人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案：6 3 1　二項式定理

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE16．3二項式定理6．3.1二項式定理課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理.2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.通過學(xué)習(xí)二項式定理的有關(guān)內(nèi)容，提升邏輯推理素養(yǎng)及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).新知探究牛頓善于在日常生活中思考，他取得了科學(xué)史上一個又一個重要的發(fā)現(xiàn)，有一次，他在向一位姑娘求婚時思想又開了小差，他腦海中只剩下了無窮量的二項式定理，他抓住了姑娘的手，錯誤地把它當(dāng)成通煙斗的通條，硬往煙斗里塞，痛的姑娘大叫，離他而去．問題什么是二項式定理？〖提示〗(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn即為二項式定理．二項式定理及其相關(guān)概念注意二項式系數(shù)與系數(shù)的概念二項式定理公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn，稱為二項式定理二項式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k＝0，1，…，n)通項Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk二項式定理的特例(1＋x)n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(k,n)xk＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn拓展深化〖微判斷〗1．(a＋b)n的展開式中共有n項．(×)〖提示〗(a＋b)n的展開式中共有n＋1項．2．在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜棝]有影響．(×)〖提示〗交換a，b的順序各項都發(fā)生變化.3.Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展開式中的第k項．(×)〖提示〗Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展開式中的第k＋1項．4．(a－b)n與(a＋b)n的二項式展開式的二項式系數(shù)相同．(√)〖微訓(xùn)練〗1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))eq\s\up12(5)的展開式中含x3項的二項式系數(shù)為()A．－10 B．10C．－5 D．5〖解析〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))eq\s\up12(5)展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)x5－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝(－1)kCeq\o\al(k,5)x5－2k，令5－2k＝3，得k＝1，∴含x3項的二項式系數(shù)為Ceq\o\al(1,5)＝5.〖答案〗D2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x3)))eq\s\up12(5)展開式中的常數(shù)項為()A．80 B．－80C．40 D．－40〖解析〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x3)))eq\s\up12(5)展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(x2)5－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x3)))eq\s\up12(k)＝(－2)kCeq\o\al(k,5)x10－5k，令10－5k＝0，得k＝2，∴常數(shù)項為(－2)2Ceq\o\al(2,5)＝40.〖答案〗C3．設(shè)S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，則S等于__________．〖解析〗S＝〖(x－1)＋1〗3＝x3.〖答案〗x3〖微思考〗1．二項式定理中，項的系數(shù)與二項式系數(shù)有什么區(qū)別？〖提示〗二項式系數(shù)與項的系數(shù)是兩個不同的概念．二項式系數(shù)是指Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)，它只與各項的項數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無關(guān)，而項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)．2．二項式(a＋b)n與(b＋a)n展開式中第k＋1項是否相同？〖提示〗不同．(a＋b)n展開式中第k＋1項為Ceq\o\al(k,n)an－kbk，而(b＋a)n展開式中第k＋1項為Ceq\o\al(k,n)bn－kak.題型一二項式定理的正用、逆用〖例1〗(1)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(4)的展開式．(2)化簡：Ceq\o\al(0,n)(x＋1)n－Ceq\o\al(1,n)(x＋1)n－1＋Ceq\o\al(2,n)(x＋1)n－2－…＋(－1)kCeq\o\al(k,n)(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCeq\o\al(n,n).解(1)法一eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(4)＝(3eq\r(x))4＋Ceq\o\al(1,4)(3eq\r(x))3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))＋Ceq\o\al(2,4)(3eq\r(x))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq\s\up12(2)＋Ceq\o\al(3,4)(3eq\r(x))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq\s\up12(3)＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq\s\up12(4)＝81x2＋108x＋54＋eq\f(12,x)＋eq\f(1,x2).法二eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x＋1,\r(x))))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,x2)(1＋3x)4＝eq\f(1,x2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋Ceq\o\al(1,4)·3x＋Ceq\o\al(2,4)（3x）2＋Ceq\o\al(3,4)（3x）3＋Ceq\o\al(4,4)（3x）4))＝eq\f(1,x2)(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝eq\f(1,x2)＋eq\f(12,x)＋54＋108x＋81x2.(2)原式＝Ceq\o\al(0,n)(x＋1)n＋Ceq\o\al(1,n)(x＋1)n－1(－1)＋Ceq\o\al(2,n)(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ceq\o\al(k,n)(x＋1)n－k(－1)k＋…＋Ceq\o\al(n,n)(－1)n＝〖(x＋1)＋(－1)〗n＝xn.〖遷移〗(變條件，變設(shè)問)若(1＋eq\r(3))4＝a＋beq\r(3)(a，b為有理數(shù))，則a＋b＝__________．〖解析〗∵(1＋eq\r(3))4＝1＋Ceq\o\al(1,4)×(eq\r(3))1＋Ceq\o\al(2,4)×(eq\r(3))2＋Ceq\o\al(3,4)×(eq\r(3))3＋Ceq\o\al(4,4)×(eq\r(3))4＝1＋4eq\r(3)＋18＋12eq\r(3)＋9＝28＋16eq\r(3)，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.〖答案〗44規(guī)律方法(1)(a＋b)n的二項展開式有n＋1項，是和的形式，各項的冪指數(shù)規(guī)律是：①各項的次數(shù)和等于n；②字母a按降冪排列，從第一項起，次數(shù)由n逐項減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由0逐項加1直到n.(2)逆用二項式定理可以化簡多項式，體現(xiàn)的是整體思想．注意分析已知多項式的特點，向二項展開式的形式靠攏．〖訓(xùn)練1〗化簡：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.解原式＝Ceq\o\al(0,5)(2x＋1)5－Ceq\o\al(1,5)(2x＋1)4＋Ceq\o\al(2,5)(2x＋1)3－Ceq\o\al(3,5)(2x＋1)2＋Ceq\o\al(4,5)(2x＋1)－Ceq\o\al(5,5)(2x＋1)0＝〖(2x＋1)－1〗5＝(2x)5＝32x5.題型二二項展開式通項的應(yīng)用〖例2〗(1)求二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,x)))eq\s\up12(6)的展開式中第6項的二項式系數(shù)和第6項的系數(shù)；(2)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))eq\s\up12(9)的展開式中x3的系數(shù)．解(1)由已知得二項展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(2eq\r(x))6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝26－kCeq\o\al(k,6)·(－1)k·x3－eq\f(3k,2)，∴T6＝26－5Ceq\o\al(5,6)·(－1)5·x3－eq\f(3,2)×5＝－12x－eq\f(9,2).∴第6項的二項式系數(shù)為Ceq\o\al(5,6)＝6，第6項的系數(shù)為－12.(2)設(shè)展開式中的第k＋1項為含x3的項，則Tk＋1＝Ceq\o\al(k,9)x9－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝(－1)k·Ceq\o\al(k,9)·x9－2k，令9－2k＝3，得k＝3，即展開式中第4項含x3，其系數(shù)為(－1)3·Ceq\o\al(3,9)＝－84.〖遷移1〗(變設(shè)問)本例問題(1)條件不變，問題改為“求第4項的二項式系數(shù)和第4項的系數(shù)”．解由通項Tk＋1＝(－1)k·Ceq\o\al(k,6)·26－k·x3－eq\f(3,2)k，知第4項的二項式系數(shù)為Ceq\o\al(3,6)＝20，第4項的系數(shù)為(－1)3·Ceq\o\al(3,6)·23＝－160.〖遷移2〗(變設(shè)問)本例問題(2)條件不變，問題改為“求展開式中x5的系數(shù)”，該如何求解？解設(shè)展開式中第k＋1項為含x5的項，則Tk＋1＝(－1)k·Ceq\o\al(k,9)·x9－2k，令9－2k＝5，得k＝2，即展開式中的第3項含x5，且系數(shù)為(－1)2·Ceq\o\al(2,9)＝36.規(guī)律方法(1)求二項展開式的特定項的常見題型①求第k項，Tk＝Ceq\o\al(k－1,n)an－k＋1bk－1；②求含xk的項(或xpyq的項)；③求常數(shù)項；④求有理項．(2)求二項展開式的特定項的常用方法①對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項)；②對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項．解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解；③對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項一致．〖訓(xùn)練2〗已知二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(2,3x)))eq\s\up12(10).(1)求展開式的第4項的二項式系數(shù)；(2)求展開式的第4項的系數(shù)；(3)求展開式的第4項．解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(2,3x)))eq\s\up12(10)的展開式的通項是Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)(3eq\r(x))10－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,10)310－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up12(k)·xeq\f(10－3k,2)(k＝0，1，2，…，10)．(1)展開式的第4項(k＝3)的二項式系數(shù)為Ceq\o\al(3,10)＝120.(2)展開式的第4項的系數(shù)為Ceq\o\al(3,10)37eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝－77760.(3)展開式的第4項為T4＝T3＋1＝－77760eq\r(x).題型三與展開式中的特定項有關(guān)的問題角度1求展開式中的特定項〖例3〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2x)))eq\s\up12(6)的展開式中，常數(shù)項是()A．－eq\f(5,4) B.eq\f(5,4)C．－eq\f(15,16) D.eq\f(15,16)〖解析〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2x)))eq\s\up12(6)展開式的通項Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(x2)6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2x)))eq\s\up12(k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(k)Ceq\o\al(k,6)x12－3k，令12－3k＝0，解得k＝4.所以常數(shù)項為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(4)Ceq\o\al(4,6)＝eq\f(15,16).〖答案〗D角度2由二項展開式某項的系數(shù)求參數(shù)問題〖例4〗若(x2－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C．1 D．2〖解析〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)的展開式的通項是Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)·x10－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,10)·x10－2k，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)的展開式中含x4(當(dāng)k＝3時)、x6(當(dāng)k＝2時)項的系數(shù)分別為Ceq\o\al(3,10)，Ceq\o\al(2,10).因為(x2－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)的展開式中含x6的項由x2與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)展開式中含x4的項的乘積以及－a與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)展開式中含x6的項的乘積兩部分構(gòu)成，因此由題意得Ceq\o\al(3,10)－aCeq\o\al(2,10)＝120－45a＝30，由此解得a＝2.〖答案〗D規(guī)律方法求展開式中特定項的方法求展開式中特定項的關(guān)鍵是抓住其通項公式，求解時先準(zhǔn)確寫出通項，再把系數(shù)和字母分離，根據(jù)題目中所指定的字母的指數(shù)所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．有理項問題的解法，要保證字母的指數(shù)一定為整數(shù)．〖訓(xùn)練3〗(1)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))eq\s\up12(9)的展開式中x3的系數(shù)是－84，則a＝__________．(2)已知n為等差數(shù)列－4，－2，0，…的第六項，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))eq\s\up12(n)的二項展開式的常數(shù)項是__________．〖解析〗(1)展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,9)x9－k(－a)keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,9)·(－a)kx9－2k(0≤k≤9，k∈N)．當(dāng)9－2k＝3時，解得k＝3，代入得x3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,9)(－a)3＝－84，解得a＝1.(2)由題意得n＝6，∴Tk＋1＝2kCeq\o\al(k,6)x6－2k，令6－2k＝0得k＝3，∴常數(shù)項為23Ceq\o\al(3,6)＝160.〖答案〗(1)1(2)160一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，進一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng)．2．注意區(qū)分項的二項式系數(shù)與系數(shù)的概念．要牢記Ceq\o\al(k,n)an－kbk是展開式的第k＋1項，不要誤認(rèn)為是第k項．3．求解特定項時必須合并通項中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為特定值．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．1－2Ceq\o\al(1,n)＋4Ceq\o\al(2,n)－8Ceq\o\al(3,n)＋…＋(－2)nCeq\o\al(n,n)等于()A．1 B．－1C．(－1)n D．3n〖解析〗逆用二項式定理，將1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.〖答案〗C2．若(1＋eq\r(2))4＝a＋beq\r(2)(a，b為有理數(shù))，則a＋b等于()A．33 B．29C．23 D．19〖解