,擺長(zhǎng)為線長(zhǎng)減去墻

lh—hT\~\~T2

體長(zhǎng)時(shí)對(duì)應(yīng)的周期△=2兀----=0.6TTs,故小球從最左端到最右端所用的最短時(shí)間為/=-------OA-Ks,

[g4

B正確。

【變式3-2】如圖所示，兩個(gè)擺長(zhǎng)均為￡的單擺，擺球/、3質(zhì)量分別為〃“、加2,懸點(diǎn)均為。。在。點(diǎn)正

下方0.19工處固定一小釘。初始時(shí)刻2靜止于最低點(diǎn)，其擺線緊貼小釘右側(cè)，/從圖示位置由靜止釋放（。足

夠?。?，在最低點(diǎn)與3發(fā)生彈性正碰。兩擺在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中均滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)條件，懸線始終保持繃緊狀態(tài)

且長(zhǎng)度不變，擺球可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)碰撞時(shí)間及空氣阻力，重力加速度為g。下列選項(xiàng)正確的是O

A.若如=小2，則/、8在擺動(dòng)過(guò)程中最大振幅之比為9：10

B.若〃?1=機(jī)2，則每經(jīng)過(guò)1.9兀-時(shí)間/回到最局點(diǎn)

C.若nii>m2,則/與2第二次碰撞不在最低點(diǎn)

D.則/與3第二次碰撞必在最低點(diǎn)

解析：選D若%=%2,則兩球碰撞后交換速度，所以/、3在擺動(dòng)過(guò)程中最大振幅相等，兩球的振動(dòng)完

LL

全一樣，所以每經(jīng)過(guò)27t—時(shí)間/回到最高點(diǎn)，A、B錯(cuò)誤；擺長(zhǎng)為Z,的周期為7=2兀一，擺長(zhǎng)為0.81Z

[g[g

L

的周期為7=1.8兀一，若%>旭2,則碰后/球向右運(yùn)動(dòng)，擺長(zhǎng)變?yōu)?.81L,2球擺回最低點(diǎn)后向左運(yùn)動(dòng)時(shí),

11

擺長(zhǎng)為0.81L,所以兩擺的周期均為T"=一7+-7'=1.9兀即第一次在最低點(diǎn)碰撞后，經(jīng)過(guò)一個(gè)周期

22

發(fā)生第二次碰撞，位置仍然在最低點(diǎn)，C錯(cuò)誤；若見(jiàn)〈機(jī)2,則/與3碰后，/反彈，兩球的擺長(zhǎng)一樣，周

期一樣，所以各經(jīng)過(guò)半個(gè)周期后，在最低點(diǎn)發(fā)生第二次碰撞，D正確。

3

【變式3-3]如圖，長(zhǎng)為/的細(xì)繩下方懸掛一小球a,繩的另一端固定在天花板上O點(diǎn)處，在。點(diǎn)正下方T

4

的O處有一固定細(xì)鐵釘。將小球向右拉開，使細(xì)繩與豎直方向成一小角度（約為2。）后由靜止釋放，并從釋

放時(shí)開始計(jì)時(shí)。當(dāng)小球。擺至最低位置時(shí)，細(xì)繩會(huì)受到鐵釘?shù)淖钃?。設(shè)小球相對(duì)于其平衡位置的水平位移

為x,向右為正。

下列圖像中，能描述小球在開始一個(gè)周期內(nèi)的x-t關(guān)系的是（）

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解析：選A擺長(zhǎng)為/時(shí)單擺的周期7尸2?？?，振幅4=砥為擺角，a很小時(shí)，sma=a),擺長(zhǎng)為1時(shí)

[g4

17T11I

單擺的周期烏=2兀兀一=萬(wàn)，振幅/2=/夕仍為擺南)。根據(jù)機(jī)械能守恒定律得加g/(l—cosa)=加%(1

g

aB1

—cosP),利用cosa=1—2sin2鼻，cosp~1—2sin以及sina=tana=a(a很小)，解得￡=2a,故/2=彳

A\,A正確。

【變式3-4](多選)關(guān)于單擺，下列說(shuō)法正確的是0

A.將單擺由沈陽(yáng)移至廣州，單擺周期變大

B.將單擺的擺角從4。改為2。，單擺的周期變小

C.當(dāng)單擺的擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，擺球的速度最大

D.當(dāng)單擺的擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，受到的合力為零

答案AC

解析將單擺由沈陽(yáng)移至廣州，因重力加速度減小，根據(jù)7=2%,可知，單擺周期變大，選項(xiàng)A正確；單

擺的周期與擺角無(wú)關(guān)，將單擺的擺角從4。改為2。，單擺的周期不變，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)單擺的擺球運(yùn)動(dòng)到平

衡位置時(shí)，擺球的速度最大，有向心加速度，則受到的合力不為零，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤.

【題型4等效單擺】

【例4】如圖所示，NC3為光滑弧形槽，弧形槽半徑為及，C為弧形槽最低點(diǎn)，周。甲球從弧形槽的球

心處自由下落，乙球從/點(diǎn)由靜止釋放，問(wèn)：

(1)兩球第1次到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間之比；

(2)若在弧形槽的最低點(diǎn)C的正上方〃處由靜止釋放甲球，讓其自由下落，同時(shí)將乙球從弧形槽左側(cè)由靜止

釋放，欲使甲、乙兩球在弧形槽最低點(diǎn)C處相遇，則甲球下落的高度〃是多少？

解析：(1)甲球做自由落體運(yùn)動(dòng)

1/

R=~gti2,所以4=-

21g

乙球沿弧形槽做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(由于可認(rèn)為偏角0<5。)。此運(yùn)動(dòng)與一個(gè)擺長(zhǎng)為7?的單擺運(yùn)動(dòng)模型相同，

故此等效擺長(zhǎng)為R,因此乙球第1次到達(dá)C處的時(shí)間為

所以=.兀。

復(fù)習(xí)材料

(2)甲球從離弧形槽最低點(diǎn)〃高處自由下落，到達(dá)。點(diǎn)的時(shí)間為t

由于乙球運(yùn)動(dòng)的周期性，所以乙球到達(dá)。點(diǎn)的時(shí)間為

TT7i［R

/乙=1+〃3=3I—(2n+l)(n=0,l,2,???)

由于甲、乙兩球在C點(diǎn)相遇，故，甲=￡乙

(2〃+1)2兀2H

聯(lián)立解得〃------——(77=0,1,2,…)。

8

L(2幾+1)2兀2H

答案：(1)2上：兀(2)------——("=0,1,2,…)

8

【變式4-1］如圖所示，小球m自4點(diǎn)以指向AD方向的初速度v逐漸接近固定在。點(diǎn)的小球n,已知方

=0.8m,AB圓弧半徑R=10m,AD=Wm,A.B、C、。在同一水平面上，則u為多大時(shí)，才能使m恰好碰

到小球〃？(g取lOm/s2,不計(jì)一切摩擦)

答案：v=—m/s(k=l,2,3...)

kji

解析：小球m的運(yùn)動(dòng)是由兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)合成的。這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)分別是：以速度v在八。方向的勻速運(yùn)動(dòng)和在

圓弧面上的往復(fù)滑動(dòng)。因?yàn)榉健禦,所以小球在圓弧面上的往復(fù)滑動(dòng)具有等時(shí)性，其周期為

設(shè)小球m恰好能碰到小球n,則有AD=vt

且滿足t=k丁(k=l,2,3...)

又Y

聯(lián)立解得i/="-m/s(k=l,2,3...)

K7V

【變式4-21［多選］如圖所示，長(zhǎng)度為/的輕繩上端固定在點(diǎn)。，下端系一小球(小球可以看成質(zhì)點(diǎn))。在點(diǎn)。

31

正下方，距點(diǎn)。為一處的點(diǎn)尸固定一顆小釘子?，F(xiàn)將小球拉到點(diǎn)/處，輕繩被拉直，然后由靜止釋放小球。

4

點(diǎn)B是小球運(yùn)動(dòng)的最低位置，點(diǎn)C(圖中未標(biāo)出)是小球能夠到達(dá)的左方最高位置。已知點(diǎn)/與點(diǎn)B之間的

高度差為人，/、B、C、P、O在同一豎直平面內(nèi)。當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間,不計(jì)空氣阻力。下列說(shuō)法

正確的是()

A.點(diǎn)C與點(diǎn)2高度差小于〃

B.點(diǎn)C與點(diǎn)3高度差等于〃

復(fù)習(xí)材料

C.小球擺動(dòng)的周期等于一-

21g

3兀［7

D.小球擺動(dòng)的周期等于一-

41g

,1［7153兀［7

解析：選BC由于分《/,故小球的運(yùn)動(dòng)可看成單擺運(yùn)動(dòng)，其周期7=-2兀-+-271土=一—,故C正

21g2Jg21g

確，D錯(cuò)誤；小球擺動(dòng)過(guò)程不計(jì)空氣阻力，其機(jī)械能守恒，點(diǎn)N、C應(yīng)等高，故A錯(cuò)誤，B正確。

【變式4-3】如圖所示，用兩根長(zhǎng)度都為/■的細(xì)繩懸掛一個(gè)小球A,繩與水平方向的夾角為%使球A垂直

于紙面做擺角小于5。的擺動(dòng)，當(dāng)它經(jīng)過(guò)平衡位置的瞬間，另一小球B從A球的正上方自由下落，此后A球

第3次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)B球恰擊中A球，求B球下落的高度力。

9

答案：-n2/.sina

【解析】球A垂直于紙面做擺角小于5。的擺動(dòng)等效于一個(gè)單擺，擺長(zhǎng)為/=Lsina

所以A球振動(dòng)周期丁=2兀產(chǎn)?

設(shè)B球自由下落的時(shí)間為t,則它擊中A球時(shí)下落的高度力=/gt2

則哈

TiLsina

A球經(jīng)過(guò)平衡位置，接著返回到平衡位置的時(shí)間為半個(gè)周期，即-

2Vg

\Ls\na

從B球開始下落至擊中A球，A球振動(dòng)的時(shí)間為［的3倍t=3x《=3N—

22

則3%度□=2

9

解得/?=-H2Lsina

復(fù)習(xí)材料

【題型5振動(dòng)圖像的應(yīng)用】

【例5】(多選)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)以O(shè)為中心做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，位移隨時(shí)間變化的圖象如圖7,a、b、c、

"表示質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的相應(yīng)位置.下列說(shuō)法正確的是()

A.質(zhì)點(diǎn)通過(guò)位置c時(shí)速度最大，加速度為零

B.質(zhì)點(diǎn)通過(guò)位置b時(shí)，相對(duì)平衡位置的位移為一

2

C.質(zhì)點(diǎn)從位置a到位置c和從位置b到位置d所用時(shí)間相等

D.質(zhì)點(diǎn)從位置。到位置b和從位置b到位置c的平均速度相等

E.質(zhì)點(diǎn)通過(guò)位置b和通過(guò)位置d時(shí)速度方向相同，加速度方向相反

答案ACE

解析質(zhì)點(diǎn)通過(guò)位置c,即平衡位置時(shí)，此時(shí)速度最大，加速度為零，故A正確；X—/圖象

歷

是正弦圖象，故質(zhì)點(diǎn)通過(guò)位置6時(shí)，相對(duì)平衡位置的位移為L(zhǎng)A,故B錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)從位置

2

a到c和從位置6到d所用的時(shí)間相等，均為2s,故C正確；質(zhì)點(diǎn)從位置a到6和從6到c

的過(guò)程中時(shí)間相同但位移大小不同，故平均速度不同，故D錯(cuò)誤.因?yàn)閤—f圖象的斜率表示

速度，則質(zhì)點(diǎn)通過(guò)位置6和通過(guò)位置d時(shí)速度方向相同，加速度方向均指向平衡位置，即方

向相反，故E正確.

【變式5-1](多選)如圖所示是甲、乙兩個(gè)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列說(shuō)法中正確的是

0

A.甲、乙兩擺的振幅之比為2：1

Bl=2s時(shí)，甲擺的重力勢(shì)能最小，乙擺的動(dòng)能為零

C.甲、乙兩擺的擺長(zhǎng)之比為4：1

D.甲、乙兩擺擺球在最低點(diǎn)時(shí)擺線的拉力大小一定相等

答案AB

解析由題圖知甲、乙兩擺的振幅分別為2cm、1cm,故A正確；f=2s時(shí)，甲擺在平衡

位置處，重力勢(shì)能最小，乙擺在正的最大位移處，動(dòng)能為零，B正確；甲、乙兩擺的周期之

比為1：2,由單擺的周期公式7=2兀得到甲、乙兩擺的擺長(zhǎng)之比為1：4,C錯(cuò)誤；由

題目中的條件不能比較甲、乙兩擺擺球在最低點(diǎn)時(shí)擺線的拉力大小，D錯(cuò)誤.

【變式5-2]如圖是質(zhì)量相等的甲、乙兩個(gè)物體分別做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的圖像，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的

是()

A.甲、乙兩物體的振幅分別是2m和1m

B.甲的振動(dòng)頻率比乙的大

C.前2s內(nèi)，兩物體的加速度均為負(fù)值

D.第2s末，甲的速度最大，乙的加速度最大

復(fù)習(xí)材料

解析：選A由題圖知，甲、乙兩物體的振幅分別為2cm和1cm,A錯(cuò)誤；8s內(nèi)甲完成2

次全振動(dòng)，乙完成1次全振動(dòng)，甲的振動(dòng)頻率比乙的大，B正確；前2s內(nèi)，甲、乙的位移

均為正，所以加速度均為負(fù)值，C正確；第2s末甲在平衡位置，速度最大，乙在最大位移

處，加速度最大，D正確。

【變式5-31(多選)某彈簧振子在水平方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)圖象如圖所示，貝W)

A.彈簧振子在t—0到10s內(nèi)路程為0.5m

B.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率是0.125Hz

C.彈簧振子在第4s末的位移為零

D.在第3s末與第5s末彈簧振子的速度方向相同

E.第5s末，彈簧振子的速度與加速度均為正值

答案BCD

解析彈簧振子在f=0到f=10s內(nèi)路程為5N,即2.5m,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期7

=8s,則頻率是/=：=0.125Hz,選項(xiàng)B正確；彈簧振子第4s末在平衡位置，位移為零,

選項(xiàng)C正確；因x—f圖象的斜率表示速度，可知在第3s末與第5s末彈簧振子的速度方向

不變，選項(xiàng)D正確；第5s末，彈簧振子的速度沿y軸負(fù)方向，加速度沿y軸正方向，選項(xiàng)

E錯(cuò)誤.

【變式5-4］如圖所示為某彈簧振子在0?5s內(nèi)的振動(dòng)圖像，由圖可知，下列說(shuō)法中正確的

是()

A.振動(dòng)周期為5s,振幅為8cm

B.第2s末振子的速度為零，加速度為負(fù)向的最大值

C.從第1s末到第2s末振子在做加速運(yùn)動(dòng)

D.第3s末振子的速度為正向的最大值

［解析］振幅是位移的最大值的大小，故振幅為8cm,而周期是完成一次全振動(dòng)的時(shí)間，振動(dòng)

周期為4s,故A錯(cuò)誤；第2s末振子的速度為零，加速度為正向的最大值，故B錯(cuò)誤；從

第1s末到第2s末振子的位移逐漸增大，速度逐漸減小，振子做減速運(yùn)動(dòng)，C錯(cuò)誤；第3s

末振子的位移為零，經(jīng)過(guò)平衡位置，故速度最大，且方向?yàn)檎?，故D正確。

［答案］D

【題型6簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性】

【例6】(多選)彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，。為平衡位置，從它經(jīng)過(guò)。點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)0.3s

第一次到達(dá)點(diǎn)再經(jīng)過(guò)0.2s第二次到達(dá)點(diǎn)則彈簧振子的周期可能為()

A.0.53sB.1.4sC.1.6sD.2s

解析：選AC如圖甲所示，若振子從。點(diǎn)開始向右按所示路線振動(dòng)，則振子的振動(dòng)周期為

/0.2\

7i=4X［o.3+fjs=1.6s;如圖乙所示，若振子從。點(diǎn)開始向左按所示路線振動(dòng)，令從"

復(fù)習(xí)材料

0.2s0.3s~t0.1

運(yùn)動(dòng)到。的時(shí)間為乙則有——+，=------,解得％=—s,振子的振動(dòng)周期為丁2=4乂

223

10.20.1\

^―+—js^0.53s,A、C正確。

【變式6-1】一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置O點(diǎn)附近做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，若從O點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)3s質(zhì)點(diǎn)

第一次經(jīng)過(guò)M點(diǎn)，如圖所示，再繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，又經(jīng)過(guò)4s第二次經(jīng)過(guò)M點(diǎn)，則再經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)

間第三次經(jīng)過(guò)M點(diǎn)0

A.7sB.14s

10

C.16sD.—s

3

答案c

解析由題意可知質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過(guò)Af點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向向右，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T=4X（3+2）s=

20s,則第三次經(jīng)過(guò)M點(diǎn)的時(shí)間為:=（20—4）s=16s,故C選項(xiàng)正確.

【變式6-2］（多選）一彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則以下說(shuō)法正確的是（）

A.振子的加速度方向始終指向平衡位置

B.已知振動(dòng)周期為7,若A/=T,則在/時(shí)刻和（?+△。時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)的加速度一定相同

C.若t時(shí)刻和（/+加）時(shí)刻彈簧的長(zhǎng)度相等，則AZ一定為振動(dòng)周期的整數(shù)倍

D.振子的動(dòng)能相等時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度不一定相等

答案ABD

解析振子的加速度方向始終指向平衡位置，故A正確；若△/=?,則在/時(shí)刻和Q+A。時(shí)

刻振子的位移相同，加速度也相同，故B正確；從平衡位置再回到平衡位置，經(jīng)歷的時(shí)間

最短為彈簧的長(zhǎng)度相等，故C錯(cuò)誤；關(guān)于平衡位置對(duì)稱的兩個(gè)位置，振子的動(dòng)能相等,

2

彈簧的長(zhǎng)度不相等，故D正確.

【變式6-3】彈簧振子以。點(diǎn)為平衡位置，在水平方向上的/、8兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，以下

說(shuō)法正確的是（）

A.振子在/、2兩點(diǎn)時(shí)的速度和位移均為零

B.振子在通過(guò)。點(diǎn)時(shí)速度的方向?qū)l(fā)生改變

C.振子所受的彈力方向總跟速度方向相反

D.振子離開。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)總是減速運(yùn)動(dòng)，靠近。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)總是加速運(yùn)動(dòng)

【詳解】A.彈簧振子以。點(diǎn)為平衡位置，在水平方向上的/、2兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，故4

8速度為零，位移值最大，故A錯(cuò)誤；

B.振子在通過(guò)。點(diǎn)前后速度的方向不發(fā)生改變，B錯(cuò)誤；

C.由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律的定義，振子的彈力方向總跟位移的方向相反，而跟振子的速度方向有

時(shí)相同，有時(shí)相反，C錯(cuò)誤；

復(fù)習(xí)材料

D.振子離開。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后的運(yùn)動(dòng)方向與加速度方向相反，故為減速運(yùn)動(dòng)，振子靠近。點(diǎn)的

運(yùn)動(dòng)方向與加速度方向相同故為加速運(yùn)動(dòng)，D正確。

【答案】Do

【題型7簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性】

【例7】彈簧振子以。點(diǎn)為平衡位置，在2、C兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，在f=0時(shí)刻，振子從

。、2間的尸點(diǎn)以速度。向8點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；在f=0.2s時(shí)，振子速度第一次變?yōu)橐?。；在f=O.5s

時(shí)，振子速度第二次變?yōu)橐弧！?/p>

(1)求彈簧振子振動(dòng)周期T；

(2)若2、C之間的距離為25cm,求振子在4.0s內(nèi)通過(guò)的路程；

(3)若3、C之間的距離為25cm,從平衡位置計(jì)時(shí)，寫出彈簧振子位移表達(dá)式，并畫出彈簧

振子的振動(dòng)圖像。

解析：(1)彈簧振子簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)示意圖如圖所示，由對(duì)稱性可得：

7=0.5X2s=1.0s。

1

(2)若8、C之間距離為25cm,則振幅/=&X25cm=12.5cm,振子4.0s內(nèi)通過(guò)的路程

4

s=-X4X12.5cm=200cm。

T

2n

(3)根據(jù)x=/sinof,4=12.5cm,a>=—=2n

得x=12.5sin(2兀。cm。振動(dòng)圖像為

答案:(1)1.0s(2)200cm(3)x=12,5sin(2nt)cm

9

【變式7-1】做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的單擺，其擺長(zhǎng)不變，若擺球的質(zhì)量增加為原來(lái)的一倍，擺球經(jīng)過(guò)

4

2

平衡位置的速度減為原來(lái)的？則單擺振動(dòng)的()

A.周期不變，振幅不變B.周期不變，振幅變小

C.周期改變，振幅不變D.周期改變，振幅變大

解析：選B由單擺的周期公式7=2兀J可知,當(dāng)擺長(zhǎng)/不變時(shí)，周期不變，C、D錯(cuò)誤;

1

由機(jī)械能守恒定律可知3心。2=〃這心其擺動(dòng)的高度與質(zhì)量無(wú)關(guān)，因擺球經(jīng)過(guò)平衡位置的速度

減小，則最大高度減小，故振幅變小，B正確，A錯(cuò)誤。

【變式7-2】關(guān)于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)以及完成一次全振動(dòng)的意義，以下說(shuō)法正確的是()

A.位移的方向總跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同

B.動(dòng)能或勢(shì)能第一次恢復(fù)為原來(lái)的大小所經(jīng)歷的過(guò)程為一次全振動(dòng)

復(fù)習(xí)材料

C.速度和加速度第一次同時(shí)恢復(fù)為原來(lái)的大小和方向所經(jīng)歷的過(guò)程為一次全振動(dòng)

D.物體運(yùn)動(dòng)方向指向平衡位置時(shí)，速度的方向與位移的方向相同；背離平衡位置時(shí)，速度

方向與位移方向相反

解析：選C回復(fù)力與位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度與位移方向可以相

同，也可以相反，物體運(yùn)動(dòng)方向指向平衡位置時(shí)，速度的方向與位移的方向相反，背離平衡

位置時(shí)，速度方向與位移方向相同，A、D錯(cuò)誤；一次全振動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)能和勢(shì)能可以多次

恢復(fù)為原來(lái)的大小，B錯(cuò)誤；速度和加速度第一次同時(shí)恢復(fù)為原來(lái)的大小和方向所經(jīng)歷的過(guò)

程為一次全振動(dòng)，C正確。

【變式7-3)一單擺在地面處的擺動(dòng)周期與在某礦井底部擺動(dòng)周期的比值為上設(shè)地球的半徑

為凡地球的密度均勻.已知質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，求礦井的深度

d.

解析根據(jù)萬(wàn)有引力定律，地面處質(zhì)量為m的物體的重力mg=G——

4

式中g(shù)是地面處的重力加速度，M■是地球的質(zhì)量.設(shè)〃是地球的密度，則有

擺長(zhǎng)為/的單擺在地面處的擺動(dòng)周期為7=2兀

若該物體位于礦井底部，則其重力為加=G—

(R—df

4

式中是礦井底部的重力加速度，且=留(氏一的3

在礦井底部此單擺的周期為T'=271

由題意：T=kT'

聯(lián)立以上各式得d=R(l—F)

【題型8簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式的應(yīng)用】

【例8】(2021?江蘇高考)如圖所示，半徑為R的圓盤邊緣有一釘子3,在水平光線下，圓盤

的轉(zhuǎn)軸A和釘子B在右側(cè)墻壁上形成影子。和尸，以O(shè)為原點(diǎn)在豎直方向上建立x坐標(biāo)系。

￡=0時(shí)從圖示位置沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)圓盤，角速度為口，則尸做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為()

./71I兀

A.—B.X—7?sin\cot~\~~

/兀1