專題13.11 最短路徑（將軍飲馬）問題（題型分類專項練習）（教師版） 2024-2025學年八年級數(shù)學上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（人教版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題13.11最短路徑（將軍飲馬）問題（題型分類專項練習）【題型目錄】【題型1】兩定一動型；【題型2】一定兩動（兩點之間線段最短）型；【題型3】一定兩動（垂線段最短）型；【題型4】兩定兩動型；【題型5】一定兩動（等線段）轉(zhuǎn)化型.選擇題【題型1】兩定一動型；1．（2024·安徽滁州·一模）如圖，在中，，的垂直平分線交于點F，交于點E，連接，，的周長為18．若點P在直線上，連接，，則的最大值為（

）A．5 B．8 C．10 D．132．（23-24八年級上·山東濰坊·期中）如圖，已知中，，，邊的垂直平分線分別交，于點，，點為直線上一點，則的周長最小值為（

）A．11 B．10 C．9 D．83．（22-23八年級上·北京海淀·期中）如圖，在中，，，，的垂直平分線交于點D，P是直線上的任意一點，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．3.5 D．4.54．（18-19七年級下·陜西西安·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為底邊在△ABC外作等腰△ACD，過點D作∠ADC的平分線分別交AB，AC于點E，F(xiàn)．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周長為30，點P是直線DE上的一個動點，則△PBC周長的最小值為（）A．15 B．17 C．18 D．20【題型2】一定兩動（兩點之間線段最短）型；5．（2020·遼寧鞍山·一模）如圖，點是內(nèi)任意點，分別是射線OA，和射線OB上的動點，周長的最小值為8cm，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．6．（18-19八年級上·河南商丘·期末）如圖，點是內(nèi)任意一點，且，點和點分別是射線和射線上的動點，當周長取最小值時，則的度數(shù)為（）A．145° B．110° C．100° D．70°7．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，中，分別是邊上的動點，則的周長的最小值是（

）A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．68．（23-24八年級上·江蘇蘇州·階段練習）如圖，四邊形中，，，M，N分別是，上的點，當?shù)闹荛L最小時，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【題型3】一定兩動（垂線段最短）型；9．（23-24八年級上·浙江寧波·期中）如圖，在銳角中，的平分線交于點分別是和上的動點，則的最小值是（

）

A． B．6 C． D．310．（20-21八年級上·河北唐山·期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為10，BD平分，若、分別是BD、上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．11．（22-23八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，在銳角中，，，的平分線交于點D，M、N分別是和上的動點，則的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．312．（20-21八年級上·遼寧大連·期末）如圖，AD是等邊△ABC的BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上動點，當EF+CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°【題型4】兩定兩動型；13．（21-22八年級上·湖北武漢·期中）如圖，銳角∠AOB＝x，M，N分別是邊OA，OB上的定點，P，Q分別是邊OB，OA上的動點，記∠OPM＝α，∠QNO＝β，當MP+PQ+QN最小時，則關(guān)于α，β，x的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A．α﹣β＝2x B．2β+α＝90°+2xC．β+α＝90°+x D．β+2α＝180°﹣2x14．（18-19八年級上·河南許昌·期中）如圖，，M，N分別是邊上的定點，P，Q分別是邊上的動點，記，當?shù)闹底钚r，關(guān)于，的數(shù)量關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．15．（19-20八年級上·浙江寧波·期中）如圖，已知，平分，，在上，在上，在上．當取最小值時，此時的度數(shù)為（

）A． B． C． D．16．（18-19八年級上·湖北孝感·期中）如圖，∠AOB＝20°，M，N分別是邊OA，OB上的定點，P，Q分別是邊OB，OA上的動點，記∠OPM＝α，∠OQN＝β，當MP+PQ+QN最小時，則關(guān)于α，β的數(shù)量關(guān)系正確的是（

）A．β﹣α＝30° B．β﹣α＝40° C．β+α＝180° D．β+α＝200°【題型5】一定兩動（等線段）轉(zhuǎn)化型.17．（2022·貴州遵義·二模）如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點D是AB邊的中點，點E是BC邊上的一個動點，以DE為邊作等邊三角形DEF，連接AF，則AF的最小值為（）A．2 B． C． D．18．（22-23八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，在等腰中，，平分，平分，M、N分別為射線、上的動點，若，則的最小值為（

）

A．7 B．6 C．5 D．1019．（22-23九年級上·四川樂山·期末）如圖，在中，，若D是邊上的動點，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．1220．（23-24九年級上·湖北黃岡·期中）如圖，等腰中，，當?shù)闹底钚r，的面積（

）

A． B． C． D．填空題【題型1】兩定一動型；21．（23-24七年級下·廣東河源·期末）如圖，在中，于點D，垂直平分，交于點，點是上一動點，則的周長的最小值是．22．（23-24八年級下·四川達州·期末）如圖，在中，分別以為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧交于點，作直線交于點是上任意一點，連接；若，則的周長的最小值為．23．（22-23八年級上·北京·期中）如圖，在中，是的垂直平分線，P是直線上的任意一點，則的最小值是．24．（20-21八年級上·江西贛州·期末）如圖，在面積為的中，，，于點，直線垂直平分交于點，交于點，為直線上一動點，則周長的最小值為．【題型2】一定兩動（兩點之間線段最短）型；25．（23-24八年級上·北京海淀·期中）如圖，已知，在的內(nèi)部有一點P，A為上一動點，B為上一動點，，當?shù)闹荛L最小時，度，的周長的最小值是．

26．（22-23八年級下·福建福州·開學考試）如圖，在四邊形中，，，在，上分別找一個點M，N，使的周長最小，則°

27．（21-22八年級上·湖北十堰·期末）如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點M，N，使周長最小，則的度數(shù)為．28．（23-24八年級上·北京海淀·開學考試）已知，點P在的內(nèi)部，，上有一點M，上有一點N，當?shù)闹荛L取最小值時，，的周長為．【題型3】一定兩動（垂線段最短）型；29．（23-24七年級下·廣東清遠·期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為7，平分，若M，N分別是，上的動點，則的最小值為．30．（22-23七年級下·廣東揭陽·期末）如圖，在等腰中，，，作于點D，，點E為邊上的中點，點P為上一動點，則的最小值為．

31．（22-23八年級上·湖北武漢·期末）在中，，D是邊上一點，，E，F(xiàn)分別是邊上的動點，則的最小值為．32．（20-21八年級上·浙江臺州·期中）如圖，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15o，OB=5，OC平分∠AOB，點P在射線OC上，Q是OA上一動點，則PA+PQ的最小值是

【題型4】兩定兩動型；33．（23-24八年級上·福建福州·期中）如圖，點M、N分別在邊上，且，，點P、Q分別在邊上，則當取最小值時，．

34．（23-24八年級上·河南商丘·階段練習）如圖，，點，分別是邊，上的定點，點，分別是邊，上的動點，記，，當最小時，則與的數(shù)量關(guān)系為．35．（20-21八年級上·天津·期末）如圖，，點M，N分別是邊，上的定點，點P，Q分別是邊，上的動點，記，，當?shù)闹底钚r，的大小_______（度）．36．（22-23八年級上·福建南平·期末）如圖，，點M，N分別是邊，上的定點，點P，Q分別是邊，上的動點，記，，當最小時，則α與β的數(shù)量關(guān)系為．【題型5】一定兩動（等線段）轉(zhuǎn)化型.37．（19-20八年級上·北京房山·期末）已知，點為射線上一點，點為的中點，且.當點在射線上運動時，則與和的最小值為．38．（19-20八年級上·湖北武漢·期末）如圖，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D為AB的中點，E為線段AC上任意一點（不與端點重合），當E點在線段AC上運動時，則DE+CE的最小值為．39．（21-22七年級下·四川成都·期末）如圖△ABC為等腰三角形，其中∠ABC=∠BAC=30°，以AC為底邊作△ACD，其中∠ACD=∠CAD=30°，再以AD為底邊作△ADE，其中∠ADE=∠DAE=30°，△ADE兩底角的角平分線交于點O，點P為直線AC上的動點，已知|BP?DP|最大值為8．則DP+OP的最小值為．40．（2024·四川樂山·二模）如圖，等腰中，，平分，點N為上一點，點M為上一點，且，若當?shù)淖钚≈禐?時，的長度是．參考答案：1．B【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先找出的長，再確定的取得最大值為的長即可．【詳解】解：∵的垂直平分線交于點F，交于點E，∴，∵的周長是18，，∴的周長，點P在直線上，如圖，連接，

∵點P在的垂直平分線上，∴，∴，故的最大值為8，此時點P是直線與直線的交點．故選：B．2．C【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，如圖所示，連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，由三角形周長公式得到的周長，故當A、D、C三點共線時，最小，即此時的周長最小，此時點D與點F重合，最小值即為的長，據(jù)此可得答案．【詳解】解：如圖所示，連接，∵邊的垂直平分線分別交，于點，，∴，∴的周長，∴當A、D、C三點共線時，最小，即此時的周長最小，此時點D與點F重合，最小值即為的長，∴的周長的最小值為，故選C．3．B【分析】如圖所示，連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)推出，由此得當P、A、B三點共線時，此時P與D點重合，的最小值為．【詳解】解：如圖所示，連接，∵是線段的垂直平分線，∴，∴，∴要使最小，即要使最小，∴當P、A、B三點共線時，此時P與D點重合，的最小值為，故選:B．【點撥】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．C【分析】根據(jù)點與點關(guān)于對稱，即可得出，當點與點重合時，，此時的周長最小，根據(jù)與的長即可得到周長的最小值．【詳解】解：是以為底邊的等腰三角形，平分，垂直平分，點與點關(guān)于對稱，，如圖所示，當點與點重合時，，此時的周長最小，，，ΔABC的周長為30，，周長的最小值為，故選：．【點撥】本題主要考查了最短距離問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．5．A【分析】分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對稱的性質(zhì)得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=CN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結(jié)果．【詳解】解：分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點P關(guān)于OA的對稱點為D，關(guān)于OB的對稱點為C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵點P關(guān)于OB的對稱點為C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周長的最小值是8cm，∴PM+PN+MN=8，∴DM+CN+MN=8，即CD=8=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故選：A．【點撥】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、最短路線問題、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．6．B【分析】分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P1、P2，連P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周長=P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，即可得出∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°．【詳解】解：分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2，交OA于M，交OB于N，則OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，∠NPO=∠NP2O，∴∠P1OM=∠MOP，∠NOP=∠NOP2，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得MP=P1M，PN=P2N，則△PMN的周長的最小值=P1P2，∴∠P1OP2=2∠AOB=70°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=110°，∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=110°，故選：B．【點撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，正確作出輔助線，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1=110°是關(guān)鍵．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．7．C【分析】如圖作關(guān)于直線的對稱點，作關(guān)于直線的對稱點，連接，，CD，，，，．由，，，推出，可得、、共線，由，，可知當、、、共線時，且時，的值最小，最小值，求出CD的值即可解決問題．【詳解】解：如圖，作關(guān)于直線的對稱點，作關(guān)于直線的對稱點，連接，，CD，，，，．∴，，，，∴，∵，，，∴，∴M、C、N共線，∵，∵，∴當M、F、E、N共線時，且時，的值最小，最小值為，∵，∴，∴，∴的最小值為．故選：C．【點撥】本題考查了軸對稱-最短問題、兩點之間線段最短、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用軸對稱以及垂線段最短解決最短問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．8．D【分析】作點C關(guān)于的對稱點E，關(guān)于的對稱點F，則，，可得，即可得當E、M、N、F在同一條直線上時，的最小值等于線段的長，根據(jù)四邊形中，，得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，根據(jù)等邊對等角得，，即可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得．【詳解】解：如圖所示，作點C關(guān)于的對稱點E，關(guān)于的對稱點F，則，，∴，∴當E、M、N、F在同一條直線上時，的最小值等于線段的長，∵四邊形中，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：D．【點撥】本題考查了軸對稱—最短路線問題，三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角，解題的關(guān)鍵是理解題意，利用對稱性構(gòu)造最短路徑．9．C【分析】在上截取，連接，作，交于，由含的直角三角形可得，可證，可得，易知，易知當點，點，點三點共線，且垂直時，的值最小，即，進而求得答案．【詳解】解：∵平分，∴，在上截取，連接，作，交于，∵，AB=62，∴，

∵，∴，∴，∴，∴當點，點，點三點共線，且垂直時，的值最小，即：，∴的最小值為．故選：C．【點撥】本題主要考查的是最短路徑問題，全等三角形的判定及性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，掌握最短路徑的確定方法是解題的關(guān)鍵．10．B【分析】作N關(guān)于BD的對稱點，連結(jié)，與BD交于點O，過點C作于點E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，則，根據(jù)兩點之間線段最短可得的最小值為，再根據(jù)垂線段最短，的最小值為C點到AB的垂線段CE的長度，最后由的面積求出CE，即可求解．【詳解】解：如圖，作N關(guān)于BD的對稱點，連結(jié)，與BD交于點O，過C作于E，∵BD平分∴在AB上，且∴，∴根據(jù)兩點之間線段最短可得的最小值為，即C點到線段AB某點的連線，∴根據(jù)垂線段最短，的最小值為C點到AB的垂線段CE的長度，∵的面積為10∴∴故選B．【點撥】本題主要考查了最短路徑問題，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．11．C【分析】作，垂足為H，交于M點，過M點作，垂足為N，則為所求的最小值，根據(jù)是的平分線可知，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，作，垂足為H，交于M點，過M點作，垂足為N．是的平分線，，，是點B到直線的最短距離（垂線段最短），是的最小值，，，，故選C．【點撥】本題考查的是軸對稱—最短路線問題、角平分線的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，解答此類問題時要從已知條件結(jié)合圖形認真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值．12．C【分析】過點B作BE⊥AC于點E，交AD于點F，連接CF，根據(jù)垂線段最短可知此時EF+CF取得最小值，再利用等邊三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖：過點B作BE⊥AC于點E，交AD于點F，連接CF，根據(jù)垂線段最短可知此時EF+CF取得最小值，∵△ABC是等邊三角形，∴AE＝EC，AF＝FC，∴∠FAC＝∠FCA，∵AD是等邊△ABC的BC邊上的中線，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ECF＝30°．故選：C．【點撥】本題考查最短路徑問題——垂線段最短，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)垂線段最短找到點E、F是解題的關(guān)鍵．13．A【分析】如圖，作M關(guān)于OB的對稱點M′，N關(guān)于OA的對稱點N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則此時MP+PQ+QN最小，易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，再結(jié)合∠OPM=∠NPQ=∠AOB+∠OQP，∠OQP=∠AQN=∠AOB+∠ONQ，由此即可解決問題．【詳解】解：如圖，作M關(guān)于的對稱點，N關(guān)于的對稱點，連接交于Q，交于P，則此時的值最?。藭r，，．∵∠OPM=∠NPQ=∠AOB+∠OQP，∠OQP=∠AQN=∠AOB+∠ONQ，∴，，∴，即：，故選：A．【點撥】本題考查軸對稱-最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．14．B【分析】如圖，作M關(guān)于OB的對稱點M′，N關(guān)于OA的對稱點N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，KD∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，由此即可解決問題．【詳解】如圖，作M關(guān)于的對稱點，N關(guān)于的對稱點，連接交于Q，交于P，則此時的值最?。字?，．∵，，∴．故選：B.【點撥】本題考查軸對稱-最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．15．D【分析】作點關(guān)于的對稱點，作點關(guān)于的對稱點，連接、、、、，則由軸對稱知識可知，所以依據(jù)垂線段最短知：當在一條直線上，且時，取最小值，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余及三角形外角的性質(zhì)可以求出.【詳解】解：∵，平分，∴，作點關(guān)于的對稱點，作點關(guān)于的對稱點，連接、、、、，則，，，，，∴，，，，當在一條直線上，且時，取最小值，∴，∴，∴，∴，故選：D.【點撥】本題考查了最短路徑問題，等腰三角形等邊對等角，直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，垂線段最短，通過作對稱點化折為直是解題的關(guān)鍵.16．D【分析】作M關(guān)于OB的對稱點M′，N關(guān)于OA的對稱點N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，可得MP+PQ+QN最小，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根據(jù)三角形內(nèi)角和及外角性質(zhì)即可得答案.【詳解】如圖，作M關(guān)于OB的對稱點M′，N關(guān)于OA的對稱點N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，∴NQ=NQ′，PM=PM′，∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，∴MP+PQ+QN最小，∵∠OQN＝180°﹣20°﹣∠ONQ，∠OPM＝∠NPQ＝20°+∠OQP，∠OQP＝∠AQN＝20°+∠ONQ，∴α+β＝180°﹣20°﹣∠ONQ+20°+20°+∠ONQ＝200°．故選D．【點撥】本題考查軸對稱-最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.17．B【分析】當AF⊥AB時，AF的值最小，過D作DG⊥BC，可證∠ADF=∠DEG，進一步證明△DEG≌△GFA可求解．【詳解】解：當AF⊥AB時，AF的值最小，過D作DG⊥BC，∵DG⊥BC，AF⊥AB∴∠DGB=∠DGE=∠DAF=90°∴∠B+∠BDG=90°，∠GDE+∠DEG=90°∵△ABC和△DEF都是等邊三角形∴DF=EF，∠B=∠FDE=60°，∠BDG=30°∴∠ADF+∠GDE=180°-∠BDG-∠FDE=180°-60°-30°=90°∴∠ADF=∠DEG又∵∠DGE=∠DAF=90°，DE=DF∴△DEG≌△FDA（AAS）∴AF=DG

故選：B．【點撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．C【分析】過點C作，交的延長線于點F，則的最小值為．延長兩線交于點G，證明，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到．【詳解】過點C作，交的延長線于點F，則的最小值為，

延長兩線交于點G，∵，∴，∵，∴，∴；∵，∴，∴；∵，∴，∴的最小值為5，故選D．【點撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定性質(zhì)，垂線段最短原理，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短原理是解題的關(guān)鍵．19．D【分析】過點C作射線，使，再過動點D作，垂足為點F，連接，在中，當A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時，的值最小，最小值等于垂線段的長．【詳解】解：過點C作射線，使，再過動點D作，垂足為點F，連接，如圖所示：在中，，∴，∵＝，∴當A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時，的值最小，最小值等于垂線段的長，此時，，∴是等邊三角形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為12，故選：D．【點撥】本題考查垂線段最短、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加輔助線，構(gòu)造胡不歸模型，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題．20．C【分析】過點作，使，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，則，連接交于，在中，由三角形三邊關(guān)系可得，則、、三點共線時，的值最小，即的值最小，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，過點作于，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出，利用三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：過點作，使，連接，

∵，，，∠ACB=120°，，，在和中，，，，，連接交于，在中，由三角形三邊關(guān)系可得，則、、三點共線時，的值最小，即的值最小，∵，，在和中，，，，過點作于，，，的面積為．故選：C．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、最短距離問題、三角形的面積、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．21．【分析】本題主要考查了軸對稱?最短路線問題、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖：連接，∵于點D，∴，即，即,∵垂直平分，∴，∴,即是的最小值為8，∴的周長的最小值為．故答案為：．22．19【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系，先根據(jù)作圖過程得出直線是的垂直平分線，即，根據(jù)三角形三邊關(guān)系：，則點E在上時，此時，故的周長有最小值，且為，即可作答．【詳解】解：如圖：連接∵在中，分別以為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧交于點，∴直線是的垂直平分線∴根據(jù)三角形三邊關(guān)系：當點E在上時，此時則的周長有最小值，且為故答案為：1923．4【分析】連接，則，則易得的最小值為線段的長，從而問題得以解決．【詳解】解：連接，如圖，是的垂直平分線，，，當點在線段上時，的最小值為線段的長，，的最小值為4．故答案為：4．【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，兩點間線段最短等知識，利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到是問題的關(guān)鍵．24．【分析】如圖，連接．利用三角形的面積公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解．【詳解】解：如圖，連接，∵，，，∴，∵的面積為，∴，∴，∵垂直平分，∴，∵為直線上一動點，∴，∴，∴，∴周長的最小值為．故答案為：．【點撥】本題考查軸對稱—最短問題，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，三角形的面積與周長等知識，解題的關(guān)鍵是確定．25．【分析】分別作出點關(guān)于，兩條射線的對稱點，連接兩個對稱點的線段與，的交點即為所確定的點；連接，，，由軸對稱的性質(zhì)得：，，，證得是等邊三角形，即可得到結(jié)論．【詳解】解：①分別作點關(guān)于，的對稱點，；連接，，分別交，于點、點，則此時的周長最?。B接，，，由軸對稱的性質(zhì)得：，，，，，是等邊三角形，，，，∴，的周長，故答案為：，．【點撥】此題主要考查了軸對稱最短路徑問題，解決本題的關(guān)鍵是理解要求周長最小問題可歸結(jié)為求線段最短問題，通常是作已知點關(guān)于所求點所在直線的對稱點．26．150【分析】要使的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出關(guān)于和的對稱點，，即可得出，進而得出，即可得出答案．【詳解】解：作關(guān)于和的對稱點，，連接，交于，交于，則即為的周長最小值．

，，，，且，，故答案為：150．【點撥】本題考查的是軸對稱最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出，的位置是解題關(guān)鍵．27．160°【分析】要使周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作點A關(guān)于BC和CD的對稱點，即可得到，進而求得，即可得到答案．【詳解】作點A關(guān)于BC和CD的對稱點，連接，交BC于M，交CD于N，則即為周長最小值，故答案為：160°．【點撥】本題考查的是軸對稱—最短路線問題，涉及平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．28．/120度4【分析】作P關(guān)于直線的對稱點，作P關(guān)于直線的對稱點，連接，交于M，交于N，則此時的周長最小，連接，，和分別與和交于C，D，根據(jù)對稱的性質(zhì)得到，，，PM=P′M，，可證明是等邊三角形，得到，繼而推出的周長為，利用四邊形內(nèi)角和求出，利用三角形內(nèi)角和求出，根據(jù)等邊對等角求出，再利用角的和差求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作P關(guān)于直線的對稱點，作P關(guān)于直線的對稱點，連接，交于M，交于N，則此時的周長最小，連接，，和分別與和交于C，D，∵P關(guān)于直線的對稱點，P關(guān)于直線的對稱點，∴，，，PM=P′M，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，

∴的最小周長為，∵PM=P′M∴，，在四邊形中，，，∴，∴，∴，∴，故答案為：，4．

【點撥】本題考查了軸對稱—最短路線問題，對稱的性質(zhì)，等邊對等角，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和，關(guān)鍵是找出符合條件的M、N點的位置，題目比較好，但有一定的難度．29．【分析】本題考查角平分線的軸對稱性、最短路徑問題，先過C作于H，根據(jù)角平分線的軸對稱性，可作N關(guān)于對稱點，連接，則，由得當C、M、共線且時，取等號，此時值最小，最小值為的值，利用三角形的面積公式求得，進而可求解．【詳解】解：∵BD平分，如圖，過C作于H，作N關(guān)于對稱點，∴在AB上，連接，則，當C、M、共線且時，取等號，此時值最小，最小值為的值，∵在銳角三角形中，，的面積為7，∴，∴，即的最小值為，故答案為：．30．【分析】作點關(guān)于的對稱點，延長至，使，連接，交于，此時的值最小，就是的長，證明即可．【詳解】解：作點關(guān)于的對稱點，延長至，使，連接，交于，此時的值最小，就是的長，

，，，，，，，，是等邊三角形，點E為邊上的中點，，，即的最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查了軸對稱，最短路徑問題和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出對稱點，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)與判定的靈活運用．31．5【分析】延長作，連接，由點到直線的距離可知當時有最小值，根據(jù)30度角的直角三角形性質(zhì)作答即可．【詳解】解：延長作，連接，此時，∵最小，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，故答案為：5．【點撥】本題考查了求最短距離，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．32．【分析】在射線OB上截取一點Q′，使得OQ′＝OQ，則△OPQ≌△OPQ′，可得PQ＝PQ′．作AH⊥OB于H．可得PA＋PQ＝PA＋PQ′，推出當A、P、Q′共線，且垂直O(jiān)B時，PA＋PQ′的值最小，最小值為AH．【詳解】解：在射線OB上截取一點Q′，使得OQ′＝OQ，則△OPQ≌△OPQ′，可得PQ＝PQ′．作AH⊥OB于H．

∴PA＋PQ＝PA＋PQ′，∴當A、P、Q′共線，且垂直O(jiān)B時，PA＋PQ′的值最小，最小值為AH，在Rt△ABH中，∵OB＝AB＝5，∠ABH＝30°，∴AH＝AB＝，∴PA＋PQ的最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查軸對稱?最短問題、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．33．20【分析】作M關(guān)于的對稱點，作N關(guān)于的對稱點，連接，即為的最小值；證出為等邊三角形，為等邊三角形，得出，即為的面積．【詳解】解：作M關(guān)于的對稱點，作N關(guān)于的對稱點，如圖所示：連接，

則，即為的最小值．根據(jù)軸對稱的定義可知：，，∴為等邊三角形，為等邊三角形，∴，∵，，∴．故答案為：20．【點撥】本題考查了軸對稱——最短路徑問題，涉及軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識點，屬于填空題中的壓軸題，通過軸對稱變換找到取最小值時P，Q的位置是解題的關(guān)鍵．34．【分析】本題考查軸對稱—最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．作關(guān)于的對稱點，關(guān)于的對稱點，連接交于，交于，則最小，易知，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，作關(guān)于的對稱點，關(guān)于的對稱點，連接交于，交于，則最小，，，，，故答案為：．35．50【分析】本題主要考查最短路徑問題、軸對稱的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，作M關(guān)于的對稱點，N關(guān)于的對稱點，連接，交于點P，交于點Q，連接，，可知此時最小，此時，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和平角的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：作M關(guān)于的對稱點，N關(guān)于的對稱點，連接，交于點P，交于點Q，連接，，如圖所示．根據(jù)兩點之間，線段最短，可知此時最小，即，∴，，∵，，∴，，∵，,∴，∴，故答案為：50．36．【分析】作M關(guān)于的對稱點，N關(guān)于的對稱點，連接交于P，交于Q，則最小，易知，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，作M關(guān)于的對稱點，N關(guān)于的對稱點，連接交于P，交于Q，則最小，∴，，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題考查軸對稱—最短問題、三角形的內(nèi)角