專題14.3 整式的乘法（6大知識(shí)點(diǎn)15類題型）（知識(shí)梳理與題型分類講解）（人教版）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題14.3整式的乘法（6大知識(shí)點(diǎn)15類題型）（知識(shí)梳理與題型分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納與題型目錄】【知識(shí)點(diǎn)1】同底數(shù)冪的除法法則同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（≠0，都是正整數(shù)，并且）【要點(diǎn)提示】（1）同底數(shù)冪乘法與同底數(shù)冪的除法是互逆運(yùn)算.（2）被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式.（3）當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí)，也具有這一性質(zhì).（4）底數(shù)可以是一個(gè)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.【知識(shí)點(diǎn)2】單項(xiàng)式的乘法法則單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.【要點(diǎn)提示】（1）單項(xiàng)式的乘法法則的實(shí)質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.（2）單項(xiàng)式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項(xiàng)式的系數(shù)交換到一起進(jìn)行有理數(shù)的乘法計(jì)算，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進(jìn)行計(jì)算；只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個(gè)因式.（3）運(yùn)算的結(jié)果仍為單項(xiàng)式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個(gè)或三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用以上法則.【知識(shí)點(diǎn)3】單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.【要點(diǎn)提示】（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算方法，實(shí)質(zhì)利用乘法分配律將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的問題.（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積仍是一個(gè)多項(xiàng)式，項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.（3）計(jì)算過程中要注意符號(hào)問題，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)包括它前面的符號(hào)，還要注意單項(xiàng)式的符號(hào).（4）對(duì)混合運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算順序，最后有同類項(xiàng)時(shí)，必須合并，從而得到最簡(jiǎn)的結(jié)果.【知識(shí)點(diǎn)4】多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.【要點(diǎn)提示】多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式.在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡(jiǎn)，有同類項(xiàng)的要合并.特殊的二項(xiàng)式相乘：.知識(shí)點(diǎn)與題型目錄【知識(shí)點(diǎn)一】同底數(shù)冪的除法【題型1】同底數(shù)冪的除法運(yùn)算及逆運(yùn)算.........................................3;【知識(shí)點(diǎn)二】單項(xiàng)式相乘【題型2】單項(xiàng)式相乘.........................................................3;【題型3】利用單項(xiàng)式相乘求字母或代數(shù)式的值...................................3;【知識(shí)點(diǎn)三】單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式【題型4】單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算與求值.......................................4;【題型5】單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的應(yīng)用.............................................4;【題型6】利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式求字母的值.....................................4;【知識(shí)點(diǎn)四】多項(xiàng)式相乘【題型7】計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式...............................................5;【題型8】計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式化簡(jiǎn)求值.......................................5;【題型9】（x+p）（x+q)型多項(xiàng)式相乘..........................................5;【題型10】整式乘法中的不含某個(gè)字母問題......................................5;【題型11】多項(xiàng)式相乘中的幾何問題............................................6;【知識(shí)點(diǎn)五】多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式【題型12】多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式..................................................6;【知識(shí)點(diǎn)六】多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式【題型13】整式乘法混合運(yùn)算..................................................7;【直通中考與拓展延伸】【題型14】直通中考..........................................................7;【題型15】拓展延伸..........................................................8.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】同底數(shù)的除法運(yùn)算及逆運(yùn)算【例1】（23-24八年級(jí)上·天津?yàn)I海新·期末）計(jì)算：．【變式1】（22-23七年級(jí)下·廣東深圳·階段練習(xí)）若，，則的值為（

）A． B．1 C．2 D．4【變式2】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）已知，則．【題型2】單項(xiàng)式相乘【例2】（22-23八年級(jí)上·福建廈門·期中）計(jì)算：(1)；(2)【變式1】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）計(jì)算：．【題型3】利用單項(xiàng)式相乘求字母或代數(shù)式的值【例3】（22-23七年級(jí)下·廣東梅州·期中）先化簡(jiǎn)，后求值：，其中，．【變式1】（2024·陜西榆林·三模）已知單項(xiàng)式與的積為，則，的值為（

）A．， B．，C．， D．，【變式2】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）若，則的值為．【題型4】單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算與求值【例4】（23-24八年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【變式1】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·江蘇南京·階段練習(xí)）若，代數(shù)式的值是．【題型5】單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的應(yīng)用【例5】（23-24七年級(jí)下·廣東佛山·階段練習(xí)）小紅的爸爸將一塊長(zhǎng)為分米、寬分米的長(zhǎng)方形鐵皮的四個(gè)角都剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為分米的小正方形，然后沿虛線折成一個(gè)無蓋的盒子．(1)用含，的整式表示盒子的外表面積；(2)若，，現(xiàn)往盒子的外表面上噴漆，每平方分米噴漆價(jià)格為15元，求噴漆共需要多少元？【變式1】（23-24七年級(jí)下·山東菏澤·期中）某同學(xué)在計(jì)算一個(gè)多項(xiàng)式乘時(shí)，因抄錯(cuò)運(yùn)算符號(hào)，算成了加上，得到的結(jié)果是，那么正確的計(jì)算結(jié)果是（）A． B．C． D．【變式2】（22-23八年級(jí)上·福建泉州·階段練習(xí)）已知：，則．【題型6】利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式求字母的值【例6】（21-22七年級(jí)下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知x（x﹣m）+n（x+m）＝+5x﹣6對(duì)任意數(shù)都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值．【變式1】（23-24七年級(jí)下·河南周口·階段練習(xí)）若，則a的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．8【變式2】（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）要使中不含有的四次項(xiàng)，則．【題型7】計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式【例7】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）計(jì)算：(1)；(2)；(3)【變式1】（22-23七年級(jí)下·甘肅張掖·期中）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（22-23七年級(jí)下·山東菏澤·期中）如果，那么x的值是．【題型8】計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式化簡(jiǎn)求值【例8】（24-25八年級(jí)上·河南南陽·階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【變式1】（23-24七年級(jí)下·安徽合肥·期中）我們規(guī)定，例如，已知，則代數(shù)式的值是（

）A．4 B．5 C．8 D．9【變式2】（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的值為．【題型9】（x+p）（x+q)型多項(xiàng)式相乘【例9】（22-23七年級(jí)下·遼寧沈陽·期中）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【變式1】（23-24七年級(jí)下·遼寧錦州·階段練習(xí)）若，則的值為（）A． B．5 C． D．【變式2】（22-23七年級(jí)下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）若，則．【題型10】整式乘法中的不含某個(gè)字母問題【例10】（22-23七年級(jí)下·四川達(dá)州·期中）已知代數(shù)式與積是一個(gè)關(guān)于的三次多項(xiàng)式，且化簡(jiǎn)后含項(xiàng)的系數(shù)為1，求和的值．【變式1】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·期中）已知多項(xiàng)式與的乘積中的項(xiàng)系數(shù)與的項(xiàng)系數(shù)之和為，則常數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）若的積中不含項(xiàng)，則，．【題型11】多項(xiàng)式相乘中的幾何問題【例11】（22-23八年級(jí)上·四川綿陽·期末）學(xué)校需要設(shè)計(jì)一處長(zhǎng)方形文化景觀，分為中央雕塑區(qū)和四周綠化區(qū)．中央雕塑區(qū)的長(zhǎng)邊為（）米，短邊為米，綠化區(qū)外邊沿的長(zhǎng)邊為（）米，短邊為（）米．試比較雕塑區(qū)和綠化區(qū)的面積大?。檎龜?shù)）【變式1】（23-24七年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）下面四個(gè)整式中，不能表示圖中陰影部分面積的是（）A． B．C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）有若干張如圖所示的正方形A類、B類卡片和長(zhǎng)方形C類卡片．如果要拼成一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的大長(zhǎng)方形，那么需要C類卡片張．

【題型12】多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式【例12】（22-23七年級(jí)下·寧夏銀川·期末）老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個(gè)多項(xiàng)式，(1)求所捂的多項(xiàng)式；(2)若，求所捂多項(xiàng)式的值．【變式1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B． C． D．【變式2】（22-23七年級(jí)下·浙江溫州·期末）若，則A代表的整式是．【題型13】整式乘法混合運(yùn)算【例13】（23-24七年級(jí)下·貴州畢節(jié)·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：(1)，其中，．(2)已知，求代數(shù)式的值．【變式1】（21-22六年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）等式中的括號(hào)內(nèi)應(yīng)填入（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·福建廈門·二模）已知，則的值為．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】【題型14】直通中考【例1】（2024·山東青島·中考真題）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【例2】（2023·黑龍江大慶·中考真題）1261年，我