人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊第七章 隨機變量及其分布學(xué)案2：章末復(fù)習(xí)課

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE1章末復(fù)習(xí)課知識網(wǎng)絡(luò)規(guī)律方法收藏1．離散型隨機變量的分布列(1)分布列若離散型隨機變量X的所有不同取值為x1，x2，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱以下表格為隨機變量X的概率分布列，簡稱為分布列．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn離散型隨機變量具有如下性質(zhì)：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))pi＝1.(2)兩點分布兩點分布也叫0－1分布，它只有兩個試驗結(jié)果0和1，其分布列為X01P1－pp(3)二項分布在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.這時稱X服從二項分布，記為X～B(n，p)．2．離散型隨機變量的均值與方差(1)均值與方差若離散型隨機變量X的分布列是P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn為X的均值或數(shù)學(xué)期望；D(X)＝〖x1－E(X)〗2×p1＋〖x2－E(X)〗2×p2＋…＋〖xn－E(X)〗2×pn為隨機變量X的方差．(2)均值與方差的性質(zhì)①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)兩點分布與二項分布的均值與方差①若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；②若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．3．條件概率及事件的相互獨立性(1)條件概率：一般地，設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率．(2)條件概率的性質(zhì)①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(3)事件的相互獨立性：設(shè)A，B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．如果事件A與B相互獨立，那么A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與B，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也都相互獨立．4．正態(tài)分布(1)正態(tài)分布：一般地，如果對于任何實數(shù)a，b(a<b)，隨機變量X滿足P(a<X≤b)＝eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定，因此正態(tài)分布常記作N(μ，σ2)．(2)正態(tài)分布的3σ原則：若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之間的值，并簡稱之為3σ原則．考點突破突破一條件概率與全概率公式1．求條件概率有兩種方法：一種是基于樣本空間Ω，先計算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))求解；另一種是縮小樣本空間，即以A為樣本空間計算AB的概率．2．掌握條件概率與全概率運算，重點提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．例1.某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答3個問題．競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分，答錯得零分．假設(shè)這名同學(xué)答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8,0.7,0.6，且各題答對與否相互之間沒有影響．(1)求這名同學(xué)得300分的概率；(2)求這名同學(xué)至少得300分的概率．反思感悟條件概率的計算要注意以下三點(1)明白是在誰的條件下，計算誰的概率．(2)明確P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者間的關(guān)系，實現(xiàn)三者間的互化．(3)理解全概率公式P(A)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Bi)P(A|Bi)中化整為零的計算思想．跟蹤訓(xùn)練1.在5道題中有3道理科題和2道文科題．如果不放回地依次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；(3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率．突破二n重伯努利試驗及二項分布1．n重伯努利試驗是相互獨立事件的延伸，其試驗結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)X～B(n，p)，即P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k.2．學(xué)習(xí)該部分知識重點提升數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．例2.某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答3個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：答對第1,2,3個問題分別得100分，100分，200分，答錯得零分．假設(shè)這名同學(xué)答對第1,2,3個問題的概率分別為0.8,0.7,0.6.且各題答對與否相互之間沒有影響．(1)求這名同學(xué)得300分的概率；(2)求這名同學(xué)至少得300分的概率．反思感悟與二項分布有關(guān)的問題關(guān)鍵是二項分布的判定，可從以下幾個方面判定(1)每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的．(2)各次試驗中的事件是相互獨立的．(3)每次試驗只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．(4)隨機變量是這n重伯努利試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2.甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為eq\f(1,3)，乙每次投籃投中的概率為eq\f(1,2)，且各次投籃互不影響．求：(1)乙獲勝的概率；(2)求投籃結(jié)束時乙只投了2個球的概率．突破三離散型隨機變量的均值與方差1．均值和方差都是隨機變量的重要的數(shù)字特征，方差是建立在均值的基礎(chǔ)之上，它表明了隨機變量所取的值相對于它的均值的集中與離散程度，二者的聯(lián)系密切，在現(xiàn)實生產(chǎn)生活中的應(yīng)用比較廣泛．2．掌握均值和方差的計算，重點提升邏輯推理和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．例3.為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名．從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽．(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．反思感悟求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能的全部取值．(2)求X取每個值的概率或求出函數(shù)P(X＝k)．(3)寫出X的分布列．(4)由分布列和均值的定義求出E(X)．(5)由方差的定義，求D(X)，若X～B(n，p)，則可直接利用公式求，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．跟蹤訓(xùn)練3.一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片．(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；(2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．注：若三個數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù)．突破四正態(tài)分布1．正態(tài)分布是連續(xù)型隨機變量X的一種分布，其在概率和統(tǒng)計中占有重要地位，尤其統(tǒng)計學(xué)中的3σ原則在生產(chǎn)生活中有廣泛的應(yīng)用．2．熟記正態(tài)分布的特征及應(yīng)用3σ原則解決實際問題是本章的兩個重點，在學(xué)習(xí)中提升直觀想象、數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．例4.為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況，抽查了該地區(qū)1000名年齡在17.5歲至19歲的高三男生的體重情況，抽查結(jié)果表明他們的體重X(kg)服從正態(tài)分布N(μ，22)，且正態(tài)分布密度曲線如圖所示．若體重大于58.5kg小于等于62.5kg屬于正常情況，則這1000名男生中屬于正常情況的人數(shù)是________．反思感悟正態(tài)曲線的應(yīng)用及求解策略(1)正態(tài)曲線是軸對稱圖形，常借助其對稱性解題．(2)正態(tài)分布的概率問題常借助〖μ－σ，μ＋σ〗，〖μ－2σ，μ＋2σ〗，〖μ－3σ，μ＋3σ〗三個區(qū)間內(nèi)的概率值求解．(3)注意正態(tài)曲線與頻率分布直方圖的結(jié)合．跟蹤訓(xùn)練4.某學(xué)校高三2500名學(xué)生第二次模擬考試總成績服從正態(tài)分布N(500,502)，請您判斷考生成績在550～600分的人數(shù)．當(dāng)堂檢測1．將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是________．2．已知隨機變量X服從二項分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，則p＝________.3．A，B，C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時)：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)試估計C班的學(xué)生人數(shù)；(2)從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙，假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相互獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；(3)再從A，B，C三個班中各隨機抽取一名學(xué)生，他們該周的鍛煉時間分別是7,9,8.25(單位：小時)．這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0，試判斷μ0和μ1的大?。?結(jié)論不要求證明)4．某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)．由于集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊．(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率；(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁例1.解：記“這名同學(xué)答對第i個問題”為事件Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.(1)這名同學(xué)得300分的概率為P1＝P(A1eq\x\to(A2)A3)＋P(eq\x\to(A1)A2A3)＝P(A1)·P(eq\x\to(A2))·P(A3)＋P(eq\x\to(A1))·P(A2)·P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.(2)這名同學(xué)至少得300分的概率為P2＝P1＋P(A1A2A3)＝P1＋P(A1)·P(A2)·P(A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6跟蹤訓(xùn)練1.解：設(shè)“第1次抽到理科題”為事件A，“第2題抽到理科題”為事件B，則“第1次和第2次都抽到理科題”為事件AB.(1)從5道題中不放回地依次抽取2道題的事件數(shù)為n(Ω)＝Aeq\o\al(2,5)＝20.根據(jù)分步計數(shù)原理，n(A)＝Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(1,4)＝12.于是P(A)＝eq\f(n(A),n(Ω))＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)因為n(AB)＝Aeq\o\al(2,3)＝6，所以P(AB)＝eq\f(n(AB),n(Ω))＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).例2.解：記“這名同學(xué)答對第i個問題”為事件Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.(1)這名同學(xué)得300分的概率為：P1＝P(A1eq\x\to(A)2A3)＋P(eq\x\to(A)1A2A3)＝P(A1)P(eq\x\to(A)2)P(A3)＋P(eq\x\to(A)1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.(2)這名同學(xué)至少得300分的概率為：P2＝P1＋P(A1A2A3)＝P1＋P(A1)P(A2)P(A＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.跟蹤訓(xùn)練2.解：設(shè)Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P(Ak)＝eq\f(1,3)，P(Bk)＝eq\f(1,2)(k＝1,2,3)．(1)記“乙獲勝”為事件C，由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知P(C)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))1B1)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1eq\o(B,\s\up6(－))1eq\o(A,\s\up6(－))2B2)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1eq\o(B,\s\up6(－))1eq\o(A,\s\up6(－))2eq\o(B,\s\up6(－))2eq\o(A,\s\up6(－))3B3)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))1)P(B1)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1)P(eq\o(B,\s\up6(－))1)P(eq\o(A,\s\up6(－))2)P(B2)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1)P(eq\o(B,\s\up6(－))1)P(eq\o(A,\s\up6(－))2)P(eq\o(B,\s\up6(－))2)P(eq\o(A,\s\up6(－))3)P(B3)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(13,27).(2)記“投籃結(jié)束時乙只投了2個球”為事件D，則由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知P(D)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))1eq\o(B,\s\up6(－))1eq\o(A,\s\up6(－))2B2)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1eq\o(B,\s\up6(－))1eq\o(A,\s\up6(－))2eq\o(B,\s\up6(－))2A3)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))1)P(eq\o(B,\s\up6(－))1)P(eq\o(A,\s\up6(－))2)P(B2)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1)P(eq\o(B,\s\up6(－))1)P(eq\o(A,\s\up6(－))2)P(eq\o(B,\s\up6(－))2)P(A3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).例3.解：(1)由已知，有P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(6,35).所以，事件A發(fā)生的概率為eq\f(6,35).(2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,5)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,8))(k＝1,2,3,4)．所以，隨機變量X的分布列為X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×eq\f(1,14)＋2×eq\f(3,7)＋3×eq\f(3,7)＋4×eq\f(1,14)＝eq\f(5,2).跟蹤訓(xùn)練3.解：(1)由古典概型中的概率計算公式知所求概率為p＝eq\f(C\o\al(3,4)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,84).(2)X的所有可能值為1,2,3，且P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,5)＋C\o\al(3,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(17,42)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,3)C\o\al(1,6)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(43,84)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,7),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,12)，故X的分布列為X123Peq\f(17,42)eq\f(43,84)eq\f(1,12)從而E(X)＝1×eq\f(17,42)＋2×eq\f(43,84)＋3×eq\f(1,12)＝eq\f(47,28).例4.〖答案〗683〖解析〗由題意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，從而屬于正常情況的人數(shù)是1000×0.6826≈683.跟蹤訓(xùn)練4.解：∵考生成績X～N(500,502)，∴μ＝500，σ＝50，∴P(550<X≤600)＝eq\f(1,2)〖P(500－2×50<X≤500＋2×50)－P(500－50<X≤500＋50)〗＝eq\f(1,2)(0.9544－0.6826)＝0.1359.∴考生成績在550～600分的人數(shù)為2500×0.1359≈340.當(dāng)堂檢測1．〖答案〗eq\f(5,6)〖解析〗將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，所有等可能的結(jié)果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36種情況．設(shè)事件A＝“出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10”，其對立事件eq\x\to(A)＝“出現(xiàn)向上的點數(shù)之和大于或等于10”，eq\x\to(A)包含的可能結(jié)果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6種情況．所以由古典概型的概率公式，得P(eq\x\to(A))＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，所以P(A)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).2．〖答案〗eq\f(1,3)〖解析〗由E(X)＝30，D(X)＝20，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝30，,np1－p＝20，))解得p＝eq\f(1,3).3．解：(1)由題意知，抽出的20名學(xué)生中，來自C班的學(xué)生有8名．根據(jù)分層抽樣的方法，估計C班的學(xué)生人數(shù)為100×eq\f(8,20)＝40.(2)設(shè)事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個人”，i＝1,2，…，5，事件Cj為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個人”，j＝1,2，…，8.由題意可知，P(Ai