人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊課時作業(yè)4：§7 5 正態(tài)分布練習

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1§7.5正態(tài)分布1．關于正態(tài)分布N(μ，σ2)，下列說法正確的是()A．隨機變量落在區(qū)間長度為3σ的區(qū)間之外是一個小概率事件B．隨機變量落在區(qū)間長度為6σ的區(qū)間之外是一個小概率事件C．隨機變量落在〖－3σ，3σ〗之外是一個小概率事件D．隨機變量落在〖μ－3σ，μ＋3σ〗之外是一個小概率事件〖答案〗D〖解析〗∵P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973，∴P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈1－0.9973＝0.0027，∴隨機變量落在〖μ－3σ，μ＋3σ〗之外是一個小概率事件．2．(多選)已知三個正態(tài)密度函數(shù)φi(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))(x∈R，i＝1,2,3)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()A．σ1＝σ2 B．μ1>μ2C．μ1＝μ2 D．σ2<σ3〖答案〗AD〖解析〗由圖可知μ2＝μ3>μ1，σ1＝σ2<σ3，故AD正確．3．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ<4)＝0.84，則P(ξ≤0)等于()A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84〖答案〗A〖解析〗∵隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，∴μ＝2，∵P(ξ<4)＝0.84，∴P(ξ≥4)＝1－0.84＝0.16，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.16.4．若隨機變量X服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線上的最高點的坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))，則該隨機變量的方差等于()A．10B．100C.eq\f(2,π)D.eq\r(\f(2,π))〖答案〗C〖解析〗由正態(tài)分布密度曲線上的最高點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))知eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2)，∴D(X)＝σ2＝eq\f(2,π).5.如圖所示是當σ取三個不同值σ1，σ2，σ3的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)的圖象，那么σ1，σ2，σ3的大小關系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3〖答案〗D〖解析〗當μ＝0，σ＝1時，正態(tài)曲線f(x)＝eq\f(1,\r(2π))在x＝0處取最大值eq\f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正態(tài)曲線的性質(zhì)，當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，反之越“矮胖”．故選D.6．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(a,4)，且P(X≤1)＝0.5，則實數(shù)a的值為．〖答案〗1〖解析〗∵X服從正態(tài)分布N(a,4)，∴正態(tài)曲線關于直線x＝a對稱，又P(X≤1)＝0.5，故a＝1.7．已知隨機變量X～N(2，σ2)，如圖所示，若P(X<a)＝0.32，則P(a≤X≤4－a)＝.〖答案〗0.36〖解析〗∵隨機變量X～N(2，σ2)，∴μ＝2，由正態(tài)分布圖象的對稱性可得曲線關于直線x＝2對稱，∴P(X>4－a)＝P(X<a)＝0.32，∴P(a≤X≤4－a)＝1－P(X<a)－P(X>4－a)＝1－2P(X<a)＝0.36.8．已知X～N(4，σ2)，且P(2<X<6)≈0.6827，則σ＝，P(|X－2|<4)＝.〖答案〗20.84〖解析〗∵X～N(4，σ2)，∴μ＝4.∵P(2<X<6)≈0.6827，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＋σ＝6，,μ－σ＝2，))∴σ＝2.∴P(|X－2|<4)＝P(－2<X<6)＝P(－2<X<2)＋P(2<X<6)＝eq\f(1,2)〖P(－2<X<10)－P(2<X<6)〗＋P(2<X<6)＝eq\f(1,2)P(－2<X<10)＋eq\f(1,2)P(2<X<6)＝0.84.9．已知隨機變量X～N(3，σ2)，且P(2≤X≤4)＝0.68，求P(X>4)的值．解∵隨機變量X～N(3，σ2)，∴正態(tài)曲線關于直線x＝3對稱，又P(2≤X≤4)＝0.68，可得P(X>4)＝eq\f(1,2)×〖1－P(2≤X≤4)〗＝eq\f(1,2)×(1－0.68)＝0.16.10．一投資者在兩個投資方案中選擇一個，這兩個投資方案的利潤X(萬元)分別服從正態(tài)分布N(8,32)和N(7,12)，投資者要求“利潤超過5萬元”的概率盡量大，那么他應該選擇哪一個方案？解對于第一個方案有X～N(8,32)，其中μ＝8，σ＝3，P(X>5)＝eq\f(1－P5<X≤11,2)＋P(5<X≤11)＝eq\f(1＋P5<X≤11,2)≈0.84135；對于第二個方案有X～N(7,12)，其中μ＝7，σ＝1，P(X>5)＝eq\f(1＋P5<X≤9,2)≈0.97725，顯然第二個方案“利潤超過5萬元”的概率比較大，故他應該選擇第二個方案．11．在某市2020年3月份的高三線上質(zhì)量檢測考試中，學生的數(shù)學成績服從正態(tài)分布N(98,100)．已知參加本次考試的全市學生有9455人，如果某學生在這次考試中的數(shù)學成績是108分，那么他的數(shù)學成績大約排在全市第()A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名〖答案〗A〖解析〗因為學生的數(shù)學成績X服從正態(tài)分布N(98,100)，所以P(X>108)＝eq\f(1,2)〖1－P(88≤X≤108)〗＝eq\f(1,2)〖1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)〗≈eq\f(1,2)×(1－0.6827)＝0.15865.所以0.15865×9455≈1500.12．一批電阻的電阻值X(單位：Ω)服從正態(tài)分布N(1000,52)，現(xiàn)從甲、乙兩箱出廠的成品中各隨機抽取一個電阻，測得電阻值分別為1011Ω和982Ω，可以認為()A．甲、乙兩箱電阻均可出廠B．甲、乙兩箱電阻均不可出廠C．甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠D．甲箱電阻不可出廠，乙箱電阻可出廠〖答案〗C〖解析〗∵X～N(1000,52)，∴μ＝1000，σ＝5，∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015.∵1011∈(985,1015)，982?(985,1015)，∴甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠．13．某工廠生產(chǎn)一種螺栓，在正常情況下，螺栓的直徑X(單位：mm)服從正態(tài)分布X～N(100,1)．現(xiàn)加工10個螺栓的尺寸(單位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.根據(jù)行業(yè)標準，概率低于0.003視為小概率事件，工人隨機將其中的8個交與質(zhì)檢員檢驗，則質(zhì)檢員認為設備需檢修的概率為()A.eq\f(44,45)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(41,45)〖答案〗B〖解析〗10個螺栓的尺寸，只有103.2不在區(qū)間〖97,103〗內(nèi)，∴工人隨機將其中的8個交與質(zhì)檢員檢驗，質(zhì)檢員認為設備需檢修的概率為eq\f(C\o\al(7,9),C\o\al(8,10))＝eq\f(4,5)，故選B.14．已知隨機變量X～N(2,22)，且aX＋b(a>0)服從標準正態(tài)分布N(0,1)，則a＝，b＝.〖答案〗eq\f(1,2)－1〖解析〗∵隨機變量X～N(2,22)，∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4.∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1，又a>0，∴a＝eq\f(1,2)，b＝－1.15．(多選)設X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中錯誤的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對任意正數(shù)t，P(X≤t)>P(Y≤t)D．對任意正數(shù)t，P(X>t)>P(Y>t)〖答案〗ABD〖解析〗由題圖可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A錯；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B錯；當t為任意正數(shù)時，由題圖可知P(X≤t)>P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X>t)，P(Y≤t)＝1－P(Y>t)，∴P(X>t)<P(Y>t)，故C正確，D錯．16．十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的政策要求，帶領廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康．經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設取得巨大進步，農(nóng)民年收入也逐年增加，為了制定提升農(nóng)民收入力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了2019年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計50位農(nóng)民的年平均收入eq\x\to(x)(單位：千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示)；(2)由頻率分布直方圖，可以認為該貧困地區(qū)農(nóng)民收入X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為年平均收入eq\x\to(x)，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計算得s2＝6.92，利用該正態(tài)分布，求：①在扶貧攻堅工作中，若使該地區(qū)約有84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標準，則最低年收入大約為多少千元？②為了調(diào)研“精準扶貧，不落一人”的政策要求落實情況，扶貧辦隨機走訪了1000位農(nóng)民．若每位農(nóng)民的年收入互相獨立，記這1000位農(nóng)民中的年收入高于12.14千元的人數(shù)為ξ，求E(ξ)．附參考數(shù)據(jù)：eq\r(6.92)≈2.63，若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解eq\x\to(x)＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)，故估計50位農(nóng)民的年平均收入eq\x\to(x)為17.40千元．(2)由題意知X～N(17.4