圓的知識點總結(jié)(史上比較全)

...wd......wd......wd...圓的總結(jié)集合：圓：圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡：1、到定點的距離等于定長的點的軌跡是：以定點為圓心，定長為半徑的圓；2、到線段兩端點距離相等的點的軌跡是：線段的中垂線；3、到角兩邊距離相等的點的軌跡是：角的平分線；4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線點與圓的位置關(guān)系:點在圓內(nèi)d<r點C在圓內(nèi)點在圓上d=r點B在圓上點在此圓外d>r點A在圓外直線與圓的位置關(guān)系:直線與圓相離d>r無交點直線與圓相切d=r有一個交點直線與圓相交d<r有兩個交點圓與圓的位置關(guān)系:外離〔圖1〕無交點d>R+r外切〔圖2〕有一個交點d=R+r相交〔圖3〕有兩個交點R-r<d<R+r內(nèi)切〔圖4〕有一個交點d=R-r內(nèi)含〔圖5〕無交點d<R-r垂徑定理:垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧推論1：〔1〕平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；〔2〕弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。弧?〕平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結(jié)論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論，即：①AB是直徑②AB⊥CD③CE=DE④⑤推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結(jié)論也即：①∠AOB=∠DOE②AB=DE③OC=OF④圓周角定理圓周角定理：同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半即：∵∠AOB和∠ACB是所對的圓心角和圓周角∴∠AOB=2∠ACB圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所對的圓周角∴∠C=∠D推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑即：在⊙O中，∵AB是直徑或∵∠C=90°∴∠C=90°∴AB是直徑推論3：三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形即：在△ABC中，∵OC=OA=OB∴△ABC是直角三角形或∠C=90°注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。弦切角定理:弦切角等于所夾弧所對的圓周角推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。即：∵M(jìn)N是切線，AB是弦∴∠BAM=∠BCA圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。即：在⊙O中，∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形∴∠C+∠BAD=180°B+∠D=180°∠DAE=∠C切線的性質(zhì)與判定定理〔1〕判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵M(jìn)N⊥OA且MN過半徑OA外端∴MN是⊙O的切線〔2〕性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑〔如上圖〕推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心過切點垂直切線中知道其中兩個條件推出最后一個條件∵M(jìn)N是切線∴MN⊥OA切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵PA、PB是的兩條切線∴PA=PBPO平分∠BPA圓內(nèi)相交弦定理及其推論：〔1〕相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點P∴PA·PB=PC·PA〔2〕推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即：在⊙O中，∵直徑AB⊥CD∴〔3〕切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項即：在⊙O中，∵PA是切線，PB是割線∴〔4〕割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等〔如上圖〕即：在⊙O中，∵PB、PE是割線∴圓公共弦定理：連心線垂直平分公共弦即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點∴O1O2垂直平分AB兩圓公切線長的計算公式：〔1〕公切線長：在Rt△O1O2C中，〔2〕外公切線長：CO2是半徑之差；內(nèi)公切線長：CO2是半徑之和圓內(nèi)正多邊形的計算〔1〕正三角形在⊙O中△ABC是正三角形，有關(guān)計算在Rt△BOD中進(jìn)展，OD:BD:OB=〔2〕正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計算在Rt△OAE中進(jìn)展，OE:AE:OA=〔3〕正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計算在Rt△OAB中進(jìn)展，AB:OB:OA=弧長、扇形面積公式〔1〕弧長公式：〔2〕扇形面積公式：總結(jié)歸納：《圓》的知識考點圓與三角形、四邊形一樣都是研究相關(guān)圖形中的線、角、周長、面積等知識。包括性質(zhì)定理與判定定理及公式。一、圓的有關(guān)概念1、圓。→封閉曲線圍成的圖形2、弦、直徑、切線?！本€3、弧、半圓?！€4、圓心角、圓周角。5、三角形的外接圓、外心。→用到：線段的垂直平分線及性質(zhì)6、三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心?！玫剑航堑钠椒志€及性質(zhì)二、圓的有關(guān)性質(zhì)〔涉及線段相等、角相等，求線、角〕1、圓的對稱性?！?、垂徑定理及其推論。3、弧、弦、圓心角之間的關(guān)系定理4、圓周角定理及推論?！瑘A、等圓，同弧、等弧，圓周角5、切線的性質(zhì)定理。6、切線長定理。三、判定定理切線的判定→兩種思路：①連半徑，證垂直；②作垂直，證半徑四、點、直線、圓與圓的位置關(guān)系1、點與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系點在圓外d>r點在圓上d=r點在圓內(nèi)d<r2、直線與圓的位置關(guān)系：位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系相離d>r相切d=r相交d<r3、圓與圓的位置關(guān)系：位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系外離d>R+r外切d=R+r相交R-r<d<R+r內(nèi)切d=R-r內(nèi)含d<R-r五、正多邊形和圓1、有關(guān)概念正多邊形的中心、半徑、中心角及其度數(shù)、邊心距2、方法思路：構(gòu)造等腰〔等邊〕三角形、直角三角形，在三角形中求線、角、面積。六、圓的有關(guān)線的長和面積。1、圓的周長、弧長C=2r,l=2、圓的面積、扇形面積、圓錐的側(cè)面積和全面積S圓=r2，S扇形=，或S扇形=〔即S扇形==〕S圓錐=3、求面積的方法直接法→由面積公式直接得到間接法→即：割補(bǔ)法〔和差法〕→進(jìn)展等量代換與圓有關(guān)的計算一、周長：設(shè)圓的周長為C，半徑為r,扇形的弧長為l,扇形的圓心角為n.圓的周長：C＝２πR；②扇形的弧長：。例題1．(05崇文練習(xí)一〕某小區(qū)建有如以以下圖的綠地，圖中4個半圓，鄰近的兩個半圓相切。兩位老人同時出發(fā)，以一樣的速度由A處到B處散步，甲老人沿的線路行走，乙老人沿的線路行走，則以下結(jié)論正確的選項是()〔A〕甲老人先到達(dá)B處〔B〕乙老人先到達(dá)B處〔C〕甲、乙兩老人同時到達(dá)B處〔D〕無法確定例題2．如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF…叫做正三角形的“漸開線〞，其中、、…的圓心依次按A、B、C循環(huán)，將它們依次平滑相連接。如果AB=1，試求曲線CDEF的長。例題3．〔06蕪湖〕如圖，線段AB∥CD，∠CBE=600，且AB=60cm,BC=40cm,CD=40cm，⊙O的半徑為10cm,從A到D的外表很粗糙，求⊙O從A滾動到D，圓心O所經(jīng)過的距離。例題4．如圖，一個等邊三角形的邊長和與它的一邊相外切的圓的周長相等，當(dāng)這個圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊作無滑動旋轉(zhuǎn)直至回到原出發(fā)位置時，則這個圓共轉(zhuǎn)了〔〕圈。A4B3C5D3.56.例題5．(08大興二模)如圖，一個人握著板子的一端，另一端放在圓柱上，某人沿水平方向推動板子帶動圓柱向前滾動，假設(shè)滾動時圓柱與地面無滑動，板子與圓柱也沒有滑動．板子上的點B〔直線與圓柱的橫截面的切點〕與手握板子處的點C間的距離BC的長為L，當(dāng)手握板子處的點C隨著圓柱的滾動運動到板子與圓柱橫截面的切點時，人前進(jìn)了_________．例題6．(08房山二模)如圖，∠ACB＝，半徑為2的⊙0切BC于點C，假設(shè)將⊙O在CB上向右滾動，則當(dāng)滾動到⊙O與CA也相切時，圓心O移動的水平距離為.二、面積：設(shè)圓的面積為S，半徑為r,扇形的面積為，弧長為l.圓的面積：②扇形的面積：③弓形面積：例題1．〔05豐臺練習(xí)二〕如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，如果∠A＝120°，CD＝2，則扇形OBAC的面積是____________。例題2．〔江西省〕如圖，⊙A、⊙B、⊙C兩不相交，且半徑半徑都是0.5cm.圖中的三個扇形〔即三個陰影局部〕的面積之和為〔〕Acm2Bcm2Ccm2Dcm2例題3．(08大興)北京市一居民小區(qū)為了迎接2008年奧運會，方案將小區(qū)內(nèi)的一塊平行四邊形ABCD場地進(jìn)展綠化，如圖陰影局部為綠化地，以A、B、C、D為圓心且半徑均為的四個扇形的半徑等于圖中⊙O的直徑，已測得，則綠化地的面積為()A.18πB.36πC.πD.π例題4．如圖，⊙O的半徑為20，B、C為半圓的兩個三等分點，A為半圓的直徑的一個端點，求陰影局部的面積。例題5．(08房山)如圖1是一種邊長為60cm的正方形地磚圖案，其圖案設(shè)計是：①三等分AD〔AB=BC=CD〕②以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交AD于B、交AG于E；③再分別以B、E為圓心，AB長為半徑畫弧，交AD于C、交AG于F兩弧交于H；④用同樣的方法作出右上角的三段?。畧D2是用圖1所示的四塊地磚鋪在一起拼成的大地磚，則圖2中的陰影局部的面積是_______cm2〔結(jié)果保存〕．例題6.(08西城)如圖,在中,,AB=AC=2,假設(shè)以AB為直徑的圓交BC于點D,則陰影局部的面積是.例題7.(08朝陽)：如圖，三個半徑均為1m的鐵管疊放在一起，兩兩相外切，切點分別為C、D、E，直線MN〔地面〕分別與⊙O2、⊙O3相切于點A、B．〔1〕求圖中陰影局部的面積；〔2〕請你直接寫出圖中最上面的鐵管〔⊙O1〕的最低點P到地面MN的距離是______________m．例題8．(08海淀)如圖，一種底面直徑為8厘米，高15厘米的茶葉罐，現(xiàn)要設(shè)計一種可以放三罐的包裝盒，請你估算包裝用的材料為多少〔邊縫忽略不計〕。三、側(cè)面展開圖：①圓柱側(cè)面展開圖是形,它的長是底面的,高是這個圓柱的；②圓錐側(cè)面展開圖是形，它的半徑是這個圓錐的，它的弧長是這個圓錐的底面的。例題1．(05豐臺)圓柱的高為6cm，它的底面半徑為4cm，則這個圓柱的側(cè)面積是()A. B.C. D.例題2．〔05豐臺〕如果圓錐的底面半徑為4cm，高為3cm，那么它的側(cè)面積是()A. B.C.D.題例題4．〔05朝陽〕如果圓柱的母線長為5cm，底面半徑為2cm，那么這個圓柱的側(cè)面積是〔〕A. B. C. D.例題5.如果一個圓錐的軸截面是等邊三角形,它的邊長為4cm,那么它的全面積是()A.8πcm2B.10πcm2C.12πc