人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案：6 2 1　排列

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE16.2排列與組合6.2.1排列課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過實(shí)例理解排列的概念.2.能應(yīng)用排列知識解決簡單的實(shí)際問題.通過學(xué)習(xí)排列的概念，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).自主梳理排列的定義一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.排列定義中兩層含義：一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排成一列”.自主檢驗(yàn)1.思考辨析，判斷正誤(1)在一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列不發(fā)生變化.(×)〖提示〗在一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列與原來的排列不同.(2)兩個排列相同的充要條件是：兩個排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同.(√)(3)從1，2，3，4中任選兩個元素，就組成一個排列.(×)〖提示〗從1，2，3，4中任選兩個元素并按照一定的順序排成一列，才能組成一個排列.(4)從5個同學(xué)中任選2個同學(xué)分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽的所有不同的選法是一個排列問題.(√)2.從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個數(shù)做加、減、乘、除運(yùn)算，分別計(jì)算它們的結(jié)果，在這些問題中，有幾種運(yùn)算可以看作排列問題()A.1種 B.3種C.2種 D.4種〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榧臃ê统朔M足交換律，所以選出兩個數(shù)做加法和乘法時，結(jié)果與兩數(shù)字位置無關(guān)，故不是排列問題，而減法、除法與兩數(shù)字的位置有關(guān)，故是排列問題.3.從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為()A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B.甲乙丙，乙丙甲C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D.甲乙，甲丙，乙丙〖答案〗C〖解析〗選出兩人，且兩人的不同順序都要考慮.4.從5名同學(xué)中選出正、副組長各1名，有__________種不同的選法(用數(shù)字作答).〖答案〗20〖解析〗從5名同學(xué)中選出正、副組長各1名，即從5個不同元素中選出2個元素進(jìn)行排列，不同的選法種數(shù)為5×4＝20.題型一排列的概念〖例1〗判斷下列問題是否為排列問題.(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價格(假設(shè)來回的票價相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜；(4)選10人組成一個學(xué)習(xí)小組；(5)選3個人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員；(6)某班40名學(xué)生在假期相互通信.解(1)中票價只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題.(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題.(3)，(4)不存在順序問題，不屬于排列問題.(5)中每個人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長與當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題.(6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題.所以在上述各題中(2)，(5)，(6)屬于排列問題.思維升華判斷一個具體問題是否為排列問題的方法〖訓(xùn)練1〗下列問題是排列問題嗎？(1)從班上50名學(xué)生中選出6人去參加數(shù)學(xué)競賽；(2)從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)字作冪運(yùn)算；(3)會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排3位客人入座，又有多少種方法？解(1)不是；(2)是；(3)第一問不是，第二問是.理由：(1)不存在順序問題；(2)進(jìn)行冪運(yùn)算時，兩數(shù)誰作底數(shù)，誰作指數(shù)不一樣，此時與位置有關(guān)；(3)選出3個座位與順序無關(guān)，“入座”問題同“排隊(duì)”，與順序有關(guān)，故選3個座位安排3位客人入座是排列問題.題型二排列的列舉問題〖例2〗(1)從1，2，3，4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，一共可以組成多少個？(2)寫出從4個元素a，b，c，d中任取3個元素的所有排列.解(1)由題意作“樹狀圖”，如下.故組成的所有兩位數(shù)為12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12個.(2)由題意作“樹狀圖”，如下.故所有的排列為abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.思維升華利用“樹狀圖”法解決簡單排列問題的適用范圍及策略(1)適用范圍：“樹狀圖”在解決排列元素個數(shù)不多的問題時，是一種比較有效的表示方式.(2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，再安排第二個元素，并按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹狀圖寫出排列.〖訓(xùn)練2〗寫出A，B，C，D四名同學(xué)站成一排照相，A不站在兩端的所有可能站法.解由題意作“樹狀圖”，如下，故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.題型三排列的簡單應(yīng)用〖例3〗用具體數(shù)字表示下列問題.(1)從100個兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個數(shù)，其商的個數(shù)；(2)由0，1，2，3組成的能被5整除且沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)；(3)有4名大學(xué)生可以到5家單位實(shí)習(xí)，若每家單位至多招1名實(shí)習(xí)生，每名大學(xué)生至多到1家單位實(shí)習(xí)，且這4名大學(xué)生全部被分配完畢，其分配方案的個數(shù).解(1)從100個兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個數(shù)，分別作為商的分子和分母，其商共有100×99＝9900(個).(2)因?yàn)榻M成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)能被5整除，所以這個四位數(shù)的個位數(shù)字一定是“0”，故確定此四位數(shù)，只需確定千位數(shù)字、百位數(shù)字、十位數(shù)字即可，共有3×2×1＝6(個).(3)可以理解為從5家單位中選出4家單位，分別把4名大學(xué)生安排到4家單位，共有5×4×3×2＝120(個)分配方案.思維升華要想正確地表示排列問題的排列個數(shù)，應(yīng)弄清這件事中誰是分步的主體，分清m個元素和n(m≤n)個不同的位置各是什么.〖訓(xùn)練3〗(1)有7本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2)有7種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？解(1)從7本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，相當(dāng)于從7個不同元素中任取3個元素的一個排列，所以共有7×6×5＝210(種)不同的送法.(2)從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有7×7×7＝343(種)不同的送法.1.牢記2個知識點(diǎn)(1)排列的定義；(2)