人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊學案：8 1 2　樣本相關(guān)系數(shù)

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE18.1.2樣本相關(guān)系數(shù)課標要求素養(yǎng)要求1.結(jié)合實例，會通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性.2.了解樣本相關(guān)系數(shù)與標準化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.通過學習樣本相關(guān)系數(shù)，提升數(shù)學抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究散點圖可以說明變量間有無線性相關(guān)關(guān)系，但無法量化兩個變量之間的相關(guān)程度的大小，更不能精確地說明成對樣本數(shù)據(jù)之間關(guān)系的密切程度，那么我們?nèi)绾尾拍軐ふ业竭@樣一個合適的量來對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進行定量分析呢？問題若樣本系數(shù)r＝0.97，則成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度如何？〖提示〗r＝0.97，表明成對樣本數(shù)據(jù)正線性相關(guān)程度很強．1．相關(guān)系數(shù)r的計算注意：相關(guān)系數(shù)是研究變量之間線性相關(guān)程度的量假設兩個隨機變量的數(shù)據(jù)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，對數(shù)據(jù)作進一步的“標準化處理”處理，用sx＝eq\r(\f(1,n)\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，sy＝eq\r(\f(1,n)\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)分別除xi－eq\o(x,\s\up6(－))和yi－eq\o(y,\s\up6(－))(i＝1，2，…，n，eq\o(x,\s\up6(－))和eq\o(y,\s\up6(－))分別為x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1－\o(x,\s\up6(－)),sx)，\f(y1－\o(y,\s\up6(－)),sy)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2－\o(x,\s\up6(－)),sx)，\f(y2－\o(y,\s\up6(－)),sy)))，…，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xn－\o(x,\s\up6(－)),sx)，\f(yn－\o(y,\s\up6(－)),sy)))，為簡單起見，把上述“標準化”處理后的成對數(shù)據(jù)分別記為(x1′，y1′)，(x2′，y2′)，…，(xn′，yn′)，則變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計算公式如下：r＝eq\f(1,n)(x1′y1′＋x2′y2′＋…＋xn′yn′)＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)).2．相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)(1)當r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當r<0時，成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān)；當r＝0時，成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系．(2)樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為〖－1，1〗．當|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；當|r|越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．3．樣本相關(guān)系數(shù)與標準化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系r＝eq\f(1,n)x′·y′＝eq\f(1,n)|x′||y′|cosθ＝cosθ(其中x′＝(x1′，x2′，…，xn′)，y′＝(y1′，y2′，…，yn′)，|x′|＝|y′|＝eq\r(n)，θ為向量x′和向量y′的夾角)．拓展深化〖微判斷〗1．回歸分析中，若r＝±1說明x，y之間具有完全的線性關(guān)系．(√)2．若r＝0，則說明成對樣本數(shù)據(jù)間是函數(shù)關(guān)系．(×)〖提示〗若r＝0，則說明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系．3．樣本相關(guān)系數(shù)r的范圍是r∈(－∞，＋∞)．(×)〖提示〗樣本相關(guān)系數(shù)的范圍是〖－1，1〗．〖微訓練〗1．下面對相關(guān)系數(shù)r描述正確的是()A．r>0表明兩個變量負相關(guān)B．r>1表明兩個變量正相關(guān)C．r只能大于零D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越接近于0，兩個變量相關(guān)關(guān)系越弱〖解析〗因r＞0表明兩個變量正相關(guān)，故A錯誤；又因r∈〖－1，1〗，故B，C錯誤；兩個變量之間的相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強，r的絕對值越接近于0，表示兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)，故D正確．〖答案〗D2．(多選題)下面的各圖中，散點圖與相關(guān)系數(shù)r符合的是()〖解析〗因為相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近1，線性相關(guān)程度越高，且r＞0時正相關(guān)，r＜0時負相關(guān)，故觀察各選項，易知B不符合，A，C，D均符合．故選ACD.〖答案〗ACD〖微思考〗當r＝1或－1時，兩個變量的相關(guān)性如何？〖提示〗當r＝1時，兩個變量完全正相關(guān)；當r＝－1時，兩個變量完全負相關(guān).題型一線性相關(guān)性的檢驗〖例1〗現(xiàn)隨機抽取了某中學高一10名在校學生，他們?nèi)雽W時的數(shù)學成績x(分)與入學后第一次考試的數(shù)學成績y(分)如下：學生號12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請問：這10名學生的兩次數(shù)學成績是否具有線性相關(guān)關(guān)系？解eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(84＋64＋…＋57＋71)＝68，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝842＋642＋…＋572＋712＝47384，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73796.所以相關(guān)系數(shù)為r＝eq\f(73796－10×107.8×68,\r(（116584－10×107.82）（47384－10×682）))≈0.7506.由此可看出這10名學生的兩次數(shù)學成績具有線性相關(guān)關(guān)系．規(guī)律方法利用相關(guān)系數(shù)r判斷線性相關(guān)關(guān)系，需要應用公式計算出r的值，由于數(shù)據(jù)較大，需要借助計算器．〖訓練1〗假設關(guān)于某種設備的使用年限x(年)與所支出的維修費用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0已知eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝90，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝140.78，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝112.3.(1)求eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))；(2)對x，y進行線性相關(guān)性檢驗．解(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4.eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5.(2)eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5eq\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－)))＝112.3－5×4×5＝12.3，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5eq\o(x,\s\up6(－))2＝90－5×42＝10，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5eq\o(y,\s\up6(－))2＝140.78－125＝15.78，所以r＝eq\f(12.3,\r(10×15.78))≈0.979.所以x與y之間具有很強的線性相關(guān)關(guān)系．題型二判斷線性相關(guān)的強弱〖例2〗維尼綸纖維的耐熱水性能的好壞可以用指標“縮醛化度”y來衡量，這個指標越高，耐水性能也越好，而甲醛濃度是影響縮醛化度的重要因素，在生產(chǎn)中常用甲醛濃度x(克/升)去控制這一指標，為此必須找出它們之間的關(guān)系，現(xiàn)安排一批實驗，獲得如下數(shù)據(jù)．甲醛濃度x18202224262830縮醛化度(y)26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36求樣本相關(guān)系數(shù)r并判斷它們的相關(guān)程度．解列表如下ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi11826.86324721.4596483.4822028.35400803.722556732228.75484826.5625632.542428.87576833.4769692.8852629.75676885.0625773.562830.0078490084073030.36900921.7296910.80∑168202.9441445892.01364900.16eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(168,7)＝24，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(202.94,7)，r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))xiyi－7\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－7\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)－7\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(4900.16－7×24×\f(202.94,7),\r(4144－7×242)\r(5892.0136－7×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(202.94,7)))\s\up12(2)))≈0.96.由此可知，甲醛濃度與縮醛化度之間有很強的正線性相關(guān)關(guān)系．規(guī)律方法當相關(guān)系數(shù)|r|越接近1時，兩個變量的相關(guān)關(guān)系越強，當相關(guān)系數(shù)|r|越接近0時，兩個變量的相關(guān)關(guān)系越弱．〖訓練2〗以下是收集到的新房屋的銷售價格y(萬元)和房屋的大小x(m2)的數(shù)據(jù)．房屋大小x/m211511080135105銷售價格y/萬元24.821.618.429.222(1)畫出數(shù)據(jù)的散點圖；(2)求相關(guān)系數(shù)r，并作出評價．解(1)圖略．(2)列表如下：ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi111524.813225615.042852211021.612100466.56237638018.46400338.561472413529.218225852.643942510522110254842310∑545116609752756.812952eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(545,5)＝109，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(116,5)＝23.2，r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(12952－5×109×23.2,\r(60975－5×1092)\r(2756.8－5×23.22))＝eq\f(308,\r(1570)×\r(65.6))≈0.96，由此可知，新房屋的銷售價格和房屋的大小之間有很強的正線性相關(guān)關(guān)系.一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學習，進一步提升數(shù)學抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．判斷變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，一般用散點圖，但在作圖中，由于存在誤差，有時很難判斷這些點是否分布在一條直線的附近，從而就很難判斷兩個變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，此時就可利用線性相關(guān)系數(shù)來判斷．3．|r|越接近1，它們的散點圖越接近一條直線，兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系越強．二、素養(yǎng)訓練1．兩個變量之間的相關(guān)程度越低，則其線性相關(guān)系數(shù)的數(shù)值()A．越小 B．越接近1C．越接近0 D．越接近－1〖解析〗由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)知選C.〖答案〗C2．給定y與x的一組樣本數(shù)據(jù)，求得相關(guān)系數(shù)r＝－0.690，則()A．y與x線性不相關(guān) B．y與x正線性相關(guān)C．y與x負線性相關(guān) D．以上都不對〖解析〗因為r＝－0.690<0，所以y與x負線性相關(guān)．〖答案〗C3．(多選題)下列說法正確的是()A．變量間的關(guān)系是非確