專題12.7 全等三角形的判定（HL）（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題12.7全等三角形的判定（HL）（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】直角三角形全等的判定方法——斜邊、直角邊（HL）（1）判定方法：斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.（2）書寫格式：如圖，在Rt△ABC和△Rt中，【知識(shí)點(diǎn)二】判定兩個(gè)直角三角形全等的方法判定一般三角形全等的方法對(duì)判定兩個(gè)直角三角形全等全部適用，因此我們可以根據(jù)“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”這五種方法來判定兩個(gè)直角三角形全等.【知識(shí)點(diǎn)三】判定兩個(gè)直角三角形全等的思路已知一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；已知斜邊對(duì)應(yīng)相等，可用判定方法“HL”“AAS”;已知一銳角對(duì)應(yīng)相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】用“HL”證明直角三角形全等【例1】（23-24八年級(jí)上·廣西南寧·期中）已知，如圖，點(diǎn)、、、在同一條直線上，，，，

（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)【答案】(1)見解析；(2)【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理：（1）先證，再證即可；（2）根據(jù)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．（1）證明：，，和是直角三角形，，，即，在和中，，；（2）解：，，，，．【變式1】如圖，已知，，若用判定和全等，則需要添加的條件是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由圖示可知為公共邊，若想用判定證明和全等，必須添加．解：∵，，∴，.，符合兩直角三角形全等的判定定理，故該選項(xiàng)符合題意；.，，不是兩直角三角形全等的判定定理，故該選項(xiàng)不符合題意；.，不符合兩直角三角形全等的判定定理，故該選項(xiàng)不符合題意；.，，不是兩直角三角形全等的判定定理，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)撥】此題考查了對(duì)全等三角形判定定理的理解和掌握，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24八年級(jí)上·北京朝陽·階段練習(xí)）如圖，，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，，若，則．

【答案】/度【分析】證得，即可求解；解：∵，，∴是直角三角形，在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形的全等證明及性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【題型2】全等的性質(zhì)與“HL”綜合【例2】（23-24八年級(jí)下·山東青島·期中）已知：如圖為的高，為上一點(diǎn)，交于且有，．（1）問與的數(shù)量和位置關(guān)系分別是什么？并說明理由．（2）直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)，，見解析；(2)【分析】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．（1）由已知得，由，，，根據(jù)“”證明，得，所以，則；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，而，所以．解：（1），，理由：由已知得，為的高，于點(diǎn)，，在和中，，，，，．（2）的度數(shù)是，理由：由（1）得，，，．【變式1】（23-24八年級(jí)上·山東菏澤·期末）如圖，中，，于點(diǎn)D，于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，，連接交于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①；②；③．其中正確的有（

）

A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，先根據(jù)，，證明，得到，，，結(jié)合，，繼而得到，得，判斷即可．解：∵，，∴，∴，，，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∵∴，故①②③都正確．故選D．【變式2】（23-24八年級(jí)上·吉林·期末）如圖，在中，M為邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且．若，則°．【答案】50【分析】證明，可得，利用三角形內(nèi)角和計(jì)算即可得答案．此題考查了直角三角形全等的證明方法和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，證明是解題的關(guān)鍵．解：∵M(jìn)為邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：50．【題型3】全等三角形的綜合問題【例3】（23-24七年級(jí)下·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，中，，D是延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E是的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作于F，于G．（1）求證：；（2）若，，，求的長．【答案】(1)見詳解；(2)1【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）由角平分線的定義以及垂直的定義，利用即可證明；（2）先利用證明，得到，繼而得到，而，則，即可求解．（1）證明：∵平分，∴．又∵，，∴．在和中：，，，∴．（2）解：∵平分且，，∴．∵∴，∵∴∴即在和中，，∴．∴．又∵，，即，又∵，∴．∴．∴．【變式1】（23-24八年級(jí)上·河北保定·期末）如圖，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，給出下列結(jié)論：；②；③；，其中正確的有（）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，證明得出，即可判斷①②；證明即可判斷③；證明得出，即可判斷④，從而得出答案．解：，，，，，，故②正確，符合題意；，即，故①正確，符合題意；，，，，，故③正確，符合題意；，，，，，，，，，和不一定相等，故④錯(cuò)誤，不符合題意；綜上所述，正確的有①②③，故選：A．【變式2】（23-24八年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，中，，平分，，，以下四個(gè)結(jié)論：①，②，③，④．正確的是．【答案】①②④【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，由即可判斷①；根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可證明，可判斷②；不能證明與不一定全等，即可判斷③；根據(jù)和互余，和互余，而，可得，即可判斷④．解：∵，∴，故①正確；∵平分，∴，∵，∴，∴，故②正確；∵，而與不一定垂直，∴與不一定全等，故與不一定相等，故③錯(cuò)誤；∵，∴和互余，和互余，而，∴，故④正確．故答案為：①②④．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·陜西·中考真題）如圖，在中，，．過點(diǎn)作，垂足為，延長至點(diǎn)．使．在邊上截取，連接．求證：．

【分析】利用三角形內(nèi)角和定理得的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論．證明：在中，，，．．．，．在和中，，∴．．【點(diǎn)撥】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．【例2】（2023·山東·中考真題）如圖，在正方形方格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，點(diǎn)均在小正方形方格的頂點(diǎn)上，線段交于點(diǎn)，若，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可進(jìn)行求解．解：如圖，

由圖可知：，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2、拓展延伸【例1】（23-24八年級(jí)上·廣東汕頭·期中）如圖，從點(diǎn)O引射線，，點(diǎn)A，B分別在射線，上，點(diǎn)C為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接，，有．（1）如圖1，若，則和的位置關(guān)系是______；（2）如圖2，若，，請(qǐng)求出和的度數(shù)的等量關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)C作交射線于點(diǎn)D，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，結(jié)合題意判定，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，即可判定；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及題意得到，再利用三角形內(nèi)角和定理及三角形外角性質(zhì)即可得解；（3）根據(jù)三角形外角性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及題意即可得解．（1）證明：，過程如下，，在和中，，，，∴；（2）解：，理由如下：在和中，，，，，，，，即，，，；（3）解：，，，，，，由（2）得，，，．【例2】（22-23九年級(jí)下·山東濱州·期中）（1）如圖1，在四邊形中，，，且，求證：．（2）如圖2，若在四邊形中，，，分別是上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論仍然成立；理由見解析【分析】本題主要考查的是三角形的綜合題，主要涉及三角形全等的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角