中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：旋轉(zhuǎn)與幾何綜合（解析版）

專題3.1旋轉(zhuǎn)與幾何綜合

典例精析

【典例1］如圖，正方形ABC。和正方形CEPG〔其中3ZA2CE〕，直線BG與交于點

圖1圖2

(1)如圖1,當點G在C。上時，請直接寫出線段BG與。E的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;

(2)將正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)一周.

①如圖2,當點E在直線CD右側(cè)時，求證：BH-DH=&CH；

②當/QEC=45。時，假設(shè)A8=3,CE=1,請直接寫出線段?！钡拈L.

【思路點撥】

〔1〕證明△BCG^/\DCE可得結(jié)論；

〔2〕①在線段3G上截取8K=￡?H,連接CK.證明△BCKgZVDC8(SAS),推出CK=CH,ZBCK=ZDCH,

推出△KC8是等腰直角三角形，即可解決問題；

②分兩種情形：當。，G,￡三點共線時NOEC=45。，連接8。；和當。，H,￡三點共線時/?！?。=45。，

連接,分別依據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可解決問題.

【解題過程】

(1〕解：BG=DE,BGLDE,理由如下：

四邊形ABCD和四邊形CEFG都為正方形，

:,BC=CD,NBCG=NDCE=90。,CG=CE,

：.ABCG^ADCE(SAS),

:?BG=DE,ZCBG=ZCDE.

NCDE+/DEC=90。,

ZHBE+ZBEH=90°,

：.NBHD=90°,即BG1DE.

綜上可知BG和DE的關(guān)系為BG=DE§LBG1DE.

故答案為：8G=OE且BG1DE；

[2)①證明：如圖，在線段BG上截取8長=。反，連接CK.

四邊形ABCD和四邊形CEFG都為正方形，

：.BC=CD,ZBCD=ZGCE=9Q°,CG=CE,

：.ZBCG^ZDCE,

：.叢BCG冬叢DCE(SAS),

；.NCBK=/CDH,

'：BK=DH,BC=DC,

ABCK冬ADCHISAS),

:.CK=CH,ZBCK^ZDCH,

：./BCK+/KCD=ZDCH+ZKCD,即NKCH=ZBCD=90°,

4KCH是等腰直角三角形，

：.HK=V2CW,

：.BH-DH=BH-BK=KH=五CH；

②如圖，當。，G,E三點共線時/Z)EC=45。，連接80.

由11）同樣的方法可知，BH=DE,

四邊形CEFG為正方形

：.CE=CH=1,

：.EH=42CH=V2.

VAB=3,

：.BD=0AB=3vL

設(shè)Z)8=x,那么BH=DE=x+&,

在RMBDH中,BH2+DH2^BD2,BP(x+V2)2+x2=(3V2)2,

V34-V2-V34-V2

解得：%!=(舍)

2，%22=2

故此時DH=趙尹；

如圖，當H,E重合時，ZDEC=45°,連接BO.

設(shè)DH=x,

?:BG=DH,

：.BH=DH-HG=x-V2,

在RMBDH中,BH2+DH2^BD2,KP(X-A/2)2+x2=(3A/2)2

_V34+V2_-V34+V2

解得:久1=—2—，“2=—2—(舍)

故此時DH=竺整;

綜上所述，滿意條件的DH的值為遺尹或遺產(chǎn).

學(xué)霸必刷

1.12022?河北唐山?八班級期末)如圖1所示，將一個邊長為2的正方形A8CD和一個長為2、寬為1的長

方形CEFD拼在一起，構(gòu)成一個大的長方形2BEF.現(xiàn)將小長方形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至CE，F(xiàn)?,旋轉(zhuǎn)

角為a.

⑴當點D’恰好落在邊EF上時，點)到邊DC的距離為,旋轉(zhuǎn)角a=°；

(2)如圖2,G為8C的中點，且0。＜戊＜90。，求證：GD'=E'D-,

(3)小長方形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，△。。。與4。3沙能否全等？假設(shè)能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角

a的值；假設(shè)不能，說明理由.

【思路點撥】

〔1〕依據(jù)矩形的性質(zhì)可知點D'到邊DC的距離等于尸到邊DC的距離，即DF=1,可知點。'到邊DC的距離為

1;依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD'=CD=2,即可判定NCD'E=30。，然后依據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到Na=

乙C?E=30°;

〔2〕由G為BC中點可得CG=CE,然后依據(jù)“SAS〃可推斷△GCD'三△E'CD,那么GD'=E'D;

〔3〕依據(jù)正方形的性質(zhì)得C8=C￡),而CD=CD',那么△BCD'和△DC。'為腰相等的兩等腰三角形，當兩

頂角相等時它們?nèi)?，當△BCD和為鈍角三角形時，可計算出a=135。，當△BCD'和△DCD'為銳

角三角形時，可計算得到a=315。.

【解題過程】

(1)解：由題意可知，當點￡＞'恰好落在邊EF上時，點。到邊DC的距離等于尸到邊DC的距離，即。E=l,

二點。'到邊DC的距離為：1,

VCE=1,CD'=2,

...在Rt△CED'中，"D'E=30°,

VCD||EF,

."a=乙C?E=30°,

故答案為：1,30；

[2）證明：：G為BC中點，

CG=1,

/.CG=CE,

?.?長方形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至

：.Z.D'CE'=乙DCE=90°,CE=CE'=CG,

：.乙GCD'=/.DCE'=900+a,

在^GCD，和△E（D中，

CD'=CD

;{NGCD=乙DCE'

CG=CE'

：.△GCD'三AE'CD（SAS）,

：.GD'=E'D；

[3）能，理由如下：

四邊形ABCD為正方形，

CB=CD,

VCD=CD',

BCD和^DC。'為腰相等的兩等腰三角形，

當/BCD'=NDCD時，^BCD'=^DCD',

當480和4DC）為鈍角三角形時，那么旋轉(zhuǎn)角a=36°；9。。=135°,

當△BCD和△DC。為銳角三角形時，4BCD'=4DCD'=：4BCD=45°,

那么a=360?！?315。，

即旋轉(zhuǎn)角a的值為135。或315。時，△BC7T和ADC。全等.

2.[2022?山西呂梁?九班級期末）綜合與實踐：如圖1,在正方形48。中，點E,尸分別為DC,BC邊上

的點，且滿意NR4F=45。，連接ER求證：DE+BF=EF.

DD

/MD—

F=

圖1圖2圖3

李偉同學(xué)是這樣解決的：

將AADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到此時A3與AD重合，再證明△G4F三△R4F,可得結(jié)論.

(1)如圖2,在四邊形ABC。中，AD\\BC(AD>BC),ND=90。，AD=CD=10,且NBAE=45。，DE=4,

求BE的長；

(2)類比(1)證明思想完成以下問題：在同一平面內(nèi)，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一

起，A為公共頂點，^BAC=^AGF=90°,假設(shè)△ABC固定不動，繞點A旋轉(zhuǎn)，AF.AG與邊8C的

交點分別為。、E1點。不與點B重合，點￡不與點C重合)，在旋轉(zhuǎn)過程中，等式BO?+始

終成立，請說明理由.

【思路點撥】

〔1〕過A作AG_LBC,交2C延長線于G,由正方形的性質(zhì)得出CG=A￡>=10,再運用勾股定理和方程求

出8E的長；

〔2〕運用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和勾股定理推斷說明等式成立.

【解題過程】

解:(1)如圖2,過點2作力G1BC,交CB延長線于點G.

zl____________,D

GBC

圖2

四邊形ADCG中，ZD=NC=NG=90°,AD=DC,

.??四邊形ADCG是正方形.

CG=AD=10.

Z.BAE=45°,依據(jù)材料可得：BE=GB+DE.

設(shè)BE=x,那么BG=x-4,

：.BC=14-x.

在RtABCE中，BE2=BC2+CE2,

：.x2=(14-x)2+62,

解得x=,.

7

⑵如圖3,將AACE繞點2順時針旋轉(zhuǎn)90。至ATlBH位置,

那么CE=BH,AE^AH,NNBH=NC=45。，旋轉(zhuǎn)角NE4H=90。.

連接HD,在AE4。和△H40中，

-AE=AH

/.HAD=/.EAD,

.AD=AD

：.^EAD=AHAD(SAS).

：.DH=DE.

又乙HBD=AABH+AABD=90°,

：.BD2+BH2=HD2,

：.BD2+CE2=DE2.

3.(2022.黑龍江省新華農(nóng)場中學(xué)九班級階段練習(xí))如圖①,在小ABC中，AB=AC=4,ZBAC=90°,AD±BC,

垂足為D.

圖①圖②

(1)SAABD〔直接寫出結(jié)果）

(2)如圖②，將△A3。繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(a<90。)，在旋轉(zhuǎn)過程中：

探究一：四邊形APD。的面積是否隨旋轉(zhuǎn)而變化？說明理由；

探究二：當&=時，四邊形APD。是正方形.

【思路點撥】

〔1〕依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由AD_LBC得BO=C。，那么SAMD=^SA4BC=4;

〔2〕①在A4BC中，依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得NB=NC=45。，易得NB4D=ND4c=45。，BD=AD,

再利用等角的余角相等得到NBDP=〃DQ,于是可推斷ABPD三AAQD,所以S四邊形4PDQ=SAAPD+SAAQD=

S^APD+S^BPD=SAABD=4,即可推斷四邊形4PDQ的面積不會隨旋轉(zhuǎn)而變化；

②由于NP4Q=90°,那么當OP1AB時，四邊形2PDQ為矩形，加上P4=PD,于是可推斷四邊形4PDQ是

正方形，此時N8OP=45°,即a=45°.

【解題過程】

(1)解：AB^AC4,/.BAC90°,AD1BC,

???BD=CD,

S、ABD~]SAABC=5x54c,BC=-x-x4x4=4；

故答案為4；

(2)解：①四邊形4P0Q的面積不會隨旋轉(zhuǎn)而變化.理由如下：

在中，???AB=ACfZ.BAC=90°,

.??=4C=45°,

AD1BC,

???乙BAD=乙DAC=45°,

???Z.B=Z-DAQ=Z-BAD=45°,BD=AD,

又???Z-BDP+2LADP=90°,Z-ADQ+Z.ADP=乙PDQ=90°,

Z.BDP=Z-ADQ,

在ABPD和A4QD中，

Z-B=Z-DAQ

BD=AD,

"DP=Z-ADQ

LBPD=LAQD〔ASA),

?*,S四邊形PADQ=S&APD+S&AQD=^AAPD+S&BPD=^^ABD=4；

②a=45。時，四邊形4PDQ是正方形.理由如下:

當。P_L4B時，

而"DQ=90°,

.?.四邊形力PDQ為矩形,

V/.PAD=45°,

???PA=PD,

???四邊形2PDQ是正方形，此時NBDP=45。，即a=45。.

4.(2022.吉林通化.九班級期末)如圖，A4BC中，AB=AC,ABAC=90°,點。、E在BC邊上，^DAE=45。,

將44CE繞點4順時針旋轉(zhuǎn)90。得4ABF.

(2)連接DF,求證：AADF^^ADE；

(3)假設(shè)BD=3,CE=4,那么OF=,四邊形AFOE的面積=.

【思路點撥】

〔1〕由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得4c=乙48尸，從而得到NDBF=Z_A8C+乙4BF=90。，即可證明結(jié)論；

〔2〕由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得4F=AE,乙BAF=/.CAE,那么4艮4。+Z.BAF=A.BAD+Z.CAE=45°,再利用S4S

即可證明；

〔3〕如圖，過點4作4H1BC于H,由〔1〕得，ND8F=90。，在Rt△DBF中，由勾股定理得DF=y/BD2+BF2=

432+42=5,那么BC=BD+DF+CE=3+5+4=12,再依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半求出4H,再利用S四邊形MOE=2sAME可得出答案?

【解題過程】

(1)證明：??,將△4CE繞點/順時針旋轉(zhuǎn)90。得△AB凡

:?乙C=Z.ABF.

???在中，AB=AC,^BAC=90°,

：.Z.ABC=ZC=45°,

工乙DBF=/.ABC+Z.ABF=45°+45°=90°,

：.BF1BC,

⑵證明：??,將△*￡*繞點/順時針旋轉(zhuǎn)90。得

：.AF=AE,4BAF=Z.CAE,

9：^DAE=45°,/-BAC=90°,

：.^BAD+Z.CAE=90°-45°=45°,

A/-BAD+乙BAF=4BAD+Z.CAE=45°,

：./.DAF=^DAE,

在△49F和△ZDE中，

'AF=AE

乙DAF=4DAE,

、AD=AD

：.△ADFADE{SAS),

(3)解：如圖，過點Z作IBC于"，

??,將△/CE繞點/順時針旋轉(zhuǎn)90。得△/BF,BD=3,CE=4,

：.BF=CE=4,

由(1)得，4DBF=90。,

在Rt△DBF中，DF=y/BD2+BF2=V32+42=5,

由(2)得,

:,DE—DF—5,ADF=^^ADE9

???BC=8。+OE+CE=3+5+4=12,

???在△/BC中，AB=AC,/-BAC=90°,AH1BC

：.BH=CH,

：.AH=-BC=6,

2

???四邊形/FOE的面積：

S四邊形AFDE=S^ADF+S—QE

=2s△aoE

1

=2x-xDExAH

2

=DExAH

=5x6

=30.

故答案為：5；30.

5.(2022.貴州六盤水?九班級學(xué)業(yè)考試〕【問題提出】如圖1,在A4BC中，每個內(nèi)角都小于120。，在△4BC

內(nèi)有一點P,請確定點尸的位置，使P4+PB+PC最小.

(1)【問題解決】如圖2,把ASP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到ACED,連接和AE,當點8,尸，。，E四

點共線時，PA+PB+PC的最小值即為線段BE的長，此時N&PB=度；

(2)【問題拓展】如圖3,在中，AB=AC,Z.BAC=90。，點尸是△ABC內(nèi)一點，假設(shè)NAPC=135°,

PA=2,PC=1,求PB的長；

(3)【實際應(yīng)用】如圖4,AABC是A,B,C三座城市位置的平面示意圖，要在△28C內(nèi)規(guī)劃建設(shè)一個物流

基地(用點尸表示)，連接B4,PB,PC,并使P4+PB+PC最??；經(jīng)測量：AC=40km,BC=30km,

乙4cB=60°,求PA+PB+PC的最小值.

【思路點撥】

〔1〕由“把ACAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到,可得乙4PC=NCDE,易證△PC。是等邊三角形，那

么可得ZCPD=乙CDP=60。，然后依據(jù)平角和周角即可求得答案；

〔2〕如圖，才巴448「，繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AaCP',連接PP',那么NP2P'=90°,AP'=AP,BP=CP',

由等腰直角三角形的性質(zhì)可得乙4PP'=乙4P'P=45°,PP'=^/2AP=2V2,繼而可得NP'PC=90°,然后利

用勾股定理即可求得答案；

〔3〕把4ACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△4CP',分別連接AB,PP',過點4作力'F1BC交BC的延長線于

點、F,易證APCP'是等邊三角形，那么PC=PP',繼而可得當8、P、P'、4四點共線時，P4+PB+PC最

小，然后依據(jù)含30。角的直角三角形的三邊關(guān)系和勾股定理即可求得答案.

【解題過程】

⑴解：:把繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到

ACP=CD,"CD=60。,乙4PC=&CDE,

△PCD是等邊三角形，

AZ.CPD=Z.CDP=60°,

;點B,P,D,E四點共線，

乙BPC=180°-乙CPD=120°,ZCDE=180°一LCDP=120°,

J./-APC=120°,

:.乙APB=360°-4BPC-^APC=120°；

(2)解：如圖，把AABP,繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AHCP',連接PP',

:.^APP'=AAP'P=45。,PP'=MAP=2V2,

：.Z-P'PC=/.APC-乙4PP'=135°-45°=90°,

在RtAP,PC中，由勾股定理得：CP'=VP'P2+cp2=(2V2)2+I2=3,

：.PB=3-,

[3)解：把AACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACP',分別連接48,PP，，過點4作4尸，交BC的延長

線于點F,

J.^A'FB=90°,AACAr=60o,A'P'=AP,CP=CP',^PCP'=60°,

.??△PCP，是等邊三角形，

：.PC=PP',

：.PA+PB+PC=P'A'+PB+PP',

...當B、P、P\4四點共線時,P4+PB+PP最小,

此時，PA+PB+PC=A'B,

'：/-ACB=60°,^ACA'=60°,

J.^A'CF=60°,

.?.在RtAACF中，CF=^A'C=^AC=20km,A'F=V3CF=20V3km,

：.BF=BC+CF=50km,

在RtAA'BF中，由勾股定理得：A'B=＜BF2+A'F2=J502+(20V3)2=10V37km,

：.PA+PB+PC的最小值為10聞km.

6.(2022?北京?九班級專題練習(xí))正方形4BC。，將線段BA繞點3旋轉(zhuǎn)a[0。＜。＜90。)，得到線段8E,

連接EA,EC.

圖1圖2

⑴如圖1,當點E在正方形ABC。的內(nèi)部時，假設(shè)BE平分/ABC,AB=4,那么NAEC=°,四邊形

ABCE的面積為；

(2)當點E在正方形ABCD的外部時，

①在圖2中依題意補全圖形，并求NAEC的度數(shù)；

②作/EBC的平分線8尸交EC于點G,交EA的延長線于點R連接CF.用等式表示線段AE,FB,FC

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【思路點撥】

〔1〕過點E作EK1BC于點K,由正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及角平分線的定義可得/ABE=NCBE=

45°,AB=BE=BC=4,再利用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形可求出NB4E=NBEA=67.5。，EK=

2V2,繼而可證明AABEwACBEOaS),便可求解；

〔2〕①依據(jù)題意作圖即可；由正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=B4=BC,再依據(jù)三角形內(nèi)角和定理

及等腰三角形的性質(zhì)求出NAEB/BEC=45°,即可求解；

②過點B作BHJ.AE垂足為耳由等腰三角形的性質(zhì)得到4H=￡7/=14E,再證明

△FBE三AFBC(SZS)即可得到EF=CF,再推出AHBF為等腰直角三角形，即可得到三者之間的關(guān)系.

【解題過程】

解：(1)過點E作EK1BC于點K

4BKE=90°

???四邊形ABCD是正方形

???4ABC=90°,4B=BC

???2E平分/ABC,AB=4,將線段BA繞點8旋轉(zhuǎn)a(0。＜戊＜90。)，得到線段BE

???乙ABE=4CBE=45°,AB=BE=BC=4

???乙BAE=^BEA=67.5°,sin乙EBK=—=—=—

BE24

?-.EK=2V2

SRBCE="C.EK=|X4X2V2=4V2

BE=BE

???^ABE=BE(SAS)

乙AEB=乙CEB,S.AEB=SMEB

乙乙

???Z4FC=AEB+CEB=135°,四邊形ABCE的面積為=S^AEB+S^EB=85/2

故答案為：135,8V2

(2)①作圖如下

E

???四邊形ABC。是正方形

AABC=90°,AB=BC

由旋轉(zhuǎn)可得，BE=BA=BC

■■■Z.ABE+Z.BAE+Z.BEA=180°,Z.ABE=a

.-./.BEA=乙BAE=幽*=90。，

22

???Z.CBE+乙BCE+乙BEC=180。，乙CBE=Z.ABE+/.ABC=90。+a

4BEC=乙BCE=i80°-(90°+a)=45。―巴

22

???^AEC=乙AEB-乙BEC=45°

②BF=^CF-當AE,理由如下：

如圖，過點8作垂足為H

/-BHF=90°

BA=BE

AH=EH=-AE

2

.；BE=BC,NEBC的平分線8尸交EC于點G

??.BG1CE,乙FBE=乙FBC

???/.EGF=90°

BF=BF

???AFBE=AFBC(SAS)

??.EF=CF

???乙AEC=45°

乙AEC=(EFG=45°

??.Z.EFG=45°=乙HBF

AHBF為等腰直角三角形

???BF=V2HF=&(EF-EH)=/(EF-=V2(CF-^AE)

即BF=魚(?F一日力E

7.12022?江蘇?鹽城市明達初級中學(xué)八班級階段練習(xí))如圖，正方形?！?gt;所的邊?！?、。尸在坐標軸上，點

E坐標為(-6,6］，將正方形繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)角度(0°<cr<90°),得到正方形A8CZ),AB交

線段。b于點P,54的延長線交線段E尸于點。，連DP、DQ

(1)求證：AADQ2AEDQ；

(2)求/尸。。的度數(shù)；并推斷線段尸。、EQ、PO之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由.

(3)連接ARFB.OB、A。得到四邊形AFB。，在旋轉(zhuǎn)過程中，當尸點在何位置時四邊形AM。是矩形？請

說明理由，并求出點。的坐標.

【思路點撥】

〔1〕依據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到。E=A￡>,ZE=ZDAQ=90°,依據(jù)正方形的性質(zhì)得到NZMQ=90。，依據(jù)直角

三角形的全等的判定定理證明即可；

〔2〕證明RtAD4PwRtADOP,得到4ADP=NODP,AP=OP,等量代換即可；

〔3〕依據(jù)矩形的判定定理證明四邊形468。是矩形，設(shè)點。的坐標為(-6,機)，依據(jù)勾股定理列出方程,

解方程求出小的值，得到點Q的坐標.

【解題過程】

(1)解:\?四邊形ABC。是正方形，

/DAB=90。，

ZDA0=90°,

:將正方形跖繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)角度(0°<?<90°),,

：.DE=AD,ZE=ZDAB=90°,

在RtAEDQ和RtAADQ

(ED=DA

IDQ=DQ,

：.Rt△EDQ三Rt△ADQ,

：.AADQ^AEDQ；

[2)^PDQ=45°,PQ=EQ+OP,理由如下：

:四邊形。。跖是正方形，

：.ADOP=乙EDO=90°,

；4DAB=4DOP=90°,

URt/^DAP^Rt^DOP^P,

{DA=DO,

U?P=DP'

：.Rt△DAP=RtADOP,

:?乙ADP="DP,AP=OP,

*：Rt△EDQ=RtXADQ,

:.乙EDQ=乙4DQ,QE=AQ,

：.^ADQ+AADP=Z.EDQ+乙PDO=^EDO=45°,

：.^PDQ=45°

YPQ=AQ+AP,AQ=EQ,AP=OP,

：.PQ=EQ+OP.

〔3〕當尸是。尸中點時，四邊形A尸50是矩形,

1

：.0P=PF=-0F

2

由(2)得4P=OP,

XVXB=OF,

：.AP=-AB,

2

；?0P=PF=AP=PB,

???四邊形ZFB。是平行四邊形，

9：AB=OF,

：.團4FB。是矩形，

設(shè)點。的坐標為(一6,瓶)，

那么QF=m,QE=6—m,0P=PF=3,

在中：由勾股定理得，QF2+FP2=QP2,

m2+32=(9—m)2,

解得：m=4,

???Q(—6,4).

8.12022?遼寧遼寧?二模)如圖，在△/OB與△C。。中，。4=。8,OC=OD,^AOB=^COD=90°.

(1)如圖1,點C,。分別在邊。4OB上，連接2D,BC,點M是線段BC的中點，連接。M,直接寫出線段力。與

0M之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,將圖1中的△COD繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，使△COD的一邊0D恰好與AAOB的邊。4在同一條直線上

時，點C落在。B上，點M為線段BC的中點，確定力D與。M之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,將圖1中的△繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0。<a<90°),連接AD,8C,點M為線段BC的

中點，連接。M,確定AD與。M之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【思路點撥】

(1)證明△4。。SABOC,然后依據(jù)點M為線段BC的中點即可得出結(jié)論；

(2)延長DC交2B于點E,連接ME,過點E作EN14。于點N,證明出四邊形ONEM為矩形，即可得出結(jié)論；

(3)延長B。至I點尸，使F0=B0,連接CF,得到。M與CF的數(shù)量關(guān)系.

【解題過程】

⑴解：'：0A-OB,OC=OD,"OB="。0=90。，

/.△AODBOC,

：.AD=BC,

又M是BC的中點，且/8OC=90。，

11

OM=MC=BM=-BC=-AD,

22

故4。=2OM,

故答案為：AD=20M

(2)20=20M,理由如下：

如以下圖所示，延長OC交43于點E,連接ME,過點E作EN,40于點N,

'：0A=OB,OC=0D,L.AOB=/.COD=90°,

：.^A==AB=乙BCE=乙DCO=45°,

：.AE=DE,BE=CE,￡.AED=90°,

:?DN=AN,

：.AD=2NE,

???時為8。的中點，

：.EM1BC,

???四邊形。NEM是矩形.

：.NE=OM,

：.AD=20M.

(3)ZD=2OM,理由如下：如圖.

延長8。到F,使FO=B。，連接C尸,

為的中點，。為的中點，

???M。為的中位線，

：.FC=20M,

V/LAOB=2LAOF=Z.COD=90°,

：.^LAOB+乙BOD=Z.AOF+^AOC,即4/。。=乙FOC,

在△ZOO和△FOC中，

(OA=OF

\^AOD=(FOC

(OC=OD

：.△AOD=AFOC(S71S),

：.FC=AD,

：.AD=2OM,

9.[2022?陜西渭南?八班級期中)AABC中，AB=AC,乙4BC=60。，點尸為射線AO上任意一點(點產(chǎn)

與點A不重合).連接CP,將線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段C。，連接。B并延長交直線于

點E.

(1)如圖1,當N￡MC=90。時，試猜測BC與QE的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,當ND4c=120。，N4CP=15。時，點E恰好與點A重合，假設(shè)2C=6,求2。的長.

【思路點撥】

〔1〕依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得=4C,乙4cB=60。，再依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得PC=CQ,APCQ=60°,那

么乙BCQ=^ACP,依據(jù)“SAS"可證明AacpWABCQ,即可得出NCBQ=NC4尸=90°;

〔2〕依據(jù)〔1〕可證明A4CP三ABCQ得到2P=BQ,由ND4C=120。，ZACP=15°,得到為等腰直

角三角形，在放△AS中可求出AH、CH,繼而可求出的長，可得出結(jié)論.

【解題過程】

〔1)解：結(jié)論：BC1EQ；

理由如下：如圖1,設(shè)QE與CP的交點記為

"：AB=AC,"80=60。，

...△4BC是等邊三角形，

：.AC=CB,^ACB=AABC=60°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：PC=CQ,且NPCQ=60°,

:.乙PCQ=4ACB,

：.乙PCQ-/-BCP=/.ACB-/.BCP,

即乙BCQ=乙4cP,

那么在△。。8和4CPA中，

PC=QC

Z.BCQ=匕ACP,

AC=BC

：.△CQB=^CPASSAS),

:.乙CBQ=ACAP,

U：Z.CAP=90°,

工乙CBQ=90°,

：.BC1.EQ；

(2)解：作CH_LAO于H,如圖2,

Q

*：AB=AC,^ABC=60°,

**?△是等邊三角形，

：.AC=CB,乙ACB=乙ABC=60°,

,:PC=CQ,且乙PCQ=60。,

：.Z-PCQ=乙ACB,

：ZPCQ-Z-BCP=Z.ACB-乙BCP,

即NBCQ=乙4CP,

在^CQB和^CPA中，

PC=QC

乙BCQ=Z.ACP,

AC=BC

：.△ACP=LBCQ

：.AP=BQ,

\9Z.DAC=120°,Z.ACP=15°,

C./-APC=45°,/LPCB=45°,

：.^HAC=60°,

APCH為等腰直角三角形,

在RdAC”中，^HAC=60°,AC=6,

'.AH=-AC=3,

2

CH=V3AH=3V3,

在RmPHC中，PH=CH=3V3,

：.PA=PH-AH=3V3-3,

：.BQ=3V3-3.

10.〔2022?全國?九班級專題練習(xí)）△ABC和△DEC是等腰直角三角形，^ACB=ADCE=90°,AC=BC,

CD=CE.

(1)【觀看猜測】當AABC和△DEC按如圖1所示的位置擺放，連接B。、AE,延長8。交AE于點?猜測

線段8。和AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

(2)【探究證明】如圖2,將AOCE圍著點C順時針旋轉(zhuǎn)肯定角度a((T<a<90。)，線段和線段AE的

數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍舊成立？假如成立，請證明：假如不成立，請說明理由.

(3)【拓展應(yīng)用】如圖3,在△AC。中，乙4DC=45。，CD=立,AD=4,將AC圍著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。

至BC,連接求8。的長.

【思路點撥】

〔1〕通過證明△BCDWA4CE,即可求證；

〔2〕通過證明△BCDWA4CE,即可求證；

〔3〕過點C作CH1CO,垂足為C,交A￡)于點依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理,

即可求解.

【解題過程】

⑴BD=AE,BD1AE,

證明如下：在△BCO和△4CE中,

???乙ACB=Z.DCE=90°,AC=BC,CD=CE,

BCD=△ACE?

BD=AE,Z-CBD=Z.CAE,

???乙ACB=90°,

???乙CBD+乙BDC=90°,

???Z-BDC=Z-ADF,

???/,CAE+Z.ADF=90°,

???BD1AE；

⑵成立，理由如下:

'Cz-ACB=乙DEC,

：.Z.ACB+AACD=(DCE+乙ACD,^Z,BCD=Z.ACE,

在△BCO和△ZCE中，

'：AC=BC,(BCD=/.ACE,CD=CE,

△BCD=△ACE,

：.BD=AE,Z.CBD=Z.CAE,

?:乙BGC=/-AGF,

:?乙CBD+乙BGC=Z.CAE+"GF,

V^LACB=90°,

，乙CBD+乙BGC=90°,

：.Z-CAE+^AGF=90°,

：.Z.AFB=90°,

：.BD1AE；

(3)如圖，過點C作CH，CO,垂足為C,交AO于點〃,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：乙4cB=90。，AC=BC,

VCH1CD,

:,乙DCH=90°,

,：Z.ADC/-CHD=90°,且NZOC=45。，

;?乙CHD=45°,

:?乙CHD=/.ADC,

：.CD=CH=&,

22

J(V2)+(V2)=2,

VZ-ACB=(DCH=90°,

^ACB+Z.ACH=乙DCH+/-ACH,^Z,ACD=乙BCH,

在△4C0和△BC”中，

'：AC=BC,^ACD=Z.BCH,CD=CH,

MACD=^BCH,

：.BH=AD=4,乙CBH=LDAC,

:,乙CBH+Z1=乙DAC+Z2,

Vz/ICB=90°,

工乙CBH+乙1=90°,

AZ.DAC+^.2=90°,

：.Z,BHA=90°,

：.BHlADf

???△8”。是直角三角形，在中，BD=y/BH2+DH2=<42+22=2V5.

11.〔2022?全國?九班級專題練習(xí))如圖，四邊形ABC。是正方形，△ECT為等腰直角三角形，/ECF=90。,

點E在5C上，點廠在CD上，尸為■中點，連接ARG為A/中點，連接尸G,DG,將R3EC/繞點C

順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a[0°<a<360°).

圖1圖2

(1)如圖1,當a=0。時，0G與PG的關(guān)系為；

(2)如圖2,當a=90。時

①求證：4AGD烏AFGM；

②11)中的結(jié)論是否成立？假設(shè)成立，請寫出證明過程；假設(shè)不成立，請說明理由.

【思路點撥】

〔1〕先推斷出AABEWA4DF,得出/.DAF=Z.BAE,再用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一

半和三角形中位線定理、三角形外角和定理，即可得出結(jié)論；

〔2〕①先推斷出/D4G=/MFG,再推斷出4F=FG,即可得出結(jié)論；

②由①知，4A6D=4FGM,得DG=MG,4D=FM=BC得出CM=CF,依據(jù)題〔1〕DE=CE,得出CM=

DE,^6.ADE=^DCM,得AE=DM.又依據(jù)點G是DM的中點，PG是AdEF的中位線，等量代換得DG=

PG.依據(jù)△ADE=△DCM^Z.DAE=乙CDM,S.Z.EDA=4EDN+Z.ADN=90°,推出Z_2ND=90°,又依

據(jù)PGII4F,同旁內(nèi)角互補，得乙NGP=90°,即DG1GP.

【解題過程】

(1)解：.四邊形A8C。是正方形

:.乙B=^ADC=90°,AB=BC=AD=CD

:△EC尸為等腰直角三角形

CE=CF

：.CE=CF,BE=DF

：.△ABE三&ADF

：.AE=AF,/.DAF=Z.BAE

?.?點G是4尸的中點

1

：.DG=-AF

2

：.DG=-AE

2

為EF中點，G為AF中點

，PG是△力的中位線

：.PG=^AE,PGWAE

：.DG=PG,4FAE=4FGP

又：在ZMDF中DG=AG=GF

：.ADAF="IDG且N￡MF+Z.ADG=乙DGF

：.2乙DAF=4DGF

'：ADAF+^FAE+Z.EAB=90°

Z.2ADAF+Z.FAE=90°

：.^DGF+^FAE=90°

:.乙DGF+乙FGP=90°

：.DG1GP

故DG=PG且DG1GP.

故答案是：DG=PG且DGLGP；

⑵

①證明：：四邊形ABCD是正方形，^DAG=AMFG

：.AD\\BC

?.?點G是4F的中點

：.AG=FG

.?.在△4GD和AFGM中

/.DAG=4MFG

{AG=FG

AAGD=NFGM

，△AGD=△FGMQ4S4)

解：②[1)中的結(jié)論。G=PG且。G1GP成立

證明：由①知，XAGD三XFGM

：.DG=MG,AD=MF=BG

1

：.BM=CF=-BC

2

CM=CF

'：DE=CF

：.CM=DE

又TAD=CD,Z,ADE=乙DMC=90°

A△ADE=^DCM

：.AE=DM,乙DAE=CCDM

??,點G是DM的中點

ii

：.DG=MG^-DM=-AE

22

又為EF中點，G為4F中點

，PG是△AEF的中位線

：.PG=|XF,PG\\AF

：.DG=PG

又,：乙EDA=乙EDN+乙ADN=90°

A/.DAE4-/.ADN=90°

:.乙AND=90°

."ENG=90°

又：PG||力F

:.乙ENG+乙NGP=180°

，乙NGP=90°

：.DG1GP

故DG=PGS.DG1GP.

12.12022?北京?九班級專題練習(xí)）如圖，等腰RtZkABC中，NBAC=90。,48=AC,點P為射線8c上一

動點1不與點B、C重合），以點P為中心，將線段PC逆時針旋轉(zhuǎn)a角，得到線段尸。，連接AP、BQ、M

為線段8。的中點.

(1)假設(shè)點尸在線段BC上，且M恰好也為AP的中點,

①依題意在圖1中補全圖形：②求出此時a的值和器的值；

(2)寫出一個a的值，使得對于任意線段延長線上的點尸，總有色的值為定值，并證明；

【思路點撥】

〔1〕①由題意，畫出圖形即可；②連接AQ,證四邊形是平行四邊形，得AB=PC,再依據(jù)△力BC是

等腰三角形即可求解.

〔2〕令a=90°,延長PM至N,使得MN=PM,連接BN、AN、QN,證四邊形8N。尸是矩形，依據(jù)亂4s證

AACP=AABN,得出A4VP為等腰直角三角形，即可求解.

【解題過程】

②連接A0，如下圖,

為AP、8。的中點,

：.AM=PM,BM=QM,

/.四邊形ABPQ是平行四邊形,

：.AB=PQ,AB//PQ,

：.a=Z-QPC=乙48c=45°,

,:PC=PQ,

：.AB=PC,

???△ABC為等腰直角三角形,

AB：AC：BC=1:1：V2,

PCPC

⑵a=90。,

延長PM至N,使得MN=PM,連接BN、AN、QN,

如下圖：

為線段8。的中點，

：.BM=QM,

又,：MN=PM,

二四邊形BNQP是平行四邊形，

XVZCPe=90°,

.??四邊形BN。尸是矩形，

BN//PQ,BN=PQ,

.-.乙NBP=180°-a=90°,

???△48C為等腰直角三角形，

???LABN=45°+90°=135°,zACP=180°-45°=135o,即N4CP=N4BN,

又AB=AC,

：.^ACP=LABN{SAS},

：.AN^AP,/.CAP=Z.BAN,

.-.4CAP+乙CAN=4BAN+4CAN,即ZJV4P=/.BAC=90°,

即△力NP為等腰直角三角形，

AP_y/2

PN2

1

又?；PM=-PN,

2

即需的值為定值,

當a=90。時，言的值為定值.

13.12022?山東煙臺?九班級期中）如圖，正方形ABCD中NP2Q分別交BC,CD于點、E,F,連接EF.

(1)如圖①，假設(shè)N1=28°,Z2=73°,試求N3的度數(shù)；

(2)如圖②，以點A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)4PAQ,旋轉(zhuǎn)時保持NP4Q=45。.當點E,尸分別在邊BC,CZ)上時,

AE和A尸是角平分線嗎？假如是，請說出是哪兩個角的平分線并賜予證明；假如不是，請說明理由；

(3)如圖③，在②的條件下，當點E,尸分別在2C,C。的延長線上時，②中的結(jié)論是否成立？只需答復(fù)結(jié)

論，不需說明理由.

【思路點撥】

〔1〕延長。H至點“，使DH=BE,連接4”.先證明△ABEgZXAOH,再證明△陰Eg/XRiH,即可得解;

〔2〕延長?！ㄖ咙c〃，使DH=BE,連接AH.同〔1〕可證△ABE@△AOH,在證△M￡1g/\刑”即可得

解；

〔3〕在BC上取一點M,使得BM=DF,連接AM,設(shè)AE與FC交于點N,連接MN,先證明△ABM^/\ADF,

再設(shè)法證明△A—Vg/vlMN,即可證明ANPE四△凡?,那么有/FEN=/MEN,結(jié)論得證.

【解題過程】

解：(1)延長?！敝咙cH,使DH=BE,連接A”,

:四邊形ABC。為正方形,

：.AB=AD,ZB=ZADC=90°,

：.ZB=ZADH=90°,

：/2=73°,

???ZBAE=90°-Z2=17°,

在和△AOH中，AB=AD,Z.B=^ADH=90°,BE=DH,

：.AABE^AADH,

：.AE=AHfZ2=ZH=73°,NBAE=NDAH=17。,

：.NHAF=ZDAH+Z1=17。+28。=45°,

*/ZEAF=90°~Z1-ZBAE=45°,

:?NEAF=NHAF,

又?：AE=AH,AF=AFf

：/=/AFH,

ZAFH=90。一N1=90。-28。=62。，

???N3=62。；

(2)AE是N尸防的平分線，A尸是NEED的平分線，

理由：延長OH至點"，使DH=BE,連接AH,

同(1)可證△ABE也△AO”,

：.AE=AH,ZAEB=ZH,N1=N4,

VZ2=45°,

AZ1+Z3=90°-Z2=45°,

???Z4+Z3=90°-Z2=45°,

即NHA/=45。，

：./2=/HAF,

XVAE=AH,AF=AF,

AZAFE=ZAFH,NAEF=NH,

：.NAEB=/AEF,

???AE平分/尸M,Ab平分NET。；

(3)AE仍舊是NFEB的平分線，A廠不是NEFD的平分線，

理由如下：在5C上取一點M,使得3M=。尸，連接40,設(shè)AE與尸C交于點N,連接MN,如圖,

?：BM=DF,AB=AD,ZABM=ZADF,

：.AABM^AADF,

：.ZMAB=ZDAF9AF=AMf

'：ZBAM+ZMAD=90°,

：.ZM￡>+ZMAD=90°,

ZMAF=90°,

ZME=45°,

JZE4M=90°ZE4E=45°,

???/FAN=/MAN,

9：AF=AM,AN=AN,

：.△AFNmAAMN,

:?/FNA=/MNA,FN=MN,

：.ZFNE=180°ZFNA=180°ZMNA=ZMNE,

?:EN=EN,

：.ANFE咨ANME,

：./FEN=/MEN,

：.AE平分/FEB,

通過對圖形的觀看可以明顯發(fā)覺，AF不是的平分線.

即結(jié)論得證.

14.12022?河南南陽?三模)【發(fā)覺神秘】

BCBC

備用圖1備用圖2

(1)如圖1,在等邊三角形力BC中，4B=2,點E是△力BC內(nèi)一點，連接4E,EC,BE,分別將AC,EC繞點C順

時針旋轉(zhuǎn)60。得到DC,FC,連接2D,DF,EF.當8,E,F,。四個點滿意______時，BE+4E+CE的值最小,

最小值為.

【解法探究】

(2)如圖2,在AaBC中,NACB=90。,AC=BC,點P是AABC內(nèi)一點，連接PA,PB,PC,懇求出當P4+PB+PC

的值最小時ABCP的度數(shù)，并直接寫出此時PAP8:PC的值.〔提示：分別將PC,4C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。

得到DC,EC,連接PD,DE,4E)

【拓展應(yīng)用】

(3)在△力BC中，N4C8=90°,ABAC=30°,BC=2,點