一元二次不等式及其應(yīng)用-高考數(shù)學(xué)題型歸納與方法總結(jié)（解析版）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

第05講一元二次不等式及其應(yīng)用(精講)

題型目錄一覽

①不含參數(shù)的一元二次不等式的解法

②含參數(shù)的一元二次不等式的解法

③一元二次不等式綜合應(yīng)用

④分式不等式與絕對(duì)值不等式的解法

、知識(shí)點(diǎn)梳理

1.一元二次不等式

一元二次不等式a*>0(。。0),其中A=/-4ac,再,0是方程

OX?+/JX+C>0(q。0)的兩個(gè)根，且再<%2

(1)當(dāng)Q>0時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上.

(2)①若A〉0,解集為｛x|x〉％2或1<可｝?

②若△=(),解集為且xw—

③若A<0,解集為R.

(2)當(dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下.

①若A>0,解集為｛<玉<》</｝

②若A<0,解集為0

2.分式不等式

⑴7〉0o/(x)?g(x)〉0

g(x)

(2)^^<0<^/(x).g(x)<0

/(x)?g(x)>0

g(x)中0

/(x)?g(x)<0

g(x)豐0

3.絕對(duì)值不等式

⑴i/（x）i>|g（x）|o[/（x）r>[g（切2

（2）|/（x）|>g（x）（g（x）>0）O/（x）>g（x）WW<—g（x）;

|/（x）|<g（x）（g（x）>0）o—g（x）</（x）<g（x）;

（3）含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解

【常用結(jié)論】

1.已知關(guān)于x的不等式辦2+6x+c>0的解集為（加，n）（其中冽幾>0）,解關(guān)于X的不等式

ex2+fcr+。>0.

由ax1+for+c>0的解集為（〃?，"），得:。（與+/+00的解集為（L工），即關(guān)于X的不

xxnm

等式ex1+bx+a>0的解集為（―,—）.

nm

已知關(guān)于x的不等式。工2+bx+c>0的解集為（加，n）,解關(guān)于x的不等式ex?+bx+。W0.

由ax2++c>0的解集為（加，加），得:。山2+/+。40的解集為（-8，—]U[―，+8）即關(guān)

xxnm

于x的不等式ex1+bx+a<Q的解集為（-00,—]U[―，+8）.

nm

2.已知關(guān)于x的不等式。f+6%+。>0的解集為（冽，加）（其中〃〉加〉0）,解關(guān)于x的不等式

ex2-bx-\-a>0.

由。%2+bx+c>0的解集為（冽，〃），得:4（1）2-〉0的解集為（-工）即關(guān)于X的不

xxmn

等式ex1-bx+a>｛）的解集為（一~-,.

mn

3.已知關(guān)于x的不等式辦之+6%+。〉0的解集為（冽，n）,解關(guān)于x的不等式ex?一反+。（0.

由ax?+6x+c>0的解集為（冽，ri）,得:。（工）2—b'+c<0的解集為（一oo,]U[-—，+°o）

xxmn

即關(guān)于1的不等式42_取+440的解集為（-00,-']14」，+00）,以此類(lèi)推.

mn

4.已知關(guān)于X的一元二次不等式"2++c>0的解集為火，則一定滿(mǎn)足f>°；

[A<0

5.已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為弧則一定滿(mǎn)足;

6.已知關(guān)于x的一元二次不等式—+樂(lè)+o<0的解集為R,則一定滿(mǎn)足卜'<°；

[A<0

7.已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為。，則一定滿(mǎn)足

二、題型分類(lèi)精講

題型一不含參數(shù)的一元二次不等式的解法

畬策略方法解一元二次不等式的四個(gè)步驟

囪一價(jià)示拳次菱拓務(wù)三裝及系藪關(guān)于篆面麻灌形次

1

圄一：并算同應(yīng)為涯的事麗或

:求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的才艮，晟才艮糖判別式:

；說(shuō)明方程有沒(méi)有實(shí)根；

仔癰二天壬?而或不手敢審前,有加示軍裝磯

，解集；

【典例1】函數(shù)=+2X+3的定義域是()

A.[-1,3]B.(-oo,-l]u[3,+oo)

C.[-3,1]D.(^?,-3]u[l,+oo)

【答案】A

【分析】結(jié)合已知條件，求解不等式-x2+2x+3Z0即可得到答案.

【詳解】由〃x)=J-d+2x+3可知,—x~+2x+3N0,

BPX2-2X-3<0,解得-1WX*3,

故/(x)的定義域?yàn)閇-1,3].

故選:A.

【典例2】不等式x(2-x)>0的解集為()

A.{x|x<2}B.[x\x>21C.{x|x<0或x>2}D.{x|0<x<2}

【答案】D

【分析】直接解不含參一元二次不等式即可.

【詳解】因?yàn)橐?—x)=O=x=O或x=2,貝！J/(x)=x(2—x)圖象如圖所示，

所以x（2-x）>0解集為{x[0<x<2}.

故選：D.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新課標(biāo)D）已知集合力={刈/-3欠-4<0},8={-4,1,3,5},則

A[}B=（）

A.{-4,1}B.{155}

C.{3,5}D.{1,3}

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求得集合A,之后利用交集中元素的特征求得得到

結(jié)果.

【詳解】由/_3式一4<0解得一l<x<4,

所以/={x~l<尤<4},

又因?yàn)?={-4,1,3,5},所以Zn3={l,3},

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)集合的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用一元二次不等式的解法求

集合，集合的交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.

2.（貴州省貴陽(yáng)市五校2023屆高三聯(lián)合考試（五）理科數(shù)學(xué)試題）已知集合

/={x|尤？-5x4。},8={x|尤=2〃+1,〃eN},則/口2=（）

A.{0,1,2,3,4,5}B.{1,2,3,4,5}C.{1,3,5}D.{3,5}

【答案】C

【分析】解不等式，得到/={x|0WxW5},結(jié)合集合3的元素特征，得到交集.

【詳解】x2-5x<0?解得0W5；集合A元素滿(mǎn)足x=2〃+l,〃eN,

當(dāng)〃=0時(shí)，x=l滿(mǎn)足要求，當(dāng)”=1時(shí)，x=3滿(mǎn)足要求，當(dāng)〃=2時(shí)，x=5滿(mǎn)足要求，

其他均不合要求，故4口8={1,3,5}.

故選：C.

3.（陜西省榆林市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題）若橢圓加+（/+i卜2=1的焦距大于亞，

則m的取值范圍是（）

C.(-1,1)D.(-l,o)u(o,l)

【答案】D

【分析】由橢圓方程表示出焦距，解不等式即可.

X272

【詳解】橢圓加2*+(療+1)丁=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為三十二匚=1,則機(jī)/0,

m2m2+1

/I-\2

若橢圓//+(/+］卜2=］的焦距大于血，則有口__二>|火，

m冽+112,

整理得一+/一2<0,解得04病<i,故me(T,0)U(0,1).

故選：D

二、填空題

4.不等式-2/+3X-1^0的解集為

2------

3-曲3+6

【答案】

4二-

【分析】求得不等式對(duì)應(yīng)的方程的解，即可求得一元二次不等式的解集.

【詳解】不等式_2x2+3xjo即4X2_6X+1V0,

4x2-6x+1=0的根為玉=--

故4x?-6x+l40的解集為

即不等式一2—9。的解集為］亨

故答案為：］號(hào)工藝耳

5.不等式/+"14當(dāng)7Y的解集為.

【答案】{1}

【分析】根據(jù)不等式，解出即可.

【詳解】解:由題知不等式為f+21《年7Y,

即9--6x+1W0,即（3x-l）2＜0，解得x=；,所以解集為界.故答案為:g

22

6.若方程二+工=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是______.

a〃+2

【答案】（-2,T）u（2,+a＞）

【分析】由題意建立不等式，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

22

【詳解】?.?方程「+上-=1表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，

QQ+2

?**a2〉a+2〉0,解得-21或。＞2,

二實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2,-1）。（2,+8）.故答案為:（-2,-l）u（2,+a＞）.

題型二含參數(shù)的一元二次不等式的解法

畬策略方法解含參不等式的分類(lèi)討論依據(jù)

【典例1】關(guān)于x的不等式辦2-（a-2）x-2V0（aeR）的解集不可熊是（）

A.0B.R

221

C.一一,1D.（-oo,l]u——,+oo

?！筁。J

【答案】A

【分析】先化簡(jiǎn)不等式，然后根據(jù)。的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求解出不可能的解集.

【詳解】因?yàn)?2_（"2）x-2W0（aeR）,所以（辦+2）5—1）V0,

當(dāng)a＞0時(shí)，（x+\（x_l）40,不等式解集為-尹

當(dāng)。=0時(shí)，2x-2＜0,不等式解集為（-00』；

當(dāng)口＜。時(shí)，卜H——1）20,

2?1

若-2<。<0,—>1,解集為(-——,+00；

aL?)

2

若Q=-2,—=1,解集為火；

a

2(

若a<-2,—<1,解集為|-00,—u[l,+co).

a<a\

所以解集不可能是0,

故選：A.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.(遼寧省丹東市2023屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測(cè)試(一)數(shù)學(xué)試題)已知集合

/={xeN*|(x+l)(x-“)40},5={-3,-2,1},若/03且則。=()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】D

【分析】根據(jù)含參一元二次不等式的對(duì)。分類(lèi)討論得解集，確定集合A的取值情況，再結(jié)合

集合48的關(guān)系，確定。的取值.

【詳解】當(dāng)a=-l時(shí)，^={XGN*|(X+1)2<O)=0,不符合題意；

當(dāng)a<-l時(shí)，/={xeN*|(x+l)(x-a)40}={尤eN"|a〈x4-l}=0,不符合題意；

當(dāng)a>T時(shí)，/={xeN*|(x+l)(x-a)W0}={xeN*|-1Wa},={-3,-2,1),AB

且4cBW0,

則/={1},故〃得取值范圍為[10,故符合條件的a=L

故選：D.

2.(華大新高考聯(lián)盟2023屆高三下學(xué)期3月教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)理科數(shù)學(xué)試題)若集合

/={x|x2-ax+a-1<0},集合2=<1},滿(mǎn)足/cB={司1<x<2}的實(shí)數(shù)a的取值范

圍是()

A.a<3B.a<3

C.a>3D.a>3

【答案】D

【分析】解不等式可求得集合8,根據(jù)交集結(jié)果可確定集合A,由此可構(gòu)造不等式求得結(jié)

果.

【詳解】由|尤-1<1得：T<x7<l,解得：0<x<2,即3=(0,2)；

由/-ax+a-1<0得：(尤-a+0,

,.■/c8={x[l<x<2},;./={尤[1<工<4-1},/.ci-122,a23.

故選：D.

二、填空題

3.（滬教版（2020）一輪復(fù)習(xí)堂堂清第一單元1.6一元二次不等式）已知關(guān)于x的不等式組

：（2"）x+5々<。的整數(shù)解的集合為臼，則實(shí)數(shù)卜的取值范圍是一，

【答案】［T2）

【分析】解出不等式組中的不含參數(shù)的一元二次方程，對(duì)k進(jìn)行分類(lèi)討論，使不等式組的

整數(shù)解的集合為{-2},根據(jù)數(shù)軸即可得出結(jié)果.

【詳解】由，_%_2〉0,解得或x〉2,

由2—+（2左+5卜+5左<0,即（2x+5）（%+左）<0,

當(dāng)左〉2時(shí)，（2x+5）（x+左）<0的解為一左<x<一,，

故不等式組的解集為,

因?yàn)?g<-2,不符合不等式組的解集中有整數(shù)-2,故舍去；

當(dāng)左=g時(shí)，不等式2x?+（2后+5b+5后<0為

2x2+1Ox+<0,即21x+3J<0>

所以不等式無(wú)解，不符合題意，故舍去；

當(dāng)后<5"時(shí)，（2x+5）（x+左）<0的解為一5<x<—左，

若需不等式組的整數(shù)解的集合為{-2},

5-2-12-k3x

2

由數(shù)軸可知只需-2〈-左43,解得-3V后<2,

綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是-3V左<2.

故答案為：卜3,2）.

4.（重慶市第十一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期10月自主質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試題）設(shè)

2

a:1^|<O,>0:x-（7M+l>+m<O,若a是用的充分條件，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

【答案】｛機(jī)何4-2｝

【分析】先利用分式不等式求解。，再利用一元二次不等式化簡(jiǎn)集合夕，再由充分條件的

定義可知a=即可求得數(shù)加的取值范圍.

X—1

【詳解】????:——<0,a:-2<x<\

x+2

:x2-（m+1）x+m<0,<0,

若。是"的充分條件，則au/?,

當(dāng)冽27時(shí)，（3A<x<m9此時(shí)不滿(mǎn)足。之夕，故舍去；

當(dāng)初<1時(shí)，p\m<x<\,若滿(mǎn)足a1尸，則加4-2.

綜上：m<—2.

故答案為：m<-2

三、解答題

5.解下列關(guān)于％的不等式：（x+a）（x-2a+l）<0.

【答案】答案見(jiàn)解析.

【分析】對(duì)。分三種情況討論得解.

【詳解】由（工+4）（工一24+1）=0得l=一?；颍?2〃—1.

當(dāng)2a-1=-*即〃=g時(shí)，不等式解集為0；

當(dāng)2a-1>—a9即〃〉§時(shí)，解集為｛%|—a<x<2〃T｝；

當(dāng)2。一1<一。，即時(shí)，解集為｛x|2a—l<x<-a｝.

綜上：時(shí)，不等式解集為0；時(shí)，解集為｛x%<x<2aT｝；時(shí)，解集為

1x|2a-l<x<-a｝.

6.解下歹U關(guān)于x的不等式。/+（a+2）x+l>0（。w0）.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】一元二次不等式，討論開(kāi)口方向即可.

【詳解】方程：辦？+（。+2）尤+1=0且。力0

A=(a+2y—4a=a-+4>0,

-a-2-Va2+4—Q-2+J/+4

解得方程兩根:-----------------------，12------------------------

2a22a

當(dāng)〃>0時(shí)，原不等式的解集為:

.-a-2+Jq2+4__p.-a-2-yjci+4I

<x\x>------------的<------------->;

2a2a|

當(dāng)〃<0時(shí)，原不等式的解集為：

―ci-2+Jq2+4-a-2—y/ct+4I

<x------------<x<-------------->.

2a2a|

綜上所述，當(dāng)Q>0時(shí)，原不等式的解集為：

,-ci-2+JQ2+4_p.-a-2-da2+4]

<x\x>------------或<------------->;

2a2a|

當(dāng)Q〈0時(shí)，原不等式的解集為：

,—(2-2+Jq2+4—a—2—yjci2+4I

<x------------<x<-------------->.

2a2a|

7.解下列關(guān)于％的不等式/+"+1<0.

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)一元二次不等式對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的開(kāi)口方向，并討論△符號(hào)求解集即可.

【詳解】由對(duì)應(yīng)函數(shù)>=X2+"+1開(kāi)口向上，且A=Q2-4,

當(dāng)八=〃2一440,即-時(shí)，/+狽+120恒成立，原不等式解集為0；

當(dāng)△=/一4>0,即。<一2或。>2時(shí)，由/+ax+l=0,可得x=一"5一《,

2

所以原不等式解集為｛x|<x<±±手4｝；

綜上，一24a42解集為0；

-2或.>2解集為"「"^^0<一.+^^｝.

題型三一元二次不等式綜合應(yīng)用

畬策略方法一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式結(jié)合問(wèn)題思路

1.牢記二次函數(shù)的基本性質(zhì).

2.含參的注意利用根與系數(shù)的關(guān)系找關(guān)系進(jìn)行代換.

【典例1]若不等式"2+，x+c>0的解集為｛x[T<x<2｝,則不等式

。(％2+1)+/工一1)+。>2。%的解集是()

A.{x|0<x<3}B.{小<0或x〉3}

C.{x|l<x<31D.{x|-l<x<3}

【答案】A

【分析】由題知“，a<0,進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為，-3x<0,再解不等式即可.

-=-2

【詳解】解：由?！?+1)+6(]一1)+?！?。1,整理得辦2+僅一24卜+(4+°-?〉。①.

又不等式ax2+bx+c>0的解集為何-l<x<2},

(-1)+2---

所以。<0,且°即；②.

(-1)x2=-

將①兩邊同除以〃得：x2+|--2|x+|l+---j<0@.

\a)\aaJ

將②代入③得：f_3x<0,解得0<x<3.

故選：A

【典例2】關(guān)于x的方程/+(加-2.+2加-1=0恰有一根在區(qū)間(0,1)內(nèi)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍是()

A」;，；]B.M向

|_22J123j[_2)(23」1>

【答案】D

【分析】把方程的根轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，恰有一個(gè)零點(diǎn)屬于。1),分為三種情況,

即可得解.

【詳解】方程X2+(〃7-2?+2加-1=0對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)設(shè)為：/(x)=x2+(m-2)^+2m-l

因?yàn)榉匠蘕2+(加-2)尤+2機(jī)-1=0恰有一根屬于(0,1),則需要滿(mǎn)足：

17

①/⑼-“Iko,(2m-l)(3m-2)<0,解得：

②函數(shù)〃力剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)或者(1,0),另一個(gè)零點(diǎn)屬于(0.1),

把點(diǎn)(0,0)代入/(x)=x2+(m-2)x+2機(jī)一1,解得：m=p

此時(shí)方程為x2-]x=0,兩根為0,而;史(0」)，不合題意，舍去

把點(diǎn)(1,0)代入/'(X)=X2+(〃L2)X+2〃L1,解得：加=：,

此時(shí)方程為3--4》+1=0,兩根為1,而;e(01)，故符合題意；

③函數(shù)與X軸只有一個(gè)交點(diǎn)，A=（m—2『一8m+4=0,解得加=6±2e，

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)加=6-2e時(shí)滿(mǎn)足方程恰有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)；

綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍為回6-2將｝

故選：D

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（北京市第一0一中學(xué)2023屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)統(tǒng)練三試題）已知關(guān)于x的不等式

x2+ax+6>0（a>0）的解集是｛x|xRd｝,,則下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.a2-4b

21,

B.QH—24

b

C.若關(guān)于x的不等式x?+辦-6<0的解集為a，x2）,貝!J再芍>0

D.若關(guān)于x的不等式Y(jié)+辦+6<c的解集為（占，%）,且忱-引=4,則c=4

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式的解法與一元二次方程之間的關(guān)系以及韋達(dá)定理，基本不等

式進(jìn)行求解即可.

【詳解】由題意A=/-46=0,a2=4b,所以A正確；

對(duì)于8:力+。="+二22》二=4,當(dāng)且僅當(dāng)/=4，即0=近時(shí)成立，

ba\aa

所以B正確；

2

對(duì)于C,由韋達(dá)定理，可知q2=-。=-?<0,所以C錯(cuò)誤；

2

對(duì)于D,由韋達(dá)定理，可知西+%=-a,xtx2=b—c=——c>

則I』_/|=J（X]+x?）2—4X]X2=—4I?—1=2&=4,解得c=4,

所以D正確，

故選：C.

2.（山東省山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）已知關(guān)

于無(wú)的不等式aV+H+i>。的解集為加）,其中皿<0,則■的最小值為

（m）ab

A.-2B.2C.2V2D.3

【答案】D

【分析】由題意，得且加，,是方程辦2+入+1=0的兩根，由韋達(dá)定理“,=工，

mma

解得a=l；m+-=--=-b,由基本不等式得6=-[加+!]?2,從而可得2+1=6+',利

ma\mJabb

用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可求解.

【詳解】因?yàn)閍x?+61+4〉0的解集為（-8,加）,

所以。>0,且加，一是方程分2+bx+l=0的兩根，

m

二加.一1=—1,得N〃=?]；.：加+—1=b——=-b7,

mama

RP/）=-[m+—j,當(dāng)加<0時(shí),

當(dāng)且僅當(dāng)加=’,即加=-1時(shí)取等號(hào),

m

令/伍）=g+|=b+：（b22）,由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)

/伍）在（2,+8）上單調(diào)遞增，所以"（2）=2+1=3,

2+?的最小值為3.

ab

故選:D.

3.已知關(guān)于x的不等式/+°龍+“+3>0的解集為R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）.

A.（-2,6）B.（-oo,-2）u（6,+co）

C.[-2,6]D.U[6,+oo）

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得公="-4（.+3）<0,解一元二次不等式可得答案.

【詳解】由題意關(guān)于x的不等式X1+ax+a+3>0的解集為R,

則A——4（Q+3）<0,解得-2<a<6,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2,6）,

故選：A

4.若關(guān)于'的不等式、2—6、+11-〃<0在區(qū)間（2,5）內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.（-2,+co）B.（3,+oo）C.（6,+oo）D.（2,+oo）

【答案】D

【分析】設(shè)/(x)=》2-6x+ll,由題意可得。>/(》)血n，從而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍

【詳解】設(shè)/(x)=x2-6x+ll,開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=3,

所以要使不等式x2-6x+ll-a<0在區(qū)間(2,5)內(nèi)有解，只要a>/(x)g即可，

即。>[(3)=2,得〃>2,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,+財(cái)，

故選：D

5.已知方程f+(切—2)x+5-機(jī)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)實(shí)數(shù)根都大于2,則實(shí)

數(shù)加的取值范圍是()

A.(-5,-4)U(4,+oo)B.(-5,+8)

C.(-5,-4)D.(一4,一2)U(4,y)

【答案】C

A>0

2-m八、、』

【分析】令-2)x+5-加，根據(jù)二次方程根的分布可得式子，-^―>2,計(jì)算

/(2)>0

即可.

【詳解】令/@)=/+(加-2)x+5-加

>0[m>4<-4

=>1m<-2

>0\m>-5

則一5<小<一4,即加￡(-5,-4)

故選：C

6.設(shè)。為實(shí)數(shù)，若方程--2°無(wú)+°=0在區(qū)間(TJ)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則。的取值

范圍是().

A.(-co,0)u(l,+co)B.(-1,0)

C.D.

【答案】C

【分析】根據(jù)方程根的分布結(jié)合二次函數(shù)的圖象列出不等式組求解即可.

【詳解】令洋x)=x2-2ax+a,

由方程一-2ax+a=0在區(qū)間(-1,1)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解可得

a<0a>\

A—4礦—4a>0

—1<〃<1—1<Q<1

—1<a<1

，，、c,即1或《1,

g(T)>0a>——a>——

g(i)>oa<\a<1

解得<a<0,

故選：C

7.已知函數(shù)/(x)=2f+bx+c(b,c為實(shí)數(shù))，/(-IO)=/(12).若方程/(x)=0有兩個(gè)正

11

實(shí)數(shù)根4，則丁+￡的最小值是()

A.4B.2C.1D.y

【答案】B

【分析】由/■(-10)=/(12)求得6=T,再由方程/(x)=0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根不，％,利用

根的分布得到0<cV2,然后利用韋達(dá)定理求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃尤)=2/+&+。(b,c為實(shí)數(shù)),/(-10)=〃12),

所以200-106+c=288+126+c,

解得6=-4,

所以/(x)=2f—4x+c,

因?yàn)榉匠?(%)=0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根不，巧，

、[A=16-8c>0

所以仇0)=c>0，

解得0<cV2,

X+J_=演+_2_2__+>2

所以士x2XjX2￡c>

--2

當(dāng)c=2時(shí)，等號(hào)成立，所以其最小值是2,

故選：B

二、填空題

8.已知關(guān)于x的不等式“”x+c>0的解集是卜8,-|[[(2,+⑹，則關(guān)于x的不等式

ax2++c<0的解集為.

【答案】[-2,1)

【分析】根據(jù)不等式的解集，利用韋達(dá)定理可求出A。的關(guān)系，再代入新的不等式可求得

答案.

3

【詳解】因?yàn)椴坏仁絘x2-bx+c>0的解集是/u（2,+”）,

3

所以-萬(wàn)和2為方程Q%2一反+°=0的兩個(gè)根，且?！?,

2+211

所以":，解得2“，

￡=-2x2C7

、a2

所以不等式"2+bx+c<0轉(zhuǎn)化為"2+1QX—3Q<0,

2

13

RP%2+—x-3<0,解得一2<%<一,

22

所以不等式ax2+bx+c<Q的解集為1-2。.

故答案為：

9.已知關(guān)于x的不等式分2+2法+8>0的解集為（-sMug+s］，其中機(jī)<0,貝吟+：的

最小值是.

【答案】3

【分析】根據(jù)一元二次不等式解集的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式、對(duì)鉤函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解

即可.

［詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式加+2瓜+8>0的解集為S"）口］，+［，

4

所以相，一是方程以2+2旅+8=0的兩個(gè)不相等的實(shí)根，

m

士4842bc4

因EU此有m——=——=----a=2,m-\——=-b,

mamam

因?yàn)橘?lt;0,所以b=-加+/-2-^—=4，當(dāng)且僅當(dāng)-加=/-時(shí)取等號(hào)，

-m\-m

即冽=-2時(shí)取等號(hào)，

=?設(shè)/。）=3（"》（64）,

ab2b2b2b

因?yàn)楹瘮?shù)/。）=gb+》在（2次,+oo）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)624時(shí)，函數(shù)/3）=犯+》單調(diào)遞增，所以"4=/（4）=3,

故答案為：3

10.（上海市寶山區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)〃到=14-；（0>0且"1）,

若關(guān)于X的不等式/(ax2+6x+c)>0的解集為(1,2),其中此(-6,1),則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

【答案】(1,2)

【分析】根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷出。>1,a/+6x+c<0,且"?+6無(wú)+c<0的解集

為(1,2),根據(jù)一元二次不等式和相應(yīng)方程的關(guān)系可得6=-3%結(jié)合b的范圍，即可求得答

案.

【詳解】由題意知若/(力>0,即￡一；>°，

???0<優(yōu)<1,

???當(dāng)Ovavl時(shí)，x>0；當(dāng)時(shí)，x<0,

■:/(ax2+Z?x+c)>0的解集為(1,2),

a>1,ax2+bx+c<0f且加+bx+c<Q的解集為(1,2),

x=l與x=2是°尤?+b尤+c=()的兩根，

\a+b+c-0

故"M…：.b=-3a,

[4a+2b+c=0

又be(—6,1),二—6<—3a<1,

又a>l,1<a<2,

故答案為:(1,2)

11.(福建省大田縣第一中學(xué)2022屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題)若關(guān)于x的不等式

-x2+(a+2)x-2“>0恰有1個(gè)正整數(shù)解，貝IJ。的取值范圍是.

【答案】(-s,l)U(3,4]

【分析】先解帶有參數(shù)的一元二次不等式，再對(duì)。進(jìn)行分類(lèi)討論，使得恰有1個(gè)正整數(shù)解,

最后求出。的取值范圍

【詳解】不等式+(a+2)x-2a>0等價(jià)于x?-(a+2)x+2a<0.令d-(“+2)x+2“=0,

解得x=2或x=a.

當(dāng)a>2時(shí)，不等式x2-(a+2)x+2?<0的解集為(2,a),要想恰有1個(gè)正整數(shù)解,貝!)3<a?4；

當(dāng)。=2時(shí)，不等式/一(°+2)X+2.<0無(wú)解，所以”=2不符合題意；

當(dāng)a<2時(shí)，不等式/-(°+2)》+2"0的解集為(見(jiàn)2),則a<1.

綜上，。的取值范圍是(F,1)U(3,4].

故答案為：(-叫1)U(3,4]

12.方程/一(2-a)x+5-。=0的兩根都大于2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】-5<a<-4

【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布即可求解.

【詳解】解：由題意，方程(2-a)尤+5—。=0的兩根都大于2,

令f(x)=x2—(2—(z)x+5—a,

△>0[a2>16

可得〃2)>0,gpa+5>0,解得一5<aW—4.

2—a2—a>4

-----〉2i

,2

故答案為：-5<a<—4.

13.方程/一2公+4=0的兩根均大于1,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

【答案】⑵》

【分析】根據(jù)Jx+4的圖像可得兩個(gè)根都大于1時(shí)關(guān)于a的不等式組，解出。的范圍

即可.

【詳解】解：'2—2ax+4=0的兩個(gè)根都大于1

a>1

<5—2。>0,解得24。<—

,2

A=4a2-16>0

可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍為[2弓)

故答案為：⑵》

題型四分式不等式與絕對(duì)值不等式的解法

畬策略方法絕對(duì)值不等式和分式不等式解法

1.分式不等式化為二次或高次不等式處理.

2.根式不等式絕對(duì)值不等式分類(lèi)討論或用幾何意義或者平方處理.

【典例1】不等式幺―41的解集為()

x-2

A.[-3,2]B.(-?,-3]C.[-3,2)D.(一s,-3]U(2,+%)

【答案】C

【分析】將不等式移項(xiàng)通分得到中Y-L340,再轉(zhuǎn)化為二次不等式即可得答案.

x-2

[詳解]V±±1￡_1<0^±±2<0,BP(x+3)(x-2)<0(x-2^0),解得：-3<x<2,

x-2x-2

二不等式的解集為［-3,2）,

故選：C.

【典例2】不等式的解集為（）

B.|x<0或x>:

A.R

C.卜x>：

D.<x|O<x<—

【答案】D

【分析】根據(jù)解絕對(duì)值不等式的公式，即可求解.

【詳解】因?yàn)閨3無(wú)一1|<1,貝！解得：0<x<1,

所以不等式的解集為：1x|O<x<|j.

故答案為：jx|O<x<|j

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（天一大聯(lián)考皖豫名校聯(lián)盟2023屆高三第三次考試數(shù)學(xué)試題）已知集合

M={y\y>l},N=則WcN=(

A.[1,2]B.[2,+oo)C.[1,2)D.[1,+℃)

【答案】A

【分析】先化簡(jiǎn)集合N,再用集合的交集運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】由題意得,M={y\y>l},N={x|0<x<2},

所以MnN=n,2].

故選：A

2.（新疆維吾爾自治區(qū)部分學(xué)校2023屆高三二模數(shù)學(xué)（理）試題）集合N=八|三>l,xeZ

8={x|x為1?10以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)},記則（）

A.leMB.2主MC.3gMD.4gM

【答案】D

【分析】先解不等式得/={-1,01,2,3,4,5},再按照交集的定義運(yùn)算即可.

Q

【詳解】由；>1，解得—2<x<6,XxeZ,所以4={—1,0,123,4,5},

x+2

而8={2,3,5,7},則/n8={2,3,5},即M={2,3,5},

對(duì)比選項(xiàng)可知，D正確，而A、B、C錯(cuò)誤.

故選：D.

3.(黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校2023屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題)已知集合

,則

A.(1,2]B.(1,2)C.[-1,5]D.[-1,5)

【答案】D

【分析】求出集合A、B,利用并集的定義可求得集合NuB.

【詳解】因?yàn)?={工卜_3k2}={%卜2<工-3<2}=x<5j,

由可得^1一1=1^2112(^1=￡1140,解得一1?》<2,貝!|2=卜卜1?》<2},

x-2x—2JC-2x-2i

因此，NU8=[-1,5).

故選：D.

4.(浙江省寧波市2023屆高三下學(xué)期4月模擬(二模)數(shù)學(xué)試題)若集合/=,卜-1|<3},

S={x12X<8},則/口3=()

A.(-2,4)B.(-2,3)C.(0,4)D.(0,3)

【答案】B

【分析】首先解絕對(duì)值不等式求出集合A、再解指數(shù)不等式求出集合8,最后根據(jù)交集的

定義計(jì)算可得.

【詳解】由卜一1|<3可得一3<工一1<3,解得一2<%<4,所以/=卜卜一1|<3}={刈-2<》<4},

由2，<8,可得2y23,所以x<3,即8={x|2，<8}={x|x<3},

所以/口8=(-2,3).

故選：B

5.(內(nèi)蒙古赤峰市赤峰二中等校2023屆高三下學(xué)期二輪復(fù)習(xí)聯(lián)考(一：)理科數(shù)學(xué)試題)已

知集合/=卜卜+1歸2},5={X|X2+2X-8<0},則4nB=()

x-4<x<2|x|l<x<2j

x|-4<x<-3^1<x<2}n-4<x<-3或1<x<2}

【答案】C

【分析】先解絕對(duì)值不等式和二次不等式，再求集合交集即可.

【詳解】解：解,+1|?2得xV-3或x21,故/={04-3或xNl},

解不等式一+2》-8<0得-4<》<2,故8={H-4<X<2]

所以Nn8={x|-4<xW-3或IV尤<2}.

故選：C

6.設(shè)a,6是實(shí)數(shù)，集合/={x||x-a|<l,xe7?|,8={x||x-6]>3,尤eA},且/=B,則|a-b|

的取值范圍為（）

A.[0,2]