人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第七章 隨機(jī)變量及其分布章末復(fù)習(xí)課

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE1章末復(fù)習(xí)課一、條件概率與全概率公式1．求條件概率有兩種方法：一種是基于樣本空間Ω，先計(jì)算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求解；另一種是縮小樣本空間，即以A為樣本空間計(jì)算AB的概率．2．掌握條件概率與全概率運(yùn)算，重點(diǎn)提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．例1采購員要購買10個(gè)一包的電器元件．他的采購方法是：從一包中隨機(jī)抽查3個(gè)，如果這3個(gè)元件都是好的，他才買下這一包．假定含有4個(gè)次品的包數(shù)占30%，而其余包中各含1個(gè)次品．求：(1)采購員拒絕購買的概率；(2)在采購員拒絕購買的條件下，抽中的一包中含有4個(gè)次品的概率．解設(shè)B1＝“取到的是含4個(gè)次品的包”，B2＝“取到的是含1個(gè)次品的包”，A＝“采購員拒絕購買”，P(B1)＝eq\f(3,10)，P(B2)＝eq\f(7,10).P(A|B1)＝1－eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,6)，P(A|B2)＝1－eq\f(C\o\al(3,9),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10).(1)由全概率公式得到P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝eq\f(3,10)×eq\f(5,6)＋eq\f(7,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(23,50).(2)P(B1|A)＝eq\f(PB1PA|B1,PA)＝eq\f(\f(3,10)×\f(5,6),\f(23,50))＝eq\f(25,46).反思感悟條件概率的計(jì)算要注意以下三點(diǎn)：(1)明白是在誰的條件下，計(jì)算誰的概率．(2)明確P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)三者間的互化．(3)理解全概率公式P(A)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Bi)P(A|Bi)中化整為零的計(jì)算思想．跟蹤訓(xùn)練1為了提升全民身體素質(zhì)，學(xué)校十分重視學(xué)生體育鍛煉，某校籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃練習(xí)．如果他前一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為eq\f(3,4)；如果他前一球投不進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為eq\f(1,4).若他第1球投進(jìn)的概率為eq\f(3,4)，則他第2球投進(jìn)的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(5,8)C.eq\f(7,16)D.eq\f(9,16)〖答案〗B〖解析〗記事件A為“第1球投進(jìn)”，事件B為“第2球投進(jìn)”，P(B|A)＝eq\f(3,4)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(1,4)，P(A)＝eq\f(3,4)，由全概率公式可得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(5,8).二、離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差1．均值和方差都是隨機(jī)變量的重要的數(shù)字特征，方差是建立在均值的基礎(chǔ)之上，它表明了隨機(jī)變量所取的值相對(duì)于它的均值的集中與離散程度，二者的聯(lián)系密切，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中的應(yīng)用比較廣泛．2．掌握離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差，重點(diǎn)提升邏輯推理與運(yùn)算的核心素養(yǎng)．角度1二項(xiàng)分布的均值、方差例2某廠有4臺(tái)大型機(jī)器，在一個(gè)月中，一臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修，每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為eq\f(1,3).(1)問該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不小于90%?(2)已知1名工人每月只有維修1臺(tái)機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修，能使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值．解(1)設(shè)“機(jī)器出現(xiàn)故障”為事件A，則P(A)＝eq\f(1,3).設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為X，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(16,81)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(32,81)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(24,81)＝eq\f(8,27)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×eq\f(2,3)＝eq\f(8,81)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq\f(1,81).故X的分布列為X01234Peq\f(16,81)eq\f(32,81)eq\f(8,27)eq\f(8,81)eq\f(1,81)設(shè)該廠有n名工人，則“每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修”為X≤n，X＝0，X＝1，X＝2，…，X＝n，這n＋1個(gè)互斥事件的和事件，則n01234P(X≤n)eq\f(16,81)eq\f(16,27)eq\f(8,9)eq\f(80,81)1因?yàn)閑q\f(8,9)<90%<eq\f(80,81)，所以至少要3名工人，才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不小于90%.(2)設(shè)該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為18,13,8，P(Y＝18)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(8,9)，P(Y＝13)＝P(X＝3)＝eq\f(8,81)，P(Y＝8)＝P(X＝4)＝eq\f(1,81).故Y的分布列為Y18138Peq\f(8,9)eq\f(8,81)eq\f(1,81)所以E(Y)＝18×eq\f(8,9)＋13×eq\f(8,81)＋8×eq\f(1,81)＝eq\f(1408,81)，故該廠獲利的均值為eq\f(1408,81)萬元．角度2超幾何分布的均值、方差例3某學(xué)院為了調(diào)查本校學(xué)生2021年4月“健康上網(wǎng)”(健康上網(wǎng)是指每天上網(wǎng)不超過兩個(gè)小時(shí))的天數(shù)情況，隨機(jī)抽取了40名本校學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們?cè)谠撛?0天內(nèi)健康上網(wǎng)的天數(shù)，并將所得的數(shù)據(jù)分成以下六組：〖0,5〗，(5,10〗，(10,15〗，…，(25,30〗，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這40名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)；(2)現(xiàn)從這40名學(xué)生中任取2名，設(shè)Y為取出的2名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)，求Y的分布列及均值E(Y)．解(1)由圖可知，健康上網(wǎng)天數(shù)未超過20天的頻率為(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的學(xué)生人數(shù)是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.(2)隨機(jī)變量Y的所有可能取值為0,1,2，且Y服從超幾何分布．所以P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(2,30),C\o\al(2,40))＝eq\f(29,52)，P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,30),C\o\al(2,40))＝eq\f(5,13)，P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,40))＝eq\f(3,52).所以Y的分布列為Y012Peq\f(29,52)eq\f(5,13)eq\f(3,52)所以Y的均值E(Y)＝1×eq\f(5,13)＋2×eq\f(3,52)＝eq\f(1,2).反思感悟求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能的全部取值．(2)求X取每個(gè)值的概率或求出函數(shù)P(X＝k)．(3)寫出X的分布列．(4)由分布列和均值的定義求出E(X)．(5)由方差的定義，求D(X)，若X～B(n，p)，則可直接利用公式求，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)X服從兩點(diǎn)分布，分布列為，其中p∈(0,1)，則()A．E(X)＝p，D(X)＝p3B．E(X)＝p，D(X)＝p2C．E(X)＝q，D(X)＝q2D．E(X)＝1－p，D(X)＝p－p2〖答案〗D〖解析〗X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝q＝1－p，D(X)＝p(1－p)＝p－p2.(2)(多選)在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取出的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是()A．P(X＝2)＝eq\f(3,7)B．隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布C．隨機(jī)變量X服從超幾何分布D．E(X)＝eq\f(8,5)〖答案〗ACD〖解析〗由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，故B錯(cuò)誤，C正確；隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,4，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(4,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,14)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(8,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(3,7)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(4,35)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,210)，故E(X)＝0×eq\f(1,14)＋1×eq\f(8,21)＋2×eq\f(3,7)＋3×eq\f(4,35)＋4×eq\f(1,210)＝eq\f(8,5)，故A，D正確．三、正態(tài)分布與二項(xiàng)分布、超幾何分布的綜合應(yīng)用解答正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用題，關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，同時(shí)注意以下兩點(diǎn)：(1)注意“3σ”原則，記住正態(tài)總體在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率．(2)注意數(shù)形結(jié)合．由于正態(tài)分布密度曲線具有完美的對(duì)稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想，因此運(yùn)用對(duì)稱性和結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點(diǎn)問題．例4某市為了解本市1萬名小學(xué)生的普通話水平，在全市范圍內(nèi)進(jìn)行了普通話測(cè)試，測(cè)試后對(duì)每個(gè)小學(xué)生的普通話測(cè)試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)總體(這1萬名小學(xué)生普通話測(cè)試成績)服從正態(tài)分布N(69,49)．(1)從這1萬名小學(xué)生中任意抽取1名小學(xué)生，求這名小學(xué)生的普通話測(cè)試成績?cè)?62,90)內(nèi)的概率；(2)現(xiàn)在從總體中隨機(jī)抽取12名小學(xué)生的普通話測(cè)試成績，對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)如下：50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.從這12個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取4個(gè)，記X表示大于總體平均分的個(gè)數(shù)，求X的方差．參考數(shù)據(jù)：若Y～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Y<μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<Y<μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<Y<μ＋3σ)＝0.9973.解(1)因?yàn)閷W(xué)生的普通話測(cè)試成績Y服從正態(tài)分布N(69,49)，所以μ＝69，σ＝7，所以P(62<Y<90)＝P(μ－σ<Y<μ＋3σ)＝eq\f(0.6827＋0.9973,2)＝0.84.(2)因?yàn)榭傮w平均分為μ＝69，所以這12個(gè)數(shù)據(jù)中大于總體平均分的有3個(gè)，所以X的可能取值為0,1,2,3，則P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(4,9),C\o\al(4,12))＝eq\f(14,55)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,9),C\o\al(4,12))＝eq\f(28,55)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,9),C\o\al(4,12))＝eq\f(12,55)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(1,9),C\o\al(4,12))＝eq\f(1,55)，所以E(X)＝0×eq\f(14,55)＋1×eq\f(28,55)＋2×eq\f(12,55)＋3×eq\f(1,55)＝1,D(X)＝(0－1)2×eq\f(14,55)＋(1－1)2×eq\f(28,55)＋(2－1)2×eq\f(12,55)＋(3－1)2×eq\f(1,55)＝eq\f(6,11).反思感悟利用正態(tài)曲線解決實(shí)際性問題時(shí)常利用其對(duì)稱性解題，并注意借助〖μ－σ，μ＋σ〗，〖μ－2σ，μ＋2σ〗，〖μ－3σ，μ＋3σ〗三個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率值求解，并注意正態(tài)曲線與頻率分布直方圖的結(jié)合．跟蹤訓(xùn)練3為提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力確保公交車的準(zhǔn)點(diǎn)率，減少居民侯車時(shí)間，為此，該公司對(duì)某站臺(tái)乘客的候車時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．乘客候車時(shí)間受公交車準(zhǔn)點(diǎn)率、交通擁堵情況、節(jié)假日人流量增大等情況影響．在公交車準(zhǔn)點(diǎn)率正常、交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的情況下，乘客候車時(shí)間X滿足正態(tài)分布N(μ，σ2)．在公交車準(zhǔn)點(diǎn)率正常、交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的情況下，調(diào)查了大量乘客的候車時(shí)間，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)在直方圖各組中，以該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，試估計(jì)μ，σ2的值；(2)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，發(fā)生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般認(rèn)為，在正常情況下，一次試驗(yàn)中，小概率事件是不能發(fā)生的．在交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的某天，隨機(jī)調(diào)查了該站的10名乘客的候車時(shí)間，發(fā)現(xiàn)其中有3名乘客候車時(shí)間超過15分鐘，試判斷該天公交車準(zhǔn)點(diǎn)率是否正常，說明理由．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(19.2)≈4.38，eq\r(21.4)≈4.63，eq\r(26.6)≈5.16，0.84137≈0.2983,0.84136≈0.3546,0.15873≈0.0040，0.15874≈0.0006，P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.)解(1)μ＝0.1×2＋0.2×6＋0.4×10＋0.2×14＋0.1×18＝10，σ2＝s2＝2×(82×0.1＋42×0.2)＋(10－10)2×0.4＝19.2.(2)μ＋σ＝10＋4.38＝14.38，設(shè)“3名乘客候車時(shí)間超過15分鐘”的事件為A，P(X>14.38)＝eq\f(1－Pμ－σ<X≤μ＋σ,2)≈0.15865，P(A)＝Ceq\o\al(3,10)×(0.15865)3×(0.84135)7≈0.143>0.003，故該天公交車準(zhǔn)點(diǎn)率正常．1．設(shè)X～N(10,0.8)，則D(2X＋1)等于()A．1.6B．3.2C．6.4D．12.8〖答案〗B〖解析〗∵X～N(10,0.8)，∴D(X)＝0.8，∴D(2X＋1)＝4D(X)＝3.2.2．甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，采取五局三勝制(不考慮平局，先贏得三場(chǎng)的人為獲勝者，比賽結(jié)束)．根據(jù)前期的統(tǒng)計(jì)分析，得到甲在和乙的第一場(chǎng)比賽中，取勝的概率為0.5，受心理方面的影響，前一場(chǎng)比賽結(jié)果會(huì)對(duì)甲的下一場(chǎng)比賽產(chǎn)生影響，如果甲在某一場(chǎng)比賽中取勝，則下一場(chǎng)取勝率提高0.1，反之，降低0.1.則甲以3∶1取得勝利的概率為()A．0.162B．0.18C．0.168D．0.174〖答案〗D〖解析〗設(shè)甲在第一、二、三、四局比賽中獲勝分別為事件A1，A2，A3，A4，由題意，得甲要以3∶1取得勝利可能是A1A2eq\x\to(A)3A4，A1eq\x\to(A)2A3A4，eq\x\to(A)1A2A3A4，∴甲以3∶1取得勝